（计算数学专业论文）带干扰多险种风险模型联合分布及再保险的研究.pdf

硕士学位论文摘要 摘要 风险理论是近代数学的一个重要分支，主要应用于金融、保险、 证券投资以及风险管理方面，也是当今精算界和数学界研究的热门课 题。其中对单一险种的风险过程已有很多的研究，考虑到风险经营规 模的不断扩大，即风险经营的多元化，有必要建立多险种的破产模型， 本文主要对带干扰多险种模型进行分析研究。 首先综述了经典风险模型及其推广以及再保险，其次在文献 4 2 模型的基础上，将保单到达过程和索赔到达过程均为齐次p o i s s o n 过 程的带干扰多险种模型，推广为保单到达过程和索赔到达过程均为广 义齐次p o i s s o n 过程，推导出调节系数的上下界。并将文献 5 4 1 的模 型推广为多险种情形，求得其破产时间，破产前瞬时盈余，以及破产 赤字三者的联合分布，d i c k s o n 推广式以及负盈余首次达到零水平的 时间的分布。最后考虑带干扰多险种风险模型在比例再保险和超额再 保险两种情形下调节系数r 的上下界，推导出索赔额服从指数分布时 调节系数震与比例再保险比例系数i t 的关系式；以及调节系数五与超 额再保险的免赔额膨的关系式；并给出参数值进行数值模拟，分别得 到r 随口的变化趋势，以及r 随m 的变化趋势，与经典风险模型再保 险情形结论一致。 关键词多险种，破产概率，调节系数，联合分布，再保险 硕士学位论文 a b s t r a c t 慰s kt h e o r yi sai m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e mm a t h e m a t i c s , w h i c hi s m a i n l ya p p l i e di nf i b a n c e ，i n s u r a n c e ，s e c u r i t i e si n v e s t m e n ta n dt h er i s k m a n a g e m e n t n o w a d a y s ，t h ec o l l e c t i v er i s kt h e o r yi so n eo ft h em o s t i n t r i g u i n gf i e l d sb o t hi na c t u a r i a la n dm a t h e m a t i c a ls c i e n c e t h e r ea r e m a n yr e s e a r c h e s o no n e - t y p er i s km o d e l i ti s n e c e s s a r y t ob u i l d m u l t i - t y p er i s km o d e lf o re x t e n d i n go fm a n a g i n gs c a l e s t h i st h e s i s m a i n l ys t u d ym u l t i - t y p er i s km o d e lw i t hr a n d o md i s t u r b i n gi t e m f i r s t l y , i t i s8 u i b m a r i z e dt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l a n di t s g e n e r a l i z a t i o n sa n dr e i n s u r a n c e s e c o n d l y , t h em o d e lo fl i t e r a t u r e 【4 2 】 t h a tt h ep r o c e s s e so fp r e m i u mi n c o m ea n dc l a i m sa r r i v i n ga r ep o i s s o n p r o c e s s e si sg e n e r a l i z e dt ow h a tt h ep r o c e s s e so fp r e m i u mi n c o m ea n d c l a i m sa r r i v i n ga r eg e n e r a l i z e dp o i s s o np r o c e s s e s t h et o pa n dt h eb o t t o m b o u n do ft h ea d j u s tc o e f f i c i e n ta r eo b t a i n e d t h i r d l y ，t h em o d e lo f l i t e r a t u r e 【5 4 】i sg e n e r a l i z e dt oam u l t i - t y p er i s km o d e l t h ee x p r e s s i o nf o r t h ej o i n td e n s i t yf u n c t i o no f t h r e ec h a r a c t e r i s t i c s ：t h et i m eo fr u i n , t h e s u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r en l i l l ，a n dt h ed e f i c i ta tr u i ni sd e d u c e d b y u s i n gt h ej o i n td e n s i t yf u n c t i o n , s o m ed i c k s o n sr e s u l t si sg e n e r a l i z e dt o t h em u l t i - t y p er i s km o d e la n dt h ed i s t r i b u t i o no f t h et i m et h a tt h en e g a t i v e s u r p l u sf i r s tr e a c h e st h el e v e lz e r oi sa l s oo b t a i n e d a tl a s t , am u l t i - t y p e r i s km o d e lw i t hr a n d o md i s t u r b i n gi t e mi sc o n s t r u c t e d t h eb o u n d a r yo f 硕士学位论文 a d j u s tc o e f f i c i e n t ri sd i s c u s s e du n d e rp r o p o r t i o n a li n s u r a n c ea n d e x c e s si n s u r a n c e r e s p e c t i v e l y i t i s g a i n e dt h ee q u a t i o n so fa d j u s t c o e f f i c i e n tra n dc o e f f i c i e n to fp r o p o r t i o n a li n s u r a n c e 口，e q u a t i o n so f a d j u s tc o e f f i c i e n tra n dc o e f f i c i e n to fe x c e s si n s u r a n c emw h e nc l a m s o b e ye x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n t h ev a l u e so fp a r a m e t e r sa r eg i v e nt o m a k es i m u l a t i o n t h ec h a n g i n gt r e n do fra c c o r d i n gt o 口，a n d c h a n g i n gt r e n do fra c c o r d i n g t oma r eo b t a i n e dw h i c hi st h es a m ea s t h er e s u l to f r e i n s u r a n c eo f c l a s s i c a lr i s km o d e l k e yw o r d s m u l t i - t y p e ，r u i np r o b a b i l i t y , a d j u s tc o e f f i c i e n t , j o i n t d e n s i t yf u n c t i o n , r e i n s u r a n c e 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名； 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，u p , 学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：孵导师签龇4 j lt m 日期：删月星日 硕士学位论文 第一章文献综述 1 1 风险理论简介 第一章文献综述 风险理论是当今精算界和数学界研究的热门课题。作为保险精算的一部分， 其最初主要是借助于随机过程的理论来构造保险经营中的盈余过程，并研究其破 产概率、调节系数等一些精算量方面的问题。现在已经公认，风险理论的研究应 溯源于瑞典精算师f i l l i pl u n d b u r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文l l 】，至今已有一百 余年的历史。同时期，c r a m e r 和其他一些瑞典的学者也在这方面做了大量的工 作 2 1 1 3 1 。 近几十年来，随着随机过程理论的逐渐系统化和成熟，为风险理论的研究提 供了强有力的方法和工具。风险理论的发展十分迅速，其研究的范围也不断扩大， 其中，破产理论是风险模型研究的重点问题。一般地，我们可以用以下随机过程 来描述保险公司在t 时刻的余额： 【，o ) = ”+ 置( f ) 一s ( o ( 1 1 1 ) 其中，u ( u o ) 表示保险公司的初始资本； r ( f ) 表示( o ，t 】时间段内的总保费收入； s ( t ) 表示( o ，f 】时间段内总索赔。 这里忽略了利率和其他除保费和索赔之外影响余额的随机因素。随着时间t 的变化，盈余可能在某一时刻为负，当首次出现这种情况时，称保险公司发生了 破产。当然，这里所说的破产并不是指保险公司要面临倒闭，这样做只是为了数 学上的处理方便而已。如果把财务上其它影响盈余的因素都考虑在内的话，当保 险公司出现微小赤字时，该公司仍能继续运转，盈余u ( ，) 仍然可能为正的或者可 能恢复为正的。 然而，破产概率妒 ) 仍是衡量一个保险公司或者所经营的某个险种的金融 风险的极其重要的尺度，它可以为保险公司决策者提供一个早期风险的警示手 段，也可以为保险监管部门对保险公司偿付能力的监管提供依据。因此，破产概 率的研究对保险公司的经营和保险，监管部门的监管都有着非常重要的指导意 义。 硕士学位论文第一章文献综述 1 2 经典风险模型及其推广 1 2 1 经典风险模型 破产理论最早是从研究经典风险模型的破产概率开始的，模型如下： 令( q ，f ，d 表示一完备的概率空间，以下的随机过程( 变量) 均定义在该空 间之上。 n u q ) u ( d = 甜+ 甜一z l ( 1 2 1 ) 其中u ( ，) 表示保险公司在t 时刻的盈余，球0 为保险公司的初始资本，c 为保费 收入率，是一个常数。 ( o ；f o ) 表示到时刻t 发生索赔的次数，即 ( f ) = s 叩扣：墨+ 岛+ + 最- o ) 的齐次泊松过程，并且( o ) = 0 ； ( 2 ) 索赔额序列钇；f l 是恒正的、独立同分布的随机变量序列，其分布函数 为 刖= 即嚣= 期望为= 研z j ：f ( 1 一f ( z ) ) d z 0 由齐次泊松过程的独立增量性和模型的独立性假定，知 甜二喜z i ；，畸为齐次 独立增量过程。这样，由强大数定律【4 1 便知 l i m 【，( f ) = + ， a 矗 不过，这并不排除在某一瞬时，盈余过程有可能取负值，这时称保险公司“破产”。 2 硕士学位论文第一章文献综述 令丁为保险公司首次破产的时刻，简称破产时刻，即令 t = i n f t ：u ( t ) 0 ，则t f f i o o ) 定义保险公司的最终破产概率( 简称破产概率) ： y ) = p r ( r i u ( 0 ) = 雄) ，v u 0 ( 1 2 2 ) 显然，破产概率可作为评价保险公司偿付能力的一个数量指标。 关于破产概率，主要有以下结果： ( i ) 妒( o ) = 由； 旦 ( i i ) 少 ) = 由e “1 棚( z ，服从指数分布) 令坶) = f e r z d f ( z ) - i ，则有： ( i i i ) c r a m e r - l u n d b e r g 逼近： 熙e b f ( u ) = 忐 ( i v ) l u n d b e r g 不等式l 驴, ( u ) a e - b 其中，置为| l 矗) = 予的正解，称为调节系数。 为了更加精确地描述“破产”的严重程度，g e r b e r 等翻引入了函数 g ( 虬j ，) = 刚矾州弘r o o i u ( o ) = 旬 ( 1 2 3 ) 其中i u ( 刊表示破产时的赤字，g ( u ，力描述了破产赤字的分布。g 劬盯等芦1 给出 了o ( u ，力满足的积分方程，特别地，当，( 功为混和指数分布和混和g a 删m 分布 时，给出了g 0 ，力的解。 在此基础上，d u 缸s 和o e a , e # 又引入了函数 ，( 虬= p i ( u ( z 卜) 与r o ，扰动项曰( f ) 则是一b r o w n 运动。并且假定 即) ，f o 和 s ，f o 是相 互独立的。 此时破产概率 ) 可分解为： y ( ) = ) + ) ( 1 2 8 ) 其中 ) 表示因为随机扰动而引起的破产， ) 表示因索赔引起的破产。 这个模型最早是由g c r b c r - ：1 9 7 0 年提出的，之后陆续有学者在这方面作出了一些 工作。d u f r c s n e t r g c m e 产7 1 提出了破产概率的分解式( 1 2 8 ) ；g e r t 财和i 棚d d 脚 5 硕士学位论文第一章文献综述 在此基础上考虑了贴现罚函数，得到了贴现罚函数满足的更新方程；cc h i - l i a n g t s a i 例讨论了u ( t 一) 、u ( 乃和r 的联合分布以及各边缘分布。更多的讨论，可以 参见0 0 1 1 3 1 3 2 1 1 3 3 3 4 j 。 ( 5 ) 离散风险模型： 考虑在实际中，保险公司对一些重要的业务通常是按某个时间段来收取保费 和支付索赔量的。例如，在人寿保险中，保险以年为单位向投保人收取一定的保 费和支付索赔量。对保险公司来讲，一年内仅有可能出现两种情况：或有一次索 赔发生，或者没有索赔发生。类似这种情况可以用以下复合二项风险模型来描述： 芝蛐 u o - - - - u i c 行一髟，n = o ，1 ，2 ， n - i 其中“是保险公司的初始准备金，z ( 扣l ，2 ，) 是第i 次的索赔量，且 】= ，i = 1 , 2 ， 是一列独立同分布的随机变量序列； 0 ) ；打= 0 ，l ，2 ，) 是一列具有 参数p ( 0 ，1 ) 的二项随机序列。 对于此模型，有许多学者进行了研究。例如，s h i u l 3 5 】和w i l m o t t 3 6 研究了最 终破产概率以及有限时间内的生存概率；在我国，c h e n g 和w u 3 7 1 研究了生存到 固定时刻n ( n o ) ，在时刻疗恰好发生第k 次赔付，并且在此时刻疗的盈余为某数 x ( x o ) 的概率；龚日朝和杨向群网研究了破产时刻前的瞬时盈余，破产时刻的 赤字以及到破产时为止赔付次数的概率分布；龚日朝和刘永清网将保单到达过 程进行了推广，讨论了广义复合二项风险模型下的生存概率；孙立娟和顾岚【帅】 将利率引入离散风险模型，得到了破产前盈余分布、破产持续时间的递推公式。 ( 6 ) 多险种风险模型： 经典风险模型的一个局限性就是只考虑一类同质风险，也就是说模型只考虑 经营一种险种时的情形。但随着保险公司经营规模的日益扩大，险种的多元化及 新险种的不断开发，这些单个险种的风险模型对于研究整个公司的破产概率就无 能为力了。因此，采用多险种风险模型来描述实际情况，对于保险公司的经营及 监管部门的监管更具有实际意义。 另外，对于经营”险种的保险公司，整个公司的偿付能力与一个险种都有关 系，这n 个险种在经营过程中是相互“分散”风险的，整个公司的安全性自然也 就介于两个边际之间。通常，保险公司在实际的经营中并不是每个险种都是盈利 的，对于亏损或利润低的险种保险公司为了长远的计划或稳住长期的客户，不能 立即把它排除市场，而是靠着其他盈利的险种求得暂时的生存，通过改变策略或 6 硕士学位论文第一章文献综述 险种的更新再寻找盈利的机会。 于文广【4 1 j 推广了经典的复合泊松风险模型，建立了两类复合广义齐次p o i s s o n 过程的多险种破产模型对于新模型，我们得到了初始资本为u 的破产概率顺p ) 的 精确表达式以及特殊情况下i ，( o ) 的表达式，并且导出了调节系数方程和调节系数 r 的上下界。杜雪樵【4 2 】则考虑了保费收入及理赔均为齐次p o i s s o n 过程的带干扰 多险种模型，采用鞅论的方法得到其破产概率满足的l u n d b e r g 不等式和一般表 达式。 ( 7 ) 对索赔到达过程的推广： 随着点过程理论的系统和成熟，我们可以采用更一般的点过程描述索赔到 达。在实际经营中由于经济形势的变化，任意时刻的投保人数、退保人数都是随 机的，同时由于生活环境的变化、气候的影响及其它的随机因素，因此索赔次数 的强度是随机变化的。例如机动车辆保险中，车辆事故受突发的恶劣天气因素的 影响，因而用强度恒定不变的齐次p 0 i s n 过程描述索赔次数存在很大的局限性。 g - r a n d e l l 4 3 1 中详细讨论了非齐次p o i s s 风险模型，c o x n , 险模型，更新风险模型， 平稳风险模型，这些都是在索赔到达上进行的推广。 近年来，很多学者在索赔达到过程上进行了研究。l i j u a ns u n 和h a i l i a n g y a n 9 0 4 讨论了在索赔到达过程为e r l a n g ( 2 ) 过程的更新风险模型的条件下，破 产前瞬时盈余和破产赤字的联合分布；在 4 4 1 的基础上，c c h i l i a n gt s a i 和l i - j u a n s u n o s l 讨论了贴现因子的因素，得到了破产前瞬时盈余和破产赤字的联合分布及 其边缘分布，并且比较了e r l a n g ( 2 ) 过程和e r l a n g ( 1 ) 过程( 即p o i s s o n 过程) 条件下的这些分布函数；s h u a n m i n gl i 和j g a r r i d 0 1 4 6 1 讨论了索赔到达过程为 e r l a n g ( n ) 过程的更新风险模型，得到了贴现罚函数满足的更新方程，以及破 产时刻、破产前瞬时盈余和破产赤字的联合分布；刘再明教授 4 7 1 等应用m a r k o v 骨架过程方法，深入地研究了索赔为一般到达的保险风险模型，得到了破产时间 分布以及破产时间与破产时刻前后资产盈余的联合分布，由此可以计算一些人们 关心的重要风险指标 1 3 再保险概况 对于大索赔的保险公司来说，出于风险控制，提高资金承付能力，维持财务 稳定的需要，保险公司通常会购买再保险，以使安全性得到提高。单险种模型的 再保险已有很多研究，何树红，夏梓祥【4 8 】研究时间盈余风险模型中再保险对调节 系数或破产概率的影响，分别讨论了理赔分布为均匀分布和指数分布时，调节系数 或破产概率与自留水平的关系，并得到相应的表达式。程兰芳【4 9 】运用证券组合投 7 硕士学位论文 第一章文献综述 资的基本原理和概率论知识，对保险公司承保的不同险种选取最优的自留比例 再保险决策问题建立了两类数学模型，特别是构建了确定性等价收益和单位风 险下的超额收益最大化模型，并通过实例说明对风险规避型的决策者采用比例 再保险是有利的。李岩 5 0 】定义了二维复合p o i s s o n 模型，并基于此模型应用逐段 决定马尔科夫过程( p d m p ) 的鞅方法得到两参数指数鞅，由测度变换给出了破产 概率的明确表达式，并通过对调节系数的讨论得出了相依的二维复合p o i s s o n 风 险模型再保险的最佳分配比例。更多可以参考文献 5 1 】【5 2 】 1 4 本文所做的工作和主要结果 在第二章中，简略地介绍了文章中涉及的一些基本概念和方法； 在第三章中，建立了一个保单取得和索赔到达均为广义齐次p o i s s o n 过程且 含有随机干扰项的多险种风险模型，得到调节系数的上下赛； 在第四章中，建立了一个保单取得和索赔到达均为齐次p o i s s o n 过程且含有 随机干扰项的多险种风险模型，求得破产时间，破产前瞬时盈余，以及破产赤字 三者的联合分布，推广d i c k s o n 式以及负盈余首次达到零水平的时间的分布； 在第五章中，建立了一个保费为连续收取，索赔到达为齐次p o i s s o n 过程且 含有随机干扰项的多险种风险模型，分别讨论了其在比例再保险和超额再保险两 种情形下r 的上下界，得到索赔额服从指数分布时五与口，以及五与m 的关系 式，并给出参数值进行数值模拟，分别得到刚疆“的变化趋势，以及r 随m 的 变化趋势，与经典风险模型再保险情形结论一致。 8 硕士学位论文第二章预备知识 法。 第二章预备知识 在这一章中，我们将重点介绍一些破产论和本文中用到的一些基本知识和方 2 1 齐次p o i s s o n 过程 齐次p o i s s o n 过程是最简单的一类点过程，它在点过程的理论和应用中都占 有重要作用。 定义2 1 1 随机过程 o ) ；f o 称为一个计数过程，若( f ) 表示到时刻t 为止已 发生的“事件”总数。显然( f ) 满足： ( 1 ) ( f ) 0 ； ( 2 ) n ( t ) 取非负整数值； ( 3 ) n ( t ) 的样本函数为右连续单调不减的阶梯函数。 定义2 1 2 计数过程 ( f ) ；，o ) 称为齐次p o i s s o n 过程，如果它满足以下几个条 件； ( 1 ) ，( ( o ) = o ) = 1 ； ( 2 ) 对于任何r j o ，增量m ，= ( f ) 一( s ) 有参数为五o 一曲的p o i s s o n 分 布，即对七= o ，l ，2 ，有 p ( 虬f _ 七) = i 丛杀监p 。哪 这里五2 0 为常数，称作过程的强度； ( 3 ) 具有独立增量。 在以上定义中，条件( 1 ) 是对过程初始状态的规定，并不是实质性的限制。条 件( 2 ) 蕴含过程具有平稳增量，即j ，只依赖于参数f s 而与j ，的具体值无关， 此外由尸( = 七) = l 推知p o i s s o n 过程是局部有限的。亦可用 9 硕士学位论文 第二章预备知识 p ( k m 2 ) = 口( ，( j i o ) 代替，称为普通性。条件( 3 ) 表示过程是无后效 的，即对任意正整数栉和任意实数o s ，1 t 2 0 = 1 满足上式的点过程称为几乎处处有序的。 若瓦表示第”点的发生时间，记最= 瓦一，并且令t o = o ，则序列 最，n = l ，2 ， 表示点过程的点间间距序列。对此，有以下重要定理： 定理2 1 1 计数过程 ( f ) ；f 0 是具有强度为五的齐次p o i s s o n 过程的充要条件 是它的点间间距 最) 是相互独立的均值为 的指数分布随机变量序列。 2 2 广义齐次p o i s s o n 过程 齐次p o i s s o n 过程具有普通性，即对任意的f o ，p o ) 2 = d ( _ 1 1 ) ，也就是 说在充分小的时间内不可能有两个或两个以上的事件发生。广义齐次p o i s s o n 过 程就是将齐次p o i s s o n 过程定义中的普通性去掉后得到的过程。 定义2 2 1 有限值计数过程 ( ，) ；r o 称为广义齐次p o i s s o n 过程，如果它满足 以下几个条件： ( 1 ) 尸( ( o ) ；o ) = 1 ； ( 2 ) 过程具有独立增量性，即对一切f o ，l 如 1 ) 的广义齐次p o i s s o n 过程，则 ( f ) ；f o 为一复合p o i s s 过程，且( f ) = 五，其中 讯 ( 1 ) 咒f l 为 1 2 3 一 上独立同分布的离散随机变量序列，且 p 五t 七 = n ，i l ； ( 2 ) 批) 为强度为五的齐次p o i s s o n 过程，且 r ，( f ) ，f o 与 五，n l 相 互独立： ( 3 ) 若研墨】= 多，则研删= 触。 由定理可以看出，若p 五= 1 = l ，则广义齐次p o i 渤n 过程即为一般的齐 次p o i s s o n 过程。 2 3 随机和 设五，五，墨是独立同分布的随机变量，并且有相同的分布函数以x ) 和矩 母函数肘( ，) = 研 ；扣“d f ( x ) 。它们和的分布是，“，其中，咕在本文中表示f 的一重卷积。 设| 为取非负整数值的随机变量，记 聊( r ) = 二p “以 ( 2 3 1 ) 其中磊= p r = 哪，n = 0 , 1 ，2 ，小( ，) 是 r 的矩母函数。再假定 五，i = 1 ，2 , - - 与 也是相互独立的，并记 硕士学位论文第二章预备知识 s = 五+ 五+ + z ( 2 3 2 ) 约定当n = 0 时，s = 0 。以下称s 为随机和，并称为求和次数，而( 置，f = 1 ，2 ，一 称为s 的加项。 s 的分布函数为： 层( j ) = p r s s s = e p r s j l ) 】 = ：o p r s _ 0 , t 0 其中 ( f ) ；f o ) 是广义齐次p o i s s o n 过程， 辑，n f f i l , 2 , ) 是相互独立同分布的随机变量序列，而且还假设过程 o ) ；，o 和序列 是相互独立的。 定理2 矗l 对上述广义复合p o i s s o n 过程x ( f ) = z ，：的分布函数为f v ( ，且 n 可( f ) 1 = 肋，则有x ( f ) = 艺互，其中 ( ，) ( 1 ) m ) 为强度为名钧齐次p o i s s o n 过程： ( 2 ) 五，i l 为独立同分布的随机变量序列，五的分布函数为 w ( o - - - f ”( z ) a ，其中，“为f 自身的n 次卷积，且研五】= 研墨】 2 6 条件期望 1 3 硕士学位论文 第二章预备知识 概率空间记为( 皿f ，p ) ，g 是，的某一子口代数，g c f 。善伽) 是满足e i 孝i r o ) ， ( f ) ，f 2o 均为广义齐次p o i s s 过程； 3 ) 玎7 表示第，类风险的理赔随机变量； 4 ) 扫p ) ，o 是一种标准b 谢峨运动，表示保险公司不确定的收益和付款； 将广义齐次p o i m 过程转化成齐次p o i s s o n 过程。 s l u j ( t ) = 删z 。“舻，譬驴；警掣砰，4 驴= 掣 其中 1 ) 唧( 嘎，o ， 7 d ( f ) ，f o ；，j = l ，2 ，刀分别为参数为乃，乃；j = l , 2 ，刀 的相互独立的齐次p o i s s o n 过程： 硕士学位论文第三章带干扰齐次p o i s s o n 过程的多险种破产概率 2 ) 哥力，f l ；j = l ，2 ，一，为相互独立的非负随机变量序列，具有分布函数 f j ( x ) ：j = k 2 , ，疗，设研墨n 】= 叼，w z y 】；一；j = 1 ，2 ，一； 3 ) 厨d ，f l 。j = l ，2 ，一，为相互独立的非负随机变量序列具有分布函数 墨( ；_ ，= l ，2 ，月，设研掣】= 岛，v 钟l x d 】= 研；j - - l , 2 , ，糟 则带干扰的n 类风险在( o ，】内的利润过程 s ( f ) ，f o 可改写为 鼬：窆c ，譬x 嚏譬+ 删 ( 3 1 2 ) 设备随机过程均相互独立，保险公司豹初始资本为u ，利润过程为 s ( ，) f 之o ，则保险公司在时刻t 的资产盈余u ( ，) = 材+ s ( f ) 定义保险公司的破产时刻互。i n f f ：( ，o ) o ，表示总保费收入的平均值要大于总赔付额的平均值， 记勺只乃= ( 1 + 力哆乃，妒 o ) 。 3 2 预备 利润过程( 3 1 2 ) 对应的模型类似于文献【4 2 】，因此我们可以得到破产概率 仍然满足l u n d b 螂不等式甲q ) s p 一，且保险公司的破产概率的精确表达式为 l l ， ) = 面= 蔚希萄，其中置是个常数但很多情况下我们无法求出破产概率 的精确解，只能对其进行估计，因此对置的估计显得极为重要。 引理3 2 1 对于利润过程 跚) ，o ，存在函数g ( r ) ，使得研p “】= e 智且方 程g p ) = o 存在唯一的正解r ，称r 为调节系数。 证明由公式( 3 1 - 2 ) 式可得 一矗蹩”舻+ ，杰蹩”咧，) 印删】：球一曾善帕丢善哥“咧“】 1 6 硕士学位论文第三章带干扰齐次p o i s s o n 过程的多险种破产概率 ：e - r 挚笔”舻】球嘻苫】e e 一嗍，1= “ 】j 可p ”“】一7 ”w 1 ：n 啦一崎警“缈1 琢，笔。秒】 球一州，) l：n 啦! 茗缈1 琢7 茗】 球一州，) l 产ij = 垂眇撕m 汁r j o 故曲线为下凸函数。因此方程g ( ，) = o 至多有两个解。，= o 的 解是平凡的。另外在，= 0 处， 童弘i 脚= 乃占l 研d l + 乃研z f 】= 乃叼一曼向岛 o 且g o ，而当r 呻+ 对，g ( ，) 一+ 。因此方程g ( ，) = o 必 有另一个非平凡解r ，即方程g ( r ) = 0 存在唯一正根晨 3 3 调节系数r 的上下界 定理3 3 3 调节系数r 满足下面不等式 卯主纳2 f 杰帕 ， 一 卜码岛( 3 3 3 ) 将盂代入公式( 3 2 1 ) 式等于零，再由公式( 3 3 2 ) 和( 3 3 3 ) 式可得 y 乃+ 乃= 乃工( j 畸) + 乃肘一。( 置) + 盯2 r 2 1 8 硕士学位论文第三章带干扰齐次p o i s s o n 过程的多险种破产概率 即 得 月 乃( 1 一r c ，p j ) + r , o + r 口j + 譬孵+ 矿) ) + 盯2 r 2 电九f i ! j - i j - i扣i 目月 - y 碱) 且 乃譬( 印+ 巧) + c r 2 r 2 i dj - i 加珊 ( 乃蟛+ 巧) + c r 2 皿 j - ! 州 2 口俨 最 1 丝一 艺巧田q 2 埘 下面证明第二个不等式，由t a l o r 展开式及中值定理可得 口喇”= l + j 艺蛩n + 丢( 皿z ； n ) 2 1 + 足z p + 孚( r z ：刀) 2 ( o s 定z y s 脚，o 参聊 烈心) i 一声+ 掣 ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) 将置代入公式( 3 2 1 ) 式等于零以及公式( 3 3 4 ) 和( 3 3 5 ) 式可 乃+ 巧= 乃“霓勺) + 乃心。( 田+ 号仃2 r 2 吐i 越i di 吐 。 窆乃( 1 一码岛+ 竺萼：马+ 窆乃研e 删”】+ 口2 宸2 - li l s 窆乃( 1 一码岛+ 里掣逾+ 窆乃邵+ 趔n + 孚( 删。) 2 】+ 号仃2 r 2 j 越j - 蓬铂岛一窆聃) 震 o 其中 肘o ) ，f o 和 f o 分别为参数为兄，乃；j = l , 2 ，一的相互 独立的齐次p o i s s o n 过程； 根据复合p o i s s o n 过程的性质可将上式改写为 ，n u ( t ) = u + c m ( o - e x j + b ( t ) r o ( 4 1 1 ) 其中 o ) r o 为参数，= 乃的齐次p o i s s o n 过程； ，| 置的分布函数为p ( 力= 红( d ，且五，f l 是相互独立的随机变量，弓( 力为 砰的分布函数，密度函数为易( d ，期望为吩，p j ( 0 ) = 0 占( f ) ，f o 是期望为0 ，方差为f 的b r o w n 运动； 肘 ，r o ， j r ( ，) ，f o ， 烈r ) ，t z 0 ， 置，i l 均相互独立； 2 0 硕士学位论文第四章多险种模型破产时间，破产前瞬时盈余，及破产赤字的联合分布 假定以一y a o - 使得e ( 1 。i m u ( o = 叫= 1 n ( o 令s ( ，) ；出( f ) 一五+ 矗( ，) f o 定义s ( f ) 的密度函数g ，( 力，类似于【5 4 】中公式( 1 3 ) ，可得 g , ( x ) d v = p ( s ( r ) e k x + 凼1 ) “) = 户( c 膨( r ) 一k 十8 ( f ) e 【毛善+ 西 r n = e e ( c m ( t ) - x t + b ( t ) e x , x + d x ) lb ( t ) = e 删一等z + 即) k x + 蝴i 雪( f ) = y 垢陟 ( 4 1 2 ) = c 赤协8 咖薹琢材( ，) 一警局+ y e k x + 凼】i ( ，) ；，暇= 砂 = c 赤4 幢薹驷一篓置坍阶例( f ) = 盯( ，) = 坝( f ) = 帕删m m ) 。e 了与e 卜墙8 砂薹薹o ，+ 硎一城且簪e 一，f 生簪z 嘶 = e 赤0 2 9 咖协巾薹薹箨矿( ) ，+ 硎一x 胁 t 帅薹喜弘c 赤e “m 一一4 矿( ：) 搠r + 击薹簪e 吨郴一胁魄 即 g f l 为p ( 力的蚪重卷积，( 力为一d i r a c 函数即 = ：鬣 r = i n f p o u ( ，) r ，u ( r ) = o ，若 t = ，则写= 定义m ( u ，0 为初始盈余为“时，磊的分布，即m ( u ，) = 嘎f ) 。 4 2 预备 记吒友( 暑s ) = k ( x , s + d s ) 一x ( 毛s ) 弓i j 匣4 2 1 8 0 ，x o ，f e - a d , k ( x , j ) = = e - 8 , g i ( x ) 凼 ( 4 2 1 ) 等= 证明：公式( 4 - i - 3 ) 相比于【5 4 】中的公式( i 3 ) 只有系数和项数的变化，并未改变 它的连续性和一致可积性，故e h 5 4 q ，的公式( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的证明知它仍成立。 令 p 一厨+ o 棚为一个鞅，即皿e 4 + 彤oi u