（概率论与数理统计专业论文）关于几何分布数字特征的研究.pdf

at h 本人声明 的研究成果除 的研究成果， 作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 二6 二 思。 学位论文作者签名：引丹 e t期：护7 。f 二、 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 、 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： ，重，tl 东北大学硕士学位论文摘要 关于几何分布数字特征的研究 摘要 本文主要从矩的角度对几何分布的数字特征进行了研究。归纳了分布的原点矩、中 心矩和半不变量这三种常见矩之问的性质及转化关系。并在总结前人对几何分布的数字 特征研究方法的基础上，采用概率统计和组合数学相结合的方法进行研究。 引入了组合数学中第二类s t i r l i n g 数s ( n ，k ) ，利用s ( n ，k ) 的性质给出了几何分布的 高阶原点矩、高阶中心矩及高阶半不变量这三种高阶矩的直接表达式，尝试给出其简化 形式。并与原点矩和中心矩的递归 j 递推算法进行比较。应用得出的三种高阶矩的一般 表达式进行计算，求出部分低阶矩，同时将得到的结果与递推公式得到的结果相比较。 关键词：几何分布；原点矩；中心矩；半不变量；第二类s t i r l i n g 数 ，j j l，日，自j： i j 、 东北大学硕士学位论文摘要 a b o u tt h er e s e a r c h e so nn u m e r i c a l p -l l。 c n a r a c t e r l s t l c s0 ig e 0m e t r i cd i s t r | b u t i o n a bs t r a c t i nt h i sp a p e r , s o m ed i s c u s s i o n sw e r eg i v e na b o u tt h en u m e r i c a lc h a r a c t e r i s t i c so f g e o m e t r i cd i s t r i b u t i o nf r o mt h ea n g l eo fm o m e n t g e n e r a l i z e dt h ec h a r a c t e r sa n dt h er e l a t i o n s a b o u tt h eo r i g i n a lm o m e n t ，c e n t r a lm o m e n ta n dc u m u l a n t s t u d i e st h en u m e r i c a lc h a r a c t e r i s t i c s o fg e o m e t r i cd i s t r i b u t i o nw i t ht h ep r o b a b i l i t ya n dc o m b i n a t i o n sm e t h o d sb a s e do nt h ep a s t e x p e r i e n c e s i n t r o d u c e st h es t i r l i n gn u m b e r so ft h es e c o n dk i n ds ( p ，k ) o fc o m b i n a t i o n s ，g i v e n g e n e r a le x p r e s s i o n sf o r t h eh i g ho r d e ro r i g i n a lm o m e n t ，t h eh i g ho r d e rc e n t r a lm o m e n ta n dt h e h i g ho r d e rc u m u l a n tw i t ht h e c h a r a c t e r s o fs ( p ，k ) a l s ot r i e dt o g i v e t h e s i m p l e s t e x p r e s s i o n sa n dc o m p a r e dw i t ht h er e c u r s i v er e l a t i o n s c a l c u l a t e ds o m el o w e ro r d e rm o m e n t s w i t ht h ee x p r e s s i o n so ft h r e eh i g ho r d e rm o m e n t se x p r e s s i o n s c o m p a r e dt h er e s u l t sb e t w e e n t h eg e n e r a le x p r e s s i o n sa n dt h er e c u r s i v er e l a t i o n s k e y w o r d s ：g e o m e t r i cd i s t r i b u t i o n ；o r i g i n a lm o m e n t ；c e n t r a lm o m e n t ；c u m u l a n t ； s t i r l i n gn u m b e r so ft h es e c o n dk i n d 1 1 1 0-ir 东北大学硕士学位论文 目录 目录 声明i 中文摘要i i a b s t r a c t i i i 第1 章绪论l 1 1 研究背景及现状。1 1 2 本文的主要工作3 第2 章预备知识5 2 1 原点矩与中心矩一5 2 2 特征函数与半不变量5 2 3 第二类s t i f l i n g 数的定义与性质。6 2 4 两种矩母函数的定义8 2 5 分布的原点矩与中心矩之间的关系9 第3 章几何分布的原点矩1 1 3 1 几何分布的原点矩的定义1 l 3 2 用递归算法求几何分布的高阶原点矩1 l 3 3 第二类s t i r l i n g 数表示的几何分布的高阶原点矩表达式1 2 第4 章几何分布的中心距l5 4 1 几何分布高阶中心矩的表达式。15 4 2 几何分布的高阶中心矩的递推公式15 4 3 用第二类s t i r l i n g 数表示的几何分布的高阶中心矩的表达16 第5 章几何分布的半不变量1 9 i v 东北大学硕士学位论文 目录 5 1 半不变量的性质2 0 5 2 半不变量与原点矩之间的关系2 2 5 3 用第二类s t i r l i n g 数表示的几何分布的高阶半不变量的表达式2 3 第6 章总结2 5 6 1 本文综述2 5 6 2 遗留问题及下一步工作2 5 参考文献2 7 致谢一2 9 v 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 1 1 研究背景与现状 第1 章绪论 对于几何分布的数字特征的研究，早在7 0 年代就已经被许多数学家所广泛重视。 1 9 7 6 年，a r n o l d 最早应用顺序统计量为工具进行研究，之后又有e l n e w e i h i ，s h a n b h a g ， g o v i n d a r a j u l u ，等人也采用相同的方法进行研究。直到1 9 7 9 年，s r i v a s t a v a 在题为 “t o wc h a r a c t e r i z a t i o n so ft h eg e o m e t r i cd i s t r i b u ti o nb yr e c o r dv a l u e s ”的文 章中将记录值的方法引入之后，又有了很多新的结果。1 9 9 2 年，马本成，程侃在文献 3 中，进一步发展了s h a n b h a g 在文献 8 中的结果，并从矩、顺序统计量和纪录值三个方 面对几何分布的数字特征进行了研究。 1 9 9 8 年，g a l k i n 和u f i m t s e v 在文献 5 中，从矩的角度对离散型分布的数字特征 包括中心矩，二项矩，阶乘矩，半不变量之问的关系进行了讨论，并引入了组合数学中 的第一类和第二类s t i r i i n g 数，分别给出了第一类s t i r l i n g 数和随机变量的阶乘矩之 问的关系式，第二类s t i r l i n g 数和随机变量的原点矩之间的关系式，如下： 令a ，表示随机变量x 的，阶原点矩，随机变量x 的，阶阶乘矩定义为 ( 倪) ，= e ( 毒) ，= ( x ) ，d f ( ) = ( ) ，p ( 一) ，= l ，2 3 d f ( x 23 ( 倪) ，= e ( 毒) ，= i ( x ) ，) = ( x ，) ，p ( x ，) ，= l ， j 其中，( x ) ，= x ( x 一1 ) ( x 一2 ) ( x 一3 ) ( x - - r + 1 ) ， 令s ( n ，m ) 表示第一类s t i r l i n g 数，s ( n ，m ) 表示第二类s t i r l i n g 数有， ( a ) ，= s ( r ，j ) a ， j = o a ，= s ( r ，烈a ) ， j = o 其实，将组合数学与概率统计结合起来解决问题早就有之，在1 9 7 4 年，p e r d s s 和s p e n c e r 在题为“p r o b a b i l i s t i cm e t h o d si nc o m b i n a t o r i c s ”的文章中首先提出将概率论的 方法引入到组合分析问题中来。近年来，随着各学科之间的相互交叉渗透，概率论与组 合数学之问的密切联系已开始引起国内外学者的关注。这方面，国内外的研究成果不是 一1 东北大学硕士学位论文 第1 章绪论 很多，而且多集中在组合优化，随机图，r a m s a y 理论等方面的应用。1 9 9 8 年，孙平在 文献 4 中提出，很多组合数与随机变量的矩有关，同时给出了s t i f l i n g 数的概率解释， 并给出了如下的定理： 假设随机变量序列u 1 ”2 ，u 3 一i i d ，并且都服从u 0 ，l 】，f 1 , f 2 ，f 耐且服从r ( 1 ) ，并且， 随机变量，”，与f ，独立，则刀，k 1 时， 第二类s t i r l i n g 数 s c 七，= ： e c + 广一，或者 s c 门，七，= n - 1 e c “。+ 一。+ ，”一i 跏= 志e ( f 。+ 2 f z + k f k 广 规定，s ( n ，0 ) = s ( o ，k ) = 0 ，s ( o ，0 ) = 1 第一类s t i r - i n g 数 s c 门，七，= c 一，“一 ： e c r 。+ + “。r 。广一i ，或者 s c 刀，七，= c t ，”一。 ：二： e c “。厂。+ + 甜。一。r 。一。+ r 。，”一t 规定，s ( n ，0 ) = s ( 0 ，k ) = 0 ，s ( o ，0 ) = 1 此定理证明了第二类s t i r l i n g 数和第一类s t i r l i n g 数都是常见的随机变量和的矩。更 进一步说明了s t i r l i n g 数与随机变量的矩有着密切的联系。 2 0 0 5 年，a p b a r a n o v 与y u a b a r a n o v 在“a p p r o x i m a t i o no fm o m e n t so fa r b i t r a r y i n t e g e ro r d e r sb yg e n e r a l i s h e df a c t o r i a lp o w e r s ”这篇文章中也应用了第二类s t i r l i n g 数来近 似表示随机变量x 的原点矩。首先，令 x 量：了! 兰夏- ：x ( x 一七) ( x 一七+ 1 ) ， ( 工一七) ! 、7 2 - 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 则有， 掣= 非k = o 弦 i 几j 设定0 ”= 0 对任意整数聊都成立，对任意整数m ，s ，其中s 0 ，存在一个只依赖于 m ，s 的连续函数c l ( m ，s ) ，使得 i e 善”一立k = o 肌m 一七) ( e 考m - ki。七(m一 0 ，( 1 k p ) ，s ( p ，k ) = 0 ， ( 1 p k ) 一6 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识 规定，s ( o ，0 ) = 1 ， s ( o ，k ) = 0 ( k 1 ) 性质i 第二类s t i r l i n g 数与以p 之间的关系式 虢叭一个蹦乩= r 。翥1 n p = s ( p ，o ) 【疗】o + s ( p ，1 ) 【门】l + s ( p ，2 ) i n 2 + s ( p ，船) 门】p p = s ( p ，七) 呲 ( 2 2 ) k = o 性质2 第二类s t i r l i n g 数满足“三角形”递推关系 如果l k p l ，则 s ( p ，k ) = k s ( p 一1 ，k ) + s ( p l ，k 一1 ) 证明： f l 了( 2 2 ) ，我们有 ，z p = 2 s ( p ，七) 【胛】。 ，lj k = o p i 和 以川= s ( p - 1 ，七) 门k p i 因此，疗p = l l n 川= 刀s ( p - 1 ，尼) k = o p 一1 2 s ( p - 1 ，七) 胛呲 k = o p - l = 2 s ( p - 1 ，七) ( 刀一j | + 后) 门k k = o = 窆s ( p l ，七) ( 行一纠吐+ 窆格( p 一1 ，七) 比 p - ip i 2 s ( p - 1 ，七) 呲+ + s ( p - 1 ，七) 胛l k = ok = l 在上式左面的和中，用k l 代替k ，得到 pp i 力，= s ( p - 1 ，k - 1 ) n t + k s ( p - 1 ，足) 帆 膏= l七= l 一7 一 ( 2 3 ) 东北大学硕士学位论文 第2 章预备知识 p i = s ( p - 1 ，p - 1 ) n p + ( s ( p - 1 ，k 一1 ) + k s ( p 一1 ，圳疗k 七= l 对于满足1 k p 一1 的每一个后，比较玎p 的表达式中【胛l 的系数，最后得到 s ( p ，0 ) = 0 ( p 1 ) 和s ( p ，p ) = 1 ( 尸0 ) 利用此定理，还可以如p a s c a l 三角形一样得到下面表2 1 表2 1 当1 k p 1 0 时，第二类s t i r l i n g 数s ( p ，k ) 取值的列表 t a b l e 2 1w h i l e1 k p 10 t h ev a l u e so f s t i r l i n gn u m b e r s o ft h es e c o n dk i n d 弋 1234567891 0 ll 21l 3131 4 l761 5l1 52 51 0l 6l3 19 06 51 5 1 7l6 33 0 13 0 51 4 02 ll 8 l1 2 79 6 61 7 0 l1 0 5 0 2 6 6 2 8 l 912 5 53 0 2 57 7 7 06 9 5 12 6 4 64 6 23 61 l o 15 1 1 9 3 0 0 3 4 1 0 5 4 2 5 2 52 2 8 2 75 8 8 07 54 5l 性质3s ( p ，后) 满足垂直递推关系 跏= i 剐pp 厂1 卜， ，s l s ( p ，七) = s ( i - 1 ，七- 1 ) k 川 k l p 性质4s ( p ，k ) 满足水平递推关系 s ( p ，七) = ( 一1 ) 似+ 1 j s ( n + l ，七+ + 1 ) o j n - k k - 1 k ! s ( p ，七) = 七p - z 【七】，s ( p ， 2 4 两种矩母函数的定义 定义2 7 随机变量x 的原点矩的矩母函数定义为 o ( t ) * - - e ( e ) = e 矿峨( x ) 8 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 东北大学硕士学位论丈第2 章预备知识 如果上式右边的积分存在，则 e ( x ) = i f ，( 0 ) 定义2 8随机变量x 的中心矩的矩母函数定义为 c ( ，) 全e x p - t a l l f ，( ，) = e e x p t ( 毒一口1 ) ) 设a ，表示随机变量x 的，阶原点矩，以表示随机变量x 的，阶中心矩，则 a ，= e x = 尘d t rl f ，( 吼。= ( 一f ) ，万r | f = o ，= l ，2 ，3 ( 2 8 ) 以= e ( x a ，) 7 = 尘d t rc ( 。) = 万d rp - - t o t 叭- ，) | ，= 2 ，3 ( 2 9 ) ( 2 5 ) ，( 2 6 ) 式说明随机变量的，阶原点矩和中心矩分别是他们函数的，阶导数在0 点的 值。 2 。5 随机变量的原点矩与中心矩之间的关系 定理2 4 设随即变量x 的，阶原点矩为a ，厂阶中心矩为以，其中，= 0 ，1 ，2 ，则有 a ，= 掣a ? ，= o ，1 2 ( 2 1 0 ) j = o 以= 掣a 叫( - a 。) 7 ，= 2 ，3 ，4 j = o 由此定理，1 主t ( 2 7 ) 式可得 由( 2 8 ) 式得 a l2 口l a 22j l l 2 + 2 p l a l + a 1 2 a 32 a 3 + 3 p 2 口l + 3 p l a l 2 + 倪1 3 a 4 = 心+ 4 p 3 a 1 3 + 6 p 2 a 1 2 + 4 p l a l + a 1 4 a 5 = p 5 + 5 p 4 a l + l o p 2 a 1 2 + l o p l a l 3 + 5 a 1 4 + a 1 5 9 ( 2 1 1 ) 东北大学硕士学位论文第2 章预备知识 鸬= 口3 - 3 a 2 a l + 2 a 1 3 p 42 a 4 - 4 a 3 a l + 6 伐2 仗1 2 3 a 1 3 p 5 = a 5 - 5 a 4 口l + l o a 3 a 2 一l o a 2 口l + 5 a 1 5 东北大学硕士学位论文 第3 章几何分布的原点矩 第3 章几何分布的原点距 3 1 几何分布的原点矩的定义 定义3 1 设在事件彳发生的概率为p 的贝努里试验中，若令随机变量 表示事件么首 次发生的次数，它可能取的值为1 ，2 ，3 ，其概率分布称为几何分布： p 毒= k = q k - l p ，k = 1 ，2 ，3 ，( o p l ，q = l p ) 据定义，毒的期望 彤= 幻卜1 p = p ( 1 + 2 q + 3 q 2 + 4 q 3 + ) 定义3 2 若随机变量x 服从几何分布，x 的刀阶原点矩的表达式为 麟”= 哟p( 3 1 ) k = l 3 2 用递归法求几何分布的高阶原点矩 若记 则 f h ( 3 1 ) 式知，e x ”= z k ”q 。p = p ( 1 + 2 ”q + 3 ”9 2 + 4 ”9 3 + ) 七= l 瓯，= 1 ”1 + 2 ”一7 q + 3 ”一q 2 + 4 ”一q 3 + ，i = 0 ，1 ，2 ，疗 e x = p s n 、 当o g l 时，幂级数最，。( f = o ，1 ，2 ，刀) 是收敛的，并且可以进行逐项积分运算( 将g 看作变量) 。对鼠，。先进逐项积分，积分结果只取一个，不加常数，下同，得 p 邮d q = q + 2 ”q + 3 川q 3 + = q ( 1 + 2 “一1q 1 + - iq 2 + ) 2 qs 1 在对最j 进行积分，得 p n ，l a q = q + 2 ”一2 q 2 + 3 ”一2 9 3 + = q s 2 再对瓯：求积分，得： 拇，2 由= q + 2 ”3 9 2 + 3 ”3 9 3 + = q s ，3 东北大学硕士学位论丈 第3 章几何分布的原点矩 这样继续下去，在第y 次积分时，有 k 徊2 拂= 们+ g 玎+ 一) = g 击 在倒推回去，即对上式右端求导得，被积函数s n , n - i ，进而再求出s 一：，最扩，最。 s n , n - i 南y5 高； & 砘咱& 川卜 尚 - 尚； s 。，。一，= c g s 。，。一z ，7 = ! ：；! ! ! ：； ，( q s n , n - 3 ) ，_ 业铲； & 硝= ( q s n , n - 4 ) ，_ 丝旨1 笋c l ； i j 可以一直做下去，所有的求导的计算都可以用m a t l a b 来实现。按照上面的计算， 当肛时一= 高，得胱2 吼= p 而1 = i 1 当肛2 时一z ，o 一尚，得肼2 如= p 尚= 害 类似的可求得： e x ，：! 兰垡：丘 p e x 4 = 学 e x 5 ：1 + 2 6 q + 6 6 q 2 + 6 q 3 + q 4 p 。 3 3 第二类s t i r l i n g 数表示的几何分布的高阶原点矩表达式 定理3 1 设随机变量x 服从几何分布，x 的m 阶原点矩口，可由第二类s t i r l i n g 数 一1 2 - 东北大学硕士学位论文 第3 章几何分布的原点矩 表示为， 旷吉喜驯7 证明：由第二类s t i r l i n g 数的性质1 k ”= s ( 朋，叫m f = i 故，随机变量x 的聊阶原点矩 o o 卅 o c 。：= j f ；( 毒”) 2 七”q 一1 p = s ( m ，) 【尼】，q 一1 k = l = l ，= l 2 p 喜驯嵩k 尚f - l= ，l 一，： 2 p 兰1 = 1 咖矿1 鲥k = l g 川 一k - l = ip 喜驯川g h 靴t = o f = l 2 s ( m ，z ) z tq 7 1 p 一7 + 1 + 1 证毕。 ( 3 2 ) ( 3 2 ) 式即为随机变量x 的m 阶原点矩的一般式，较之前面( 2 7 ) 式以及用递推法求 高阶原点矩有明显的优点，可以求几何分布的任意阶原点矩。现举例如下， 口l ：_ is 0 ，1 ) 11 - - q gp ：一1其中，s ( 1 ，1 ) ：1 a ：弓渺2 力，f ( 吾) 7 = 扣m ：辛2 国2 饼 1 3 - 一七 g l 。纠 ，f坍 i s 。 p l | “一 、，g 一 0 卜 g t f d m ，j s 。m p 一一 v，一g p ，l t f 、， ，fms ， 。闰 k ，一g = 东北大学硕士学位论文第3 章几何分布的原点矩 = 粤其中，s ( 2 ，1 ) ：l s ( 2 ，2 ) ：l p 。 铲! q 壹t = l 删y ：p = 专 s c 3 ，z ( 吾 + s c 3 ，2 ，2z ( 吾) 2 + s c 3 ，3 ，3 ： 暑 3 一l + 4 q + 9 2 p 3 其中，s ( 3 ，1 ) = 1s ( 3 ，2 ) = 6s ( 3 ，3 ) = 1 a 。= 吉喜s c 4 ，yz ( 吾 。 2 吉( s c 4 ，t ：( 暑) + s c 4 ，2 ，2 ：( ；) 2 + s c 4 ，3 ，3z ( 盖) 3 + s c 4 ，4 ，( ；) 4 一1 + 1 l q + 1 l q 2 + 9 3 p 4 其中s ( 4 ，1 ) = 1s ( 4 ，2 ) = 7s ( 4 ，3 ) = 6s ( 4 ，4 ) = 1 铲吉和例7 2 和m 忖即国2z ( q ) ( q l q 5 一1 + 2 6 q + 6 6 q 2 + 6 q 3 + 9 4 p 5 其中， s ( 5 ，1 ) = 1s ( 5 ，2 ) = 1s ( 5 ，3 ) = 2 5 s ( 5 ，4 ) = 1 0s ( 5 ，5 ) = 1 比较上面求得的a l ，a 2 ，口3 ，a 4 ，a 5 与3 2 中求得的e x l ，e x 2 ，e x 3 ，e x 4 ，e x 5 有e x = a 1 e x 3 = a 3 e x 5 = a 5 e 2 = a ， e x 4 = 仅4 这也验i 正t ( 3 2 ) 式的正确性，同时，我们也发现公式( 3 2 ) 在计算上要简单的多， 只需知道s t i r l i n g 数的值即可以确定任意阶原点矩的值。 1 4 东北大学硕士学位论文第4 章几何分布的中心矩 第4 章几何分布的中心距 4 i 几何分布高阶中心矩的表达式 。= e ( x e x ) ” = 喜( ，一吉) ”p q l n = 2 , 3 , 4 - - - ，_ l ， 4 2 几何分布的高阶中心矩的递推公式 定理4 2 设随机变量x 服从几何分布，则x 的高阶中心矩的递推公式为 心+ l = 一g d - 卢。】+ ”印一2 卢。一l 疗：l ，2 ，3 ( 4 1 ) “p 规定，t o = 1 ，t l = 0 证明：x 的门阶中心矩为， p 。= 善o oc ，一吉，”p 0 p l x 的刀- t - 1 阶中心矩为， i c z 。+ ，= 喜c ，古，“+ 1 朋一l 将( 4 2 ) 式两端对p 求一阶导数，得 ( 4 2 ) ( 4 3 ) 丢帆】- 驴o o ( f _ l p ) n - l p - 2 旷l + ( f 一如h 州一分州州q , - 2 ( _ 1 ) 】 = = 印一2 善o oc r 一吉，”一1 z w 。i + j ；| ；c z 一吉，”z w 。一i + 善c oc t ，c ，吉，”+ z ，g 一2 + c 古一，喜c ，一吉，p g 2 c 一， - 2 iii 2 n pp 。一i4 - 一心一一。+ i 一一 n pqp 1 5 东北大学硕士学位论文 第4 章几何分布的中心矩 ：一! 心+ l + n p 一2 肛。一，2 一一心+ l +。肛n 一1 g 由此，得几何分布的，2 阶中心矩的递推公式为： 心+ 。：一g 旱 p 。】+ ”印一z 心一。 d 口 又对于几何分布来说，e x ：一1 ，d x ：乓 pp 所以，( 4 4 ) 式可化为 l 1 ) ( 5 1 ) 证明： 一拶l id k 咄矿饥刎) ，= o = 弗矿d k 崦咖，) 脚 一o + 砦叭l = “扣l 魄c 柳 由性质1 3 和1 4 ， 令芒= a x + b ，即有 k ( 专) = ak ( x ) k 七( 眚) = a k ( x )( k 1 ) 2 0 东北大学硕士学位论文第5 章几何分布的半不变量 性质5 4 ( 司加性) x = 善+ 7 7 ，专与叩独立，兀( ，) ，f o ( t ) 为各自的特征函数，k 七( 考) 与( 叩) 为各自 的半不变量，( k 阶矩存在) ，则 证明： f x ( t ) = 兀+ 叶( ，) = 兀( ，) 厶( ，) ( 考与叩独立) 所以 i n f x ( ，) = l n 无( ，) + i n 厶( f ) 故 州，= 专睁叫，。= 弗吣川州) = 描- 喇l + 牿町l = k 七( 考) + k k ( r ) 此性质说明，两个独立随机变量之和的半不变量等于各自的半不变量之和并且可 以推广到有限个随机变量之和 性质5 5厂( f ) 是某个分布的特征函数，该分布存在7 1 ( j 下整数) 阶矩则当，- - + 0 时， 有 l n 饨) = 舌n 着 灯d ( 1 ”) 证明： 借助泰勒公式， 厂( x ) = 厂( x o ) + 厂( 石o ) x + + 厂( 七) ( x o ) x _ n + d ( ixi 竹) 一一 将l n f ( t ) 形式地展成幂级数，有： 町一- n 邢m 知纠间等睁几) f = o 州矿。 = 茎和七+ d ( 旷i ) 2 l 一 东北大学硕士学位论文 第5 章几何分布的半不变量 5 2 半不变量与原点矩之间的关系 定理5 1 设a 。为随机变量x 的k 阶原点矩，k k 为x 的k 阶半不变量， ，+ 喜和k = e x p 骆0 2 ， 证明：由泰勒公式，将厂( ，) 展成幂级数有 巾m ( 0 ) 彤( o ) ，七学+ 小主k = i 华七小k 壹= l 等 厶 尼!厶后! 、 将l o g f ( t ) 形式地展成幂级数，有 崦f ( t ) = l o g 们m 知饨儿- o + + 丢睁g 们0 2 砉和七 所以 + 茎等灶唧鼢 ， - + 喜和k = e x p 鼹t c k ，0 旷七! ( 矿k - 1 ) 2 是k 寺( i e x m 严 ( 5 3 ) 其中s = 口l + 口2 + + 口七，式中求和对方程口l + 2 a 2 + + 勋七= k 的所有非负整数解 进行。 为了证明此结论，首先给出下面引理 引理5 1 设函数y = 厂( x ) 和z = g ( y ) 具有n 阶导数，1 ) ，则由复合求导法则可得。 刍【g ( 似) ) 】刊 硝鲥去箸m ， 4 ， 2 2 东北大学硕士学位论文 第5 章几何分布的半不变量 ，i 其中，s = 口脚，求和是对方程口l + 2 a 2 + + n a 胛= 以的所有非负整数解进行 l = l 令y = 厂( x ) = 妒( f ) ，g ( j ，) = l o g y = l o g q o ( t ) ， 则 护d k 唧m ! 掣a sk 巾，密去( 学r 刊蠕铲壶11 去a m ( 等厂 - 厂( ，) 】5肌：l ! i 所! ，j 护d k 唧k 。圳h ) f 兀去( 等卜 =p!(-o-1(s-o!im 1 k n 爿等 =2 1 。1 1 二_ l = l 卿矿 川) f 兀a 等 k = 歹1 护d k 唧 ，- 。圳广b 棚：兀去( 等r 其中，s ：k ，求和是对方程口l + 2 口2 + + 勋七：七的所有非负整数解进行。 5 3 用第二类s t i r l i n z 数表示的几何分布的高阶半不变量的表达式 由( 5 3 ) 式和( 3 2 ) 式可得， k：七：71乙。一。，s-i。s一，：壶：。e薹s(mi,i掣)i!， 。5 5 ， 其中s = a i + 口2 + + 嚷，( 5 5 ) 式中求和是对方程q + 2 a 2 + + 概= k 的所有非 此定理给出了几何分布的k 阶半不变量k 的一般表达式 东北大学硕士学位论文 当七：1 时，易求得，k ：三 p 数_ 2 时q _ 0 口2 _ 1 s _ 1 铲手 当七= 3 时， q a l = ：l 。, ，a 嘭2 = ：l 。, ，a 鸭3 = ：o 。, ，s s = ： ， 当k = 4 时， 一， s ( 聊，z ) zt ( q ) 7 ，竹! s ( 朋，叫! ( 里) ， ! 一2 4 第5 章几何分布的半不变量 ) ：型芒 p “ 卜等 。 。一 ，n d 一 0 ：州 ，一矿 3 ，、| 1 | i | l s 心地乩 吩川 k o = = 呸以 l o = i i q q ，(【 m闰 一 。n 删 d 一 0 ，删 一矿 4 东北大学硕士学位论文总结 6 1 本文综述 第6 章总结 随机变量的数字特征，包括原点矩、中心矩、二项矩、阶乘矩、半不变量等是概率 统计学科中最基本最重要的概念。对随机变量的数字特征的研究，至今已有很多结果。 本文主要从矩的角度，引入了组合数学中第二类s t i r l i n g 数，采用组合数学和概率统计 相结合的方法对几何分布的数字特征进行了讨论。 本文首先对以往几何分布的数字特征的研究工作进行了大致的回顾，总结了以往的 研究方法和一些主要的结果。在第2 章，主要介绍了一些预备知识，其中包括分布的原 点矩、中心矩、矩母函数、半不变量以及第二类s t i r l i n g 数的定义和性质。 第3 、4 、5 章，这三章是本文的主要工作。在第3 章，主要是由第二类s t i r l i n g 数 的性质给出了几何分布的高阶原点矩的解析表达式，同时也给出了用递推法求几何分布 的高阶原点矩的算法，并将两种方法进行比较。 第4 章，主要是由第二类s t i r l i n g 数的性质给出了几何分布的高阶中心矩的直接表 达式及几何分布的高阶中心矩的递推公式，并由两种方法分别求得几何分布的较低阶的 中心矩的值，并将两组值进行比较。 在第5 章，主要研究了几何分布的半不变量的性质及半不变量与矩之间的关系，并 给出了几何分布的高阶半不变量的表达式。 6 2 遗留问题及下一步的工作 本文得到的结果，应用起来虽然比递推公式要方便，但是，并不适于手算，而适合 于用计算机求解。另外，它在形式上应该说不是最简的，还可以再化简。关于这一点， 主要是依赖于组合数学的发展，依赖于第二类s t i r l i n g 数的性质的研究，接下来还是有 很多工作等待进一步研究。 本文对几何分布的数字特征的研究，是借助于组合数学中的特殊计数数列之一的第 二类s t i r l i n g 数这一桥梁而进行的。其实，概率统计和组合数学本来就有着密切的联系， 并不是两个孤立的学科。把= 者结合起来，应用到研究概率统计和组合数学的其它问题， 将会有更多好的结果，并一定会促进两个学科的共同发展。 2 5 - 东北大学硕士学位论文，总结 一2 6 东北大学硕士学位论丈 参考丈献 参考文献 1 ( 美) 布鲁迪冯玺平，罗平，裴伟东译组合数学 m 】，北京：机械工业出版社， 2 0 0 5 ，1 9 6 2 0 3 2 e e r d 6 s ，j s p e n c e r p r o b a b i l i s t i cm e t h o d si nc o m b i n a t o r i c s j n e wy o r k ：a c a d e m i c p r e s s ，1 9 7 4 3 m ab e n c h e n g c h e n gk a n c h a r a c t e r i z a t i o n so