（应用数学专业论文）一维准晶平面弹性的若干缺陷问题研究.pdf

中文摘要 准晶是近二十年来发现的一种新的固体结构和新材料。它的发现打 破了人们把固体划分为晶体和非晶体的传统观念。准晶弹性的刻画不仅 需要描写晶格振动的声子场，还需要刻画原子准周期排列的相位子场， 而且二者是相互耦合的，所以准晶的弹性较经典的一般晶体的弹性复杂 的多。在求解准晶的弹性与缺陷问题时，前人已提出了一些方法，如g r e e n 函数法、f o u r i e r 变换法、摄动法以及复变方法等。本文采用复变方法， 研究了一维准晶中几类特殊的缺陷问题，具体结构如下： 第一章为绪论，介绍了准晶的发现，准晶材料的分类及其功能并在 总体上阐述了准晶的弹性与缺陷问题。 第二章研究了一维六方准晶中的若干缺陷问题。第一节介绍了一维 六方准晶弹性的基本理论，将其弹性问题化为两个相互独立的问题去求 解，其中的一个和经典的弹性理论类似，另一个经过化简得到其控制方 程为两个调和方程。第二节研究了一维六方准晶狭长体中双半无限共线 裂纹问题，利用保角变换以及c a u c h y 积分公式等工具求得了裂尖处的应 力强度因子，在极限的情况下可以还原为若干已有的结果。第三节和第 四节分别研究了一维六方准晶中的圆弧裂纹以及抛物线裂纹问题，同上 节方法一样，求得了裂纹端点处的应力强度因子的精确解，在极眼情形 下，可以得到一些其它结果。 第三章研究了一维三方准晶的弹性问题。由于一维三方准晶弹性常 数的特殊，导致了其弹性问题比较复杂。本章推导了点群3 m 一维三方准 晶平面弹性的控制方程，通过引入势函数得其控制方程为一个8 阶常系 ， 数齐次偏微分方程，并将应力以及位移都用该势函数表示了出来。最后 求得了该控制方程以及各位移和应力分量的复变函数表示，即所谓的基 本解。 第四章为全文的总结，以概括的语言回顾了本文所做的工作。 关键词：一维准晶，弹性与缺陷，复变方法，应力强度因子 a b s t r a c t q u a s i c r y s t a l s ( q c s ) a r eb o t ha n o v e ls t r u c t u r eo fs o l i d sa n dak i n do f n e wm a t e r i a l sd i s c o v e r e di nr e c e n tt w od e c a d e s i t sd i s c o v e r yb r e a kw i t h p e o p l e st r a d i t i o n a lc o n c e p tt h a tt h es o l i d s a r ec l a s s i f i e di n t oc r y s t a l sa n d u n c r y s t a l s at h e o r e t i c a ld e s c r i p t i o no ft h ed e f o r m e ds t a t eo fq c sr e q u i r e sa c o m b i n e dc o n s i d e r a t i o no fi n t e r r e l a t e dp h o n o na n dp h a s o nf i e l d t h ep h o n o n f i e l dd e s c r i b e st h em o t i o no fl a t t i c e si np h y s i c a ls p a c e ，w h i l e t h ep h a s o n f i e l dd e s c r i b e st h eq u a s i p e r i o , d i ca r r a n g e m e n to fa t o m si nt h ec o m p l e m e n t a r y o r t h o g o n a ls p a c e ，w h i c hi n t e r a c tw i t ho n ea n o t h e r o w i n gt ot h ee x i s t e n c eo f p h a s o nf i e l d ，t h ee l a s t i c i t y o fq c si sm o r ec o m p l e xt h a nt h a to ft h e c o n v e n t i o n a lc r y s t a l s a sf a ra st h ee l a s t i c i t ya n dd e f e c t sp r o b l e mo fq c sa l e c o n c e r n e d ，t h e r ea r es o m em a t h e m a t i c a lm e t h o d sh a v i n gb e e np r o p o s e ds u c h a sg r e e nf u n c t i o nm e t h o d ，f o u r i e rt r a n s f o r mm e t h o d , p e r t u r b a t i o nm e t h o d a n dt h ec o m p l e xv a r i a b l ef u n c t i o nm e t h o da n ds oo n t h i sp a p e rr e s e a r c h e d s o m ek i n d so fe l a s t i c i t ya n dd e f e c tp r o b l e m sb yu s i n gt h ec o m p l e xv a r i a b l e f u n c t i o nm e t h o di no n ed i m e n s i o n a lq c s t h es t r u c t u r eo ft h i sp a p e ri s ： t h ef i r s tc h a p t e ri sa ni n t r o d u c t i o n i nt h i sc h a p t e r ，t h ef o u n do ft h eq c s ， t h ec l a s s i f i c a t i o na n dt h ef u n c t i o no ft h eq c s ，a n dt h eg e n e r a le l a s t i c i t ya n d d e f e c tp r o b l e mo fq c sa r ei n t r o d u c e d s o m ec o n c r e t ed e f e c tp r o b l e m so fo n ed i m e n s i o n a lq c sa l er e s e a r c h e d i nt h es e c o n dc h a p t e r f o rt h ef i r s ts e c t i o n ，t h eb a s i ce l a s t i c i t yt h e o r yo fo n e d i m e n s i o n a lh e x a g o n a lq c si si n t r o d u c e d i t se l a s t i c i t yp r o b l e mi sd i v i d e d i n t ot w oi n d e p e n d e n tp r o b l e m si nw h i c ht h ef i r s to n ei ss i m i l a rt ot h ec l a s s i c a l e l a s t i c i t yp r o b l e ma n dt h es e c o n do n esc o n t r o le q u a t i o n sa r et w oh a r m o n i c e q u a t i o n s ；f o rt h es e c o n ds e c t i o n ，t h ep r o b l e mo ft w os e m i i n f i n i t ec o l l i n e a r c r a c k si nas t r i pi si n v e s t i g a t e di no n ed i m e n s i o n a lh e x a g o n a lq c s u t i l i z i n g t h et o o l so fc 。o n f o r m a lm a p p i n ga n dc a u c h yi n t e g r a lf o r m u l aa n ds oo n ，t h e 馨： s i f sa tt h ec r a c kt i p sa r eo b t a i n e d ，w h i c hc a nb er e d u c e dt ot h ek n o w nr e s u l t s u n d e rt h ec o n d i t i o no fl i m i t a t i o n ；f o rt h et h i r da n dt h ef o u r t hs e c t i o n ，t h e p r o b l e m so fa r cc r a c ka n dp a r a b o l i cc r a c ka r er e s e a r c h e di no n ed i m e n s i o n a l h e x a g o n a lq c s t h ee x a c ts o l u t i o n so fs i f sa tt h ec r a c kt i pa r eo b t a i n e db y u s i n gt h em e t h o dw h i c hi ss a m ea st h el a s ts e c t i o n ，u n d e rt h ec o n d i t i o no f l i m i t a t i o n ，s o m eo t h e rr e s u l t sc a nb eo b t a i n e d t h et h i r dc h a p t e ri n v e s t i g a t e dt h ee l a s t i c i t yp r o b l e mo fo n ed i m e n s i o n a l t r i g o n a lq c s b e c a u s eo ft h es p e c i a l i t yo ft h ee l a s t i c i t yc o n s t a n t s ，t h e e l a s t i c i t yp r o b l e mo fo n ed i m e n s i o n a lt f i g o n a lq c si sm o r ec o m p l i c a t e d t h e g o v e r n i n ge q u a t i o no fp o i n tg r o u p3 mf o ro n ed i m e n s i o n a lt r i g o n a lq c si s d e d u c e db yi n t r o d u c i n gp o t e n t i a lf u n c t i o n si nt h i sc h a p t e r i t sg o v e r n i n g e q u a t i o ni sa8 - o r d r ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hc o n s t a n tc o e f f i c i e n t s a tt h es a m et i m e ，t h es t r e s sc o m p o n e n t sa n dt h ed i s p l a c e m e n tc o m p o n e n t sa r e e x p r e s s e db yt h ep o t e n t i a lf u n c t i o n s a tl a s t ，t h ec o m p l e xv a r i a b l ef u n c t i o n e x p r e s s i o n so ft h eg o v e m i n ge q u a t i o na n de a c hd i s p l a c e m e n tc o m p o n e n ta n d s t r e s sc o m p o n e n ta r eo b t a i n e d t h ef o u r t hc h a p t e ri nw h i c ht h eg e n e r a lw o r ki ss u m m a r i z e di nt h i sp a p e r i sas u m m a r i z a t i o n k e yw o r d s ：o n ed i m e n s i o n a lq c s ，e l a s t i c i t ya n dd e f e c t s ，t h ec o m p l e x v a r i a b l ef u n c t i o nm e t h o d ，s i f s 内蒙古师范大学硕l 学位论文 第1 章绪论 1 1 准晶的发现 传统的固体物理学认为，固体分为晶体和非晶玻璃体。对于晶体，它是由被统称 为质点的离子、原子以及分子在空间中无限周期重复排列构成的，这一性质被称为晶 体结构的周期性。正是由于这一性质的存在，在任意两个晶胞的对应点，晶体的物理 性质相同，这种特点称为晶体的平移对称性此外，围绕一个通过晶格格点的轴旋 1 一 转，当转角为竺! - 1 ，2 ，3 4 ，6 ) 或其整数倍时，总可以找到与自身重合的点阵，这一 行 性质称为晶体的取向对称性。由于平移对称性的制约，取向对称性只能取弗一1 , 2 ，3 , 4 ，6 五种，而不能有万一5 或_ r l ，6 的取向对称性，这在现实生活中反应为不能用正五边形 或边数大于六的正多边形无重复且不留间隙地铺满整个地面，也不能用具有5 次或6 次以上旋转对称轴的正多面体无重复且不留间隙地充满整个空间。对于非晶玻璃体， 它和晶体不同，其原子的排列既不具有长程取向序，又不具有旋转对称性。 十九世纪末发现的x 射线，为晶体微观结构的研究提供了有力的工具。由于x 射线的波长非常短，而原子在晶体中的排列又具有周期性，因此，当用x 射线照射晶 体时，会产生明锐的布喇格衍射斑纹。而在用x 射线照射非晶体时，却没有上述现象， 只能产生弥散的较弱的衍射谱。 但是，1 9 8 4 年底美国国家标准局的谢其曼( d s h e c h t m a n ) 等在一篇名为“具有 长程取向序而无平移对称序的合金相”嘲的论文中报道，他们在急冷的a 1 - m n 合金中 通过电子显微镜观察到了一种新的合金相，这种合金相具有长程取向序且含有五重旋 转对称轴，他们称之为二十面体相( i c o s a h e d r a lp h a s e ) 。这一发现和传统的固体 物理理论相悖，立刻引起了相关领域的许多科学工作者的关注。与此同时，我国科学 工作者郭可信等亦独立的在t i v n i 急冷合金中发现了具有二十面体对称性的合金 相。1 ”。后来人们就把具有这种既不同于晶体又不同于非晶玻璃体的结构的物质统称 为准晶。准晶的发现，看似和传统的固体物理理论矛盾，其实不然，因为准晶虽然具 有长程取向序，但却不是周期的，而是准周期的，这和晶体不同。正因为这样，在准 晶中也就可以出现晶体学所不允许的旋转对称性。到目i i i 为止，中外科学家已发现了 一维准品i y - j 面弹性的若十缺陷问题研究 包含五重、八重、十重以及十二重等旋转对称轴的准晶，如壬宁和郭可信“j 在c r n i s 合金中发现了八次对称准晶，b e n d e r s k y ”1 在a 1 m n 合金中发现了十次对称准晶，冯国 光在急冷的a 1 f e 合金中也发现了十次对称准晶，i s h i m a s a 等”和陈焕等”1 分别在c r n i 蒸镀薄膜及v n i s i 合金中发现了十二次对称准晶，等等。准晶的发现为固体物理学家、 力学家和材料学家提出了新的课题，随着研究的深入，将会有越来越多来自不同领域 的人参与到准晶的研究当中。图卜1 和图卜2 分别显示了二十面体准晶的五重旋转对 称性和十二次对称准晶的三种旋转对称性。 图卜1t i 拼i 二十面体准晶的电子衍射盈( 五重反对称轴) a 二重旋转对称轴 b 三重旋转对称轴c 十二重旋转对称轴 图1 - 2a 卜c 旷f e c r 十二次对称准晶的电子衍射图 2 内蒙古师范人掌硕- 学位论文 1 2 准晶材料的分类及其功能 1 2 1 准晶材料的分类 按照准晶在热力学上的稳定性，可以将其分为稳定准晶和亚稳准晶两类。按照 准晶在三维空间中呈现的准周期的维数，可以将其分为维准晶、二维准晶和三维准 晶。所谓的一维准晶是指材料的原子在三维物理空间中的一个方向上的排列是准周期 的，而在于此方向垂直的平面内原子是周期排列的。一维准晶共包括3 1 种点群，分 为6 大晶系，l o 个l a u e 类( 见表卜1 ) ，其中表示点群的符号的含义同文献 9 。所 谓的二维准晶是指材料的原子在三维物理空间中的两个方向上的排列是准周期的，而 在另外一个方向上原子的排列是周期的。实验上已发现的二维准晶有十次准晶、十二 次准晶、八次准晶和五次准晶等，这些二维准晶沿其周期方向分别具有十次旋转轴、 十二次旋转轴、八次旋转轴和五次旋转轴“。所谓的三维准晶是指材料的原子在三维 物理空间的三个方向上的排列都是准周期的。实验上已经发现的三维准晶为二十面体 准晶，他又可以分为简单二十面体准晶和面心二十面体准晶两大类。由此可见，不论 是一维准晶、二维准晶还是三维准晶，它们实际上都是三维空间中的问题。 1 2 2 准晶材料的功能 准晶从发现到现在不过二十几年的时间，由于其特殊的结构和性能，已引起全 世界的科研工作者的极大兴趣，并认识到了这种新材料的应用潜力。准晶和普通材料 相比，具有许多独特的性能，如准晶具有较低的热传导率，并在高温时具有超塑性， 这可以缓减由于热膨胀系数不同而造成的热应力。另外，准晶的光学性能也很特殊， 它对光具有吸收性且具有高的红外传导率，这有可能使其成为一种光学功能材料。此 外，准晶还具有不粘性、耐摩性等性能，所有这些性能都使得准晶有可能成为一种新 的功能材料而被广泛应用，当然这还有待于相关领域的科研工作者的进一步努力。但 是，在应用过程中必须注意的一个问题是准晶材料的脆性很大，难以作为结构材料而 直接应用，这就极大地限制了它的应用范围。所以，研究准晶材料的力学性质对于准 晶的应用具有重要的意义。 3 一维准晶平面弹性的若十缺陷u 】题研究 表1 - 1 一维准晶的点群，l a u e 类和独立弹性常数 晶系弹性常数个数 l a u e 类点群 九c以xn r 三斜 l1 ，l2 161 8 22 ，mb ，2 mh1 348 单斜 3 2 h ，m ，2 h m 1 3 4 l o 正交 4 2 2 h 2 h ，2 t m ，2 h mh ，mh 哪 935 7 2 4 5 4 ，4 ，4 mh 四方 6 4 2 h 2 h ，4 m m ，4 2 m ，4 mh l f l m 623 726 7 3 ，3 ， 三方8 3 2 h ，3 m ，3 m 624 524 9 6 ，6 ，6 mh 六方 1 0 6 2 6 2 h ，6 砌，6 2 m ，6 mh 嘞 523 1 3 准晶的弹性与缺陷 准晶的发现改变了人们以往对固体材料的认识。自准晶被发现之日起，就有许多 科学工作者投入到准晶的理论研究当中。目前，有关准晶的研究已取得了若干重要成 果。国外的mv j a r i c 、m s s e n e c h a l 、t j a n s s e n 以及我国的彭志忠等研究了准晶 的数学描述“”；s t a k e u c h i 、c j a n o t 、sb r o c b a l 和h s a i t o 等以及我国的刘有 延、傅秀军、杨文革等研究了准晶的包括电学、光学i 磁学和热学等在内的物理性质， 取得了令人瞩目的进展o “”；我国科学工作者丁橡华、王仁卉、胡承正杨文革和陈敬 中等在准晶的对称性、弹性塑性和位错的普遍理论及物理性质等方面的研究取得了大 量的重要成果”“；刘有延和傅秀军等在准晶体的构造方法、各类点阵模型和不同类 型准晶结构的各种独特的物理性质等方面也取得了许多有意义的成果旧1 。在此基础 上，以范天佑为代表的小组在准晶数学弹性理论方面丌展了若干研究，也取得了成功。 4 塑鐾点壁翌壁堡主型苎 由于准晶结构不具有周期对称性，而具有准周期对称性，所以其弹性与经典的弹 性有很大的不周。准晶弹性豹描述需要引入两个位移场材与，这是b a k 与s o c o l a r 等基于l a n d a u 关于元激发的唯象理论提出的哺“。其中l f 描述晶格格点离开平衡位置 的距离，当格点离开平衡位置发生振动时，这种振动的传播是声波，这种波是量子化 的，其量子称为声子，其低能长波元激发是传播型的。所以，从物理学的角度讲，o 场又称为声子场。w 在一定程度上描述准周期结构拚块的重排( 在晶体中这种重捧是 不可区分的) ，从而形成另一类低能长波元激发，这种元激发是扩散型的，也将导致 局域能量扰动嘲。在物理学中把w 场又称为相位子场正是由于相位子场的存在，使 得准晶的弹性比经典的弹性复杂的多。在准晶物理学中，d ( d = 1 ，2 ，3 ) 维准晶可以看 作是由( 3 ) 维空问的晶体向三维物理空间投影而得到的。因此，该高维空间有 两个子空间，一个是物理空间，又称为平行空间日，另一个称为补空闻，或垂直空 阃e 。那么位移场”在五中，w 在e 。中。 自准晶被发现以来，准晶中的缺陷就被观察到了。由于准晶材料比较脆，所以对 于准晶中所含的缺陷进行研究，就显得尤为重要在各类准晶中，一维准晶以其相对 简单的结构成为了人们开始研究准晶材料时首选的研究对象。到目前为止，有关一维 准晶的弹性与缺陷的研究已取得了许多重要成果4 1 对于二维以及三维准晶的弹性 与缺陷的研究，也已取得了相当丰富的成果懈删。本文主要研究了一维六方准晶的几 类复杂缺陷问题，并推导了一维三方准晶平面弹性的控制方程及其复表示 一维准晶平面弹忤的若干缺陷问题研究 第2 章一维六方准晶的弹性与缺陷问题 2 1 一维六方准晶弹性的基本理论 准晶是近二十年来发现的一种新的固体结构和新材料，其弹性问题的刻画不仅需 要描写晶格振动的声予场，还需要刻画原子准周期排列的相位子场，而且二者是相互 耦合的。如表卜1 所示，一维准晶共包括3 1 种点群，分为6 大晶系，l o 个l a u e 类， 文献 3 1 研究了一维准晶弹性的普遍解，文献 3 2 研究了一维六方准晶中的椭圆孔洞 问题，文献 3 3 中讨论了一维六方准晶中的双裂纹问题，文献 3 4 - 3 6 分别研究了一 维六方准晶中的直位错、运动位错以及裂纹与位错的相互作用。本章将讨论点群6 m 一维六方准晶的几类复杂缺陷问题。 在一维六方准晶中，用“。，h ：，球，表示声子场位移分量，w 表示相位子场位移 分量，用 【，w j 】- e 1 1 ，g ，2 e ，2 2 e , 2 ，m ，嵋，w 2 】 、 【q ，h ，卜【q 1 ，o 2 2 ，屹，q 1 ，q 2 ，h 3 ，凰，h 2 】 分别表示声子场及相位子场的应变以及应力分量。由文献 4 6 知，一维六方准晶中的 广义h o o k e 定律为 q l _ c 1 1 s i l + c t 2 笠+ c 1 3 3 3 + 墨嵋 d 叠- c 1 2 s 1 1 + c l l 屹+ c 1 3 岛+ r 鸭 - c 1 3 1 + c 1 3 屹+ c 3 3 s 3 3 + 也w 3 o 2 3 - 仃3 2 - 2 c “占+ 玛 乃l q 3 2 c “s 3 1 + 咒w l ( 2 1 1 ) q 2 一吒1 - 2 氏 2 h 1 一弛岛1 + 岛m h 2 - 2 j i 3 + w 2 也一日心。+ ) + r + k 嵋 其中c j 和k 分别为声子场与相位子场独立弹性常数，j | - g 6 - 旦以2 ，足为耦合的 声子场一相位子场弹性常数。几何方程为 6 内蒙古师范人学碘卜学位论文 ，l 寺p ，u i + a j ) ，m = a j w ( 2 1 2 ) 其中a a u i 魄o ，j - 1 , 2 , 3 ) ，在不计体力的情况f ，平衡方程为 a l q l + a 2 q 2 + a 3 q 3 0 ；l o 2 1 地+ a 2 圳o + 0 ，3 0 2 3 。- 0 3 3 0 。 ( 2 1 3 ) a l o r 3 l + a 2 ( 嘞+ a 3 一 0 1 h 1 + 0 2 h 2 + 8 3 h 3 0 以上三式就是点群6 咖一维六方准晶弹性理论的基本方程。 取准周期方向为坐标轴五方向，则当缺陷穿透一维六方准晶的准周期方向时由准 晶体的几何对称性知，变形不随自变量变化，即 a 3 - 0 ，# 3 t m - 0 ，a 3 f 一0 ，f ，一1 , 2 , 3 ( 2 1 4 ) 将( 2 i 4 ) 代入( 2 1 i ) 一( 2 i 3 ) ，可以得到如下两个相互分离的问题： 问题i i d 么i 口k 一2 c 4 4 舌+ 马屹 ( 2 1 5 ) 玛1 一- 2 c 4 4 e 3 l + 马m ( 2 1 6 ) r l 一2 兄f 3 l + h ，h 2 - 2 坞+ k ( 2 1 7 ) a l 码1 + 0 2 0 岛- 0 ，a 1 矗j + a 2 月j 。0 ( 2 1 8 ) e 3 j i 浯一专a l u 3 w - a i w ，j - 1 , 2 t 2 1 这是耦合的声子场一相位子场问题，和一般的晶体的弹性问题完全不同。 问题i i q l c l l 1 + f 笠，口五_ c l 毛1 + c 1 i 笠 ( 2 1 1 0 ) 一一( c 1 。一乞) ( 2 1 1 1 ) c k _ c 1 3 ( 岛1 + ) ，- i , i r ( 毛l + 笠) ( 2 1 1 2 ) a l q l + 0 2 q 2 1 0 ，0 1 0 2 1 + a 2 口笠崔0 ( 2 1 1 3 ) 毛，。委p j m i + a l u j ) ，f ，j ，1 , 2 ( 2 1 1 4 ) 该问题类似于各向同性晶体的平面应变问题，但比后者多了一仑方程( 2 1 1 2 ) 的第二式。 7 一维准晶甲面弹性的若干缺陷问题训宄 对于问题i ，将( 2 1 9 ) 式代入( 2 1 5 ) 一( 2 ，1 7 ) 后，再代入( 2 1 8 ) 式，可以 得到 c v 2 u ，+ 坞v 2 w - 0 ，r v 2 h 3 + k 2 v 2 w m 0 ( 2 1 1 5 ) 其w 一簧+ 毒，c k 2 可一呲上式化为 v 2 h ，t 0 ，v 2 w 一0( 2 1 1 6 ) ( 2 1 1 6 ) 式说明，问题i 最终归结为两个调和方程的求解，由复变函数理论知，u ， 和w 可表为两个解析函数的实部，即 u 3 一r e t p l ( z ) ，w r e a p l ( z ) ( 2 1 1 7 ) 其中r e 表实n a t ，吼( z ) ，妒，( z ) 为任意两个解析函数，z - 置+ i x 2 对于问题i i ，可以按照经典的弹性理论去求解。伽 2 2 一维六方准晶狭长体中共线裂纹问题 如图2 - 1 所示，一维六方准晶狭长体的高度为2 h ，在狭长体的中部有两条半无 限共线裂纹，两裂纹尖端之间的距离为a ，建立如图所示的坐标系，并假设置轴方 向为准周期方向，且裂纹穿透准周期方向，有准晶体的几何构型知，该问题为准晶平 面弹性问题。 - 7 z i h 90 0 0 0 q 夕 a 西彩。毋$ 一， 、 i h l 图2 - 1 一维六方准晶狭长体中的共线裂纹， 由于问题i i 可按经典的弹性理论去求解，故本节只讨论问题i 。假设其中一条 裂纹在从尖端起长度为口的一段上作用着剪应力0 3 2 t - p ，h ：一- q ，狭长体的表面不 受外力作用，因而边界条件为 8 内蒙古l i f j 范大学硕士学位论文 葺。：，一h 而s ：o 。，l 。o ，h - 。o ( 2 2 1 ) x 2 曩o ，一五一口或a 1)的解析函数一古矿7妒1ww ( 口)( 口) bo 一古妒哆) 的边值， c a u c h y 积分公式，对于l 纠 l ，有 一1 f 坚丝丛堕d 仃：一1 f ! 丝芝唣d 盯：0 ( 2 2 1 7 ) 2 万ij f w 7 ( 盯) 仃一f 7 _ 月r ij f w ( 矿) 盯一f 把( 2 2 1 5 ) 式和( 2 2 1 7 ) 式代入( 2 2 1 3 ) 式以及( 2 2 1 4 ) 式，可得 妒w ) + 丧缈协2 呐矗! 冲f 厂势盯 蚴8 ) 妒协耖阶誓击f ，詈挚d 利用( 2 2 9 ) 式以及( 2 2 1 6 ) 式，有 击ij f r 厂器如去ij f i - i 尝( f i r 曲一琴4 - 鳊一而南，+幼 。口一f 2 万 一f万。( 1f y + ，忱( 1 一f y( 1 + f r + 颤l f r 7 2 h 面虿再丽i 乏a ( 1 两- r 面) ( 1 - 丽 了) 丽再而1 1 1 i i 一- i g f af ) ( 2 2 1 9 )石2 【( 1 + f y + 口( 1 一f 严】“l + y + ，雠( 1 一f y 】l i f 其中 辨- h 堡宰，n ；t m辨= m f 2 1 - 口 关于f ( f ) 的详细计算，可参阅文献 4 9 。此时，( 2 2 1 8 ) 式变为 ( 2 2 2 0 ) 9 + 芑c 缈询= 芒f ( o ，妒协+ 鲁l 矿询= 髦w )( 2 2 2 1 ) 2 o 一2 由( 2 2 2 1 ) 式可以求得 届瓦 堡卜 内蒙古师范大学硕士学位论文 利用( 2 2 1 2 ) 式，有 识k ，= 箦了鬻嚣 m k ，= 鬻= 鬻嚣 代入( 2 2 6 ) 式，得 ( 2 2 2 2 ) ( 2 2 2 3 ) 州铲2 一器，州也= 2 9 i 器 解此方程组，便可得到应力如。，d k ，h i ，由于表达式冗长，这里略去不写为 了得到：平面上的应力函数，还需将( 2 2 1 0 ) 的反演f = w 。1 ( z ) 代回( 2 2 2 3 ) ，这样 便可求得应力函数 我们知道，裂纹端点往往是材料破坏的起点，而应力强度因子可以反映裂纹尖端 附近应力的强弱程度，所以求解和测定材料的应力强度因子是非常重要的f 平面上 应力强度因子的计算公式为 k 品2 恕2 而意，k 盅。恕2 为考 2 2 锄 其中f - - - 盲；为与裂纹顶端对应的点，由( 2 2 1 6 ) 式可知 w 。( o 专 又由( 2 2 1 9 ) 式，有 ，) ，f 哼l ，f _ 一1 舻盟弦 h一幼h一幼 ，-l。illltli_ii、 一维准昌平面弹性的若干缺陷甸题研究 从而有 附，堪端三 把( 2 2 2 5 ) 式代入( 2 2 2 4 ) ，在f = l 处，有 f _ 1 ( 2 2 2 5 ) f 专一l = 羔学。嚣 亿 咚姆2 而焉2 孚书 在f = - 1 处，有 牛磐煽尚詈箩 k m i _ - 叫l i m2 而焉。孚等 其中，m 和n 由( 2 2 2 0 ) 式给出，以上就是狭长体的一维六方准晶中双半无限共线裂 纹在裂纹端点处的应力强度因子的精确解析解。 以上已分剐求出一维六方准晶中的双半无限共线裂纹的尖端处的型应力强度 因子，下面对这一结果作进一步讨论。 首先，在( 2 2 2 6 ) 式中，令a 斗，由( 2 2 1 1 ) 式，有，专0 ，o f - + l c - ，“， 从而得到一维六方准晶狭长体中单个半无限裂纹在裂尖处的应力强度因子为 1 4 曾鲁 届丽厢丽 ，_l_-i_iilcl_ii_l 悬 内蒙古师范大学硕士学位论文 k 盅= 了2 v 晡, h 而1 4 - l 厅- - 磊e - n h ，给1 - 函7 - 如蕞；( 2 2 2 8 ) 这一结果与文献 4 6 中的结果完全一致。 其次，在( 2 2 2 8 ) 中令h _ ，可得 k 三：牵， 、，万 。2 函 k 2 尹 ( 2 2 卿 这是无限大区域内一维六方准晶中含单半无限裂纹时裂尖的应力强度因子的计算公 式。 最后，在( 2 2 2 6 ) 式和( 2 2 2 7 ) 式中令h 斗o o ，由( 2 2 i i ) 式，有，专l ， 口 口 一 口+ a ( 2 2 3 0 ) ( 2 2 3 1 ) 这是无限区域内一维六方准晶中双半无限共线裂纹在裂纹端点处的应力强度因子的 计算公式。同时，在( 2 2 3 0 ) 式和( 2 2 3 1 ) 式中令a - - b o o ，可以得到( 2 2 2 9 ) 式， 1 5 一维准品p 血井忤的若十缺骼问题研究 这又还原为无限大区域内一维六方准晶中含单半无限裂纹的情形。 2 3 一维六方准晶中的圆弧裂纹问题 自从准晶被发现以来，准晶中的缺陷( 孔洞、裂纹、位错等) 就被观测到了。在 各种各样的裂纹中，有些是直裂纹，有些是曲裂纹。对于曲裂纹，有一部分可以被近 似地看作圆弧或者抛物线，本节将讨论圆弧裂纹问题。 假设一无限大一维六方准晶中包含一穿透准周期方向( 设为毛方向) 的圆弧形 裂纹，在无穷远处该准晶体受到沿准周期方向的剪切力p ，如图2 2 所示。 n x 2 舻懿。 - a a 孓l i e 图2 - 2 无穷远处受力的圆弧裂纹图2 - 3 表面受力的圆弧裂纹 由线弹性理论分析的结果知，该问题同准晶在远处不受外应力而只在裂纹面上作 用着剪应力口k - 一p ，h ：- - q 的情况在相差一个常数的情况下是等价的，所以我们 只讨论这后一问题取圆弧裂纹两端点的连线为五轴，屯轴通过裂纹中点，设圆弧 所在圆的圆心在点i c 处，圆弧所对的弦长为2 4 ，弓高为h ，如图2 3 所示。则该问 题的边界条件为 如2 尘：- o ，日：。0 。( 2 3 1 ) 而r 2 一x 1 2 + c 且- 口t 口：0 3 2 - 一p ，日2 _ - q 如果用l 表示裂纹，把( 2 2 7 ) 代入( 2 3 1 ) 的第二式，得 c ：“瓴一识7 ) + 马 l 一1 ；f ，) 一2 p i 五，2 缈。一妒，) + 玛( 锻一仍) t2 q i ，z e l 1 6 ( 2 3 2 ) 内蒙古师范人学硕i ：学位论_ ； 引入仪角变换3 其中 z i 吲一等+ 岽篇 ( 2 3 3 ) ；。竺二：! 孚i ，；：。a + 厅i a 2 + 互h 2 i 且l 白l t l ，l ；：i ，1 ( 2 3 4 ) 则该变换将0 平面的单位圆盘保形变换到z 平面上的区域q ，且有 w ( 1 ) 。a ，w ( 一1 ) 。口，w ( - , - i ) 。h i ( 2 3 5 ) 此时，若再令妒( ；) - 砚0 ) 一仍( w ( 言) ) ，妒( ；) 一妒。( z ) 一哦( w ( 考) ) ，则将( 2 2 1 2 ) 式代 入( 2 3 2 ) 式，整理后将单位圆上的点o - e ”代入，得 妒o ) 一掣而+ 争咖) - 掣而】。f 2 p i w s w ( 仃) o “ w ( 盯) o “ 妒。) - 老而+ 拿( 咖鬻而】一2 q i k 2 w k 2w 协 w7 ( d r ) ( 盯) 以上两式遍乘p 一；：) 2 ( 2 ：r i ( o 一考) ) 后，沿单位圆z 积分，得 一1 r 丛必型丛d 盯一上r 立咝坚盟地d 口+ 劢1 仃一； 劢1 出 w ( 盯) 口一f 拿1 1r 丛掣d 盯一拿一1r 亟螋幽d 盯( 2 3 6 ) 气扫i 口一；气幻i j f w p 1 盯一 ；型上r ! ：鲤堑二兰；e d 盯 1 7 一维准晶平面弹性的若干缺陷问题研究 上r 丛丛竺丝d o - 一1r 立鲤鲤亚盟d 仃+ 幼i j 7 盯一考扫i w ( 口) 口一当 鲁上 吐掣d 仃一鲁上 巫必幽d u ( 2 - 3 7 ) 髟2 s t i 仃一； k 22 s t i w ( 盯1 o r 一考 。 。型上r 丛必d 盯 k 、2 z r i j to r 一芒 由于妒信x