（应用数学专业论文）两种数据下半参数回归模型的估计理论.pdf

摘要 半参数回归模型是8 0 年代才发展起来的一种重要的统计模型由于这种模型 既有参数分量，又含有非参数分量，并可以描述许多实际问题，因而引起广泛重 视 但是在实际工作( 诸如生存分析，可靠性寿命试验，医药追踪) 中，产生了 大量的不完全数据，其中相当一部分是删失数据和污染数据，因此对于这些数据 下的半参数回归模型的研究变得极为重要本文正是研究了这两种数据下半参数 回归模型中未知参数和未知函数g ( t ) 的估计的大样本性质主要工作如下： 1 对于随机右删失下的半参数回归模型，在删失分布连续且已知的情况下， 得到了未知参数卢和未知函数g ( f ) 的m 一估计的收敛速度以及卢的渐近正态性 2 对于随机右删失下的半参数回归模型，在删失分布连续但未知的情况下， 得到了未知参数和未知函数g ( t ) 的m - 估计的收敛速度以及的渐近正态性 3 对于污染数据下的半参数回归模型，利用随机加权估计法和最小二乘估计 方法得n t 未知参数和未知函数g ( t ) 以及污染系数的估计，并证明了它们的相 合性 关键词：半参数回归模型，m 估计，随机删失，收敛速度，渐近正态性， 污染数据，污染系数，相合性 a b s t r a c t t h es e m i p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e li s 趾i m p o r t a n ts t a t i s t i c a lm o d e lw h i c h d e v e l o p sf r o ml a t e8 0 s s i n c ei tc o n t a i n sn o to n l yap a r a m e t r i cc o m p o n e n tb u ta l s oa n o n - p a r a m e t r i cc o m p o n e n t ，a n dc a nb eu s e dt od e s c r i b em a n ya c t u a lp r o b l e m s ，t h e m o d e li sw i d e l yp a i da t t e n t i o nt o i np r a c t i c e ( s u r v i v a l a n a l y s i s ，r e l i a b i l i t yo fl i f ee x p e r i m e n t , m e d i c i n ep u r s u i n g e x p e r i m e n t ) ，t h e r e a l ed i f f e r e n tk i n d so fi n c o m p l e t ed a t a , c e n s o r e dd a ma n d c o n t a m i n a t e dd a t aa r ea m o n gt h e m s oi tb e c o m e sv e r yn e c e s s a r yt oi n v e s t i g a t et h e m o d e lu n d e rs u c hd a t a i nt h i sp a p e r , s o m el a r g es a m p l ep r o p o s i t i o n so ft h em o d e l u n d e rt h e s et w ok i n d so f d a t aa r eo b t a i n e d t h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o u o w s ： 1 f o rt h em o d e lu n d e rr a n d o mc e n s o r s h i p ，w h e nt h ed i s t r i b u t i o no ft h ec e n s o r e d d a t ai sc o n s i s t e n ta n dk n o w n ，t h em - e s t i m a t o r sa r es t u d i e d u n d e rs o m em i l d c o n d i t i o n s ，t h er a t e so fc o n v e r g e n c ea n dt h ea s y m p t o t i cn o r m a l i t yo ft h eb n k n o w n p a r a m e t e ra r eo b t a i n e d 2 f o rt h em o d e lu n d e rr a n d o mc e n s o r s h i p ，w h e nt h ed i s t r i b u t i o no ft h ec e n s o r e d d a t ai sc o n s i s t e n tb u tu n k n o w n ，t h em - e s t i m a t o r sa r es t u d i e d u n d e rs o m em i l d c o n d i t i o n s ，t h er a t e so f c o n v e r g e n c ea n da s y m p t o t i cn o r m a l i t yo f t h em - e s t i m a t o r sa r e o b t a i n e d 3 f o rt h em o d e lu n d e rc o n t a m i n a t e dd a t a ，t h em e t h o d so fl e a s t - s q u a r e se s t i m a t i o n a n dr a n d o mw e i g h t i n ga r ep r o p o s e dt oo b t a i nt h ee s t i m a t o r so f ，ga n dt h e c o n t a m i n a t e dp a r a m e t e r u n d e rs o m em i l dc o n d i t i o n s ，t h e i rc o n s i s t e n c yi sp r o v e d k e y w o r d s ：s e m i - p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e l ，m e s t i m a t o r , r a n d o mc e n s o r s h i p ， r a t eo fc o n v e r g e n c e ，a s y m p t o t i cn o r m a l i t y , c o n t a m i n a t e dd a t a ，c o n t a m i n a t e d p a r a m e t e r , c o n s i s t e n c y i i - 西北工业大学硕士学位论文 第一章 第一章绪论 1 1半参数模型的历史回顾及发展概况 半参数回归模型是八十年代发展起来的一种重要的统计模型由于这种 模型既含参数分量，又含非参数分量，可以概括和描述众多实际问题，因而引起 广泛的重视本节将介绍这类模型的发展概况 1 1 1 完全数据下的半参数回归模型及发展概况 半参数回归模型是e n g a l ，e ta 1 ( 1 9 8 6 ) 在研究气候条件对电力需求影响这一实 际问题时提出来的，其形式如下 l = 墨7 f l + g ( t t ) + e 其中，置= ( 置。，) ，芦= ( a ，以) ( p 1 ) ，( x l ，z ) i i d 的随机设计点列或 固定非随机设计点列，0 茎1 ，岛是f 耐的随机误差，且如= o ，e e , 2 = 口2 o o ；g 是定义在尺1 上的未知函数，卢r p , p l ，是未知待估参数( 置，正) 是f 埘随机设 计点列时，需假定( 墨，霉) 与岛是相互独立的 半参数回归模型无论在实际应用中，还是理论研究上，都受到了许多统计学者 的关注这主要是因为：第一，半参数模型既包含了参数信息，又包含了非参数信息， 处理了参数与非参数之间的模型它一方面解决了单纯线性回归模型与非线性回 归模型难以解决的问题，增强了模型的适应性；另一方面，克服了非参数方法信息 损失过多的问题第二，它是套解决实际问题的工具，使得原先在参数情形下使 用的工具无力解决的问题，找到了新方法而且丰富了概率工具第三，它已经有力 地解决了一批实际问题，而且还有不断扩展的趋势 对于这个模型，我们感兴趣的问题是对未知参数和未知函数g ( t ) 的估计及 其大样本性质 四北工业大学坝学位论文 第一章 模型( 1 1 1 ) 自提出后，已经有一批成果，s e h i c k ( 1 9 8 6 ) 应用b i c k e l ( 1 9 8 2 ) 一些结论研究了此模型的一类特殊情况( p = l ，置；1 ) 中卢的渐近有效估计的构 j 告；h e c k m a n ( 1 9 8 6 ) 研究了( ，)i i d 随机子样，且 z ) 与 五 相互独立，并且 g ( ) 的估计取一类样条估计时，卢的加权最小二乘估计磊的渐近正态 性：融c e ( 1 9 8 6 ) 研究了( 置，z ) 是固定设计，且g ( ) 的估计取一类样条估计时，的 估计的协方差函数的渐近性质：c h e n ( 1 9 8 8 ) ( 1 ) 究了当 ) = 点( 五，i t = f ) 关于f 满 足口( 0 口1 ) 阶l i p s c h i t z 条件，且g 的估计取一逐点多项式估计时，f 耐的加 权最小二乘估计成的渐近正态性及g ( ) 的估计的弱收敛速度：其后，一些学者 还研究了当g 的估计取一些样条估计时，卢的若干估计的性质，具体可参见 h e c k m a n ( 1 9 8 8 ) ，c h e n & s h i a u ( 1 9 9 1 ) ，e u b a n k ，e ta 1 ( 1 9 8 9 ，1 9 9 0 a ，1 9 9 0 b ，1 9 9 0 c ) ，关于 未知函数g ( 的估计取核估计的情形，s p e e k m a n ( 1 9 8 8 ) ，r o b i n s o n ( 1 9 8 8 ) 独立地研 究了当l o ) = e ( 墨，i r = f ) 关于t 满足口阶l i p s c h i t z 条件，且g 的估计取 p a r z e n r o s e n b l a t t 核估计时，的加权最小二乘估计危的渐近正态性，但上述两 位作者的工作中含有一些不易验证和过强的假设条件h o n g ( 1 9 9 0 ) 研究了模型中， 当g 的估计取最近邻估计时，的加权最小二乘估计庭的渐近正态性及其a 和 宫。的强弱收敛速度，该文去捧了s p e c k m a n ( 1 9 8 8 ) x i j 核函数所附加的一些不易 验证的条件：而后，g a o ，c ta l ( 1 9 9 1 ) x 进一步研究了当g 的估计取一类核估计序列 ( 包括常见的p a r z e n r o s e n b l a t t 核和常见的离散核) 时，芦的加权最小二乘估计 巍的渐近正态性及其庶和或的最优的强弱收敛速度与此同时，g a o ( 1 9 9 0 ) h o n g ( 1 9 9 0 ) 又研究了模型中，当g 的估计取_ 类近邻估计时，氲的渐近正态性及 其反和或的强弱收敛速度，得到了一些深刻的结果施沛德，陈希孺( 1 9 9 6 ) 研究 了相依情况下的半参数回归模型的m 一估计，得到了未知函数色的全局最优收敛 速度和氲的渐近正态性拖沛德，李国英得到了卢，g 的m 估计全局最优收敛速 度及成的渐近正态性赵选民，任争争( 2 0 0 0 ) 赵选民，魏新宇( 2 0 0 3 ) 研究了半参 西北工业大学颂士学位论文第一章 _ _ _ ivi ii i i - - - _ _ 麟 数回归模型的l - 估计的渐近正态性及渐近展开 关于上述模型的研究，我国学者的研究起步比较晚，但已获得了一些相当深 刻的结果主要集中在估计的渐近有效性、m 估计的渐近正态性、参数分量估 计的渐近分布的b e r r y - e s s e n 界限及其重对数律等方面 1 1 2删失数据下的半参数回归模型及发展概况 在实际问题( 诸如生存分析，可靠性寿命实验，医药追踪) 中产生了大量的不 完全数据，其中有相当一部分是删失数据，我们所讨论的是随机右删失数据下面 我们举例说明这种数据产生的实际背景在动物研究中通常是以固定数目的动物 接受一种或多种处理开始在实验的过程中，研究者选择一个随机的时间停止对 某动物的实验若在此时间之前，该动物已经死亡，则所记录的生存时间是从实 验开始到其死亡的时间，这种数据叫做准确的或非删失观测值另一种情况是该 动物在截止时间时仍活着，此时观测到的数据称为随机右删失数据尉于半参数 回归模型来说，此时i 由于随机右删失雨无法观察，仅能观察到 ( r + ，4 ) ，l 曼f h 其中z + = r a i n r , ，c f ，点= j z c ) ，i = l ，2 ，押 c j ，1 s f 弹) 是独立同分布且 独立于 e ，1 i s 野 的删失随机变量，具有分布函数g 此时的半参数回归模型称 为随机删失数据下的半参数回归模型 关于随机右删失下的半参数回归模型的大样本性质已有一些研究文献 2 4 】 录i 4 1 1 研究了当为一维待估参数和删失分布未知时，分别基于核光滑、擐近 邻法和综合数据法，导出了卢和g 的估计量，证明了卢估计的渐近正态性，并获得 i 了g 估计量的非参数收敛速o ( j ) 文献【4 3 】和【4 5 】利用核函数法，最近邻法和最 小二乘估计法构造出口和g 的估计量，证明了卢估计的渐近正态性，并获得了g 估计量的最优收敛速度文献【4 2 】中研究了卢r p , p 1 是时，基于模型的可加性， 先将模型转化成标准线性模型，在利用文献 2 4 1 q 6z h e n g 的k 类方法，构造了的 二阶段估计和g 的估计，并证明了他们的强相合性文献【2 3 】王启华利用经验似然 估计法得到了未知参数的大样本推断，并且证明了其极限分布是混合中心卡方分 1 西北工业大学帧士学位论文第一苹 布 1 1 3 污染数据下的半参数回归模型及发展概况 在实际问题中，除了删失数据( c e n s o r e dd a t a ) 之外，我们还经常会碰到另一 类所谓污染数据( c o n t a m i n a t e dd a t a ) 早在1 9 5 2 年，d a v i s 就注意到在寿命试验中 元件寿命分布函数可能为两个分布函数的混合考虑五，工：，五为一列非负独立 分布的随机变量，具有分布函数eo ) ， 兀( x ) = ( 1 一口) 耳( x ) + 口e ( x ) ， 其中瑾【o ，1 】，e o ) ，e ( x ) 都是定义在半直线r = 【o ，m ) 上的分布函数，试验所 观察到的元件寿命数据以概率卜搿来自分布曩( x ) ，以概率口来自分布e ( x ) ， 通常我们关心鼻( x ) ，认为数据本应该服从耳( x ) ，但却受到少量来自e ( x ) 的数 据的污染，我们称口为污染系数，它衡量了受污染的程度，也是我们所关心的， 这里我们考虑另一类污染数据，其形式为 z f = ( 1 一口) z + c t u ， 即我们在观察随机变量z 时，受到随机变量一的干扰( 一般我们定义i 是独立同 分布的，且序列“与序列z 独立) ，使观察数据受到污染我们希望由观察数据z 来对z 的分布及其特征做出统计推断 此时对于半参数回归模型( 1 1 1 ) ，我们仅能观察到， 其中 e j = ( 1 一y ) 0 + 州j ，= 1 ，2 ，。， ， i i d n ( o ，( 1 一y ) 2 砰+ l ，2 呸2 ) ， 且要求 争击， “ 1 2 本文研究的主要内容 本文研究了两种数据下半参数回归模型中未知参数卢和未知函数g ( f ) 的估 计方法及大样本下估计量的性质问题下面，我们简要介绍一下本论文的主要内 容及所做的主要工作 第一章绪论部分介绍了完全数据、随机右删失数据及污染数据下半参数回归 模型的基本形式并回顾了其发展概况最后介绍了本文的主要内容 第二章和第三章针对随机右删失数据下的半参数回归模型进行了研究其中 第二章在删失分布连续且已知的假设下，得n t 卢和g ( ，) 的分块多项式m - 估计 的收敛速度并证明了的渐近正态性第三章在删失分布连续但未知的情况下， 相应地获得了芦和g ( t ) 的分块多项式m 估计的收敛速度并证明了卢的渐近正态 性 第四章对污染数据下的半参数回归模型，利用最近邻估计法和最小二乘估计 方法得到了肛g ( f ) 及污染系数的大样本估计及其相合性 西北工业大学硕士学位论文第二奄 第二章删失分布已知情形下半参数回归模型的m 一估计 考虑半参数回归模型 = x , p + g ( 1 ) + e ，i = 1 2 ，n ( 2 1 ) 其中 ( z ，王，r ) ，1 i 竹) 是随机向量( x ，t ，y ) f l c j i i d 样本，x r ，t 【o ，1 】，p 是未 知参数，g ( - ) 是定义于【o ，1 】上的未知函数，k ，l 0 ，且 ( 置，z ) ，1 f s n 与弛，1 s f 玎 相互独立 在实际问题( 如生存分析，可靠性寿命试验，医药追踪试验) 中，f 常常由 于随机右删失而无法观察，仅能观察到 ( z + ，4 ) ，l 蔓f h ，其中e + = m i n i ，c f ， 4 = ， 巧e ，i = 1 2 ，h c f ，1 s f 玎 是独立同分布且独立于 z ，1 f 蔓n ) 的删 失随机变量，具有连续的分布函数g 本章对删失情况下的模型( 2 1 ) ，在删失分布已知且连续的情况下，得到了卢 和g ( - ) 的m - 估计及其性质2 1 给出了m - 估计的定义，2 , 2 列出了所需要的条 件，2 3 介绍了所得的主要结果及所需引理，2 4 给出了定理的详细证明 2 1m 估计的定义 对非负整数m 和虬，令瓯= 1 2 m , , ，p = ( 研+ 1 ) 眠定义 抖2 州 1 - 坞2 6 , 2 1 1 喊1 羔静， 铲( 2 v 一1 ) 瓯，仇( f ) = l ，( r ) ( 1 ，川，( r - f ，) 吖，1 v 坂 妒( f ) = ( 砚( f ) ，。，( r ) ) ，k ( - ) 表示l 。定义的示性函数 两北工业大学硕士学位论文 第二章 由定义知( f ) 口( 口且) 为【o ，l 】上的m 阶分段多项式 令瑶2 i 孙，由于e = e r ，故我们用瑶代替i 定义和g ( f ) 的 m 一估计为p 和或= ( r ) 舀，p 和毋满足 骞p ( i 一置芦一( 霉) 西) z = 。 砉( r + 一置p ( 霉) 舀) y ( z ) = 。 其中沙是凸可导函数的导函数 2 2 基本假设 给定非负整数m ，对y 【o ，1 j 和c o ( o ，o 。) ，记 吒，= g ：g 为m 阶可导，且i g ”( f ) 一g “( s ) j c o p s 1 7 ，f ，s 【o ，1 】) 根据上下文，记号h 既表示实数的绝对值，又表示向量的欧式模恻巴表示r 模 其定义为恻i ；= f 9 2 ( t ) f ( t ) d t 用c 表示下文中任意需要的常数 本节需要如下条件： a 1t 的分布密度函数绝对连续，且其密度函数f 满足： 一 6 蔓，( r ) b + 。， 6 和三为常数； a 2 g o 艺， a 3e x o = o ，e x 2 ，且z 与r 相互独立； a 4v 在r 1 上非降，并且 e 妒( r 一五一g ( 墨) ) i 置，z = 0 ， 。s 啡u p1 1 l e 妒2 ( r + 一置卢一g ( 酬置，z 0 ，i = 1 ，聍， 西北工业大学硕士学位论文第二章 j d ( 蹦) 面 i d ( 州) 也 i s i c l ，h c ： h 巳 ，吐，以，q ，c 3 均为常数，r ) = 了一，吐，以，q ，c ：，c 3 均为常数 10t = 0 a s 璎棼i 置i = o ，( 珂4 ) ，口= ( m + y ) 2 ( m + y ) + 1 2 3 主要结果及引理 为了叙述结果方便引入如下记号对于方阵4 ，4 ，d i a g ( ，4 ) 表示 以4 为第【f ，f ) 块的块对角矩阵，记 d o = d i a g ( 1 ，- ，引( 吣( 。+ 1 ) ，d = d l 4 g ( d o ，d o d 0 ) 。， 卅盹( f ) 钏) f 干t i t v ，仁t w 订) 1 j 心叫， 万( ，) = d 一1 妒( f ) = ( 啊( r ) ，( r ) ) ，互，= ( 石( 五) ，万( ) ) ， 用彳+ 表示矩阵a 的m o o r e 广义逆记 砩：n ，2 ，h l = 2 m z 乙， = 1 1 1 i n 1 ，五。) ，其中五。是去哦的最小特征值， 峨= 删g ( = 0 。 引理2 3 1 p o l 假设条件a l 满足，0 3 4 ，且 ( a ) m a x l x , i = o ，( n ”) ，= ( m + r - 1 4 ) 1 - 2 ( m + r ) + 1 ( b ) ( ) 三阶可导并且矿。( ) 有界： ( c ) ，s 熊u p ，e ( j 一y ) 2 i 置，7 ： c ， l e 【o 1 】。 一 嚣挪蚓2 啪 c ， e 删吲地吲， 其中 u = ( 墨，王，以，) 篙篇州卢风卜岬 le 砰y 2 ( 耳一五一g ( 墨) ) 1 2 2 4 定理证明 为了证明方便，再引入记号 - 9 - ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 _ 3 ) 西北工业大学硕士学位论文第二章 = y ( 圪一x , f l g ( 1 ) )，= y ( 瑶一x , p - g ( r , ) ) ， 抑”( y , ；- x , f l - g ( t ，) ，涵 。竺，茹 f 置 1 毛叫k ) 毋j l s i s n 定理2 3 1 的证明： 由施沛德文【3 0 】，只需证明 晦i _ q ( l 形2 ) 令e = a 。五 ，m e p 群 一o ，n _ m ，故只需证明 舰酚删上础21 e = ol _ ulj 又由定义，在最上 窆l ；c ，( 瑶一x , f l g ( 1 ) 一z 矽- 1 t o , ) 弓= o ( 2 4 t 1 ) 对v ，r 及日冀( ”+ 1 m “，定义 v ( o ，f ) = 窆y ( 瑶一x , f l g ( 1 ) 一= 蹿一砖，) z 矽 由条件a 4 易知对f 2 ，v o ，有u ( 9 ，4 ) 0 域) 0 存在啊 0 ，厶 0 使得当n 碍时 p 2 z ，l + m o m ，! ”? 叱小酬5 珠+ 嚣j 孥 16e矿(yl；-x,fl-g(t1)(m+1)m+1) 确 0 ，使得当”他时有 p 筒l 玎一1 喜卢置硝c 霉，口l 2 朋：2 1 。 。，啦v s + 尸 。蔓a ) + p 如。 ) 纠5 令卟或n k k l 2 ( ( m + 1 ) 州) 尚 ) n l s 粥u p n - 雹。卢置万c z ，a v 2 肘掣2 l ( 。如。，啦 v s n 岛m ? 2 ，1 ；a g ni z 。l+ 眠磁”州 0 q 。) + 3 纠s 刚5 ) 因此只需证明当行悔时，有p 滞u ( 玩厶衅2 ) 。，n 。 2 酬5 下面将分3 步证明此事实 令 k = 西吝tz 硐瑶一x , p g ( 巧l c t ) ，k = 匾嘻弘 第1 步当n 时 鞯善n 。( 瑶一x , p g ( z ) ，一圪一厶卅2 2 1 9 一r t ) ( 彳口) 2 ，( q 一) 挚巾川k 一啡( q 。) 户坼一ko 警“i 叶 8 s ， 其中u + = ( ( 置，墨) ，( 五，疋) ) 事实上，由q 。的定义知道 m 。a ；x 。 、l o m v 2 i z , i + 吲 ，( q 。) c z 由条件a 5 龋喜。( 呓一x , p g ( z ) ，一岛卅2 妒一如) ( 咿) 啦一) 诸骞。( 瑶一置声一g ( 1 ) ，一上0 卅2 妒一民。) ( 帮) 2 硼瑶一互一g ( z ) 悟q ，( q 。) d 1 硝善n ( z ；口) 2 瑚瑶一置卢一g ( 1 ) 怿q ) ，( q 一) 孚1 ( n 。) 一肾r o l l 巾。) ，( f ) 证毕 对( f f ) 由t e h e b y c h e v 不等式及( q 。) 的定义，可以得到 1 2 - 西北工业大学硕士学位论文第二章 日iii 自自日日l i r p 忙k | | 警砷) 嚣啦w 巾胪 s 嚣啦w 凇渺 = 1 6 ( 1 q - q ) 岁。- l 引4 凇。) 坐巡掣能i 相 吖5口 i sr s n 。 第2 步 馏l 喜。( 瑶一置卢一g ( z ) ，一岛卅2 帮一r 。) 鲋拶咒，i ，( 哦) d , q r l o 事实上，由定义，当圩n o 时 磷 厶衅2 i z , i + i r , i i ( a 。) q 由( 2 4 3 ) 及a s 有 黹l 喜。( 瑶一置一g ( 7 ：) ，一厶咧2 z ：一) z 纠忻啦r ，i ( q 。) 吐馏藩帮嵋啦 n 芎d 刊善n ( 删2 + 球+ 嚣 巾小t d l q l o 第3 步由第1 步，第2 步可得 p i s u 。p 。u ( 砰) 巩q 。叭 p 帮喜妒( 瑶一置p g ( 1 ) ) 妒蜂”2 一岛警+ 圳圪一圳巩q 。i 扩) 1 3 - ! 一噼瑶两 扣弗 西北工业大学硕士学位论文第二章 s p 滞善缈( 瑶一五一g ( z ) ) 橄”2 ! 学，哦矿) 叫o k r o l l 警恕叭 s i 黹善( 瑶一置盹( 7 ：) ) z 似炝警，n 。+ 妄 由a 4 ，t c h e b y e h e v 不等式及( 2 3 3 ) 得 p i s u 叱p 妻。，沙( 瑶一x , p _ g ( z ) ) z 嘶”2 警“i u ) 斋p 謦( 瑶聊_ g ( z ) ) 橄啦警a i 吖 ：巡竺! ! 竺：! 型坚堕二型二堕必 鱼， ( d l q ) 2 瑶坂 5 结合此不等式，( 2 4 1 ) 及( 2 4 5 ) ，定理得证 其中 定理2 3 2 的证明：由条件a 2 及t a y l o r 定理可得 fg ( f ) 2 妒7 ( r ) a r r i ”m u 2 a 一2 _ ” 耻警“r ) 学( 州。) 一州，( h 辨仉( o ，1 ) ，v m ，鸠， 叫= ( g ( ) ，g “( ) l ! ，g ”( ) 加! ) ，1 f 蔓心 由引理2 3 1 可知当 7 足够大时以概率l 有 岱= ( 叫，。) 毒y ( 弘x , p g ( 1 ) 1 簟一r ，) = o ， 其中 见，= b 。 将妒在瑶一x , f l = g ( t s ) 处进行t a y l o r 展开得到 o ：窆h 矗墨，一日矗n 置e ( y ；) z i ，反。 1 4 西北工业大学硕士学位论文 第二章 一宅王碡五e ( ) ( z 乞龟。+ 氐) r l + i i , n 玩置w ( 彳反十r 。) 2+ i 玩置w ( 彳反十r 。) 山1 4 l n 玩x ，( 一点) ( 可龟+ 毛) l = i 一吉善n 巩墨妒”( 1 一x , p g ( 1 ) + 研( z 属+ r 。) ) ( z 绒+ r 。) 3 皇写一瓦一五一瓦+ 互1z ，一i 1 t 。 其中l r i l 1 容易得到当n 够大时p 乏= 反。e 纠) = 1 为证明定理我们先分5 步证明 墨山( o ，( 磷) 占 砰y 2 ( x 一五卢一g ( 正) ) ) z 旦0i = 3 ，6 第1 步 。 ，置 五= t = l 玩置奶2 玎i 巩立 由大数定律得到 ii 疗j 玩与e 硐1 ， 由于 置妒( r 一置声一g ) ) ，1 f ” 独立同分布， 并且由条件a 4 可得 竭= e e 置l 置，z = o ， 从而由中心极限定理 正山( o ，( 科) 一e 研缈2 ( i + 一x , 1 3 一g ( 五) ) ) 第2 步 五= h 二主置e ( y ) ( z 2 。龟。十r ) l - l = 玩窆置e ( 妒加流+ 磁窆五e ( ) r 。 j = l j 。i = e ( k x p g ( 墨) ) 五+ e 少( i 一墨芦一g ( 互) ) 五z 吲：1 磁窆蹦。龟j if = l 圳巩杰置毛1 if = l【 1 5 西北工业大学硕士学位论文第二章 刚陲磁万( 驯z 螺) - 1 置玩z 引珥；陲磁硝( z ) 置玩l 鸩 醣州粥杠 由引理2 3 1 ，2 3 2 及定理2 3 i 得五l 与0 e ( 喜雕一i 1 置r ， 2 蔓蛾碟”l 竹n e x 2 = 蟛2 2 如+ ，) 一。 1 1 从而由契比雪夫不等式知 i 疗一j 墨r j | 斗o l l = 1i 再结合大数定律得五：与o 进一步由s l u t s k y 定理知五与0 第3 步瓦= n 既置( 一e s 八五s + r 。) = 喜瓯墨( y 卜e “) z 茂+ 喜玩置( 一印；) 咒t = 五l + t 2 i r , , i i o i m ：；陲玩墨( y 卜印) 讲 由( 2 3 1 ) 得到 e f 羔刁巩置一印；) 4l u 2 e l l 善刁巩置( 一印；) 孵l u j f t ij = m 毫e 墨一e ) z ；z ，玩_ ( 缈：一e ) p = m 。善n ( 塌：置) 2z 厄e ( y 卜e ) 2i u + - 1 6 ：。一 讹面 r置 。 ，护 | i r阮 。 = 西北工业大学硕士学位论文第二章 = e e e e 日目e e 目自| 目自自0 | t 槲圳玎掣+ 毪半， h n 。 从而心孽燃lz j i ! ：马o ，进而瓦，与o ”l 鲥如1 。 再次利用( 2 4 1 ) 得到 悱h 跏l 驯心， ej窆行1州纩驯)如一窆聊(却m捌2,s25m2,s2i-1 t = l m + ， e j 行州r 一驯) 如l 吉聊( 一e i l f ，。_ ” 蟛2 2 ( m + 订肼? ( “一e y ! = 斗。 从而瓦：与0 由上可以得到山0 第4 步正= 艺玩置l ；c ，? ( 龟+ ) 2第4 步正= 玩置l ；c ，i 龟+ ) 1 - 1 、 = 喜成置( 反) 2 + 2 喜墨置眙藏民+ 喜瓯墨惩 = 正l + 2 五2 + 五3 刚= 陲玩置l i c ，? ( 躐) 2 l 刚= i 玩置l i c ，i 躐) l l l - 1 由( 2 4 2 ) ，( 2 4 3 ) 得到 曼时螈，睦琉置眙。_ 鸠 h ；l e 0 喜置眙。m p ) = 加c e ( 喜( 玩置) 2 蟛z 庸班( ”l 矿) ) 删僻时善n ( 玩置) 2 = 洲：磷阿。 所以 正，与o - 1 7 - 西北工业大学硕士学位论文第二章 划= 陲n 巩置眙忿r 。l 引珥；”陲n 聪置兆l e 0 喜磁置缈皇。1 2 鸩旷 = 善n ( 巩置) 2 z f e ( 眇) 蚝 c m 。a ；x 。时z 帆与。 叫喜巩置溅附玩i 码i = i 巩置溅i 妒玩l l f t l e j 一一i 1 善n 置箴1 2 = 去w 喜e 砰毡m 力e ( 墨2 ”) ! 兰竺。 所以由契比雪夫不等式知正：专0 ，毛_ 0 ， 进而瓦与0 第5 步咒= 喜磁墨旷( i + 一x , f l g ( 霉) + 仇( 爿晓+ 民) ) ( z 照+ 如) 3 由( b ) 得到 = 善n 巩置p ”( r + 一x , f l g ( z ) 螺( 城+ 民* 龟) 3 + 3 喜巩置如旷( i 一置一g ( 霉) + 聃( 彳晓+ r 一) ) ( z 属) 2 + 3 喜戤置碟旷( 誓+ 一x , p g ( 1 ) + 讯( z ：晓+ r ，) p 蛾 + 善n 或置或旷( r 一置卢一g ( 墨) + 研( 爿馥+ 民，) ) = 瓦1 4 - 3 瓦2 + 3 瓦3 - i - i r , , isc 枷龟i 玩置l c 静嘲引罂埋m a xx flm l ， 、 y ，- c i 珥； 3 ( 1 + c ) 懋l z j i 珥掣研3 ， - 1 8 一 蕊妒 y 。h ； 西北工业大学硕士学位论文 第二章 _ ii 目目! = | = 日自，| | 目t t 自t l 蕾 c 皇2 压稿卜肚岫孵i 人n = d 羽 瓦：i c m o ( 1 + o p ( 1 ) ) 蚶峨1 版( w t 峄蚓衍击= 。，( 1 ) 刚= l n 。p 一2 h + x 1 1 = 1 c 酗谚玩置旧静毒) 2 阱喜 戤置i 导噼1 2 坼1 ( - + 郇( 1 ) 、，m 。3 聊丽1 + 去 i i = i 喜嘿置ii l t ll叫玩护喜五霹 e 憔墨碟p ”去善甄2 一。 因此瓦 0 综上证明了 结合大数定律及s l u t s k y 定理即证得定理2 3 2 注非删失情形可以看作删失发生在无穷远处，此时g ( f ) = o ，f o o 1 9 - d 衍 ye r ) 肼 k r 山 风 疗p 一i 砰 。 ，“ y匪 西北工业大学硕士学位论文第三章 第三章删失分布未知时半参数回归模型的m 估计 一般来说，删失分布g 通常是未知的，实际上g 已知的情形几乎是不存在 的，只不过是为了研究霈要所作的一种理想假设这说明当g 未知时研究g ( - ) 的估计是非常必要的只有研究删失分布未知时的情形才更客观，更具有一般性， 才能反映出处理删失数据的特点和技巧 本章在g 未知的情形下，研究，g ( - ) 的m - 估计问题，得到了它们的全局最 优收敛速度及卢的渐近正态性3 1 给出了m - 估计的定义，3 2 列出了所需条件， 3 3 介绍了所得的结果及所需引理，3 4 给出了定理的详细证明 3 1m 估计的定义 此删吣= 冉 篙r 聃叼来估，其锑) s 誓：) 是样本的次序统计量，占( f ) 是与相关的示性函数，并且令= i 编 由第二章可类似定义卢，g ( ) 的m 一估计p 和色= ( f ) 舀，其中p 和舀满足 i 喜( 堍一置p 叫( 班卜= 。 l 喜y ( 琢一置声叫( 班) 帕) 巩 其中t i t 旱凸可导函数的导函数 3 2 基本假设 本文除需要第二章的条件a 1 外，还需要如下条件 西北工业大学硕士学位论文第三章 一i 日j t | 日e j = e e 日日目日日，| t 日目| f e j 日j 日| 日e t 自自t a e 罂磐i 葺i = o ，( 一4 ) ，口= ( 朋+ ，) 2 ( m + y ) + 1 ； a - i 存在岛使得，i c j c o ，i = 1 ，棚 a s 啪蚶 o 。，茹一l 南l - x t s ，睁蜗= x 。! 帮 jj a 9存在c o 使得，陇i m 。，i p l - m o ，i = i ，棚 3 3 主要结果及引理 引理3 3 11 4 3 1 对g o ) 的乘积限估计岛( f ) 有 f ) s u p o g = q ( 叫2 ) ，( i i ) s u p 、。 o s r s 引理3 3 2 若条件& 成立，则有 一瑶l = 啡( n - 1 2 ) i 篱h ，1 一向( r ) i w 证明：应用不等式# = 1 2 ，v p ，有u ( 口，) u ( p ，1 2 ) ，g n # ( 3 4 1 ) 可知当限1 2 三m ：2 时，有 咖m i h 南叫， 2 2 - - 西北工业大学硕士学位论文第三章 因此 p 唰删? 2 ，b 0 ，存在，厶，当n n o 时，有 p 。s 即u p u ( 以础2 ) o ，只) 0 ，存在，l l 0 ，厶 0 使得 当九飓时 p 厶卅2 m 。a 。x + 叫“州皿d c 2 ，c 3 ) 8 i s 球+ 参 警 16eq2(yi；-xlfl-g(t，)(m+1)m+1) 0 ，使得当n n 2 时有 p 。s 粥u p 。n q 。五万c z ，口l 2 肘善2 l 。 。，班v s - 2 3 西北工业大学硕士学位论文第三章 + p 。a ) + p 五。丑 酬5 再令q 。= 峨n “麟阮队( 洲) + 1 ) 祸) n 廿挈n 眦矽2 砰划2 铷 n 厶卅2 r 。l l a 。x ，z