（理论物理专业论文）量子围栏的模拟和计算.pdf

张正中：量子围栏的模拟和计算 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研 究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表 的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 签字日期： 毋年 学位论文版权使用授权书 日 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向 国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。 本人授权扬州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学 技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 学位论文作者签名：乙援 签字日期： dg 年己月晌 导师签名： 签字日期： 坛 月 ， y ，修 张正中：量子围栏的模拟和计算 摘要 随着新技术特别是微电子技术的发展，传统的电子器件已经深入到微观量级， 量子效应逐步显现。因此，量子效应的出现不仅是电子器件制造面临的必须解决 的问题，同样也是量子器件研究的主要方向。1 9 9 3 年5 月，美国加州圣荷塞阿玛丹 i b m 研究中心的c r o 姗i e 等人在液氮温度下，将铁原子蒸发到清洁的c u ( i i i ) 表 面，然后用扫描隧道显微镜操纵这些铁原子使它们逐个地定位在铜表面上，从而构 造出这些形状各异的闭合图样，由这些原子排列而成的闭合图样即所谓的“量子 围栏 对于处在围栏内金属表面费米态电子而言，这个由原子筑成的围栏便成了 一个横向的闭合势垒，它们被束缚在势垒内形成束缚态电子，试验上，在量子围栏 中可明显观察到二维电子分布在不同条件下的驻波图样，这也是微观粒子具有波 动性的一个直接证明。 在理论上，我们可以采用量子台球系统来近似“量子围栏”，通过研究量子台 球系统的本征行为来研究处于“量子围栏 内部的束缚态表面电子的特征行为。 对各种量子台球系统的研究是一个过去研究较多的课题，因为一般的量子台球系 统都是不可积系统，一般都是通过各种数值、近似方法进行研究计算。本文中， 笔者主要采用了一种较为有效的计算闭合深势阱量子系统本征行为的数值计算方 法边界积分方法( b o u n d a r yi n t e g r a lm e t h o d 简称b i m ) 。该方法在分析计算 上，传统的作法一般存在着对本征值判断粗糙、精度差的问题，笔者通过引入一 种改进的判断条件“边界残量 ，从而达到了有效的提高判断精度和提高计算效率 的目的。另外，为了通过引入“边界残量 和波函数分布关联度的概念，我们解 3 扬州大学硕士学位论文 决了计算系统简并度的问题，实际的计算结果显示，我们提出的方法非常简单有 效，这为研究其他复杂边界的量子台球系统提供了一种可行的路径。 笔者利用改进了b i m 方法分别求解研究了s i n a i 台球模型系统和1 4s i n a i 台球系统内电子的本征能级和本征态波函数。一般认为，由于对称性的原因，s i n a i 台球和1 4 s i n a i 台球有着几乎相同的物理性质，出于简化计算量的考虑，故一般 只须研究1 4s i n a i 台球即可得到对整个台球的物理特征的描述。但我们的计算 结果显示，由于s i n a i 台球系统和1 4s i n a i 台球系统有着不同对称性，虽然两 者在经典行为上是完全一致的，但在微观下，两者的本征行为还是存在较大的差 异，从对称性上来说，1 4s i n a i 台球系统的本征态只是s i n a i 台球系统的子集， s i n a i 台球系统的很多本征态在1 4s i n a i 台球系统上是不存在的。我们计算结果 说明，s i n a i 台球在高能态下的能谱结构以及本征态波函数要比1 4s i n a i 台球系 统复杂的多，这说明，利用1 4s i n a i 台球系统的研究结果来推测s i n a i 台球系 统的量子行为不是一个好的方法，这里遗漏了许多s i n a i 台球系统所独有的特征 行为。 在文章的最后，笔者模拟了圆型围栏，方型围栏和椭圆行围栏内的电子波函 数分布，得到了很多与试验上符合极好的结果。但在试图用类似方法模拟椭圆台 球内部的“量子鬼影 时，没有观察到期待中应该出现的对称映像。笔者认为， 这与用利用台球系统进行简单近似有关，后期工作我们准备利用有限高势垒近似 更加逼近实际的“量子围栏”，期待可以重现在椭圆焦点上出现“量子鬼影现象。 本文通过应用改进的b i m 方法研究了几种二维台球系统的本征行为，并用台 4 张正中：量子围栏的模拟和计算 球系统近似模拟了不同形状的量子围栏内表面电子态分布，有助我们对试验中所 观察到的现象加以理解，了解这类系统的微观行为特征。笔者希望通过我们的工 作，能为以后关于量子围栏和量子点的工作提供一些借鉴和参考。 关键字：量子台球，量子围栏，表面态波函数，本征态 5 扬州大学硕士学位论文 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fn e ws c i e n c ea n dm i c i o - e l e c t r o n i c st e c h n i q u e s ，t h e t r a d i t i o n a le l e c t m nd e v i c ec a nb em a d em o r ea n dm o 弛s m a l l e be v e ni n t ot h e m i c r o c o s m i c6 e l d t h eq u a n t u me f f e c tg e n e 豫l l ys t a n d so u ti ns u c hc i r c u m s t a n c e a dc a nn o tb ei g n o r e d s o m e t i m e st h i s p m b l e m i sn o ta n i m p o r t a n t e m b a i i a s s m e n tw h i c ht h em a n u f a c t u r e rs h o u l do v e rc o m eb u tai n t e r e s tn s e a r c h d o m a i n i nm a yo f1 9 9 3 ，t h ec r o m m i ea n dh i sg r o u pu s es t i 讧e q u i p m e n tf i x s e v e r a li r o na t o m i c so nt h ec u ( i i i ) s u i ? f a c ew i t hh e l po fu q u i dn i t r o g e n t h e s ei r o n a t o m i c sg e tt o g e t h e ri nac i r c l ew h i c hm a d ei tu k eab a m e r ，a n dt h e nt h es c i e n t i s t f o u n dt h ev i s i b l ed i ：f f r a c t i o nd e s i g ni ni tw h i c hm a d eb yt h ee l e c t r o n t h i ss y s t e mi s c a l l e dq u a n t l i mc o r r a lb e c a u s et h ee i e c t r o nw a sc o n 6 n e di n at i n yb a r r i e r c o n s t 阳c tb yt h ei n n e ri 阳n se l e c t m n s i t i saf o r c e f u l l ye v i d e n c ew h i c hc a np m v e t h em i c r o - a r t i c l e sn u c t u a t ep m p e r t y i nt h e o r y w ec a nu s eaq u a n t u mb m i a r ds y s t e mt os i m u l a t e q u a n t u mc o r r a l s a n dt h ed i s t r i b u t i o no fw a v ef u n c t i o nc a nb er e g a r d e da st h ed i s t r i b u t i o no f e l e c t i o ni nq u a n t u mc o r r a l s i nt h i sp a p e bt h eb o u n d a r y i n t e g r a lt 讧e t h o d ( s h o r t f o rb i m ) ，w h i c hi sap o w e r f u lm e t h o df o rs o l v et h ee i g e np r o b l e mo fq u a n t l l m b n l i a r ds y s t e m ，i sa d o p t e da n ds o m ei m p r o v e m e n t sw e r ei n t r o d u c e dt oe n h a n c et h e n u m e r i c a le f n c i e n c ya n da c c u r a c y n b yu s i n gn e wd e n n e dq u a n t i z a t i o m e a s u r e 6 张j 下中：量子围栏的模拟和计算 f o rb i m ，e i g e n e n e i 。g i e sc a nb ed e t e r m i n e da c c u r a t e l ya dq u i c y ：i nt h i sp a p e ba s i m p l ea n de m c i e n td e f m i t i o n ， c o r r e l a t i o nn l n c t i o na b o u tw a v e 矗i n c t i o n ， i s i n t r o d u c e dt od e t e r m i n et h e d e g e n e r a t ed e g r e eo fe i g e n - s t a t e s t h e s en e w i m p m v e m e n t sc a np r o v i d ean e wa c c e s s e sf o rt h ef u t l i w o r ki nt h i s6 e l d 1 秒u s et h en e wq u a n t i z a t i 蚰m e a s u 心f o rb i m ，t h ew r i t e rs i m u l a t e 钾oi 【i n d s o fb i l l i a r d ss y s t e m ：t h es i n a ib i l h a r da n dt h el 4s i n a ib n k a r d t h ep a s tw o r k b e l i e v e dt h a tb o t ho ft h es i n a ib m i a r da n dt h e1 4s i n a ib m i a r dh a v et h es a m e p h y s i c sp r o p e i 吼b u to u rr e s u ns u g g e s t ，t h e r ea r ee x i s t e ds o m ee i g e n s t a t e si nt h e s i 眦i b m i a r ds y s t e mw h i c ha r e 舯te i g e n s t a t e si nt h el “s i n a i b m i a r d t h es e to f a i le i g e n - s t a t e so f1 4s i n a ib i l l i a r di so n l yt h es u b s e to fs i n a ib i n i a r d t h ei e a s o n s h o u l db et h ed i 仃e 阳n c eo fs p a t i a ls y m m e t r yb e 钾e e n 佃os y s t e m s t h a “st os a y w ec a n ts i m p l ym g a r dt h e1 4s i n a ib i l k a r da st h el 4 p a nc u t t e df h ms i n a i b i l u a r d i na d d i t i o n ，t h ew r i t ef i n dt h a tt h es i n a ib i l l i a r d sw a v ef h n c t i o no fh i g h e i g e n s t a t ei sm o r ec o m p l e xt h a nt h e1 “s i n a ib m i a r d i nt h e4 t hs e c t o ro ft h i s p a p e bt h ea u t h o ru s eb i mt oc a l c u l a t e t h e e l e c t m n - w a v ed i s t r i b u t i o n n s p e c t i v e l yi n c i r c l eq u a n t i i mb a r n e ra n de l l i p s e q u a n t u mc o r r a l ， t h en u m e r i c a lr e s u l tm a t c h e sw e uw i t ht h e p u b l i s h e d e x p e r i m e n t a lr e s u l t b u tt h er e s u l to fs i m u l a t i o ni nt h ee l l i p s eq 岫n t l l mc o r 豫1 w i t has m a l lc i r c l ew a l lo ni t sr i g h tf o c u sp o i n ti sn o tt h ee x p e c t e do n eo f p u b l i s h e d e x p e r i m e n t s m a y b ei ti sc a u s e db yu s i n gas m a hc i r c l ew a l l t oa p p m x i m a t eaa t o m 7 扬州大学硕士学位论文 a tt h ef o c u s ，t h ea p p m x i m a t ei sr o u g h i nt h ef o u 们r i n g ，w ew i ur e p l a c et h es m a u c i r c i ew a l lw i mac i r c l e6 n i t es t e p p e dp o t e n t i a l ，w ee x p e c tt o f i n dt h ea t o m s “q u a n t u mg h o s t a ta n o t h e rf o c u s ，t h ep h e n o m e n ah a sb e e nf o u n di np u b l i s h e d e x p e r i m e n t k e yw o r d s ：q u a n t l i mb m i a r d ，q u a n t l l mc o r r a l ，s u r f a c e e l e c t m n - w a v e d i s t r i b u t i o n ，e i g e n e n e i 罾e s 8 张正中：量子围栏的模拟和计算 第一章：绪论 1 1 引言 自有人类文明以来，人们就一直为探索宏观宇宙世界和微观物质结构世界的 奥秘而不懈努力。而对于微观世界的研究，由于受限于当时的观测手段，直到近 代，才出现了迅速的发展。1 6 7 4 年，荷兰人列文虎克( a v a n l e e u w e n h o e k ) 发 明了世界上第一台显微镜，首次观察到血红细胞，为人类打开了丰富多彩的微观世 界大门，到了1 9 世纪中叶，通过原子的散射试验，人们也开始在原子的尺度上认 识我们身边身边的微观世界，2 0 世纪7 0 年代末，扫描隧道显微镜( s t m ) 的诞生更 是使人类从直观上观察到了原子尺度下的世界，使人类对微观世界的观察能力一 下子飞跃到千分之一的纳米级，并使人类可以在原子尺度下自由地操作特定原子， 这些技术在提高人类认识世界能力的同时，也大大刺激了微型电子器件和微加工 技术的迅猛发展。通过新的半导体工艺和加工技术，人类开始进入纳米时代。 扫描隧道显微镜( s t m ) 的诞生是人类对原子世界进行研究的一个突破，它不 仅可以用来观察原子的分布，还可以实现在二维平面上对原子进行搬迁。在s t m 的 探针针尖上加很微弱的电流，就会在针尖上产生一个梯度电场，当原子与针尖的距 离非常接近( 距离为几十纳米) 的时候会，就会互相吸引，这时把针尖提起，针尖就 能够从样品表面吸取一个孤立原子并转移到别处，然后撤去电场，就可以将原子放 置到新的位置上，从而实现原子和分子的搬迁。1 9 9 3 年5 月，美国加州圣荷塞阿玛 丹i b m 研究中心的c r o 咖i e 等人在液氮温度下，将铁原子蒸发到清洁的c u ( i i i ) 表 9 扬州火学硕十学位论文 面3 ，然后用扫描隧道显微镜操纵这些铁原子使它们逐个地定位在铜表面上，从而 构造出这些形状各异的闭合图样，由这些原子排列而成的闭合图样即为所谓的“量 子围栏”心1 对于处在围栏内金属表面费米态电子而言，这个由原子筑成的围栏便 成了一个横向的二维势垒，电子被束缚在势垒中。由于微观电子的波动性，在量子 围栏中，可以明显地观察到电子分布的驻波形式这是微观粒子具有波动性的直 接的实验证明。 由于量子搬迁技术，人们可以随意的用s t m 改变围栏的形状，于是，又诞生各 种不同外型的量子围栏：有三角的，椭圆的，矩形的台球型的量子围栏。 其中，值得一提的主要是运动场型的量子围栏和椭圆量子围栏。运动场型的 量子围栏，由于其边界的特殊性，决定了其电子波函数的分布特性可以由运动场 边界的量子台球系统来模拟。同时，二维运动场量子台球模型是过去人们用来研 究量子混沌常用的模型之一。这就为实验上研究观测混沌现象提供了一条切实的 途径。 张正中：量子围栏的模拟和计算 说起量子混沌，我们得回顾一下对混沌科学发展的历史。早在1 0 0 多年之前 的玻尔兹曼在推导他的著名的h 定理时，就曾经提出过分子混沌的假设。但那时 的混沌一词只是被用来表示与宏观系统统计性质有关的无序特征。而到了1 9 世纪 末，著名的数学家庞加莱在研究三体问题的稳定性的时候发现，即使是只有两个 自由度的保守系统也能做出难以想象的复杂运动。虽然他没有使用混沌这个词， 但从现在看来，三体问题就是一个典型的混沌问题。1 9 6 3 年，气象学家洛仑兹发 表了他用数值方法研究的大气热对流模型方程时发现的确定性非周期流。1 9 6 4 年， 天文学家埃农和海耳斯在关于星系中星体轨道的数值研究中，再次发现了当年庞 加莱用定性方法研究过的保守系统的中不规则运动。7 0 年代以后是混沌科学的蓬 勃发展时期。混沌科学已经引起专家学者的广泛关注，混沌已经对自然科学，社 会各个领域产生重大影响。 在认识到混沌在经典力学中的重要地位之后，人们很自然地会想到确定性混 沌的概念推广到量子力学中去，量子混沌是7 0 年代出现的量子力学研究中的一个 新方向。其目标是要弄明白，在经典世界里极为普遍的混沌现象，在量子世界里 会有什么样的表现形式。经过二十多年的研究，人们从能谱统计描述，定态波函 数的形式等各种量子现象中，辨认出了一系列与经典混沌有关的行为特征。其中 扬州大学硕+ 学位论文 某些特征，已在实验中被观测到，为了从理论上阐明这些特征，人们还建立了一 套半经典理论，这一理论推广了玻尔一索末菲的旧量子理论，把混沌系统的量子 力学行为与其经典的周期轨道行为联系在了一起。事实上，按照玻尔的对应原理， 将量子力学应用到宏观运动上所得到的结果。应该与经典力学的结果一致，力学 系统的混沌特征，也必然在其量子性质上有所表现。进入8 0 年代，讨论量子混沌 的文献4 51 数量迅速增长，其大部分文章都致力于阐明经典混沌系统对应的量 子系统所具有的特征。 对于经典可积的量子系统已有不少研究，最早的是周期驱动的振子k r 6 刀。 对比较简单的经典混沌系统对应的量子系统的混沌行为具有很大的兴趣，这对于 进一步清楚地研究经典混沌系统所对应的量子力学系统具有重要的意义，在许多 光学和微波实验上有了很好验证8 们。b a o w e nl i ，b a n b ih u 等在台球系统的经 典和量子行为均已有不少研究，如混沌扩散行为，经典局域化现象，不稳定周期轨 道疤痕等，这方面做出了巨大贡献1 0 1 纠。台球系统是上个世纪8 0 年代以后 在量子非线性领域广为研究的系统，对于不同边界形式的台球系统的经典及量子 行为的研究工作已经作了许多。对静态的台球系统，许多研究表明其经典和量子的 混沌有很重要的对应性1 羽。 在这种背景下，笔者首先改进了一种数值构造闭合系统驻波态的数值方法， 然后计算了和比较了s i n a i 台球系统和1 4 s i n a i 台球系统在这种数值方法的物理 性质。并且，笔者将量子围栏近似成闭合台球系统相同的边界条件，同样借助边 界积分数值方法构造了原形，椭圆型，运动场型和矩形量子围栏的表面态波函数， 1 2 张正中：量子围栏的模拟和计算 开展了大量数值模拟工作。 1 2 参考文献 1 m f c r o m m i e ， c p l u t z ， d m e i 9 1 e rs e i e 力c e2 6 2 ，2 1 8 2 2 0 ( 1 9 9 3 ) 2 m f c r o m m i e ， c p l u t z ， d m e i g l e r a t u r e3 6 3 j5 2 4 5 2 7 臼9 9 3 夕 3 陆同兴：非线性物理概论 m 4 h j i r a r i ，h k r 6 9 e r ，s g r u b i n ee ta 1 q u a n t u mi n s t a n t o n sa n dq u a n t u m c h a o s p h y s l e t t a2 0 0 1 ， 2 8 1 ：1 8 5 赵春风，羊亚平，冯伟国非线性物理简介：7 量子混沌 j 工科物理，1 9 9 7 ， 第2 期 6 gc a s a t ie ta 1 ，s t o c h a s t i cb e h a v i o ri nc l a s s i c a la n dq u a n t u ms y s t e m m ， v o l9 3 ，l e c t n o t e s i np h y s ( s p r i n g e r ，b e r li n1 9 7 9 ) 7 gc a s a t ie ta 1 d y n a m i c a ls t a b i l i t yo fq u a n t u m“c h a o t i c ” m o t i o ni n ah y d r o g e na t o m j p h y s r e v l e t t 1 9 8 6 ，5 6 ( 9 ) ：2 4 3 7 2 4 4 0 8 k u d r 0 11ia ，k i d a m b ivv ，s r i d h a rs e x p e r i m e n t a ls t u d i e so fc h a o sa n d l o c a l i z a t i o ni nq u a n t u mw a v ef u n c t i o n s j p h y sr e vl e t t ，1 9 9 57 5 ( 5 ) ： 8 2 2 8 2 5 ； 旦i q n 旦金。鱼! 金g q ! y 垦：l i 坠q 至： 垦i 鱼b 垒! 鱼坠 w a v e g u i d ee x p e r i m e n t r e l a t e dt of i e l dc h a o s j p h y s l e t t a ，2 0 4 ：1 7 4 1 7 6 9 d o r o nc o h e na n dd i e g oa w i s n i a c k i s t a d i u mb i l l i a r d sw i t hm o v i n g w a l l s j p h y sr e ve2 0 0 3 ， 6 7 ：0 2 6 2 0 6 1 v 0 2 6 2 0 6 1 4 扬州大学硕+ 学位论文 1 0 b a o w e nl i ，r o b n i km ，h ubb r e l e v a n c eo fc h a o si nn u m e r i c a ls 0 1 u t i o n s o fq u a n t u mb i l l i a r d s j p h y s r e v e ，1 9 9 8 ，5 7 ：4 0 9 5 4 1 0 5 1 1 b a o w e nl ia n db a m b ih u s t a t i s t i c a la n a l y s i so fs c a r si ns t a d i u m b i l l i a r d j h t t p ：a r x iv ：c o n d 一冁a t ，9 7 12 0 8 21 9 9 7 ： 1 2 8 1 2 b a o w e nl i n u m e r i c a ls t u d yo fs c a r si nac h a o t i cb i l l i a r d p h y s r e v e ， 1 9 9 7 5 5 ：5 3 7 6 5 3 7 9 3 何红波，王文军边界振动的圆形弹球系统的量子混沌 j 河南科学，2 0 0 0 ， 1 8 ( 1 ) ： 3 6 4 0 1 4 张正中：量子围栏的模拟和计算 第二章：利用边界积分方法研究二维无限高闭合方势垒的本征解 2 1 研究背景 随着半导体技术和微加工技术的日新月异，微器件的尺寸已经进入纳米尺度。 由于工程技术的需要，通过新的半导体工艺和纳米加工技术，人们已经可以实现 将几个原子或几个电子束缚在一个小尺寸的量子阱内，从而形成新的光学或电学 器件。对该类系统的输运性质及本征问题的研究，有助于对量子信息领域中已些 理论上亟待解决的问题加以解释以及对一些微观物理现象加以理解，如量子点的 性质、量子围栏的性质1 ，羽、纳米器件的输运性质3 1 等等。具有硬边界的闭合无 限高方形势垒系统是对这类问题的最简单近似，研究闭合无限高方形势垒的本征 行为显然对此类问题的理解具有很现实的理论价值。 量子台球系统是典型的二维闭合无限高方形势垒系统，除少数具有特殊边界 的经典台球系统作规则运动外，一般的经典台球系统都作遍历混沌运动钔。对量 子台球系统的研究工作开展很早，最初的研究是为了讨论不可积系统中出现的量 子混沌行为，通过对经典混沌系统所对应的量子系统的本征能谱和本征态的统计 行为和动力学行为的研究，以期望给出可积系统和不可积系统本征行为之间的差 异5 ，6 ， 。近期，在这个领域的研究工作也较多8 引。 目前，计算二维无限高闭合方势垒系统的的工作已有很多1 0 川。其中，求 解本征解的方法有边界积分方法( b i m ) 、平面波展开方法( p l a n e w a v e d e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，简称p w d m ) 川和定态展开法( e x p a n s i o nm e t h o do f s t a t i o n a r ys t a t e ，简称e m s s ) 1 1 ，1 幻等。在本文中，我们主要采用b i m 方法， 1 s 扬州大学硕士学位论文 一次性地精确求解了二维量子台球系统在给定能量范围内的所有本征能谱。在利 用b i m 求解的过程中，通过我们引入的关联度函数，避免了传统b i m 方法在求解 过程中可能出现的多根问题，同时也解决了简并态的求解问题。 2 2 量子台球系统的简化 台球系统即将一个粒子束缚在一个闭合的具有特定硬质边界的二维盒子中自 由运动，忽略边界与粒子之间的能量交换，并将盒子的硬质边界理解为无穷高势 垒。台球系统是典型的二维闭合无限高方形势垒系统，对于低能态粒子，如果粒 子运动的德布罗意波长与二维盒子的尺寸相近时，粒子运动的量子行为表现将极 为明显，而高能态的粒子，由于其德布罗意波长较短，粒子在台球场内的运动与 经典粒子的运动类似。常见的几种规则边界的台球系统如图( 1 ) ，其中圆形台球系 统和矩形台球系统为典型的可积系统，其本征方程存在严格的解析解，而图( 1 ) 中 的( b ) 为不可积s i n a i 台球系统，其本征方程不存在严格的解析解，在特定的参 数下，可以采用微扰法求解或采用数字方法求近似解。 ( a ) a a ( b ) 图1 台球模型系统 1 6 张正中：量子围栏的模拟和计算 如图1 ( a ) ，( b ) ，( c ) 分别是圆形，s i n a i 台球还有矩形边界的台球系统，在台球边界 的内部无势场，在台球外侧则是无穷高势垒s i n 撕台球的内部小圆里也是无穷高势 垒。( a ) 和( c ) 都是典型的可解析系统，( b ) 是典型的不可积系统。注意，上图中的ra 和b 都是无标度的 ( 1 ) 这里，y c 习= 羔嬲，定态薛定谔方程可以表示为： 疗y ( 贾) = 印( i ) ( 2 ) 只有少数具有特定边界的台球系统的定态薛定谔方程可以严格求解，而一般非可 积量子台球系统只能借助于数值方法或微扰方法进行求解，本文采用的b i m 方法 就是一种非常有效的数值方法。 在台球场内，式( 2 ) 可以表示为h e l i n h o l t z 方程： v 2 y ( i ) + 七2 y ( 勇) = o ( 3 ) 这肌厣，对于量子台球系统，方程式( 3 ) 采用第一类边界条f 牛，及d i r i c l l l e t 边界条件：沙( i ) i ，= o 。 2 3 边界积分方法的理论研究和改进工作 求解式( 2 ) 定态薛定谔方程的解，我们可以采用格林函数方法求解。对于自由 粒子，定义自由粒子的格林函数g ( x ，x ) 为： 扬州大学硕士学位论文 ( 七2 一v 2 ) g ( 七；x ，x 。) = 万( x x ) 自由粒子的格林函数解为： g ( 后；i ，i ) = 一丢虼( 七i i i 1 ) + 伊( i ，i 。) ( 4 ) ( 5 ) 这里，矽( i ，元) 是规范自由度，为满足规范要求( 一七2 一v 2 ) 伊( i ，碧) = o 的任意函数， 这里我们采用最简单的处理方式，令缈( i ，i ) 三0 。由格林函数，台球系统的本征态 函数可以表示为： 少( i ) = p ( 尼；i ，i 切( i ) 废 ( 6 ) 这里，p ( 孑) 理解为在台球场内形成场沙( i ) 的源分布密度，对于量子台球系统来说， 源p ( i ) 只分布于台球系统的边界上，则式( 6 ) 可以表示为： ( i ) = 叮g ( 七；i ，墨) ( 墨) 出 这里的下标s 表示沿边界积分，y ( i ) 要求满足d i r i c m e t 边界条件y ( 墨) 兰o 。利用 数值方法进行计算时，可以将式( 7 ) 中的积分表示成求和式： y ( i ) = 心g ( 七；孑，墨) ( 墨) ， ( 8 ) 这里s = 1 ，2 ，3 ，表示将边界均匀离散为个离散点，s 为离散后任意两边 界点之间的边长。若粒子运动的德布罗意波长为兄= 2 万七，将边界均匀离散为个 离散点要求雠兄。显然，越大，s 越小，数值误差就越小，但同时要求的 计算量也与2 成正比增长，若过小，数值误差就越大，实际计算中会出现大量 丢解的情况，在实际计算中，我们一般取丛兄3 ，这样可以基本保证解的完整 性。边界离散后，d i r i c m e t 边界条件可以表示为： 1 8 张正中：量子围栏的模拟和计算 g ( 七；墨，墨) ( 墨) 三o 。 毒 由式( 9 ) 定义f r e d h o l m 矩阵： 式( 9 ) 可以表示为： 呜( 后) = g ( 尼；墨，弓) 4 ( 七) = o ， j ( 9 ) ( 1 0 ) 为了便于计算，这里取f ，= 1 ，2 ，3 ，则f r e d h o l i l l 矩阵彳为的方阵。很显 然，并不是任意的后都能满足式( 9 ) ，对于处于束缚态的台球系统，只有七在本征态 时，才有满足式( 9 ) 的( 墨) ，此时的粒子能量即为本征能量。 为了寻找满足式( 9 ) 的七值，可以采用奇异值分解( s i n g u l a rv 矾u e s d e c o 1 p o s i t i o n ，s v d ) 方法来确定( 曩) 在给定七值时的最优解，使得由式( 8 ) 所表达 的桫( x ) 0 沿边界有最小值。当系统处于本征态时，桫( x ) 0 沿边界值为o 。对给定的七， 对彳作s v d ，得： 么( 尼) = “( 后) 矿( 后) v ( 后) ， ( 1 2 ) 形为对角阵，对角元为彳的奇异值，甜矩阵的行矢、v 矩阵的列矢分别为对应奇异 值的左矢和右矢，根据奇异值的定义，这里将右矢理解为源在边界上的分布密度 ( 墨) 。为了在数值上寻找满足式( 9 ) 的解，这里需要定义一个判据，用来判断尼在 取何值时，存在( 曩) 使得式( 9 ) 严格成立。通常意义下，一般采用s v d 的最小奇 异值作判据，但通过我们的实际操作，这个判据并不是一个好的判据，存在一些 操作上的困难。我们重新定义了一个新判据边界残量，边界残量的定义为： 1 9 扬州人学硕士学位论文 r ( 后) = 去丛；( 虬) 2 = 去丛莓莩( g ( 墨，墨归( ) 2 0 ( 1 3 ) 这里的召为杪( 孑) 的归一化常数。显然，当丁( 七) = 0 时，( i ) 即为系统的本征态函 数，而e ：善竺即为系统本征能量。在数值上，我们扫描给定区域的七，对彳( 后) 做 z ，竹 s v d 分解，最后作( 丁( 七) ，后) 函数图。在( r ( 七) ，七) 函数图上，所有丁( 七) 出现极小 的地方近似为系统本征态的位置，这样就可以最终给出给定区域内的所有本征能 骥 晤。 对于高维量子系统，出现状态的简并是非常普遍的情况，完全确定简并态对于 了解系统的量子统计性质以及利用微扰法计算系统的物理量等都具有实际的意 义。对于量子台球系统，我们处理简并态问题还是基于b i m 方法。若某个能级f 为 刀度简并，则定义s v d 的每个右矢量的边界残量为乃( 毛) = o ，= l ，2 ，刀。在 岛附近，至少存在刀个波函数妙7 ( i ) 的边界残量同时趋近于o ，也即在后= 毛时，存 在刀种源分布7 ( 嚣) 所构造的波函数满足d i r i c l l l e t 条件，这里关键是如何同时寻 找出所有的7 ( 毫) 。实际计算时，首先，我们还是利用b i m 方法计算所有的能级， 在确定本征能级以后，针对每个能级都作一次简并态分析。为了区分简并的不同 波函数，我们引入了波函数间的关联度函数： c ：f ，= 1 一 ( 1 4 ) 若( 哥) ，( i ) 为相同的波函数，则c i f ，= 1 ，若( i ) ，( 碧) 为不同的正交本征态波 函数，则巳= o 。对于束缚态，定态波函数的关联度函数也可以表示为： 2 0 张正中：量子围栏的模拟和计算 c ：f ，= l 苇嚣蒜竽 ( 1 5 ) 实际计算时，在特定的本征能级e ( 砖) ，对f r e d h o l m 矩阵彳作s v d ，并利用丁。( t ) 作判据，选取边界残量较小的右矢量哥作为可能的。这里需要说明的是，在作 s v d 时，由于不同的简并态所对应的最小奇异值趋近于o 的速度不同，数值上不 能保证所有的简并态在作s v d 时都能使得丁( 毛) 同时趋于极小量，所以，相对于求 解本征能级，在求解简并态时我们对丁( t ) 范围有比较大的宽容度。最后，对所有 选取的( 曩) ，作关联度分析，给出所有非关联的简并态波函数。 2 4 改进后b i m 方法的数值计算结果 2 4 1 圆形量子台球系统的本征能谱 圆形量子台球系统是少数可以严格求解的二维无限高方形势垒量子系统， 为了验证方法可行性及可靠性，我们利用b i m 方法计算了图1 ( a ) 中圆形量子台球 系统的本征谱，这里台球场的半径尺= 1 。在计算时，我们分别采用了最小奇异值 和边界残量作判据来确定本征能级的位置，图2 中( a ) 、( b ) 图分别为采用这两种 判据给出的七【6 0 ，1 0 o 】区间内丁( 尼) 的函数图，表1 罗列出了利用丁( 七) 所找到的本 征能级，同时也对照着给出了理论值，利用b i m 方法给出的结果与理论值基本吻 合，可以看出，利用丁( 七) 作判据搜寻系统的本征能量是非常有效的。同时对比图2 中的( a ) 图和( b ) 图，可以看出，如果简单利用最小奇异值s ( 尼) 作为判据搜寻本征 2 1 扬州人学硕士学位论文 能级，则结果要远远多于实际的能级数，所以，单纯利用最小奇异值作为判据来 确定本征能级的位置并不是非常有效，会出现许多过余的“伪解”。针对这种情况， 我们也考虑过利用s ( 七) 并结合关联函数g 共同确定本征能级，实际的结果说明这 种操作非常有效的，这里我们不再详细描述。最后，我们给出圆形台球系统在低 能态的能级累计密度的解析解与数值解的对照，如图3 ，可以看出，两者吻合的非 常好。 k 张正中：量子围栏的模拟和计算 k ( b ) 图2 用两种不同的标准寻找本征能级 如图2 ，在七 6 ，1 0 2 】区间内，( a ) ：最小奇异值s ( k ) 随尼的变化曲线；( b ) 边界残 量丁( 七) 随后的变化曲线，理论上在此区间存在9 个能级，这与( b ) 图精确吻合，而 ( a ) 图显然存在过多的“伪解”。 表1 图2 ( b ) 中最小边界波函数残对应的k 空间本征态的值 图3 中，在能量区间2 ，舾壳2 0 ，3 0 0 】内，我们计算得到的圆形台球系统的能级 累计密度与理论解的对照图，两者基本吻合。 2 3 扬州人学硕士学位论文 表一1 ，利用图2 ( b ) ，可以寻找j i 6 ，1 0 2 】区间内的所有本征能级，表中罗列出 了这个区间内的所有本征能级的数字解和理论解，两者之间基本吻合。 2 m e ，h 2 图3 用改进后的方法计算能级累计密度 2 4 2 简并态的数值结果 为了验证简并态计算方法的有效性，我们选取了类似于图1 ( c ) 的量子矩形台 球系统作为研究对象，这里取彳= 2 o ，b = 4 o 。量子矩形台球系统是少数有严格解 的可积系统，矩形台球系统在高能级时存在大量的简并情形，这为我们对照性的 研究带来了很多便利。 首先，通过理论计算得七1 2 2 6 8 为矩形台球系统本征能级的位置，且为二重 简并态，我们以此能级为例，验证算法的可靠性。首先，选定七 11 9 5 ，1 2 6 9 区 间内，利用式( 1 0 ) 计算得到r ( 七) 函数图，如图4 所示。这里，我们选取了三个本 征能级七= 1 1 9 9 8 ，1 2 2 6 8 ，1 2 6 6 4 ，对每个能级，计算s v d 所有右矢的边界残量丁( 七) 并作由大到小的排序，如图5 所示。当七为1 2 2 6 8 和1 2 6 6 4 时，丁。( 后) 在趋于最小 张正中：量子围栏的模拟和计算 时，都存在一个小平台，在平台上，丁( 七) 缓慢地趋于最小，而且平台的宽度随简 并度的加重而展宽；而对于尼= 1 1 9 9 8 ，r 。( 尼) 最后突然的掉落到最小。理论计算 表明，后= 1 2 6 6 4 和尼= 1 2 2 6 8 时