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浙江人学硕 学位论文一类椭网型偏微分方程反问题的无网格方法 一类椭圆型偏微分方程反问题的无网格方法 摘要 反问题出现于大量工程和科学领域并起着关键作用。实际问题的物理过程经常可用偏微 分方程来描述，因此大量实际反问题的计算归结为求解偏微分方程反问题。 本文考虑这样一类反问题：椭圆型偏微分方程c a u c h y 问题。众所周知，椭圆型偏微分 方程c a u e h y 问题高度不适定。本文给出如f 方程相关的数值结果：描述稳态热传导、无损 检测和地球物理中的l a p l a c e 方程，描述声波分析、电磁场、膜和其它结构的振动和散热片 中热传导过程的h e l m h o l t z 型方程以及线弹性力学中的n a v i e r 方程组。 本文考虑几种无网格方法应用于求解椭圆型偏微分方程反问题。这些无网格方法可用径 向基函数配置点方法这个框架统一描述。文中给出了l a p l a c e 方程和n a v i e r 方程组的数值结 果，考察了插值矩阵的病态性以及径向基函数中形参数的影响。数值实验表明，使用正则化 方法如截断奇异值分解或者t i k h o n o v 正则化求解配置点方法离散偏微分方程所得到的线性 方程组，不仅能够克服插值矩阵的病态性，也使得数值解的精度与形参数相对无关，部分解 决了选取合适的形参数这个凼难问题。数值实验表明，径向基函数配置点方法与l l ：则化方法 耦台能有效求解椭圆型偏微分方程反问题。 针对特定问题如l a p l a c e 方程、h e l m h o l t z 型方程和n a v i e r 方程组，可应用基丁算子的释 向基函数来提高计算效率。分别取微分算子的基本解和通解作为径向基函数，得到基本解方 法和边界节点法。文中应用第一类f r e d h o l m 积分方程理论解释了基本解方法的病态性，并建 议使用正则化方法克服问题的病态性。用于求解齐次问题的边界。竹点法则被推广席川丁- 非齐 次问题，并应用于求解非齐次h e l m h o l t z 型方程c a u c h y 问题。 文中给出了数值算例说明了基本解方法和边界节点法求解椭圆型偏微分方程反问题的 有效性，分析了基本解方法的收敛性，考察了光滑和分片光滑的几何区域以及数据精确和含 有噪音两种情形。数值实验表明本文方法计算效率高、数值解精度高、对数据中的噪音稳定， 并随着数据中的噪音含苗的减少收敛丁精确解。与现有方法相比，1 ；火为有特色的方法。 关键字：无网格方法、反问题、椭圆型偏微分方程、正则化方法、径向基函数、基本解方法、 边界节点法、c a u c h y 问题 摘要 m e s h l e s sm e t h o d sf o rs o m ei n v e r s ep r o b l e m sa s s o e i a t e dw i t h e l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t i n v e r s ep r o b l e m sa r i s ei nm a n ye n g i n e e r i n ga n ds c i e n t i f i cc o n t e x t s ，a n dt h e ya r en o wp l a y i n g ac e n t r a lr o l et h e r e i np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ，t h ep r o b l e mu n d e ri n v e s t i g a t i o ni so f t e ng o v e r n e db y p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s h e n c et h es o l u t i o no fp r a c t i c a l i n v e r s ep r o b l e m so f t e nl e a d st o s o l v i n gi n v e r s ep r o b l e m sa s s o c i a t e dw i t hp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h i st h e s i sf o c u s e so nt h ec l a s so fi n v e r s ep r o b l e m st h a tc a nb ef o r m u l a t e da sc a u c h y p r o b l e m sw i t he l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w h i c ha r en o t o r i o u sf o rt h e i r 川- p o s e d n e s s i n p a r t i c u l a r , w ew i l li n v e s t i g a t et h ec a u c h yp r o b l e ma s s o c i a t e dw i t ht h el a p l a c ee q u a t i o nf o rt h e s t e a d y s t a t e b e a tc o n d u c t i o n ，n o n d e s t r u c t i v et e s t i n g 洲d t ) a n dg e o p h y s i c s ，t h eh e l m h o l t z e q u a t i o n sf o ra c o u s t i ca n a l y s i s ，e l e c t r o - m a g n e t i cf i e l d ，v i b r a t i o no fm e m b r a n e sa n do t h e rs t r u c t u r e s ， a n dh e a tc o n d u c t i o ni naf i n ，a n dt h en a v i e rs y s t e mi nl i n e a re l a s t i c i t y i nt h et h e s i s ，s e v e r a ln o v e ln u m e r i c a ls c h e m e sb a s e do nm e s h l e s sm e t h o d sa l ep r o p o s e df o r t h es o l u t i o no ft h ei n v e r s ep r o b l e m sa s s o c i a t e dw i t he l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e s e m e s h l e s sm e t h o d sc a nb ef o r m u l a t e di nt h eg e n e r a lf r a m e w o r ko fr a d i a lb a s i sf u n c t i o nc o l l o c a t i o n t e c h n i q u e s p r e l i m i n a r yn u m e r i c a lr e s u l t sf o rt h el a p l a c ee q u a t i o na n dn a v i e rs y s t e ma r ep r e s e n t e d ， a n dt r i c k yi s s u e sa s s o c i a t e dw i t ht h e s em e t h o d s ，s u c ha st h ei l l c o n d i t i o n i n gw i t ht h ei n t e r p o l a t i o n m a t r i xa n de f f e c to fs h a p ep a r a m e t e r , a r ei n v e s t i g a t e di ti sf o u n dt h a tu s i n gr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d s ， s u c ha st h et r u n c a t e ds i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o na n dt i t d a o n o vr e g u l a r i z a t i o n ，t os o l v et h e r e s u l t i n gs y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n s n o to n l ym i t i g a t e st h e 川- c o n d i t i o n i n gw i t ht h em a t r i xe q u a t i o n ， b u ta l s oa l l e v i a t e st h ed i f f i c u l t yw i t hd e t e r m i n i n ga na p p r o p r i a t es h a p ep a r a m e t e ri nt h er a d i a lb a s i s f u n c t i o n s i ti sc o n c l u d e dt h a tt h e r a d i a lb a s i sf u n c t i o nc o l l o c a t i o nt e c h n i q u e sc o u p l e dw i t h r e g u l a r i z a t i o nm e t h o d sc o u l db ec o m p e t i t i v ea l t e r n a t i v e st oe x i s t i n gm e t h o d s f o rt h e s ep r o b l e m s - o w e v e r ，f o rs p e c i f i ce q u a t i o n s ，s u c ha st h el a p l a c ee q u a t i o n ，t h eh e l m h o l t ze q u a t i o na n dt h e n a v i e rs y s t e m ，w ec a ni m p r o v et h ec o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c ys i g n i f i c a n t l yb ye m p l o y i n g d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r - g e a r e dr a d i a lb a s i sf u n c t i o n s 、t ob em o r es p e c i f i c ，w em a ye m p l o yt h e f u n d a m e n t a la n dg e n e r a ls o l u t i o n st ot h ed i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sa st h er a d i a lb a s i sf u n c t i o n s ，w h i c h 浙江人学硕i 学位论文一类椭圆型偏微分方程反问题的尤9 ：_ 9 格方法 n a t u r a l l yg i v er i s et ot h em e t h o do ff u n d a m e n t a ls o l u t i o n sa n dt h eb o u n d a r yk n o tm e t h o d i nt h e t h e s i s ，t h ec o n t r o v e r s i a li l l - c o n d i t i o n i n ga s s o c i a t e dw i t ht h em e t h o do ff u n d a m e n t a ls o i n t i o n si s r e i n t e r p r e t e di nt e r m so ft h et h e o r yf o rt h ef r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o no ft h ef i r s tk i n dar e m e d y f o rt h ei l l - c o n d i t i o n i n gi sp r o p o s e db a s e do nr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d s t h eb o u n d a r yk n o tm e t h o di s e x t e n d e dt oi n h o m o g e n e o u sp r o b l e m si nau n i f i e dm a n n e r n u m e r i c a le x p e r i m e n t sw e r ep e r f o r m e dt od e m o n s t r a t et h ee f f i c i e n c ya n de f f i c a c yo ft h e p r o p o s e dm e t h o d s ，f o rb o t hs m o o t ha n dp i e c e w i s es m o o t hd o m a i n sw i t he x a c ta n dn o i s yd a t at h e n u m e r i c a lv e r i f i c a t i o n ss h o wt h a tt h em e t h o d sa r ec o m p u t a t i o n a l l yv e r ye f f i c i e n t ，h i g h l ya c c u r a t e s t a b l ew i t hr e s p e c tt ot h ed a t an o i s e ，a n dc o n v e r g e n tw i t hr e s p e c tt od e c r e a s i n gt h ea m o u n to f n o i s e i nt h ed a t a t h e yc o u l db ec o m p e t i t i v ea l t e r n a t i v e st oe x i s t i n gm e t h o d sf o rt h i sc l a s so fp r o b l e m s k e yw o r d s ：m e s h l e s sm e t h o d ，i n v e r s ep r o b l e m ，e l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，r e g u l a r i z a t i o n m e t h o d ，r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ，t h em e t h o do ff u n d a m e n t a ls o l u t i o n ，b o u n d a r yk n o tm e t h o d ，c a u c h y p r o b l e m 浙江大学硕士学位论文一类椭圆型偏微分方程反问题的无州格方法 1 1 研究背景 第一章绪论 在许多科学与工程问题中，我们要识别结构参数以揭示观察到的现象背后隐 藏的物理机制，或者需要逆向确定问题中的参数，使得对应的物理过程在最优逼 近的概念下与期望的结果相同。所有这些问题经常可用反问题来描述，因此反问 题在各科学与工程领域中广泛存在，并起到非常重要的作用。 一般地问题可写成第一类算子方程 4 f = g ， ( 1 1 ) 其中a ：x 斗y 是从线性赋范空间x 到线性赋范空阳j y 的算子，f x ，g y 为 给定数据。求解反问题就是从给定数据g 确定未知元素厂。 反问题向计算数学提出了很大的挑战。其困难之处在于问题的解对数据嗓音 不稳定，对数据作很小的扰动即可使数值解改变得面目全非。用数学的语言来说， 反问题通常是不适定的( 参考k x e s s 7 8 1 ) 。 定义1 1 ( k r e s s ) 由方程( 1 1 ) 定义的算子方程称为适定的，若算子彳双射，而且 逆算子a 1 ：y _ x 是连续的；否则该算子方程称为不适定的。 对于适定的算子方程，其解满足存在性、惟一性和对已知数据的稳定性。存 在性和惟一性在数学上非常重要，但是在实际问题中并不一定很关心。对于数值 计算来说，最为重要同时也是最为微妙的是解对数据扰动的稳定性。用于求解问 题的计算机只能进行有限精度计算，不可避免存在舍入误差。实际问题的已知数 据通常是由仪器测量得到的，必然存在测量误差。因此计算方法的稳定性对于得 到有物理意义的解是至关重要的。从数值计算的角度来说，不适定性在很大程度 上等价于解对数据扰动的不稳定性。 长期以来人们都认为不适定问题没有实际意义，而对其研究也不会获得重要 的数学结果。这种观念如此之强，一直到1 9 4 3 年才被打破。1 9 4 3 年t i k h o n o v 发 表了关于不适定问题的重要文章，指出了不适定问题的实际应用，并给出了一种 稳定求解不适定问题的方法，即现在广泛应用的t i l d a o n o v 正则化。 本文只考虑如下不适定问题：椭圆型偏微分方程的c a u c h y 问题。这一类问 第一章绪论 题属于边界反问题。椭圆型偏微分方程的定解问题一在整个区域的边界上给定精 确的边界条件一的数值求解研究相对比较成熟。但是在许多实际问题中，由于获 取数据存在技术困难，已知的边界条件不完整。比如一部分边界条件是不能直接 测量，而将测量仪器的存在则可能会严重影响我们要考虑的物理过程，因此只能 得到错误或者不准确的数据。 该问题的数学描述如下。设n 是r “中的有界丌区域，d 为空间维数，a q 为 其边晃。考虑如下偏微分方程( 组) ： 上“( x ) = 厂( x ) ，x q ，( 1 2 ) 其中是椭圆型偏微分算子，而f ( x ) 为己知函数。 数值求解该方程时，方程还必须满足一定的边界条件 尽“( x ) = g ( x ) ，x f 1 ，( 1 3 ) 其中r 。是边界a q 中可测量部分边界，旦为线性边界条件算子。 该问题在数学上是欠定的，为完全确定该物理过程，必须提供附加数据。根 据附加数据的类型，该问题有如下两种情形。 情形1 ：附加数据为在r 上与式( 1 3 ) 相异的超定边界条件 b 2 u ( x ) = g ( x ) ，x r 1 ， ( 1 4 ) 其中且也是线性边界条件算子。附加数据可能只是在边界上的一些测量点上己 知。此时该问题称为椭圆型偏微分方程的c a u c h y 问题。椭圆型偏微分方程的 c a u c h y 问题是高度病态的 4 7 j 。 情形2 ：附加数据是问题区域内部的一些点上的测量值 d u ( x ，) = ( t ) ，i = 1 2 ，n ，( 1 5 ) 其中d 为决定测量数据类型的线性数据泛函， x ， 是区域内 个测量点。在某些 工程问题如线弹性力学中，在区域内部的测量值可能更可取，因为内部测量值的 精度通常较边界测量值的精度高 1 1 0 。 我们的任务是根据附加数据确定其余部分边界f ，= f r ，上的边界条件。该 问题高度不适定，数值求解时会遇到很大困难。本文只给出情形1 有关的数值计 算结果。对于情形2 我们可以得到类似的结果，但是由于篇幅所限，我们省略有 关结果。 本文研究下列椭圆型偏微分算子：l a p l a c e ，h e l m h o l t z 和n a v i e r 算予。关于 椭圆型偏微分方程的c a u c h y 问题的数学理论的可参阅i s a k o v 的专著 6 4 。 浙江大学硕 学位论文 一共椭圆型偏微分方程反问题的光删格方法 1 2 椭圆型偏微分方程反问题数值求解的研究现状 现有的椭圆型偏微分方程反问题的数值求解方法大致可分为两类：直接法和 迭代法。在迭代法中，我们先给出r ，上边界条件的一个猜测值，然后通过极小化 某一个泛函如计算值与测量值之间的残差逐步改进猜测解。迭代法存在几个问题： 较好的初值以保证迭代收敛和合适的停机规则以得到稳定的解。松弛法可用于加 速迭代，但是选耿合适的松弛因子技巧性很强，无法在工程计算中得到广泛应用。 此外在每一步迭代都需要求解相应的f 问题，因此计算量比较大。在直接法中， 我们只须求解问题一次，因此计算效率比较高，但其构造可能比较困难。 本文主要考虑l a p l a c e 方程、h e l m h o l t z 方程和n a v i e r 方程组。在此我们概述 各方程的c a u c h y 问题数值解的研究现状。 l a p l a c e 方程的c a u c h y 问题大量出现于实际问题中，如稳态热传导过程、无 损测试、地球物理和心电学。关于该问题已经有许多研究：拟可逆法、t i l d a o n o v 正则化方法、边界元方法 5 6 ，5 7 】，其中大部分属于迭代法。h o n 和w e i 6 1 把问题 转化为矩量问题，并应用b a c k u s g i l b e r t 方法求解矩量问题。最近他们还将该方 法推广到三维情形 1 1 5 1 。h o n 和、【6 3 用径向基函数作h e r m i t e - b i r k h o f f 插值配 置点格式求解该方程边界确定问题。 h e l m h o l t z 方程经常用于分析声波传递、辐射和散射、结构和膜的振动以及散 热片中的热传导过程。w u 等人 1 1 4 ，1 1 7 1 提出了基于球谐函数的h e l m h o l t z 最小二 乘法，并考察了陔方法的数学基础【6 5 】。d e l i l l o 等 2 3 贝j j 研究了用边界元方法从 远场恢复声源。m a t i n 等 8 7 ，8 8 针对该问题用边界元方法实现了k o z l o v 等 7 7 1 的 迭代算法，其思路为将该问题转化为求解一系列适定的混合边值问题。最近 g r y a z i n 等【4 6 】用有限差分法求解了非齐次h e l m h o l t z 方程。 线弹性力学中的n a v i e r 方程组的c a u c h y 问题是经典的固体力学反问题。y e i h 等11 9 1 考察了该问题的适定性如存在性、惟一性和对数据的连续依赖性，并在单 层或双层位势理论的基础上提出了一种数值求解方法，即虚拟边界间接法。数值 计算时，他们应用n y s t r o m 方法离散第一类积分方程 7 6 】。最近一些研究人员提 出了一些基于边界元方法的数值求解方法。m a r i n 等【8 9 】用迭代边界元法确定线弹 性c a u c h y 问题的近似解，其做法为将问题转化为求解一系列适定的混合边值问 题；同时他们还将该方法推广到线弹性力学奇异c a u c h y 问题 9 0 1 。应用该方法求 第一章绪论 解可能需要很多步迭代以获得较为准确的近似解，因为迭代收敛较慢。为克服收 敛慢的缺点，可以应用松弛法来加速收敛。m a r i n 和l e s n i c 9 3 提出了一种利用边 界元方法直接确定近似解的方法，为稳定求解该问题，他们应用截断奇异值分解 求解所得到的线性方程组，所需要的f 则化参数则根据偏差准则确定，他们还考 察了正则化的阶数对解的精度的影n i l 9 2 1 。在文献 9 1 】中，m a r i n 等比较了各种不 同的正则化方法如共轭梯度法、t i k h o n o v 正则化和截断奇异值分解求解病态线性 方程组的数值性能。 但是现有研究仍有较大的局限性。首先，大部分研究集中于较为简单的齐次 线性方程如l a p l a c e 方程和齐次h e l m h o l t z 方程，对于半线性和非线性椭圆型方程 的c a u c h y 的研究很少。其次，对于非齐次方程研究相当少，即使是对最简单的 p o i s s o n 方程研究也是相当有限p 0 】。最后，现有的大部分方法利用传统方法如有 限差分法、有限元方法、有限体积法和边界元方法来离散偏微分方程。但是这些 方法也都有一定的局限性，需要具体研究一些特殊的因素。 1 3 无网格方法 不管是直接法还是迭代法，我们都需要离散相应的偏微分方程。有几种方法 可以达到该目的，如有限元素法、有限差分法、有限体积法、边界元方法和谱方 法。这些方法在过去的工程与科学计算中取得了巨大的成就，并将继续发挥着重 要的作用。但是随着问题的复杂程度提高和规模扩大，传统的方法由于其内在缺 点对于某些问题可能显得不够。 首先，有限差分法、有限元素法和有限体积法在求解问题时要求对整个问题 的求解区域作网格划分，但对复杂j l 何区域生成质量较好的网格非常耗时。在大 规模工程与科学计算中，大部分人工时间用于网格划分( 7 0 _ 8 0 ) ，已成为现代 工程与科学计算的瓶颈。对于移动边界问题或者区域在求解的过程中会发生很大 的变形的问题，我们需要对区域不断地作网格划分。重新作网格划分有时不仅非 常耗费计算时间，而且还会引入非物理的数值耗散现象 7 0 1 。 由于使用低阶多项式如线性或二次多项式来近似问题的解，这些方法的收敛 速度一般较低。通常数值解只是在单元上连续，而在单元之间的导数并不连续。 高阶的多项式则由于著名的r u n g e 现象一般不采用。因此提高解的精度的惟一办 浙江大学硕士学位论文 一类椭圆型偏微分方程反问题的无尉格方法 法似乎就是将网格划分得更细，这无疑会增加计算时间。在有限差分法中，用差 商代替微分，会引入色散和耗散，同时为保持计算格式的稳定性，要引入人工粘 性，改变了问题的物理背景，因此这些近似解无法准确刻画问题的物理背景。 第二、谱方法具有谱收敛速度，并且避免了有限差分法等所固有的色散等非 物理现象。但是局限于规则区域，要求网格可表示为张量积的形式，极大地限制 了谱方法的应用。 第三、边界元方法将问题的维数降低了一维，只需要对区域的边界进行离散， 部分克服了基于区域网格的方法的困难。但是因为使用了奇异的基本解，要求作 复杂的奇异积分，在数学上更为复杂。奇异积分的精度一般较低，因此解在边界 附近的精度较差，即存在所谓的“边界层效应”。此外，对复杂的曲面产生一个质 量较好的网格也不简单。 在最近几年里，有一大类称为无网格方法的偏微分方程数值解法在工程与科 学计算领域中受到重视。这些方法不需要对问题区域进行网格划分来支持计算过 程的进行。研究人员提出了各种各样的无网格方法，其中比较重要的有无网格 g a l e r k i n 方法 8 】、单位分解法、h - p 云法 2 4 】、无网格局部p e t r o v - o a l e r k i n 方法 3 1 、 再生核粒子法【8 6 和点插值法 8 5 等。关于这些方法较为详细的说明，可参阅综述 f 4 08 3 j 以及专著 8 4 ，1 2 1 】以及下列期刊中的专集：i n t e r n a t i o n a lj o u r n a l f o rn u m e r i c a l m e t h o d si ne n g i n e e r i n g ，c o m p u t e rm e t h o d si na p p l i e dm e c h a n i c sa n de n g i n e e r i n g ，e n g i n e e r i n g a n a l y s i s w i t hb o u n d a r ye l e m e n t s ，a d v a n c e si n c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s ，c o m p u t e r sa n d m a t h e m a t i c sw i t ha p p l i c a t i o n s 。本文考虑如下几种无网格方法：k a n s a 法、基本解方法 和边界节点法。 这些无网格方法的一个重要的特点是插值是定义于节点，不需要对区域或者 其边界作网格划分，因此对于大变形问题、移动边界问题和复杂几何区域问题比 较合适。大量的数值实验表明，与传统方法相比，无网格方法有其独特之处。无 网格方程在许多数值实验中取得了的巨大成功，但是无网格方法的理论基础仍没 有很好结果。 无网格方法已经被用于求解椭圆型偏微分方程的c a u c h y 问题 6 3 ，8 2 。h o n 和 w u 6 3 用径向基函数的h e r m i t e b i r k h o f f 插值配置点法求解了l a p l a c e 方程的 c a u c h y 问题。最近，l i 8 2 提出使用径向基函数酉己置法求解椭圆型偏微分方程的 c a u c h y 问题。他们的结果非常不错。但是插值得到的系数矩阵高度病态，他们 第一章绪论 6 3 ，8 2 】没有就此作任何处理，因此有可能对数据噪音不稳定。同时也没有考察径 向基函数中的形参数对数值解的精度的影响。 1 4 论文结构 本论文的其余部分组织如下。 第二章综述了稳定而有效地求解病态线性方程组的数值方法。首先我们介绍 了用于分析线性方程组病态性的奇异值分解，分析了求解病态线性方程组的困难 所在。接着介绍了有效求解病态线性方程组的正则化方法，包括t i k h o n o v 正则化、 截断奇异值分解和迭代正则化方法。正则化方法的数值性能依赖于正则化参数， 因此我们还比较了各种选取正则化参数方法的优劣。 在第三章介绍了径向基函数配置点方法，作为本文的理论框架。本章首先介 绍了径向基函数的基础理论，然后描述了用径向基函数配置点方法求解偏微分方 程，并讨论了该方法的困难之处及其克服办法。第三节介绍了紧支撑径向基函数， 用于克服系数矩阵的病态性，第四节则介绍了广泛应用于边界元领域的对偶互惠 法，用于求解非齐次方程的特解。最后给出两个数值算例说明这种方法求解椭圆 型偏微分方程反问题的有效性。 第四章和第五章讨论了基于算子的径向基函数用于求解椭圆型偏微分方程。 分别取偏微分算子的基本解与通解为径向基函数，得到基本解方法和边界节点法。 这两种方法都具有指数收敛、程序实现简单的优点。文中应用第一类f r e d h o l m 积 分方程理论对基本解方法的困难性作了新的解释，并提出克服的办法一正则化方 法。同时将应用于求解齐次问题的边界节点法推广到求解非齐次问题的情形。文 中给出了若干典型的算例以说明新方法相对于传统方法的优越性。 第六章总结了全文，得出了主要结论，并指出了若干研究方向和课题。 6 浙江人学硕l 学位论文类椭圆型偏微分方程反问题的无网格方法 第二章正则化方法 无网格方法离散偏微分方程反问题所得线性方程组通常是高度病态的，因此 本章介绍求解病态线性方程组的有效方法，即正则化方法。正则化方法的数值性 能与一个参数有关，本章详细地介绍了该参数的选取方法。本章的大部分材料可 在专著 2 7 ，5 4 ，11 3 中找到。 2 1 奇异值分解 用计算机求解问题时，我们必须把问题离散化，通常得到一组线性或者非线 性方程。离散反问题时，连续模型的不适定性会延续到离散模型一线性或非线性 方程组，因此所得方程组高度病态。此处只考虑如下线性方程组 a x = b ( 2 1 ) 病态线性方程组也出现于许多其他的场合。如基本解方法或者边界节点法离散偏 微分方程，或者数值求积离散第一类积分方程。 ? 分析病态线性方程组的主要工具是奇异值分解。矩阵a r ( m 1 ，其奇 异值分解可以写成 a = u z v 7 = q u ，v j ， ( 2 l 2 ) r - l 其中u ，和v 分别称为矩阵a 的左奇异向量和右奇异向量，u 和v 均为列单位正交 矩阵，即其列向量满足 u ；= 气，v ：v ，= 毛， ( 2 3 ) 其中磊是k r o n e c k e r 记号。奇异值q 非负，且按降序排列 盯1 盯l - 盯。0 ( 2 4 ) 易知奇异值分解满足如下重要的关系式 a v ，= 盯，i i ，a7 u ，= 盯，v ，a a v = 盯? v ，( 2 ，5 ) 离散反问题所得系数矩阵的奇异值很快衰减到零，并且衰减时相邻的奇异 值之间没有明显的间隔；随着i 的增加，相应奇异向量的变符号次数也增h 1 】 5 4 1 。 因此奇异值盯，越小，其相应的奇异向量u ，和v ，振荡得更厉害。 第一幸正则化方法 定义2 1 ( h a n s e n ) 矩阵方程a x = b 称为离散不适定问题，若矩阵a 是病态的，而 且其奇异值谱中的奇异值减小到零时没有明显的间隔。 系数矩阵随着离散问题的方式的不同而不同，但这不会改变问题的不适定 性。最优的离散方式可能会减小系数矩阵的条件数，但其数值实现通常比较困难。 根据奇异值分解，方程( 2 1 ) f f 9 解x 。可写为右奇异向量的线性组合 x 。= 套挚， 亿s ， x 。= ， ( 2 6 ) 其中k 是系数矩阵a 的秩。系数矩阵为长方形时，上式给出最小二乘解。由不适 定问题离散得到的矩阵a 有大量的小奇异值，因此上式中最后几项可能很大。考 虑到小奇异值对应的奇异向量有许多符号变化，因此最小二乘解是高度振荡的。 换而言之，最小二乘法的难点在于小奇异值的贡献淹没了大奇异值的贡献。 条件数c o n d 常用于衡量矩阵的病态程度 c o n d ：o 1 f 2 7 1 d ” 条件数在几个数值线性代数软件包中经常用于指示求解过程的失败。 但是用条件数估计问题的病态性通常过于保守。v a n d e r m o n d e 矩阵的条件数 很大，但是相应线性方程组却是适定的。因此，单单条件数不足以刻画问题的病 态程度。更为细致的研究表明，问题的病态程度与右端向量b 密切相关。更为精 确的不等式是由下面这个定理 1 6 】给出。 定理21 ( c h a ne ta 1 ) 设矩阵a 有奇异值分解a = u v 7 ，其中u = u l ，u 2 ，u 。】， v = 【v 。，v ：，v 。】，= d i a g ( o ，仃2 ，o - ) 为奇异值按降序排列。定义投影算子 r = u u ：，1 k ，其中u t = 【u u m ，u 。 r “2 。若a x = b 而且 a ( x + 占x ) = b + 抽，则有如下估计成立 镣洲蛐，赫 亿s ， 其中，有效条件数。定义为 锁舭叫等删1 ( 2 9 ) 浙江大学硕士学位论文一类椭圆型偏微分方程反问题的无网格方法 2 2 正贝q 化方法 由于离散不适定问题的内在的困难，数值线性代数中的经典方法如g a u s s 消 去法、l u 分解和最小二乘法通常不能给出合理的解。这不是说离散不适定问题 不可解，而只是说明经典的方法不适合于求解不适定问题。 求解不适定问题最为有效的方法是正则化方法。正则化方法的基本想法是用 “附近的”适定问题的解作为原来不适定问题的近似解。适定问题可由包含关于 解的先验信息如有界性和光滑性得到。 在各种正则化方法中，比较重要的有t i k h o n o v 正则化方法、截断奇异值分解 和迭代f 则化方法如共轭梯度型方法。 2 2 1t i k h o n o v 正则化 t i k h o n o v 正则化【1 0 8 】的核心思想是用半范数阻x 1 | ：来包含有关解的先验信息 如有界性和光滑性。t i k h o n o vi e 贝t 化将问题转化为极小化如下泛函 m i n i l i a x - b n 丑2l i e x 峨 ( 2 1 0 ) 共序川：为e u c l i d e a n 范数。正则化参数a 控制着给与正则项i i l x l l ：和残差范数 恤x b l l ：的权重。稳定泛函恤x l ：中的正则化矩阵l 可取为单位矩阵或者一阶或二 阶导数的离散形式，取决于所要求解的具体问题的要求。正则化矩阵l 为单位矩 阵时，则称为标准形式t i k h o n o v 正则化方法。 正则化泛函由两项组成：第一项对应于原问题，而第二项则对应于先验信息。 极小化该泛函的意思即为同时要求残差范数较小和近似解较好地满足先验信息。 此处只考虑标准形式的t i k h o n o v 正则化方法。一般形式的问题可转化为标准 形式问题。利用奇异值分解，易知t i k h o n o vi - f _ , l j 化解x 。可写成 矿喜胞) 竽v 。 ( 2 1 1 ) 其中，( 盯) 是t i k h o n o v 滤子函数 加，= 未* 怯：茎! a i 亿四 盯+ 以。 u 仃s 比较t i k h o n o v 正则化解x 与最小二乘解x s 可知，t i k h o n o v 滤子函数能有效 第一章正则化方法 地过滤掉最小二乘解中小奇异值的贡献，而保留其中大奇异值的贡献基本不变 从而保证数值解法的稳定性。同时正则化在口z 旯时开始起作用。 2 2 2 截断奇异值分解 最小二乘方法的困难在于真实解为小奇异值的贡献所淹没，克服该困难的一 个简单办法就是舍弃小奇异值的贡献，即取( 2 11 ) 中的滤子函数，为 他，= 按j 眨， 其中p 是正则化参数，确定何时开始舍弃小奇异值的贡献。该方法在反问题领域 中称为截断奇异值分解( t r u n c a t e ds i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ，t s v d ) 5 1 】，而 在统计学领域中称为主元分析( p r i n c i p l ec o m p o n e n ta n a l y s i s ，p c a ) 。该方法的想 法就是在子空问中求问题的近似解。 2 2 3 迭代正则化方法 直接矿则化方法如t i k h o n o v 正则化方法和截断奇异值分解能有效求解不适定 问题。但是计算大矩阵的奇异值分解计算量非常大，直接法求解大规模问题不可 行。人们为克服该困难进行了许多研究，现在一般认为【4 8 】求解大规模不适定问 题的最为有效的方法是迭代正则化方法，如共轭梯度型方法和l a n d w e b e r 迭代。 共轭梯度型方法对于求解系数矩阵为对称正定的线性方程组是极为有效的。 系数矩阵非对称时，有两种形式可以用：c g n e 和c g n r ，其理论分析和程序实 现细节可参考m a r t i nh a n k e 的专著( ( c o n j u g a t eg r a d i e n tt y p em e t h o d sf o ri l l - p o s e d p r o b l e m s ) ) 4 9 1 。l a n d w e b e r 迭代可看作是最速下降法的变种，其收敛速度较慢； 实际应用时可采用其改进形式一v 一迭代。 迭代法求解不适定问题时存在所谓的半收敛现象，即迭代开始时近似解序列 收敛于精确解，但是当迭代步数超过某个数时，近似解为噪音的贡献所淹没而迅 速变差。因此有必要给出一个停止迭代的规则以得到合理的解。 从实际计算的角度来看，在f 则化解和相应残差向量大致相同的意义下，只 要选取了合适的正则化参数，所有正则化方法给出比较接近的正则化解。关于这 一点，我们可以从各种正则化方法的奇异值分解表达式大致相同可知。因此在后 文的计算中，我们主要是应用截断奇异值分解求解病态线性方程组。 浙江太学硕士学位论文一类椭圆型偏微分方程反问题的无阿格方法 2 3 正则化参数选取法则 f 则化参数决定了极小化泛函中稳定泛函的权重。因此正则化方法的数值性 能与正则化参数密切相关。正则化方法的关键在于找到一个合适的正则化参数， 过滤掉充分多噪音贡献而不丧失过多关于真实解的信息。但是迄今为止通用的正 则化参数选取方法仍没有找到。 现有正则化参数选取方法大致可分为两类：确定性和启发式。确定性方法如 偏差原则和拟最优法，要求能比较准确地估计数据中噪音含量，其数学基础比较 扎实。启发式方法如广义交互检验和l 一曲线准则不需要对已知数据作任何先验的 假设。启发式方法求解实际问题时性能不错，但是通常缺乏严格的数学基础。 2 3 1 偏差原则 m o r o z o v 9 6 1 的偏差原则在应用中广泛受重视。偏差原则的基本想法是我们不 能要求解的精度比数据更高，数值解的精度应该与数据的精度保持一致。因此该 方法取正则化参数a 使得残差范数等于数据噪音e 的范数的先验上界，即 l a x 。- b f l ：= 瓯，l l e l l - r 以如下的方式定义函数西：r 4 r 4 呻r 巾( x ，y ) - - 妒( 1 l x - y l l 。) ，v x ，y r 。， ( 3 1 ) 其中：表示r 4 上的e u c l i d e a n 范数，则称痧和西分别为径向基函数和伴随核函 数。 常