（计算数学专业论文）二维、三维任意次lagrange元各向异性分析.pdf

摘要 本文对二维、三维任意次l a g r a n g e 元各向异性作了研究我们利用比a p e l 的各向异 性判定定理更易于操作的各向异性基本定理来验证以上单元并且对四边形、三角形、长 方体、四面体单元进行了分别研究，给出了关于二阶问题的能量模和上。模的各向异性插 值误差估计。 关键词：各向异性任意次拉格朗日元插值误差 a b s t r a c t i nt h i sp 印e r ，w ef o c u so nt h eh i 曲o r d e rl a g r a n g ef i n i t ee l e m e n ti nt 、椰一a n dt h r e e _ d i m e n s l o ns p a c e s w eu s ea ne s s e n t 瑚乞h e o r 咖a b o u ta m s o t r o p i ci n t e r p o t a t i o nt oc h e c k t h ea n i s o t m p yo ft h ee l e m e n t s ，w h i c hi se a s e rt ob eo p e r a t e do ra p p l i e dt h a na p e l s q u a d r i l a t e r a l ，t r i a n g l a r ，h e x a h e r a l ，t e t r a h e d r a ld e m e n t s 盯ec o n s i d e r e dr e s p e c t i v e l 矿a n d a n i s o t r o p i ce r r o re s t i m a t e so ft h ei n t e r p o l a t i o ne r r o ri nt h ee n e r g yn o r ma n dt h el 2 一n o r m a r eg i v e n k e y 厂o r d s ：a i l i s o t r o p i ce l e m e n t ；趼b i n a r yo r d e r ；l a g r a l l g ee l e m n e t ；i n t e r p o l a t i o l le r r o r 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃抄袭等违反学 术道德学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后果， 特此郑重声明 学位论文作者：却艳君 2 0 0 6 年4 月2 0 日 前言 有限元方法是古典变分方法( m t z - g a i e r k i n 方法) 与分块多项式插值结合的产物，其离 散化思想最早由c o u r a n tr 于1 9 4 3 年首先提出的。自6 0 年代有限元发展以来，该方法 成为求偏微分方程数值解的一个重要方法，广泛应用于解决物理现象、工程问题及科学计 算等领域中。在我国，计算数学家冯康先生首先独立于西方发明了这种方法1 6 ，1 7 ，1 8 1 。 该方法能用来求解二阶椭圆问题、四阶椭圆问题、抛物问题双曲问题、流体中的s t o k e s 问 题等随着计算机的迅猛发展，这门学科的应用范围也日益广泛，逐渐产生了许多分支。 有限元空间构造、s o b l o v 空间插值理论f 19 1 、微分方程正则性理论是有限元方法实现的 前提。有限元离散求解，涉及到线性方程组的求解，要求有与之相应的有限元软件。为了 提高求解效率和精度，出现了多重网格方法、超收敛理论和高精度算法等方法2 0 1 。由于 求解问题的不同、计算量的要求和变分形式的多样性出现了非协调元、混合元等方法。 传统的有限元要求对区域的剖分满足正则性和拟一致性，但最近的一些研究成果表明， 这种假定对某些有限元格并式非必要的，一方面有些区域定义在窄边区域，如果用正则性 剖分，计算量将非常大；另一方面，有些问题的解呈各项异性，即沿某个方向解变化非常 剧烈，而沿另外方向解变化平缓，这时采用各向异性单元剖分，求解会更快效果会更好。 经典的估计方法利用s o b l e v 空间多项式插值定理，从一般单元变化到参考单元，在参考 单元上进行估计，然后再从参考元变到一般单元，从而估计出逼近阶，在来回的变换中需 用到j a c o b i 行列式和求导时出来的因子，放不等式的时候需要用到正则性条件，即单元 直径与单元内切球直径的比值小于常数。关于备向异性方面的研究，a p e l 作出了杰出的 贡献 2 ，3 ，4 ，5 】，给出了各向异性判定定理，在其专著【6 】中将所做的工作作了系统的总 结，最近，陈绍春教授对各向异性进行了一系列研究 1 0 ，1 1 ，13 j ，并在 1 2 中给出了具 体的方法，更便于操作。z e n i i e k 和v a n l a e l e 7 ，8 还对梯形元的各向异性进行了讨论。 本文主要研究二维和三维任意次l a g r a n g e 型各向异性元各项异性特征及收敛性分析。 具体安排如下： 第一章：介绍预备知识，列举本文用到的记号、定义和定理。 第二章：本章利用易于操作的各向异性插值定理，对任意次l a g r a n g e 型矩形，三角形 元比较详细的证明了它门具有各向异性特征，且在剖分不满足正则性的条件下，也能保持 正则剖分时的收敛阶。为实际计算提供了理论保障。 1 第三章：分析长方体、四面体具有各向异性特征，且在剖分不满足正则性的条件下 给出了相应的误差分析 2 1 1 s o b l e v 空间及一些记号 预备知识 设形为礼维欧式空间，。= 扛l ，z 。，一，。) 为r n 中的点，q 为r n 中的区域 n 2 ( a ，o n ) 称为n 重指标，其每一分量均为非负整数，记其长度为川 设q 为褂中的区域，定义 g “( q ) ：( ，i 厂的直到m 阶的偏导数在q 连续) g “( 丽) = ，i ，的直到m 阶的偏导数在q 一致连续， 混合偏微分算子记为 脚= 硒筹酉 由定义，若，c r ”( 丽) ，则对任意n 重指标q ，川sm ，d 。，可连续延拓到上砭 延拓后仍记为d 。， 对厂c o ( q ) ，称 为，在q 中的支集。 定义 c | 。( q ) =ng ”( q ) g 。( 丽) = nc “( 而) s “印，= z ql ，( 骊 ( 毋( r 2 ) = ，g ( n ) fs 卿厂cq 且有界 。 c f ( n ) = n 四。( n ) ，n = l 3 设q 为i p 中的可测集合，( z ) 为定义在q 上的可测函数，o p 空间口( q ) 定义为 护m ) = ，i 五| ，( 。) 1 9 如 。) 其范数定义为 | | ，j | 州n ) _ ( 厶j m ) ) ； l 。( q ) 表示在n 中除去一个零测集是有界的可测函数全体。设，( z ) 三一( q ) 那么 存在常数m ，使得 l ，( z ) 墨m 几乎处处成立，这样的显然有无穷多个，其下确界记作 e s ss u pj ，( z ) l # n 称为厂( z ) 在n 上的实质上界。空间l 。( q ) 的范数定义为 l i ，i i l ( n ) = e s s s u pi 厂( z ) f 若有界开集d 的闭包面cq 则记作dc cq q 上局部可积函数空间定义为 上k ( n ) 2 ，l ，在n 上可测，且v dc cq ，l 1 ( d ) ) 假设，9 l k ( q ) ，乜为n 重指数，若对任咖帮( q ) ，有下面等式成立 上，d 。纰= ( 一1 ) h 正删。， 则称9 是，的n 阶弱导数，记作9 = d n ， 弱导数为通常导数的推广，显然，若，g ”。( q ) ，由g r e e n 公式，可推得上式成立。 s o b l e v 空间定义为 w 7 ”“9 ( q ) 2 ，l 9 ( q ) fd 。，上9 ( n ) ，j ls7 n ) w 9 ( n ) 上的范数和半范定义为 ”州“俐一i 磊五酬) ；，1 p 。 “。( n ) i l2 高鉴i l d 。 l | 笔* ( n ) ，p5 m ”，9 ( q ) i = ( | d 。u r 如) ；，1 茎p o o l o l ：m l ”；“0 。( q ) = 珊缸jj d “ 雌。( n ) ，p = o 。 i a f = m 、7 空间日“( q ) = w ”，2 ( n ) 上的范数和半范记为0 。和i l 。 h o l d e r 不等式设1 p o 。；ng 为一对共轭指数，即；+ j = 1 ，且，扩( q ) ，g l a ( n ) ，则 二，( 。) g ( z ) 如( 五f 厂( z ) 9 如) ；( 五j g ( z ) 9 如) ； m i n k o w s k i 不等式设1 1 或m n ，p = 1 则 w 哪( q ) 一g ( 丽) ； ( 2 ) 如果f 三，n ，则 w 。 ”) 一w ”( q ) i ( 3 ) 如果p 三q ，则 w “9 ( f 2 ) 一w “9 ( f 2 ) ( 4 ) 如果m p 亿且；= ；一署或唧：n 且1 q 1 ) 为一对共轭指数，如果 ( 1 ) v 饥最( q ) ，讹y ，有n ( “， ) ：o ( 2 ) l 日( n ) ，有n ( “，”) = o 则存在常数c ( n ) 使“w + 1 t 9 ( n ) cu 及u f + 1 ，9 ( q ) ck 有 ) l c ( 驯n h 。n 扎蝴 迹定理设q c r “为开集，具有l i f ) s c h j t z 连续边界，则 f u l f 上。( r ) se ( n ) jj lj 1 n ，v 日1 f q ) 6 微分方程求解的有限元方法，主要是从数学物理问题的变分原理出发，将微分方程 转化为与其等价的变分形式设矿为h i l b e r t 空间，定义在v 上的抽象变分问题为：求 “y ，使得 o ( “，u ) = ( ，u ) ，、口o v( 1 1 ) 其中n ( ，) 为定义在矿y 上的连续双线性泛函，为定义在y 上的线性泛函 有限元求解的方法为：将给定区域q 剖分成许多小区域，称为单元，平面区域一般 为三角形或四边形，空间区域一般为四面体或六面体等，该剖分记为五，v k 磊，记危k 为单元的直径，船为k 的最大内接球直径， h2 躜 h ) 如果存在常数g 使剖分族磊，( o 1 ) 满足 竽g ，v k 五，( 1 2 ) p k 则称剖分是正则的。 如果剖分族磊不仅是正则的，而且存在常数，y 使得 三s7 ，v k 五， ，6 则称剖分是拟一致的。 l a x _ n l i l g r a m 定理对变分问题( 1 1 ) 解的存在唯一性给出了明确的回答，然而一般情 况下，其精确解的求解却非常困难有限元方法就是用一个有限维空间来逼近无限维 空间v ，将变分问题离散化，在有限维空间上求解原问题的近似解：求 ，使得 ( u ，口 ) = ( ， ) ，( 1 3 ) 上述有限维逼近空间与原无限维空间的关系只有以下两种可能： ( 1 ) 当kcv 时，我们称之为协调元；( 2 ) 当v 时，称为非协调元 而g e d 引理和s 打n 螂引理就分别给出了协调元和非协调元的误差估计 e e d 引理设y 为h i l b e i t 空问，kcy 是y 的有限维子空间， ( ) ，都满足 l a x m i l g r m n 定理的条件，“和乱 分别为( 1 1 ) 和( 1 3 ) 的解，则 札。h sgi 。f q ” h 。 7 ( 1 4 ) 其中g 为血( ，) 在v 上的连续常数，o 为( ，) 在矿上的强制常数 s 打。扎9 引理设日为h i l b e r t 空间，y 和k 为日的子空间，n ( ，) 是h 上的连续 双线性泛函，并且在上强制，日，“和u h 分别为( 1 1 ) 和( 1 3 ) 的解，则 圳h 蚓。剐 i i l h + 。黑。) 掣) ，( 1 5 ) 有关各向异性的一些定理 基本不等式i 设r 是q 上的七次多项式空间，k 为非负整数，则存在常数c = c ( q ) 使得 。：如忪+ 酬州椭v w 1 9 ( q ) 基本不等式i i 设仿射变换f ：。= 口圣十6 把f 乎中的开子集q 映射到q ，如果 0 “9 ( n ) ，m o 为整数，则口= 0 of 。”，9 ( q ) ；反之亦然同时，存在常数 g ，n ) ，成立 j l m ，osa i l b 一1 l l i ( f d ( 日) i ； oj 。，n ，够w 7 “。( 血) ； f o m 伊，斑sc 1 8 1 f m l d e ( b ) 考i m mv 甜1 肜“+ 1 ，( q ) 插值定理设7 n ，为非负整数，p q 1 ，o 。) ，s 曲f o 空问w + 1 i ( 晓) 和w m 、。( q ) 满 足关系 + 1 9 ( q ) 一哪( q ) ( w “扎，( 血) ；w ”，a ( q ) ) 表示所有从w “，( q ) 到w 一( q ) 的连续算子组成的线形赋范空 间，设n c ( 形扎一( q ) ：“，a ( 叠) ) 满足 n 西= 西，v 西最) 对任意两个仿射等价的开集q ，n ，n c ( w 。上1 ，( q ) ；w 哪( q ) ) 定义为 ( ) “= n 0 ，v o w 7 七十1 、9 ( q ) ，v ，+ 1 ，9 ( q ) 其中，”，0 满足关系”= 0 。f ，那么存在常数c ( n q ) ，使得 一胚叩，姒s 蛳一；筹川胡 8 其中， = d i 。m ( n ) ，p = s u p 击n m ( s ) j s 为包含在中n 的球) 设耳为一参考元，p 是膏上的一个m 维多项式空间( 形函数空间) ，户，是户的共 轭空间设 j ；，南，赫) 和 厩，疵，矾) 是户和p ，的一对共轭基，即 ( 弓) = ，1si ，jsm 设立：日( 霞) 一户，七1 是有限元插值算子，满足 庶( 立。) = 庶( 心) ，i = 1 ，2 ，m 怕日( 膏) ( 1 6 ) 设。= ( a ，a 2 ，。n ) 是一多重指标，则d 。户也是露上的多项式空间，设威m d 。户：， 住，i = 1 ，2 ，r ) 是d n p 的一组基d a ( 矗。) d n 户可表示成 伊( n 2 蚤舶伊a2 熹琢 ( 1 7 ) 显然，白是 d 。瘟) 罂，的线性组合，而岛( 。) 是 m ( 心) 罂。的线性组合设 则由( 1 6 ) 和( 17 ) ，我们有 岛( i ) = 疵( i ) ， f 1 8 1 4 = 1 、7 岛( 心) 2 啦庶( i ) = 叱疵( 疗。) = 岛( n ( 。) ) 0 = l i = 1 各向异性基本定理：在上述表达下，如果岛( i ) 能表成 岛( o ) = 乃( d “o ) ，1 js 。， 茎中b ( 日i 露”，l j n s 1 ，同时毋( 詹) cd n 户，z 兰( s 1 ) ，则存在常数c ( 霞) 满足 d 。( 矗疗矗) 忆膏c | ( 詹) i 西。也h l ，疗，o tsf + 1 ，讹日h + f + 1 f 露1 9 二任意次l a 口a n g e 型四边形、三角形元各向异性特征及收敛性分析 2 1 l a g r a n g e 型四边形元具有各向异性特征及用于= 阶问题的收敛性分析 关于各向异性l a g r a n g e 型四边形元插值定理， t h o m a sa p e l 在在他的专著中给出 了一般性的结论，然而却并没有给出其具有各向异性特征的具体证明本文将利用各向异 性基本定理，给出证明过程。 2 1 1 各向异性证明 设一般矩形单元k 在( z ，) 平面上 是。1 ( z k h 。，可k ”) ，n 2 ( z k + z ，k 四边记为f 。= 西藏石，i = 1 ，2 ，3 ，4 参考单元霞到k 的变换r 是 中心点是( z ，船) 边长分别为2 k 和2 顶点 ) ，盘3 ( z k + 。，m k + 九) ，血4 ( z 耳一 。，弘+ ) i 山ki = 7 k h ，f f = 矗i 1 孑1 ，d 。“= d 。也，西。矗= 愚量d n 乱 其中危夤= ：1 ；2 ，“= ( n 1 ，n 2 ) k = 一1 ，1 一1 ，1 ， p = q ( q f = s p n 扎 z 。矿) ，o i ，j f ) e 2 五：c ( k ) - 一r 使得 ( o ) = o ( 戈( 。) ，墨， 其中节点数= ( f + 1 ) 2 ，节点集x = 戈( t 1 ) 鉴。= ) t r ：) 上的形函数空间定义为 尸v = p = 庐o f 乏1 ；西户1 在参考元露上定义的插值多项式为 知= o ( 爻( z ) 痧。( 岔) 仁= 1 其中，驴，( 圣) ( i = l ，2 ，) 为户上的基函数。 l n ( 2 1 ) ( 22 ) f 2 3 1 k k z 可 + + 蛳啪 | j | j 嚣 可 ，l，、i 阵 矩 bh 的为巩 令 插值也可表示成 f 啦( 圣，雪) = ，( 筑，彩) 黝( 叠，雪) t ，j = 0 其中p z ，j ( 圣，雪) 为l a g r a n g e 插值基函数，血= 圣+ ，巍 a j ( 仝，口) = 0 兰s ，g 。，( 圣一氟) ( 雪一吼) 5 t ，t 御 0 s s ，g ：，( 士；一也) ( 岛巍) 8 t ，t 幻 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 引理2 - 1 设f 为正整数， 1 ，1 上有z + 1 个节点，则对任意不超过f 的t 阶均差成立 m 咿h 一忍】= 奈。掣蚶处f ( 2 6 ) m o ，忍卜“”1 掣如，l t f f 2 6 1 m = ”m 其中。t 。只与节点有关。 证( 利用数学归纳法) ：1 ，陋o ，。1 j = ，( 跏) ，( z - ) z 0 一z 1 n ，o ( ，( 。- ) 一，( 跏) ) 。尸掣出 j 2 0d z 堕l 曼! z 1 一卫2 o ：，( ，( z 。) 一，( z ，) ) 。：。，“掣如 z 1 0 忉 ，陋o ，z 1 】一， 。1 ，。2 z 0 z 2 三一阻型二! z o z 2z o z 2 是e 掣出熹e 掣出 z o z 2 。o 6 k z n 一卫- o 一，舟，7 1 u 山 2 嘶e 掣如托，f 掣妇 t = i 阶时成立 叩一 2 薹n 。掣出”l = 0 o z ，u z 1 l 立 所以对 f = i + l 阶均差成立， 则知对 1 f f 阶均差成立。 t l a “。( ，( z 。+ 1 ) 一，( z 。) ) l = 0 志隆m ( ，( 撕) _ ，) ) 一屈+ 。( ，( 。+ ，) 一，( z 。) ) f m = 1 j 1 志蚓m ，) 一m 。) ) + o t 。( ，( z 。+ 1 ) ，( z 。) ) 一屈+ t 。( ，( z 。+ - ) 一，( z 。) ) 一屈+ 1 t ( ，( 。计，) 一，( 墨) ) 】 高( m - ) 一m 。) ) + ( a ；。一屈+ 。) ( ，( z 。+ ，) 一，( z 。) ) 一风z ；( ，( z 州) 一，( 。) ) 】 o 川o ( ，( 茁1 ) 一，( z o ) ) + q 件l 。( ，( z 。+ 1 ) 一厂( z 。) ) + n 十1z ( ，( 。 + 1 ) 一，( z 。) ) n 州。( ，( z 。+ ，) 一_ 厂( z 。) ) 薹掣出，n = l 。o m u i ， 定理2 2 矩形单元具有各向异性特征，即v 。日( 膏) ，地：( a l ，n ：) ，且i n i ：1 ，成 d 。( i 一，i ) j f o ，膏se l d “o l f 膏 1 2 f 2 7 1 其中e 为一个与坛腑均无关的常数 证只需验证基本定理的条件 岔( 岔，雪) = 。，( 血，雪) a ，忙，9 ) t ，= u z2 盖蓦m t ，易) p 积口) = 壹佳m 幽) 嘶) ) 嘶) = e 功( 雪) e ，( 毫，坊) 鼽 ) j = 04 = 0 。 ( 2 8 ) 其中肼，( 苗，口) 为l a g r a n g e 插值基函数，可表示为黝( 圣，雪) = a ( 童) 功( 9 ) ，其中耽( 劫是 在士方向，功( 口) 是在方向的l a g r a n g e 插值基函数。当固定j 时，即得圣方向上关于 圣的2 次l a g r a n g e 插值多项式壹，坊m ( 圣) 它与f 次的n e w t 。n 插值多项式是等价 的，记为( 圣) ( 与j 有关) 。 ( 圣) 2 _ 厂( 岔o ，彩) + ， 圣o ，圣1 ；奶】 一圣o ) + ，瞄o ，圣l ，岔。；坊 ( 岔一圣o ) ( 2 一圣，) + + ，陋o ，圣1 ，一，i 。；奶】( 童一岔o ) 一童1 ) - ( 圣一圣。1 ) + + ， 圣o ，叠1 ，童z ；奶】( 圣圣o ) ( 圣一圣1 ) - - ( 圣一童f 一1 ) 则( 28 ) 式变为 多( 圣，雪) = e 功( 痧) ( 岔) 下面证j ；( 圣，口) 具有各向异性 当n = ( 1 ，o ) 时， 伊鼬= 掣= 妻蜥) 掣 关键是笋 a ( 圣) 跳 ， 函，岔1 ；易】蛳( 圣) + ， 金o ，圣1 ，圣2 i 缈】9 1 ( 圣) 十+ ，陋o ，圣l ，一，圣。；奶 乳一l ( 圣) + 1 3 奶；奶 虮一1 ( 圣) ，圣。；彩 9 。1 ( 岔) ( 2 9 ) f 2 1 0 ) 其中m ( 圣) ( i = 0 ，f 一1 ) 是岔的i 次多项式 易知协( 童) ) ：；线性无关，出m ( d 。q j ( 圣) ) = f ，则( 岔) ) ：；是d n 毋( 圣) 的一组基。 则( 21 0 ) 式变为 d 印( 圣，雪) 2f 盖功( 雪) 舌，瞄。， 2z = ， 圣o ，圣1 j = 0s = 1 氩；奶】乳一t ( 圣) p j ( 口) ( 2 1 1 ) 已知锄( 圣) ) ：；是d “劬( 岔) 的一组基，又k ( 圣) 功( 口) ) i = o ，f 一1 ；j ：o ，j 线 性无关，共有f ( f + 1 ) 个，而d i m ( d ( 童，口) ) = f ( ? + 1 ) ，所以 吼( 圣) 功( 口) ) i = o ，f 1 ；j ： o ，? 是d 。p ( 叠，口) 的一组基。基前面的系数为 由引理2 1 可得 ，( 圣o ，畲1 ，r ，圣。；岛 ，1 s f ，o 曼j j 薹q 。掣蛾，娜娜r ( 2 1 2 ) 其中a 。只与节点有关 将( 2 1 2 ) 代入( 21 1 ) 得 伊鼬捌= 妻喜( 薹n 。掣如) 肛m 删皿 d 。瞄雪) = ( n 。r ”! 絮掣如k 一1 ( 圣) n ( 雪) ( 2 1 3 ) j = os = 1 m = 1 。o lu 正 令 舢洲= 薹掣娜螂邹f )m = 1 o o m u o 易知r = f ( f + 1 ) ，对应的e ( d “厂( 圣，坊) ) = 屏( ，( 圣，缈) ) ，记西：d a ，( 圣，吼) ，则 o ，、：=卢。+ 1 b ( 西) 2 n 一c ”西( 圣锄) 如 ( 21 4 ) m = l o z n 对任意的1sr f ( f + 1 ) 都有下式成立 f 2 1 5 1 事实上，由h 0 1 d e r 不等式和迹定理 f 1 ( 西) = f 1 ( 而) i 而( 西) 毋( 西) f r f 西) b ( 西) l q ，。1 雌廓) 如 。，。n 西( 圣驯如 嘶i 西( 岔，鳊) 恤 茎a 。( ( 面) 2 d 叠) 5 ( ，。如) 5 g l i 西8 霞 酬圳。膏 ，2 1，0 2 = a 2 0 止面( 圣，舶) d 窑+ d 2 l 西( 叠，鲕) d 未 j z 0，# 1 s 2 q i l 曲1 | 1 膏 曼g 忪忆膏 暑p ” = 2 一o s m 训【z ，珊) d z z = l o o 仉 曼s q | | 西l i ，膏 对任意的1 r 曼f ( 2 + 1 ) 都成立 当n = ( o ，1 ) 时，由于岔与是对称的，在圣方向利用l a g r 趾1 9 e 型插值，i 固定，口 方向用n e w t o n 型插值，可得类似结果。由此得( 2 7 ) 式成立。 2 1 2 误差估计 设q 是凸多边形区域，令葡上的剖分为丽= u k 。死k 且记 k = d i n m e e r ( k ) m a x ( 7 k ) o 有限元空间为 = ； j k b f ，v k 磊； 在q 的边界节点处为零， 考虑二阶问题，设，三2 ( n ) ， r l 一“= ，在n 中， 1u 扎在a 吐 ( 21 6 ) 1 5 ( 2 1 6 ) 的变分形式为 j求u 硪( q ) ，使得 io ( u ，”) = ，( ) ，铷瑞+ 1 ( q ) ， 其中日占+ 1 ( q ) 是s o b o l e v 空间， 。( “，”) 2 二v u v ”，m ) = 上如 双线性型n ( ，+ ) 满足l 噼m i l g r a r n 定理的条件，因为c 甜1 ( q ) 空间 r i求“ k ，使得 ln ( “ ，u h ) = ，( ) ，v 坛， 其中。 ( “ ，) = 耳后v v 出匆 对讹 k 定义 ( 2 1 7 ) 所以k 是协调元 1 臣 = ( ，) 定理2 3 设 ，札 分别是( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 的解，若明( n ) n 日m ( n ) ，则 、； f f 札一g ( 矗翟 d 。“j 奄) 死例= f， 其中g 与7 腑无关，v k 五，”= ( 。五i ) 5 证，是( 2 4 ) 所定义的算子r = ( j 。) 。啄，由( 2 2 ) ( 2 7 ) 得 j “一，“瞪耳= 。篆，f f d 。一，“) j 陋 f d i = 1 + 2 f 差， 烈p ( 矗一删咐 。 ，)f n l = 1 7 g 差。6 剖d 。也瞄也) 2 g 藁，“茅) i 到d 。+ 钏，膏 2 g f 牵。j 柔， 珈蝴，k川= l = f ”“ = d 要 磐f j d 口“臣耳 | 剧= l 1 1 6 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) f 2 2 0 ) 再由c e a 引理，得( 2 1 9 ) 式 i i 钍一札一队g 0 贬f l u 一队 sg | j 扎一j “h o h = g ( 耳。死i “j 札 臣) 5 ( 2 2 1 ) 茎e ( 嘲l 毒。嘲巩瞪k ) 2 下面给出l 2 估计 定理2 4 在定理2 3 相同的条件下，得到 忆圳呷e 陡i 不。嘲矾瞪) 5 ( 2 。) 其中e 与 肌无关，啊磊， = m a x _ e f 矗饥 证考虑问题( 21 6 ) 的对偶问题设g 上2 ( q ) ， f ：9 ，在n 中， 1妒，_ o ) 在a 吐 ( 2 冽 可得的上2 ( n ) ，y 是二阶问题的解空间，cy n h ( r 2 ) ，妒g y ，使得 o ( ，) = ，铷y ( 2 2 4 ) 问题f 2 2 4 ) 的有限元逼近： n ( 呲，( ) h ) = ，v t 坛f 2 2 5 1 二阶问题解的正则性估计 1 5 注意到 妒9 nsc 蚓j o ，n 一讪，n 一，器，紫g l 2 ( n )| | g | | 【) ，n 1 7 f 2 2 6 1 则由( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 可见， 幻，钍一 ) = 8 ( n ，) 一n ( ，( p 9 ) ) 2 ( “一u h ，一( ) h ) + n ( 札 ，) + n 扣，( ) ) 2 n ( 乱 ，( 妒。) h ) ) 因为( ) h 是问题( 2 - 2 4 ) 的协调有限元逼近，“ 是问题( 2 1 7 ) 的协调有限元逼近，有 o ( “h ，( ) ) + o ( 一“ ，( ) h ) = o 从而大括号内为零，得到 b ，u 一 ) = 口( 札一“ ，( 妒g ) ) 再由( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 及解的正则性( 2 2 6 ) ，有 ( g ，“一“ ) l = n ( 乱一札 ，一( ) h ) f m j | 1 ，n l 妒目一( ) i 1 ，n c 慨b n ( 懈毒，嘲巩臣。) 5( 2 。，) 眦，n ( 慨f 毒。嘲嗍，) 5 2 2 l a g r a n g e 型三角形元具有各向异性特征及用于二阶问题的收敛性分析 与矩形单元不同，三角形单元的各向异性证明需要单元满足最大角条件和坐标系条 件 2 2 1 各向异性证明 考虑有限元( k ，只) ，其中n 为平面上的三角形，p 为n 上的形函数空间， 2 ：c ( k ) 一r 使得 ( 口) = 。( x ( 。) ) 墨， 定义k 上的l a g r a n g e 插值为 1 8 f 2 2 8 1 z 妒 x ” 肖 = ， 其中，吼( z ) ( i = 1 ，2 ，) 为p 上的基函数。定义k 上的有限元( k ，p ，) ， k = ( 畲，雪) 奠2 ：o 岔 1 ，o 雪 1 一圣) ， 户= 芹( 砰= 印n n z 。矿) ，o i + j 茎f ) ( 为次数不超过f 的多项式空间) 妻= ：e ( 露) 一r 使得五( i ) = o ( 贾( 。) ) 墨， 其中节点数= c 昏。= j ( f + 1 ) ( f + 2 ) ，节点集) ( = 贾( i ) 墨，= ( ；， ) 丁r 2 h ! 件， l 在参考元露上定义的插值多项式为 而= o ( 戈2 ) a ( 佥) ( 2 2 9 ) * = 1 其中，勃( ) ( i = 1 ，2 ，) 为p 上的基函数。 插值也可表示成 f f j 昂( 圣，雪) = 厂( 磊，坊) p ，( 圣，口)( 2 3 0 ) j = 0 t = 0 其中p ，( ，) 为l a g r a n g e 插值基函数，圣。= 毛一1 + ，易= 彩一1 + ，osi + jsf ， 0 s s + 兰f n ( 岔一金。) ( 痧雷e ) n ，( 岔，口) = 慧l ( 2 3 1 ) n ( 规一氟) ( 易吼) s 2 ，匀 参考单元霞到的仿射变换变换斥： ( z ，9 ) 7 = 氏( ( 圣，雪) 丁) = b ( 士，痧) 丁+ b( 2 3 2 ) 其中b = ( b 。j ) 毛：1 r 2 “，b = ( 魄) 銎1 r 2 则k = 毋r ( 良) k 上的形函数空问定义为 户k = p = 2 ；。，嘉1 ；i ；户) f 面给出最大角条件和坐标系条件 设e 为单元彤的最长边，其长度记为危1 = 7 n e n s l e ，垂直边e 上的高度记为 7 2 。2 m 8 。地叫 1 ，记九2 ；耀矗i o m ( ) 最大角条件存在一个与 和单元k 磊无关的常数r ，使得任何k 磊的 最大内角7 满足7 1 + 。 坐标系条件即最长边e 与z t 一轴的夹角满足关系式： s i n t ，isc 鲁 1 9 定理2 5 假定三角形k 满足最大角条件和坐标系条件，则该单元具有各向异性特征， 即w 日m ( 霞) ，v a 一( q 1 ，0 2 ) ，且l l = 1 ，成立 西。 一j o ) 宜g i 西。o l l ，霞 ( 2 3 3 1 其中g 为一个与k p k 均无关的常数。 证只需验证基本定理的条件。 j ；( 士，鳓= ，( 峦。，易) p 玎( 岔，雪) = 壹( 堇m 幽) 嘶) ) 蜥) ( 2 。a ) = p j ( ) ，( 壬。，吼) p 。( 岔) 其中( 童，雪) ，( o i + j f ) 为l a g r a n g e 插值基函数，可表示为( 圣，口) = 戤( 士) 功( 雪) ，其 u 中仇( 毒) 是在z 方向，功( 雪) 是在方向的l a g r a n g e 插值基函数。当固定j 时，即得圣 方向上关于仝的f j 次l a g ，a n g e 插值多项式。宅，( 或，奶) p ( 。) 它与! 一j 次的n e w t o n t = 0 插值多项式是等价的，记为( 圣) ( 与j 有关) q ，( 蠡) = ，( 岔o ，奶) + ， 士o ，圣，；缈 ( 矛一岔o ) + ， 童o ，士1 ，圣2 ：如】( 岔一圣o ) ( 圣一士1 ) 十+ ，陋o ，圣1 ，一，空。；甄 一o ) ( 矛一圣1 ) ( 童一圣。1 ) + + ，【o ，圣1 ，虫l j ；奶l ( i 一o ) ( 窑一i 1 ) - - ( 圣一i l j1 ) 则( 23 4 ) 式变为 2 ；( 圣，0 ) = 互j 功( 9 ) 田( 岔)( 2 3 5 ) 下面证声( 童，口) 具有各向异性 当“= ( 1 0 ) 时， 喻= 掣= 塞嘶) 掣 ( 2 3 。) 关键是每笋 = ，p o ，量l ；彩】9 0 ( 岔) + ， 圣。、童1 士2 ；坊】9 1 ( 士) + + ， 詹o ，南，- - ，圣。；彩 吼1 ( 圣) + - 2 0 + ，障o ，童1 ， z 叫 = ，圣， 8 = 1 兵中吼( 岔) ( i 。o ，f j 一1 ) 是圣的i 次多项式。 易知 肌( 壬) ) ! ；1 1 线性无关， d i m ( d 。毋( 童) ) = f j ，则拙( 圣) ) ：三j 一是d a 劬( 童) 的一组 基。 则( 2 3 6 ) 式变为 d 。西( 童，雪) = 喜功( 口) 蔓，陋o ，圣，童。；奶 夕s l ( 童) ，2 us = i 。、 2 功旧) 至，陋o ，套l ，岔。；易 仉一。)( 2 3 7 ) j 2 us = l 、7 、， 2 量善佑o ，圣一，圣。；鲥耻1 ( 畲) 功( 雪) ，2 08 = 1 。 7 1j 、o ， 知协( 圣) ) 笔6 。是d 。( 童) 的一组基，又( 圣) 功( 雪) ) i ：o ，z j 一1 ；j ：o ，f l 2 一j 取值至少为1 ，j 取值至多为f 一1 ) 线性无关，共有j z ( f + 1 ) 个，而如m ( d 。p ( 峦，雪) ) ： ；( 。十1 ) 所以缸( 童) 功( 口) ) i = o ，f j 一1 ；j = o ，f l 是d n p ( 叠，口) 的一组基 基前面的系数为，盒，童。；坊j ，l 墨s f j 由引理2 1 可得 m 喊，铡= 薹1 鬻塑蛾1 。弘j ( 2 3 8 ) ，r l = lo z mu 1 ” 、- ， 其中。只与节点有关 将( 2 3 8 ) 代入( 2 3 7 ) 得 伊鼬脚= 萎篓眶掣如) 耻心蚴协。， d “她口) = f “”竺掣掣如1 耻，p ，q 1 j = 0s = 1 ，n = 1jo饥(7z，一 4 7 、。， 令 驸( ) ) = 董e 1 掣卿吲1o 矧叫 m = 1 j md z 、 一 一 o 。二二6 1 ， 易知r = j 。( 。+ 1 ) ，对应的毋( d 。，( 叠：奶) ) = 屏( ，( 叠：坊) ) ，记面：d n 厂( 圣；鳓) ，则 晰) 2 薹。s m 1 嘶出 ( 2 4 0 ) m = 1 。4 m 、一7 对任意的1 r j ? ( z + 1 ) 都有( 21 5 ) 式成立，即 j 戽( 西) jsc f f 西，膏 f 2 4 1 1 当a = ( o ，1 ) 时，由于岔与是对称的，在畲方向利用l a g r a n g e 型插值，i 固定， 口方向用n e w t o n 型插值，( 利用p 雪) = 壹笺，( 或，坊) ( 童，雪) ) 可得类似结果。由此 得( 2 3 3 ) 式成立 2 2 2 误差估计 在三角形满足最大角条件和坐标系条件的情况下，有 引理2 ，6 ( a p e l ，1 9 9 9 ，( 2 3 5 ) ) 设a 为多重指标，则 d 。o d l d s uj ， f d n o i d 铲 d s o f ， 芝”j ”三”， k 卜陋 ( 2 4 2 ) d 。u g h ”l d 8 0 l ， 。 叫= m= m 其中 嚣= 蛭1 螺2 ，a = ( q ，。z ) 令矗。为( 2 3 2 ) 式所确定的取的j a c o b i 矩阵，则 j = 然m e n s o 儿f 琅i = 搿 l 坟l = g ( m e n s 2 k ) ，i 。聪i = c ( ，n e n s 2 ) 。 ( 2 4 3 ) 设f 2 是凸多边形区域，令豆上的剖分为豆= u 耳。瓦k 且记h ：出n ? e 钯r ( k ) ， m a x k 墨，l o 有限元空间为 = 口：u 珞，v k 磊： 在q 的边界节点处为零 考虑二阶问题( 2 1 6 ) ， 定理2 - 7 假定三角形k 满足最大角条件和坐标系条件，设札，分别是( 21 7 ) ( 2 1 8 ) 的 解，若乱明( q ) n 日冲1 ( n ) ，则 其中c 与，憾p k 无关，啊五，”忆：( 。磊i ) 5 f 2 4 4 1 、 2 d 卵k 昨喊， g 一 一 证，是( 2 3 0 ) 所定义的算子n = ( j 。) 。眨1 由( 2 4 2 ) ，( 2 4 3 ) 及( 2 3 3 ) 得 i 差，渺( 札一7 “) 2 点， 斧。i d 。( 也一诧) 喉膏( m e n s 。k ) j nj = 1 。u ，n 、 。 7 g l 差、 茅。西8 也慝膏( m e z k ) l nj = 1 儿 = 。l 毒， “( ”。e n s 。j f ) i 毒。| | d n + p 矗j j ：，膏 2 4 5 = g ，互，差， 翟| f d 时p 钍j | 3 i k h = l = f “ = 0 萎， 翟f d 口札瞪 | 俐= 2 一 再由c e a 引理，和( 2 2 1 ) 式同样的过程，得( 2 4 4 ) 式 关于l 2 估计 定理2 8 在与定理2 7 相同的条件下，得到 f m 一“ n e ( 翟i d 口札瞪) f 2 4 6 ) 霸i 剧= !， 、 7 其中c 与，加k 无关，v k 五， ：m 毗珥，饥 其证明过程与定理2 4 相同 注：对于任意平行四边形，满足与三角形类似的最大角条件和坐标系条件，通过仿 射变换，可以证明也是各向异性的，而且有与矩形相同的误差估计。 2 3 三任意次l a g r a n g e 型长方体、四面体元各向异性特征及收敛性分析 3 l l 8 9 r a n g e 型长方体元具有各向异性特征及用于二阶问题的收敛性分析 3 1 1 各向异性证明 设长方体元耳中心点( z ，姒，珏) ，边长分别为2 。，2 ，2 也参考单元詹到k 的变 换氏是 z = = 。未十z 可= 雪+ 掣n ”= ：三+ o k ( 3 1 ) 令j 矗为