（计算数学专业论文）特殊三角剖分下的二元样条空间及插值.pdf

特殊三角剖分下的二元样条空间及插值 摘要 本文首先利用b 网方法和最小决定集技术，构造了一类四边形三角化剖分下 - - 元_ - 次样条空间s ! ( ) 的一个最小决定集，并给出了它的维数接着针对非均 匀i i 型三角剖分下二元三次样条空间的两个子空间：带边界条件子空问和带双周 期边界条件子空间，利用着色( c o l o d n g ) 方法、b 网方法以及最小决定集技术，构造 了这两个样条子空间的l a g r a n g e 插值格式，并给出了一组具有局部支集的对偶基 及相应的插值逼近度 关键词：四边形三角化剖分非均匀i i 型三角剖分维数l a g r a n g e 插值局部支集 b i v a r i a t e s p l i n es p a c e so v e rs p e c i a l t r i a n g u l a t i o n s a n di n t e r p o l a t i o n s i nt h i st h e s i s ，f i r s t l y , b yu s i n gt h eb e r n s t e i n - b 舌z i e rm e t h o da n dt h e t e c h n i q u eo fm i n i m a l d e e n i u n i n gs e t s , am i n i m a ld e t e r m i n i n gs e tf o rb i v a r i a t eq u a d r a t i cs p l i n es p a c es ；( ) o v e r i s g l v 蛐，a n d h ed i m e n s i o no fb i v a r i a t es p l i n es p a c es ! ( ) i sd e t e r m i n e d s e c o n d l y f o rt w os u b - s p a c e so fb 1 v a r i a t ec u b i cs p l i n es p a c e so v e rn o n u n i f o r mt y p e i i t r i a n g u l a t i o n s ，w h i c ha r eb i v 嘶a t e c u b l cs p l l n es p a c e sw i t hb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dw i t hd o u b l e p e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n s 。b v u s l n gt h ec o l o n n gm e t h o d ，t h eb 舌z i e r - n e tm e t h o da n dt h e t e c h n i q u eo fm i n i m a ld e t e 枷i l i n gs e t ， l a g f a n g e 堋t e 印j a t i o ns c h e m e sb yt h o s es p a c e so nn o n u n i f o r mt y p e it r i a n g u l a t i o n sa r ec o n s t r u c t e da n dt h e i rl o c a l l ys u p p o r t e dd u a lb a s i sa r e g i v e n a tt h ee n d ，t h e i r 印p r o x i m a t i o ne 们r sa r e e s t i m a t e d ，r e s p e c t i v e l y k e y w o r d s t r i a n g u l a t e dq u a d r a n g l a t i o n s ；n o n u n i f o r mt y p e i it r i a n g u l a t i o n s ：d i m e n s i o n ；l a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n ；l o c a ls u p p o r t 论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立撰写完成 的除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或其他机构已经发表或 撰写过的研究成果，也没有剽窃，抄袭等违反学术道德规范的侵权行为对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人愿意承担由 本声明而引起的法律责任 研究生签名： 日期：垆月t 日 论文使用授权声明 本人完全了解广西民族大学有关保留，使用学位论文的规定学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印，缩 印或其他复制手段保存，汇编学位论文除在保密期内的保密论文外，允许学位论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容 研究生签名： 导师签名： 多月 多 月 日 日 1引言 定义1 1 假设q 是平面上任一单连通的多边形区域，是它的任一正规三角剖分，丁表 示中的三角形对非负整数d 和r 且0sr d ，定义二元d 次r 阶光滑样条函数空间为 s ：( z x ) = i s c 7 ( q ) ：s i r p j ，y t z x ， ( 1 1 ) 其中丹表示二元d 次多项式空间，s l r 表示样条函数j 限制在丁上的表达式 二元低次样条函数在实际应用中具有计算简单和稳定的优点，因而受到学者们的广泛 关注但关于一般三角剖分下低次样条函数空间的研究非常困难，例如，厂= 1 ，d = 2 ，3 时， 空间s ：( ) 和s ；( ) 的维数至今仍然是多元样条函数领域的未解难题人们转而考虑特殊三 角剖分和各种各样加密三角剖分下的二元低次样条函数空问c h u ia n dw a n g 【1 】提出并研 究了贯穿剖分和拟贯穿剖分下包括低次样条函数空间在内的多元样条函数空间，y e 【2 】确 立了u n i d i r e c t i o n a l 三角剖分下空问s j ( ) 的维数l i u 【3 1 确立了一类x 型分层三角剖分下空 间s ；( ) 的维数l i ua n dh o n g 【4 】还给出了一般偶分层三角剖分( 无x 型的限制) 下空问s ! ( ) 的 维数最近，f a r i n 【5 】定义了一类非收缩三角剖分( u n c o n s t r i c t e dt r i a n g u l a t i o n ) ，并给出了在这种 剖分下s ：( ) 的维数l a i 【6 】和l i ua n dh o n g 【7 】还研究了四边形三角化剖分( t r i a n g u l a t e dq u a d r 锄g u l a t i o n ) 下的样条函数空间s ：( ) 而对于加密三角剖分，c i a r l e t 【8 】和p e r c e l l 【9 】研究了加 密三角剖分c r 下的空间s ：( ) p o w e l la n ds a b i n 【1 0 贝i j 研究了加密三角剖分a p s i 和a p s 2 下的 空间s j ( 耶1 ) 和s ；( 胚2 ) i a ue ta 1 【1l 】给出t s j ( z x e s o 的维数，谌孙康和刘焕文【1 2 】还给出 y s l ( a e s 2 ) 的维数，并构造了一组具有局部支集的对偶基最近l ua n dl i u 1 3 】给出了样条函 数5 三l u t s l ( a w ) 的维数和插值，并构造出了空间s ：( w ) 的具有局部支集的基的表达式 本文第三章首先定义了一类内顶点的度不等于3 的四边形剖分，并将其三角化，接着讨 论了此四边形三角化剖分下二元样条函数空间s j ( ) 的维数 设q = 【0 x m 】固【o ，】为平面矩形域，0 = x o 期 x m ，0 = y o y l 其中a q 是q 的边界，n 是通过0 t 2 的外法线单位向量 显然，样条函数空间s ( 硪) 是s 小r = 凸- 。( 0 ) 的子空间 1 9 8 2 年，崔锦泰等1 1 7 1 一【1 8 】分别研究了带边界条件的样条函数空间s ；七( 珊) 和s ( 臻) 的 维数，其中七= 0 ，1 1 9 8 5 ：年，王仁宏和何天晓【1 9 】给出了s 磁) 的维数和基底，k = 0 ，1 更 一般的情况，安乐波【2 0 】和 2 l 】研究了d 4 时空问s 1 ( a 嬲) t f f l d 3 时空间s ，1 ( 2 ) ，分别给 出了它们维数和基底1 9 9 4 年，沙震和宣培才【2 2 】研究了空间s ( 2 ) ，不仅确定了空间的 维数，而且同时给出了它的插值逼近性质随后，1 9 9 5 年，运用类似的方法，柯云泉【2 3 研究 了s ：1 ( 黧) 最近，刘焕文等【2 4 】也研究了s ；1 碟) ，并给出了它的维数 除了带一般边界条件的样条子空间外，还有另外一类带双周期边界条件的样条子空间 定义1 3 功砩) = s s ：没) ：d s ( o ，) = d a $ ( x m ，) ，矿j ( ，o ) = s ( ，) ，口r ，kl ，2 ( 1 4 2 对于双周期样条函数空间的研究，最早在1 9 8 6 年，m o r s c h e 【2 5 】给出了s ；( = ) 的维数和基 底1 9 8 8 年，沙震和宣培才【2 6 】给出了s ：( 2 ) 的维数，并且讨论了该空间的插值逼近问题其 次，1 9 9 5 年，柯云泉【2 7 】研究了空间s ：( 2 ) ，给出维数的同时研究了它的插值逼近性质另外， 刘焕文在【2 8 】【2 9 】分别给出了s ! ( 脚( 2 ) ，1 w o - - 2 i ( = ) 维数和基底，并且他在【3 0 】和【3 1 】分别讨论 了空间s t ( 2 ) 的h e m l i t e 插值和l a g r a n g e 插值更一般地，刘焕文【3 2 】还给出了s ：( 嫩) ，d 4 的维数最近，刘焕文等还在【3 3 】中得到了s ；( = ) 的维数和基底 众所周知，在研究二元样条函数空间时，维数，插值和逼近三者是密切相连的一般的插 值方法有h e r m i t e 插值和l a g r a n g e 插值，其中后者不必用到梯度值然而，对上述两类样条空 间插值逼近的研究，在文【2 2 】【2 3 】 2 6 1 2 7 】【3 0 【3 4 中，它们的插值格式都用到梯度值而往 往在实际应用中只有函数值容易得到，梯度值需要通过足够的函数值来估计 最近n u m b e r g e r 等【3 9 【5 0 】通过着色方法( c o l o r i n g ) 研究了一些特殊三角剖分下的样条 空间的l a g r a n g e 插值，用这种方法我们能够得到一个稳定的局部的l a g r a n g e 插值格式受此 启发，我们将这种方法运用到带边界条件的样条函数空间和双周期样条函数空间的研究上 来鉴于刘焕文等在【2 4 】和【3 3 】中只研究了s ；，1 碟) 和瓢碟) 维数本文第四、五章在此基 础上运用着色方法继续研究这两个空间，给出它们的局部l a g r a n g e 插值格式和一组具有局部 支集的对偶基，最后研究它们的插值逼近阶 3 2 1 多元样条函数简介 2预备知识 所谓样条函数( s p l i n e sf u n c t i o n s ) 就是具有一定整体光滑性的分段或分片定义的多项式 1 9 4 6 年，数学家s c h o e n e r g 【5 1 较为系统地建立了一元样条函数的理论基础，但是，s c h o e n b e r g 的工作刚开始时并未受到重视从6 0 年代开始，随着电子计算机技术的发展，样条函数得到了 迅速的发展和广泛的应用鉴于客观事物的多样性和复杂性，开展有关多元样条函数的理论 研究。无论在理论还是在应用上都有着十分重要的意义多元样条函数空问在数值逼近、计 算几何、曲面拟合、计算机辅助几何设计、有限元及偏微分方程数值解中均有重要的应用 一般而言，多元样条研究的主要方法有：光滑余因子协调方法、b 网方法、b 样条法下 面我们主要对b 网方法做简单的介绍 2 2b 网方法 b 网方法是研究二元样条空间的重要方法所谓b 网方法，就是利用两个多项式在两个 相邻单纯形上b e r n s t e i n 表达形式的系数，给出光滑连接的条件最早将一元b e r n s t e i n 多项式 推广n - 元情形的是五十年代d ec a s t e l j a u 的工作，但尚未发表将b e r n s t e i n 多项式用于多元 样条理论研究，当首推f a r i n 在1 9 8 0 年完成的博士论文中的工作他在博士论文中考虑了多元 样条的坐标和光滑性之间的关系，从而b 网方法成为研究多元样条的重要方法之一d eb o o r , h 6 1 1 i g 等人【5 2 】【5 3 】【5 4 对b 网方法的发展起过重要的作用此外，中国学者苏步青，刘鼎元， 郭竹瑞，贾荣庆等人【5 5 】【5 6 【5 7 也作了许多有意义的工作 b 网方法要求剖分为单纯形剖分，般不能考虑任意剖分下的样条空间但由于剖分的 针对性，b 网方法对处理单纯形剖分上的样条函数有其特殊的优越性迄今为止，单纯形剖分 上样条函数的一些问题的最佳结果，如任意三角剖分上的样条函数空间的维数问题，多数是 由b 网方法得到的下面我们对它作简单介绍，关于这方面的详细知识可参见文献【3 8 假设t ：= 为中的一个三角形，1 , 1 = ( 工l ，y 1 ) ，1 , 2 = ( x 2 ，y 2 ) ，1 , 3 = ( x 3 ，y 3 ) 为其顶 点，按照逆时针排列对v y ) ， r ，我们有 ，= a l v l + 也v 2 + 1 3 v 3 ，a l + 也+ a 3 = 1 ，( 2 1 ) 其中a = ( a l , t 2 ，a 3 ) 是点v ( x ，y ) 相应于三角形丁的重心坐标反过来，已知点y 的直角坐标，可以 4 求得v 的重心坐标如下 l l 2 d 图2 1s ；( ，l 也 ，3 ) 的一个区域点集 1 x y 1 勋) 也 l x 3y 3 1 j 【1 ) ，l 1 恐y 2 1 物) b 1 x ly l 1 石y 1 勋) ，3 1 x l 1 x 2 1 物 众所周知，运用二元d 次b e r n s t r e i n b 舌z i e r 多项式 ，, t 32 1 x ly l 1 j r 2y 2 1 工 y 1 工l 1 规 1 勋 略( 加( 扎九埘= 盎a ；t 葛n j + 七= 破 任一二元d 次多项式p ( x ，力可以表示为： p ( ) = p ( a 1 ，a 2 ，亢3 ) = p ( a ) = c & 磙， i + j + k = d 其中 c & j + j + 女利为p 相应于集合 蟊：= i + m + 如3 ) d “似= d 中区域点的b 网系数 对任一顶点1 ，a ，我们定义以下集合： r m ( v ) ：= 与顶点v 的距离为m 个单位的区域点 ， k ( 1 ，) ：= ij r i ( v ) ， 、_ ， i = o 分别称r m ( v ) 和d m ( v ) 为围绕顶点v 的第m 环和第m 圆盘 因为二元样条空间s ：( ) 与以下点集一一对应： d a = 彰t 业：丁，i + j + k = d ， 5 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ( 2 5 ) ( 2 6 ) m 弛 粥 m 兜 粥 所以对于每个f d ，定义s s ：( ) 上的线性泛函坛： 豫s ：= s 相应于区域点f 的b 网系数 下面给出最小决定集的定义【1 4 定义2 1 + p # j d 的一个子集，若x c v s s ：( ) ，都有 扮j = 0 ，v 亭pj j = o ， 则称p 为样条函数空间s ：( ) 的决定集( d e t e m l i n i n gs e t ) 如果空间s ：( ) 再也没有元素个数更 少的决定集，则称p 为空间s ：( ) 的最小决定集( m i n i m a ld e t e r m i n i n gs e t ) 性质2 1 如果集合肘为二元样条函数空间s ：( ) 的决定集，则d i ms ：( ) i 肘i 性质2 2 对于任意二元样条函数空间s ：( ) ，总存在其最小决定集m ，而且d i m s ：( ) = i m i 下面，我们引入 4 0 】中有关光滑泛函的概念令t ：= 与亍：= y 9 - - 角剖分中两个相邻的三角形，邻边p ：= 对于任意s s o ( z o ，分别在r 和r 上用b 网 形式表示j ，有 j l 产c 珊嘞，s 1 7 ：= 歇 j + j + k = di + j + k = d 给定整数o ，l j d ，定义s s ：( ) 上的线性泛函t 。，有 ，怍岛以一一枷一州( v t ) ， ( 2 7 ) p + v + k = h 则称t 。为一个咒阶光滑泛函如 4 0 】所述，s s ：( ) 当且仅当 吒。j = 0 ，n m 吐0 n e 6 ， ( 2 8 ) 其中6 ，表示中的内边 利用光滑泛函这一概念，可以更好地描述光滑条件，下面举例加以说明 例2 1 令d = 3 若s s ；( 丁uy ) ，n s s ；( 丁u - ) 的充分必要条件是： 丁：。= 0 ，也= 0 ，t 。= 0 ， 其中e ：= 转化为b n 形式为： c 1 2 02r i l l 0 2 + r 2 f o l 2 + t 3 石0 0 3 ， c l l l2t i c l l i + t 2 c 0 2 1 + t 3 c 0 1 2 ， c 1 0 22t ic 1 2 0 + r 2 c 0 3 0 + r 3 c 0 2 1 ， 其中( 1 - l t 2 ，丁3 ) 为点，l 相对于亍的重心坐标 6 ( 2 9 ) 图2 2 四边形剖分 2 3 相关概念 图2 3 四边形三角化剖分 定义2 2 假设v ：= i v f ? 为平面尺2 上的点集，一个以，f “= 1 ，刀) 为顶点的凸四边形集 合，如果在中任意两个四边形缈，g ，有公共顶点或者公共边或者无任何交点，并且所有四边 形两两相邻，则称为四边形剖分，如图2 2 所示连接中每个四边形的两条对角线，即得到四 边形三角化剖分，记为，如图2 3 所示 由【4 6 我们可以类似给出以下定义 定义2 3 对于任一非均匀三角剖分碳，一个区域点集尹：= i 毒 乞l q ，这里f = d i m s ；a 滩) ， 若对任意数组 z d ：= l ，存在唯一函数s s y ( 磷) ，使得 s 皤) = 刁，i = 1 ，2 ，t ， ( 2 1 0 ) 则称p 为s ；1 滩) 的l a g 啪g e 最小决定集当然，空间s y ( 凸- - ( 肭2 ) ，出队, 驮胍i 日j j - - 3 il - - ( 2 ) ) ，下同 7 一_ | 詈f - 一一一 图2 4 星形域s f a 一( d ) 的定义，d 为白色矩形，s | r i 1 ( d ) 为d 和灰色矩形的集合 s t a r 2 ( d ) 为s t a r l ( f f ) 和黑色矩形的集台 对十任意点f 尹，可相应地构造一个函数岛s 乳- - 。砌2 ) ) ，使得 唾( 啦= 屯 靠1 只 ( 2 1 1 ) 则称毋为s ：( ) 的l a g r a n g e 基样条， 噜) 缈为空间5 乳碟) ! * j l a g r a n g c 对偶基毋称为一个稳 定的局部支集，如果存在一个仪依赖于剖分最小角的常数k 满足 1 ) 对于所有f 尹，i f 晚临k ， 2 ) 对于每个f 只存在一个d 使得s u p p ( 辟) s t a f l ( d ) ， 其* s u p p ( 艮) = 细n ，皿( 目) 0 ，s t a r ( d ) 是指- b o 具有公共项点的所有矩形的集合，且 s t a r 。( d ) ：= s t a r 1 ( s t a r ( 研) ，如图2 4 所示 注记2 1 4 1 j 若区问k 纠上的一元三次样条表达式p 满足e ( a ) = z 。，e ( b ) = ，则p 可裘 示为口网表达式： 尸( 对= 去【却( 6 一蝴3 + 3 c l 扛一) ( 自一曲2 + 3 c 2 扛一d ) 2 ( 6 一曲+ 啊一d ) 】， ( 2 1 2 ) 其中 = b a ，c i ，c 2 分别对应t i ：= a + h i 3 和赴= a + 2 h 3 的口网系数 1 ) 若己知，( n ) = a ，尸( k ) = a ，则“，2 被以下线性方程组唯一确定： ：珧州：冀篡】 2 ) 若已知q 和p ( ) = ，则将缸代入( 21 2 ) 式可得： 。= 堕专笋些 ( 2 1 4 ) 注记2 2h 1 对于一个给定的三角形r 假设5 是r 上的二元三次样条表达式，已知j 卜上 除了区域点晶i 外，其他9 个区域点对应的b 网系数都已知，且晶1 上的函数值也已知，则由表 达式( 24 ) 可计算矗l 对应的口阿系数c i l 引理2 1 【4 1 j 假设有任意凸的四边形q ：= ，连接口的两条对角线即得到三 角剖分6 口，6 0 包括四个三角形n ：= ，i = 1 ，2 ，3 ，4 ，这里令= b 设h 是一个区域 点集，其元素为四边形q 的四条边上的1 2 个r 域点如图2 5 所示设 8 图2 5s ；( q ) 的一个最小决定集 肘l2 a l ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，= a l ，a 2 ，a 3 ，a o ， m 32 a l ，a 3 ，a o ，a s ，m 42i a l ，a 2 ，a o ，a s ， m 52 a l ，a o ，a 8 ，a s ， 则对于每个f 1 1 ，5 l ，集合f i = f eu 尬是s ；( q ) 的一个最小决定集( m d s ) ，即对任意的样 条函数j s ；( 口) 都可以唯一地被n 中的区域点对应的b 网系数确定 定义2 4 【4 7 】一个四边形剖分o 称为可分离的，如果存在一个四边形集合oc ，对于每 个内顶点y ，存在唯一一个以v 为顶点的四边形a o ，其中o 称为中的一个分离集 定理2 1 【5 0 】假定0 p d ，设r 是有限指标集，i 九 汀是s ：( ) 中的一个样条集合，满足 h 1 ) 存在一个整数z 使得对每一个f ，九的支集都包含在某些顶点心a 的星形区域s t a r t ( v t ) * ； h 2 ) k t ：= m a x fi | 噍n o o ； h 3 ) 恐：= m a x r # ( z r ) 1 ，q 和q ，不相邻( 这里除去首尾相连的 情况) 下面我们就四边形三角化剖分进行分割 1 ) 任取一个边界四边形q 作为一条四边形链，记为c 1 这里边界四边形指含有边界边的 四边形 2 ) 取所有与c l 相交且不间断的四边形组成一条四边形链，记为c 2 3 ) 依次类推，取所有与 e l ，c 2 ，c f _ l l 相交且不间断的四边形组成一条四边形链，记 为o 通过上面的步骤分割，整个四边形三角化剖分被分成若干条四边形链 定理3 1d i m s ；( ) = i v b l + i q + 3 图3 1 对应于引理3 1 的区域点 1 0 口 图32 第一条四边形链为白色部分，第二条四边形链为灰色部分，第三条四边形链为黑色部分 口峭钢爨 图33 四种取点方式 证明：按以下步骤依次选取区域点构造s ：( ) 的决定集盯： 1 ) 刘于第一条凹边形链c 1 由于只有一个四边形，按如图33 曲所示方式选点 2 ) 对于第一条四边形链c 2 ，从链某一端的四边形开始，如图34 中的箭头所示，依次对每 个四边形选择点，直到另一端的四边形为止对于每个四边形口，如果与前面己选过点的四边 形只有一公共顶点，则按如图33b ) 所示方式选点，如果与前面已选过点的四边形有一条公共 边，则按如图33c ) 所示方式选点，如果与前面己选过点的四边形有两条相邻的公共边，则按 如图33d 1 所示方式选点 3 ) 类似地，可依次对四边形链g ，c 4 ，中的四边形选点 图34 中的黑点即为盯中的区域点 首先证明集合m 是s ；( ) 的决定集假设v s 5 ：( ) ，且令茫埘中区域点对应的b 阿系数 全部为q 在图34 中，对于第一条四边形链c 1 中四边形，由引理31 知，其他区域点对应的b 阿系 数为0 对于第二条四边形链c 2 ，根据引理3i ，按照每个四边形选点的顺序计算，可得到c 2 中 剩下所有的区域点对虚的b 网系数都为0 类似的方法，可依扶计算四边形链o ，o ，中剩下 所有的区域点对应的占网系数都为0 ，所以j 仉由性质2 1 知d i m s ：( ) s i m i 现统训决定集肼中元素的个数首先取四边形剖分中的全部顶点，总共m 个另外，由 取点规律不难看出，对于四边形各边上的取点，除了第一条四边形链取4 个点外，其余各链在 四边形边r 的取点数目均为盼| - l h | l = 2 ，3 ，其中表示第l 条四边形链与第l 一1 条四 边形链的交点，并且这些点属于四边形剖分o 中的内顶点从而容易得l u i m i = 1 l 十l d + 3 ， 图3 4 空间s ( ) 的虽小决定集( 黑色区域点) 即凼m j j ( ) ! i h i + 吲+ 3 另外由s c h u m a k e r 1 6 】的维数下界公式知 i q i 4 “5 ：( ) 6 + i e ；i 一3 l 吖1 + 善( 3 - e i ) +( 3 ” =6 4 - l e | - 3 1 y ；1 + l q l ， 其中q 表示四边形剖分。中所有四边形的全体，且 i 耳i = 1 日l + 4 1 q i ，i q l = iy ， + l o l ， 则( 31 ) 式可化为 出m s ；( ) 6 + i 目i + 2 蚓一3 1y ，l 而在四边形剖分o 中 l 目l = ( 1 i 十4 1 i - 4 ) 2 ，1 u | = ( 2 1 q 1 - l i + 2 ) 2 ， 所咀 d i m s ；( ) i b i + 旧+ 3 综合上述可得 d i l n s i ( ) = 1 l + 旧+ 3 由【1 4 】可知对每一个fem ，存在唯一的样条函数es ；( ) ，使得对所有的qe | l f 满足 h 乓= 如= 冀 n 动 显然，毋构成5 ；( ) 的一组基底，它是对应于集合村的对偶基。但遗憾的是该基底并不具有局 部支集，所以今后我们研究空间s ；( 争) 的重点将是如何构造一组具有局部支集的基底 作为此类四边形三角化音盼专特例的均匀型三角剖分2 ，这里i h 卜2 m + 2 n ，i q i = m n ， 容易得到d 蛐j ( 黧) 训+ 2 m + 2 n + 3 ，这正与 1 5 】中一致 1 2 4 非均匀i i 型三角剖分下带边界条件样条空间s 三，1 ( - 2 ) 的l a g r a n g e 插值 本章中，我们继续研究样条空间s ；1 ( 瓣) ，构造它的一个局部l a g m g e 插值点集尹，并证 明相应的l a g r a n g e 基函数具有局部支集，最后给出它的插值逼近度 对于带边界条件样条空间s y ( 2 ) ，刘焕文在【2 4 】中已给出了它的维数，即下面弓f 理 引理4 1 d i m s 1 碟) ：5 m n 一4 m 一4 n + 3 ( 4 1 ) 定义4 1 【2 3 】设s ( x ，力是定义在q 上的样条函数，对于q 的边界a q ，如果函数s ( 工，y ) 满足 = o ，塞扣o ，筹扣o ， ( 4 2 ) 则称s ( z ，) ，) 满足i 型边界条件 根据定义1 - 3 ，如果j s ：1 l ( - - 。( 2 j ，) ，贝必应满足i 型边界条件 引理4 2 如图2 1 所示，定义在v 1 屹均上的样条函数酝( x ，力在，l v 2 上满足i 型边界条件 充要条件是 c 3 0 0 2 c 2 l o 邓1 2 02c 0 3 0 = 0 ， ( 4 3 ) 【c 2 0 1 2 c l l l5c 0 2 12 0 证明：图2 1 中三角形a v l v 2 v 3 上样条函数s ( x ，y ) 的b e m s t r e i n 表示为： s ( 工，歹) ：= s ( a l 1 2 ，a 3 ) = c 3 0 0 a ；+ c 2 1 0 a 2 a 2 + c 1 2 0 a l 镌+ c 0 3 0 4 ( 4 4 ) + 3 c 2 m a ；a 3 + 6 c i l i a ! 1 2 a 3 + 3 c 0 2 1 镌a 3 + 3 c m 2 a la ；+ 3 c o l 2 也葺+ c 0 0 3 a ； 若j 伍力i n 屹= 0 ，则有 s ( x ，) ，) ：= s ( a t ，也，o ) = c 3 0 0 a + c 2 1 0 a 1 2 a 2 + c 1 2 0 , 王l 镌+ c 0 3 0 雹= 0 ( 4 5 ) 由于a ，a 1 2 a 2 ，a l 镌，a ；是一组线性无关基，因此得 c 3 0 02c 2 1 02c 1 2 02c 0 3 020 ， 结合塞i v 。圪= 0 ，骞i v 。屹= 0 ，同理可得 证毕 c 2 0 12c l i i = c 0 2 12 0 1 3 ( 4 6 ) ( 4 7 ) 圈43 当m n n 时为偶数时对整十矩形域的着色方案 霎一雾二 塑 睡一膏一蠹一 ，1 i i z i i y y 。 y y 2 y ， 圈4 4 当珥为髑散，月为奇数时。空间5 y ( - 2 ) 的一+ l a g r a n g e 最小决定粜 m 眨鼐孺 j ，嚣一 因因、 兰圜m i 谜剽i 剀、 5 4 i 算法 着色算法设 易= i d f f ：i 和j 同时是偶数或奇数l ， w 表示其它在口棚中的小矩形我们把召染成黑色，w 染成白色，如图4 1 4 3 把召中f 和，同时 为偶数的4 f 标记为男卜由定义2 4 ，可知召l 是口册中的一个分离集设绞= 召艿卜 取点算法假设有非均匀i i 型三角剖分磷，则选择以下区域点组成集合尹下面的取点 考虑了边界条件 1 ) 对于召l ，如果d i j 8 l f = l ，m 一2 ，j = 1 ，n 一2 ，取与引理2 1 中r 5 同样的 点如果现f 鸯l ，j = 0 ，n 一1 ，i = l ，m 一2 ，i = 0 ，m i ，_ = i ，n 一2 ，取与 引理2 1 中r 5 同样的点，但要除去珥( y ) 和f 弛，这里v 为剖分的边界顶点由染色方法，我 f i n n 道d o o $ i ，如果d 嘶一“d o 一l 一l 一一l 召“取与引理2 1 中r 5 同样的点，但对d o o 和d m l 扣l 要 除去d ；( v ) ，f 嚣l ，器l ，对b l 和上h l 要除去d j ( y ) ，f l 。，钮o ，这里v 亦为剖分的边界顶点 2 ) 对于踢，如果d f ，踢，i = l ，m 一2 ，j = l ，n 一2 ，取与引理2 1 中r 5 同样的点，但 要除去讲( d 如果协踢，f - m 一1 ，j = l ，n 一2 ，= n 一1 ，i = 1 ，m 一2 ，取与引 理2 1 中f 5 同样的点，但要除去d j ( v ) 和舅j l ，如果队一i n - l 踢，取与引理2 i 中f 5 同样的点，但 要除去j d t 。p - - , - t n l ，岛l ，这里v 为矩形的顶点 3 ) 对于1 以所有矩形都不用取点 图4 4 4 6 表示按上述算法对三种不同情况所构造的集合尹，其元素以黑心圆点标记 4 2 主要结论 定理4 1 假设尹：= 皤) f 是按照以上算法构造的区域点集，则尹是s ；1 ( - t - 瑚( z ) ) 的l a g r a n g e 最 小决定集 证明：按照算法中的选取规律计数，不难得知三种情况都有例= 5 m n 一4 m 一4 n + 3 ，这与m ，n 的奇偶无关，下面只给出m ，n 不同时为奇数或偶数的情况，如图4 4 ，这里设m 为偶 数，l 为奇数m ，n 同时为奇数或偶数的情况类似 由引理4 1 知d i m s ：，( 碳) = t 按照定义2 3 ，下面我们需要证明对于任给的实数集z ：= 亿巧，存在唯一的二元三次样条函数s ；1 i 五竺) 满足插值条件( 2 1 0 ) 即需要证明s ；，1 ( - - 脚( 2 ) ) 上每个 区域点对应的曰网系数 q l 鳓( f = 0 ，l ，2 ，m 一1 ，j = 0 ，l ，2 ，n 一1 ) 唯一的被z ：= 忆 ：确 定 下面对于各区域点对应的b 网系数的确定我们分两步进行，第一步确定d l ( v u ) 上区域 点对应的b 网系数，第二步确定各个矩形中剩下的区域点对应的b 网系数，先确定当l 的，后确 定伤的，最后确定q , v 的 第一步，首先对于尹中落在各矩形的顶点及对角线交点对应的口网系数与给定这些区域 点上的实数值相等，其次计算矩形每条边上的区域点对应的b 网系数对于每个矩y t 乡d i 的i 1 6 边e ，如果尹中包含e 上的两个区域点( 不算两个顶点) ，则由( 2 1 3 ) 式就可计算这两点对应的曰网 系数如果尹只包含e 的一个区域点，则由( 2 1 4 ) 式即可计算该区域点对应的曰网系数在这里， 对于任意的顶v i j ，结合c 1 光滑条件( 2 9 ) 和边界条件( 4 2 ) 由上述计算可唯一确定d l m ，) 上所 有剩余的区域点的曰网系数 第二步，计算每个矩形d i j 内部剩余区域点对应的j 5 i 网系数如图4 4 ，首先讨论d i ，8 l i - l ，m 一2 ，j = 1 ，以一2 ，其每个矩形内部包含尹的四个点，则由( 2 1 4 ) 可确定对角线上 两个点对应的b 网系数，再由注记2 2 可确定小三角形内部的区域点的曰网系数，最后，由引 理2 1 使得矩形内部剩余区域点对应的b 网系数也被确定 其次对矩形口，$ l ，j = 0 ，n 一1 ，f = 1 ，m 一2 ，f = 0 ，= 1 ，刀一2 ，其每个矩 形内部包含尹的三个点，边界条件使得矩形中一边界三角形中的c 川为0 ，对d o o 和一l ，其每， 个矩形内部包含尹的两个点，边界条件使得矩形中两个边界三角形中的c l i i 为o ，由( 2 1 4 ) 及引 理2 1 可将这些矩形内部剩余区域点对应的召网系数唯一确定 同理可唯一确定致中各矩形内部区域点对应的召网系数 对于白色的矩形，根据c 1 光滑条件和边界条件，每个矩形中的四个三角形的c l l l 已被确 定，由引理2 1 可将矩形内部剩余区域点对应的b 网系数唯一确定由以上讨论可知，剖分- - 4 。z 。) 中 所有区域点的b 网系数都可以唯一确定，即集合尹中的每个点上的函数值唯一确定了一个二 元三次样条函数s s y ( = ) 定理4 2 给定点f 尹，相应的对偶基壤构成s ；，1 碟) 的一个稳定的局部支集 下面同样只证明图4 4 的情况，其他情况证明可类似给出 证明：任意固定f 咒由( 2 4 ) 知，对于每个三角形r ，皿等于该三角形上的b e r n s t e i n 基 函数的线性组合，而曰= 1 ，所以i 魄ism a xi c & 1 根据定理4 1 中的证明过程，对于剖 f + j + k = 3 。 ， 、 分磷上全部的区域点的b 网系数，先是由边界条件和z ：= 亿) ：直接确定了一部分，剩下区域 点的b 网系数通过光滑条件由前面己求出的线性表出，所以这些b 网系数仅与相邻两个三角形 面积的比率有关，即可以找到仅依赖于剖分= 中三角形最小角的常数k ，使得m a x i i k 从而有v f 尹，魄i k ，可知眈是稳定的 下面只考虑晚的支集为最大的情形设孝所在的矩形为仇，根据f 所在的位置可分两种情 况讨论： ( 1 ) 当f 伤时，由匪= 1 可知，对应的b 网系数艮0 ，则它传播到最远距离是传到相 邻的白色矩形后停止，这样我们有s u p p ( b f ) c _ s t a r ( d , ) ( 2 ) 当f 召l 时，同样由陵( 手) = l 知，孝对应的b 网系数铅0 ，则它传播的最远距离是到达 与它相接的踢和相邻的白色矩形后停止，这样我们有s u p p ( b f ) s t a r ( d f ) 这样，说明对任意的f 尹，都有s u p p ( b f ) s t a r ( 优) ，即相应的对偶基乓为局部支集综上 所述，对任意给定的点手只相应的对偶基俄构成s ( 磷) 的一个稳定的局部支集证毕 1 7 f 向我们讨论相应的捅值l 可题给定一个足够光滑函数f c ( q ) 且满足下面边界条件： 哆们，) = l y x f ( x , , , ，) = 0 ， ( 4 8 ) i 域八，o ) = q 厂( ，) = 0 ，i = 0 ，i 根据( 2 j1 ) ，在尹上插值于厂的样条j s l ，1 ( - - ( 2 ) ，x 能表示为 s = 厶厂：= 八9 乓， ( 4 9 ) 这里l 表示一个从c ( q ) 映射到sy ( 碳) 线性插值算子 定理4 3 存在一个仅依赖于剖分碳最小角的常数c ，如果，属于s o b o