（理论物理专业论文）量子系统中的熵与纠缠.pdf

o 1中文摘要 近年来，量子熵理论在量子物理特别是在量子光学和量子信息学领域中 的广泛应用，受到人们的极大关注它是理解和研究量子计算、量子通信、 量子隐形传态、量子测量、量子纠缠等热点课题的理论基础和有力工具。光场 和原子的压缩以其具有重要的应用价值引起了人们的广泛研究最近文献 1 6 i 提出的信息熵测不准关系为高灵敏量度光场与原子的压缩效应提供了新的理 论根据 本文运用量子熵理论着重研究了量子系统中的纠缠，此外还探讨了量子 力学通道、二粒子隐形传态的熵描述及原子信息熵压缩等问题，具体内容如 下： 第一章简要地介绍了有关量子熵与纠缠的基本概念和理论第二、四、五 章运用量子熵理论研究了量子系统中的熵动力学性质与量子纠缠性质其中 第二章研究了双模压缩真空态在特定环境( 原子) 下的退相干和纠缠这里不 但讨论了原子和双模压缩真空态的纠缠，而且讨论了双模缩真空态在与原子 作用过程中两个模间的纠缠通过讨论模i 目7 4 缠和保真度，发现了双模压缩真 空态在原子作用过程中仍保持较高的纠缠度和保真度本章的工作对量子计 算和量子通讯有重要的意义；第四章研究了两维囚禁离子系统中量子纠缠，提 出了两束激光和囚禁离子相互作用的理论摸型，利用该模型的晗密顿量既讨 论了系统内外自由度( 离子和振动声子) 间的纠缠性质，又创新地用量子相对 熵研究了振动声子两个自由度间的纠缠研究发现：尽管振动声子两个自由 度间没有发生相互作用，但由于离子和振动声子的作用，从而导致了两个自由 度i h - j 2 q 缠的改变，并且首次从理论上揭示了离子一振动声子纠缠与振动声子两 个自由度间纠缠的关系此外还讨论了系统的初态对纠缠的影响；第五章研究 了在双光子非线性j - c 模型中非线性作用对原子一双模场及场模间纠缠的影 响，探讨了原子崩塌回复和纠缠之间的关系。研究结果显示；当类k e r r 介 i i i 质不存在时，结果类似第四章的结果，原子和光场的纠缠及双模场之间的纠缠 没有周期性然而当类k e r r 介质存在时纠缠呈现出周期性本章中的另一个 新发现是：在原子崩塌和回复时间区域内对应着特定的纠缠第三章将0 h y a 的互熵理论引入到原子和双模压缩态光场的双光子相互作用过程的研究，给 出了原子互熵的表达式，发现原子量子力学通道具有周期开关特性，并讨论了 压缩因子对量子力学通道的影响第六章提出了实现量子信息熵压缩的一种 新方案该方案容易在实验上实现，是实现原子压缩的一条有效途径第七章 给出了如何对两个二能级粒子的任意纯态进行量子隐形传送，并用熵理论对 此作了解释第八章是本文的总结和对有关问题的展望 关键词：量子熵理论，量子纠缠 干，量子隐形传态，量子信息熵压缩 c u m m i n g 模型 囚禁离子，双模压缩真空态，量子退相 量子力学通道，双光子非线性j a y n e s o 2 英文摘要 a b s t r a c t e n t r o p ya n de n t a n g l e m e n ti nt h eq u a n t u ms y s t e m w a n gc h e n g z h i d i r e c t e db yp r o f e s s o rf a n gm a o - f a d e p a r t m e n to fp h y s i c s 、h u n a nn o r m a lu n i v e r s i t y ，c h a a g s h a ，4 1 0 0 8 1 ，c h i n a l n r e c e n t l y c o n s i d e r a b l ea t t e n t i o nh a sb e e np a i dt ot h ea p p l i c a t i o no fq u a n t u m e n t r o p yt h e o l yi nq u a u t n mp h y s i t s s p e c i a l l y i nq u a n t u mo p t i c sa n dq u a n t u mi l l f o r m a t i o n q u a n t u me m r o t wt h e o l yi s t h ei b m l d a t i o na n dp o w e r f u lt o o li nu n d e l s t a n d i n ga n ds t u d y i n gs u c b p r o b l e m sa sq u a n t u mc o m p u t a t i o n ，q u a n t u m c o m m u n i c a t i o n ，q u a u t u mt e l e p o r t a t i o n q n a n t n u lm e a s u r e m e n ta n dq u a n t u me n t a n g l e m e n t t h es q u e e z i n go ft h ef i e l da n da t o mi n t e n s i v e l ys t u d i e dd u et oi t sp r a c t i c a la p p l i c a 。 q o n 、t h er e f e r e n c e 1 8 p r e s e n t e dt i ms q u e e z i n gt ! m o r yo fq u a n t u mi n f o r m a t i o nf o ra h i g hs e n s i t i v em e a s u r e m e n to ft h es q u e e z i n ge f f e c t so ft h ef i e l da n da t o m i nt h i st h e s i s q u a n t u me n t r o p yt h e o r i e sa r ea p p l i e dt os t u d yq u a n t u m e n t a n - g l e m e n ta n do t h e rp r o b l e m s ：q u a n t u mc h a n n e l 、t w o p a r t i c l et e l e p o r t a t i o na n d i t s i n t e r p r e t a t i o ni nt e r m so fe n t r o p y 、q u a n t u mi n f o r m a t i o ns q u e e z i n go fa t o ma n d s oo i li nq u a l l t u l ns y s t e m s t i l et h e s i si ss t r u c t u r e d “f o l l o w s ： l nt h ef i r s t c h a p t e r q u a n t u me n t r o p yb a s a lc o n c e p t i o na n dr e l a t e dt h e o r i e s “ec o n c i s e l yi n t r o d u c e d i nt h ec h a p t e r2 4a n d5 t i l ee n t r o p i cd y n a m i c sa n d t i mp r o p e r t i e so fe n t a n g l e m e n ta r ei n v e s t i g a t e di nq u a n t u ms y s t e m i nt h e2o f t h e s ec h a p t e r s ，t h ed e e o h e r e n c ea n de u t a a t g l e m e n to ft h et w o m o d es q u e e z i n gv a c 。 u u ms t a t ea x es t u d i e du n d e rt h ei n f l u e n c eo ft h es p e c i a le n v i r o n m e n t ( a t o m ) ，n o t i v o n l yt h eq u a n t u me n t a n g l e n i e n tb e t w e e nt i ma t o l na n dt w o - m o d es q u e e z i n gv a e u u l n s t a t ei ss t u d i e d b u ta l s ot h eq u a n t u n ie n t a n g l e m e n tb e t w e e nt w om o d e so ft h et w o m o d e l i g h tf i e l ds t a t ei ss t u d i e db y t h es t u d y i n go f q u a n t u me n t a n g l e m e n tb e t w e e n t w om o d e so ft h et w o - m o d e l i g h tf i e l ds t a t ea n df i d e l i t yo ft h et w o m o d el i g h tf e l d s t a t e ，w ef i n dt h a t i ft h ei n i t i a lc o n d i t i o n so ft h es y s t e ma r ep r o p e r l ys e l e c t e d ，t h e t w o m o d es q u e e z i n gv a c u u l ns t a t eu s e di nq u a u t u n lc o n m m n i c a t i o ns t i l lk e e p sh i g h d e g r e eo fe n t a n g l e m e n td u r i n gt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e na t o ma n dl i g h tf i e l d w h i c h i ss i g n i f i c a t i v et oq u a n t u mc o m m u n i c a t i o n ；i nt h ec h a p t e r 4 q u a n t u me n t a n g l e m e n t i nat w o d i m e n s i o n a li o nt r a pi s i n v e s t i g a t e d h it h i sc h a p t e r t h em o d e lo fb e t w e e n t w ol e a s e r sa n dat r a p p e di o ni s p r e s e n t e d t h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nt w od e g r e e s o ff r e e d o mi si n i t i a l l yi n v e s t i g a t e db yu s i n gq u a n t u mr e l a t i v ee n t r o p y i na d d i t i o nt o t h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nt w od e g r e e so ff r e e d o m ( i o na n dp h o n o n ) t h ef i n d i n g s g i v et h a te n t a n g l e m e n tb e t w e e nt w od e g r e e so ff r e e d o mo ft h ep h o n o nv a r i e sw i t h t i m e ，a l t h o u g ht i m r ei s n oi n t e r a c t i o nb e t w e e nt h et w od e g r e e so ff r e e d o m ，a n dt h e r e l a t i o nb e t w e e nt h et w oe n t a n g l e m e n t si sd i s c o v e r e df o rt i mf i r s tt i m e m o r e o v e r ， t h ef i n d i n g sa l s os h o w st h a ts y s t e mi n i t i a ls t a t e e n t a n g l e m e n th a sv a s ti n f l u e n c e o nt i l et w oe n t a n g l e m e n t s ；i nc h a p t e r5 ，t h ei n f i u e n e eo fn o l i n e a ri n t e r a c t i o no ne l i t a n g l e m e n ta n dt h er e l a t i o nb e t w e e na t o m i cc o l l a p s e - r e v i v ea n de n t a n g l e m e n ta r e d i s c u s s e di nt w o m o d en o l i n e a rj - cm o d e l t h ef i r s tr e s u l t g i v e st h a tw h e nt h e k e r ri n e d i u n id o e sn o te x i s t ，t h ef i n d i n g si st i l es a m e 培t h e s ei nt h ec h a p t e r4 b u t w h e nt h ek e r rm e d i u me x i s t s ，e v o l u t i o n so fe n t a n g l e m e n t sa r ep e r i o d i c a n o t h e r n e wr e s u l ti st h a tt i m ew h e na t o l ni s c o l l a p s i n ga a dr e v i v i n gc o r r e s p o n d st ot i m s p e c i a le n t a n g l e m e n t o h y am u t u a le n t ! o p i ct h e o l - yi si n t r o d u c e di n t ot h es t u d yo n t h et w o - p h o t o np r o c e s so fa t o ma n dt w o - m o d es q u e e z i n gv a c u u ms t a t ei n c h a p t e r 3 t h ee x p r e s s i o no fa t o m i cm u t u a le n t r o p yi s d e r i v e d p e r i o d i c i t yo f t h eq u a n t u m m e c h a n i c a lc h a n n e li sd i s p l a y e d ，a n dt h ei n f l u e n c eo f s q u e e z i n gc o e f f i c i e n to n a t o m i c m u t u a le n t r o p yi s i n v e s t i g a t e d ；c h a p t e r6g i v e sas c h e m ef o rr e a l i z i n gt h es q u e e z i n g v i o fa t o m i ci n f o r m a t i o ne n t r o p yi s b r o u g h tf o r w a r d t h i ss c h e m ei se a s i t ye x d e r i m e n t a l l yp e r f o r m e da n di sae f f e c t i v ea v e n u et or e a l i z et h ea t o m i cs q u e e z i n g ；i n c h a p t e r 7 ，as c l m m et b rq u a n t u l nt e l e p o r t a t i o no ft w o p a r t i c l ea r b i t r a r yp u r et w o 1 e v e l s t a t e s i sp r o p o s e d ，w h o s ei n t e r p r e t a t i o ni nt e r m so f q u a n t u mi n f o r m a t i o ni sg i v e nb yu s i n g q u a n t u me n t r o p yt h e o r y ；i nt h el a s tc h a p t e r s u m m a r yo ft h et h e s i sa n d p r o s p e c to f m yw o r k su eg i v e ni nb r i e f k e yw o r d s ：q u a n t u me n t r o p yt h e o r y q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，t r a p p e di o n t w o 。m o d es q u e e z i i f g v a c u u n l s t a t e q u a l l t i u l l d e e o h e r e n c e ，q u a n t u mt e l e p o r t a t i o n e n t r o p i cs q u e e z i n g ，( u a n t u n lm e c h a n i c a lc h a n n e l 致谢 2 我非常感谢方卯发教授对本文的悉心指导和三年来对我的倾心教导! 在 湖南师范大学理学院三年的学习和研究中，我被导师方卯发先生对我高度负 责的态度所感动在学习上，他要求我精益求精，遇到难理解的东西一定搞明 白；在论文写作上，导师严格要求，任何疏忽，即使是很小很小的疏忽也不要 放过。对我的每一篇论文，他阅读多遍，然后提出一些好的建议，修改多次， 直到满意为止，我想作为院领导的他，在繁忙的工作中能作到这一点，确实使 我很感动；在生活上，导师热心地关心我我很幸运成为方教授的学生，他突 出的科研能力、渊博的学识、踏实的工作作风、丰富的创新精神永远为我景仰 和追求，在此，我对我的老师一方卯发教授致以最衷心的感谢和诚挚的敬意! 在理学院学习期间，我还得到颜家任、海文华、匡乐满等教授的指导，在 此一并表示深深的感谢! 最后，我非常感谢我的父亲和我的母亲，感谢他们对我的养育之恩和对我 学习的支持特别是我的母亲，在父亲生病生活无法自理的情况下，她一如既 往地支持我的学习在此，我向我的母亲表示深深的歉意和感谢! 王成志 二零零二年三月 湖南师范大学理学畦 第一章量子熵与纠缠的基本概念和理论 物理概念及理论都是逐步深入的，量子熵的概念和理论也不例外它的发 展大致经历了以下几个阶段 一九三二年， c o nn e u m a m l 首先将玻尔兹曼经典熵推广到量子熵一九 八九年，p h o e n i x 和k n i g h t ( p k ) 首先用v o nn e u m a n n 量子熵研究了光场与 原子相互作用时两者之间纠缠的动力学性质，深刻地揭示了双量子系统量子 纠缠的动力学本质；一九八三年至一九九八年0 h y a 等提出的量子互熵理论是 量子通讯领域研究量子力学通道传递信息能力的有用工具，它是把经典通讯 理论推广到量子领域的重要尝试；随着量子信息学的飞速发展，于一九九六 至一九九七年期间c e r f 和a d a m i 等人把经典通信熵理论成功地推广到量子领 域，提出了量子信息熵理论( 内容包括量子条件熵、量子互熵等) ，从而实现 了熵理论从经典领域到量子领域的巨大飞跃，为理解和解决量子计算、量子通 信、量子隐形传态、量子测量等问题提供了理论基础，大大促进了量子物理特 别是量子信息学的发展；量子熵另一个重要的应用是度量各子系间的纠缠程 度，虽然量子约化熵理论能很好地度量两体纯态系统中子系间的量子纠缠，但 对于两体混合态系统子系间的纠缠不能用它来度量一九九七年左右，v e d r a l 和p l e n i o 等提出了量子相对熵纠缠理论量子相对熵纠缠度不仅可以用来度 量两体混合态系统两子系间的量子纠缠，而且在量子测量和量子信息处理领 域起着很重要的作用；光场和原子的压缩是量子光学研究的重要内容之一 通常人们从海森堡测不准关系来研究光场和原子的压缩，但在一些特殊的情 况下，海森堡测不准关系是平庸的，不能提供任何压缩信息最近，文献f 1 6 1 提出的信息熵测不准关系为高灵敏量度光场与原子的压缩效应提供了新的理 论根据目前，量子熵理论在量子信息研究领域正在发挥越来越重要的作用 在本章中，我们简要回顾量子熵与纠缠的有关概念和基本理论 一、v o nn e u m a n n 熵和v o nn e u m a n n 约化熵 在量子信息理论中，量子信道不仅可以用来传输经典信息。而且可以传输 量子熵与纠缠的基本概念和理论 2 量子信息因此在量子信息中，有两个问题需要解决：一是如何有效地传输经 典信息；二是如何有效地传输量子信息，这两个问题都与v o nn e u m a n n 熵有 关v o nn e u m a n n 熵是量子通讯领域中最基本也是最重要的概念，其地位与 经典信息理论中的s h a n n o n 熵的地位相当基于密度矩阵，以量子态为研究对 象，v o nn e u m a n n 熵( 以后简称熵) 的定义为 1 】 s ( p ) = - t r p l 0 9 2p ) ，( 1 1 ) p 是量子系统的密度矩阵如果九是p 的本征值， c o nn e u m a n n 熵可表示为 s ( p ) = 一i ：, 1 i l 0 9 2 k ( 1 2 ) t 对于两体系统，一子系a 的约化v o nn e u m a n n 熵( 简称约化熵) 用子系的矩阵 p 定义为 s ( p a ) = - t r a 缸 l 0 9 2p a ，( 1 3 ) t r 表示对a 的自由度求迹，如果p 在对角基中表示为p a = 。p ( q ) l a ) ( ql ， v o nn e u m a r m 熵等于经典熵： h ( a ) = 一芝：p ( o ) l 0 9 2 n ( 1 4 ) o 对a 作幺正变换，其v o nn e u m a n n 熵保持不变，类似经典热力学中，b o l t z m a n 熵在可逆变换时保持为常数的情形由于在量子力学中只允许幺正演化，所以 孤立系统的v o nn e u m a n n 熵保持不变在量子信息理论中， c o nn e u m a n n 熵 有以下两点重要应用，一是定量地表示了量子信源的性质，描述了通过信道忠 实地传送每个信源号编码所需码的平均最小量子位数目；二是 c o nn e u m a n n 约化熵是两体纯态系统子系间的纠缠程度的量度，揭示了子系统之间相互作 用中表现出的量子特性一量子纠缠 v o n n e u n m n n 熵的性质 ( 1 ) 非负性，s ( p ) 0 当且仅当系统是纯态时，熵为零 从性质( 1 ) 看出v o nn e u m a n n 熵量度了对纯态的偏离一个有幺正算符 支配的量子系统，密度算符的本征值不变，系统仍保持原先的纯态或混合态 从物理意义上讲，尽管子系间存在相互作用，但整个系统是封闭的，因此系统 的熵不改变；但子系的熵随时间变化从操作上看，求迹操作是非幺正操作， 量擅墨型缤鳆差查煎塞塑垄迨 3 从物理上看，子系不是封闭的，熵变化是必然的对于两体纯态系统，子系a 或b 的熵演化反映了a 和b 之间的纠缠情况，这意味着量子态在完全随机的 情况下，信息量最大 ( 2 ) 在d 维希尔伯特空间中，熵的最大值为1 0 9 2 d ，当且仅当所有本征值 相等时取得 ( 3 ) 凹性 s ( k 以) 。s ( 砒 ( 1 5 ) lt 式中b 0 ，：a i = 1 上式表明混合态的不确定性不小于各分态的平均不确 定性，态的混合引起熵的增加 ( 4 ) ，次加性 两个子系组成的复合系统a b 处于密度矩阵p 描述的态，a 和b 的密 度矩阵分别为p 。和p b ，当p 4 口= p 。o p 且时， s ( p 4 日) = s ( p 1 ) + s ( p b ) 一 ( 1 6 ) ( 5 ) 三角不等式 a ，b 两个子系统构成的符合系统，它们的熵满足下面三角不等式【2 i s ( p 4 ) 一s ( p b ) l s ( p a b ) s ( p a ) + s ( p b ) ( 1 7 ) 上式当且仅当a 和b 退纠缠时取等号若两个子系是纠缠的，则s ( p ) s ( 肌) + s ( p s ) ，这是因为信息被编码( 隐藏) 在两部分的纠缠中，即非定域的量子关联 中，任何局部操作都不能提取出编码在其中的信息，这是量子信息不同于经典 信息的一个显著特征之如果两体系统是纯态，子系的熵相等，即s ( p a ) = s ( p s ) 如果将全系统a b 制备在一个纯态，从上面的讨论可知：s ( p a b 】= 0 ， 但是s ( p r ) 0 ，( i = a ，b ) ，其结果一般地有s s ( p a ) + s ( p s ) 不同于热力学 中熵的可加性原因是子系统的约化熵s ( p f ) 产生于在对子系统变量进行求迹 操作时忽略了子系统a 与b 之间的关联由于当构造s ( j d ，) 时丢失了信息， 不能从子系统熵的知识重新构造s ( p a s ) ( 6 ) 假定p = ，p i p i ， p d 是概率分布，p i 是密度算符集，定义日( p ；) e 4 。p l 0 9 2 弘，则 s ( p ) 月( p i ) + p ；s ( 扰) ( 1 8 ) 1 ( 7 ) 联合熵定理 3 协) 是概率分布，( 1i ) ) 是系统的正交态，m ) 是系统的任意密度算符 集，则 s ( p ii i ) “lo 肌) = h ( p i ) + p s ( p ：) ( 1 9 ) il 测量和v o nn u m a n n 熵 对一个量子系统测量时，这个系统熵的行为如何呢? 显然依赖测量的方 式设 p ) 是投影算符的完全集，测量以后系统算符p 只p 最的熵满足 s ( p ) s ( p )( 1 1 0 ) 这说明测量后系统的熵不会减少，即信息不会丢失 二、量子条件熵和量子互熵 用密度矩阵( 量子信息论) 代替概率( 经典信息论) ，两体系统的量子互熵 定义为 4 】： s ( p a ：b ) i t 7 c o a b i n p a ：b i s ( a ) + s ( b ) 一s ( a b )( 1 1 1 ) 式中p a ：b 为互振幅算符： 肌且= ，旦 ( 肌。p b ) 1 p 们- 1 “】“ ( 1 1 2 ) 量子条件熵定义为 4 ： s ( a b ) ；一t r a b p a bl 0 9 2p a i b 】 j s ( a ，b ) 一s ( b ) ， 表示以b 为条件，a 的v o nn e m n a n n 熵式中， 。p a l b = 撬陋始( 1 a 。p 口) 。1 7 “ ” 是条件密度矩阵，是从经典信息论中条件概率p 。1 6 在子系统a 的希尔伯特空间的单位矩阵 量子互熵和量子条件熵的基本性质 ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 j 错类比而来，1 a 是 量塑里型堡塑薹查塑叁塑堡途 5 ( 1 ) 物理意义：量子互熵s ( a ：b ) 表示系统a 、b 共有的信息；量子条 件熵s ( aib ) 表示收到b 后a 的不确定性 ( 2 ) 系统的密度矩阵为对角矩阵时，量子条件熵和量子互熵回到经典情 况 ( 3 ) 量子条件熵( alb ) 和( bla ) 、量子互熵s ( a ：b ) 、v o n n e u m a n n 熵s ( a ) 、s ( b ) 及s ( a b ) 的关系( v e n 熵图) s ( a )s ( b ) ( 妫ab r i i i ) 图1 1 ：( a ) i z t - 子系统的v e n 熵图( b ) 双自旋i l ，二量子比特粒子在三种情形 下的v e n 熵图( i ) ，两粒子独立；( i i ) ，两粒子经典关联；( 1 l i ) ，两粒子量子缠 绕 考虑2 个量子位的复合系统a b 处于纠缠态e p r 态j 西+ ) = 去( 10 0 ) + i 1 1 ，s ( a ，b ) = 0 ，s ( a ) + s ( b ) = l b i t s ( aib ) = s ( a ，b ) 一s ( b ) = 一l b i t ( v e n 熵图如图1 1 ( b ) ( i i i ) ) 在经典通信理论中条件熵不能取负值，这是量子信息区别于经典信息的 另一个显著的特征量子量子条件熵和经典条件熵的这种差异与量子纠缠和 量子态潜在的非正交性有关。可以证明：量子条件熵取负值是两个系统a 、 b 相互纠缠的充分条件，即量子条件熵为负值，系统一定是纠缠的：这个突出 的特征实现了经典关联与量子纠缠的统一描述并且在密度矩阵为对角矩阵 的条件下，量子条件熵过渡到经典条件熵 量子熵与纠缠的基本概念和理论 6 多体系量子互熵和量子条件熵 作为两体系统的推广，三体系统量子互熵和量子条件熵为： ( 1 ) 1 条件熵：s ( aj b c ) = s ( a b c ) 一s ( b c ) 意义：知道b 、c 后，a 尚留的不确定性 s ( b1a c ) = s ( a b c ) 一s ( a c ) 和s ( cjb a ) = s ( a b c ) 一s ( b a ) 的表达式和意 义类似得出 ( 2 ) 互熵ts ( a ：b ：c ) = s ( a ：b ) 一s ( a ：ble ) 意义：a 、b 、c 共有的信息量 ( 3 ) 条件互熵：s ( a ：bfc ) = s ( aig ) 一s ( afb c ) 意义：知道c 后a b 尚留的不确定性 与s ( a ：b c ) 类比可得出s ( a ：c b ) 、s ( b ：cla ) 的表示式和意义 ( 4 ) 更一般地，多体系统的熵关系可以写成量子熵的“链条”形式t s ( a 1 a 2 a 3 a 。) = s ( a t ) + s ( a 2ia t ) + s ( a 3la 1 a 2 ) + ( 1 1 5 ) s ( a l a 2 a 3 afb )= s ( 1jb ) + s ( a 2 ：b a 1 )( 11 6 ) + s ( a 3 ：b | 4 i a 2 ) + ( 1 1 7 ) ( 5 ) 多体系统中量子熵的不等式 5 】： s ( a ，b ，c ) + s ( b ) ss ( a ，b ) + s ( b ，c ) s ( a ) + s ( b ) s ( a ，c ) + s ( b ，c ) s ( aa ，a 2jb l b 2 ) ss ( a i 日1 ) + s ( a 2i 口2 ) s ( a l ，a 2 ，b t ，b 2 ) + s ( b 1 ) s ( a l ，b 1 ) + s ( a 2 ，b 1 ，b 2 )( 1 1 8 ) 三、量子相对熵 相对熵在经典信息论中描述两个概率分布的可分辨性用密度矩阵代替 概率分布，可把相对熵推广到量子的情况设a 和p 是两个密度算符，定义p 相对一的量子相对熵为【3 8 】： s ( p | i 口) t r i p ( 1 0 9 2 p l 0 9 2 d ) 】 ( 1 1 9 ) 量子相对熵有很多有用的性质首先，量子相对熵满足一些有用的不等式， 这些不等式为其它不等式的推导提供了基础，为量子信息处理提供了理论基 量圣煎兰型堡塑薹查垫叁至! 理迨 7 础；量子相对熵对量子态统计可区分性有很自然的解释；量子相对熵在量子信 息中有重要的应用 量子相对熵的性质 量子相对熵有下列性质f 5 ( 1 ) s ( pi l 0 当且仅当p = 0 - 时等号成立 ( 2 ) s ( pl lc r ) 0 ，p k = 1 ，p k 和口是密度算符，p = k p k p k ， 贝0s ( p 口) = e 女p k s ( p e | | 口) 一女p k s ( p k | | p ) ( 6 ) s ( ：p i p p i 。p i p p i ) = ：( a 印： p i z p l ) 这里，胁是正交投影算子 集，即p l p j = d i i p i ( 7 ) s ( p o p 。) i l 口o p 。) = d ( pi i 口) ，p 。是任意投影算子 从以上的定义和性质可以看出，量子相对熵有着鲜明的物理意义，它表示 态p 和a 态之间的“距离”在经典信息论中，两个概率分布经过n 次独立的取 样后，不能把这两个概率区分开来的可能性与相对熵有关，与之有关的定理称 为s a n o v 定理【6 】例如，抛一个有缺陷的硬币，多次实验得到硬币向上，向下的 概率为p = 3 1 0 ，7 l o ) ，对于一个完好的硬币应该有q = 1 2 ，1 2 由s a n o v 定理，1 3 次实验后仍不能区分有缺陷和完好硬币的概率是p = 2 - - ( p ， & ( pi iq ) = ：p , ( 1 0 9 2 只一l 0 9 2q i ) 是经典相对熵推广到量子情况，就是量子 系统q 可能的两个态p 和z 假定有n 个相同的q 系统，对每个q 进行测 量以确定系统是否处于态p ，经过n 次测量后( - 。) 仍不能区分开态p 和口的概率为p n 2 - n s ( p t l “量子s a n o v 定理告诉我们量子相对熵刻画了 测量渐近的区分性这进一步支持了把量子相对熵看作是“距离”的观点，如 量子熵与纠缠的基本概念和理论8 果两个态很难区分，则它们之间的测量“距离”就近；反之，如果两个态很容 易区分，则它们的测量“距离”远 四、熵和纠缠度 量子纠缠是对多个体系而言的自从爱因斯坦等人提出e p r 佯谬以来， 量子纠缠一直是物理学中引人注目的领域一方面，量子纠缠体现了量子态的 非定域性，导致了b e l l 不等式的违背；另一方面，量子纠缠作为一种物理资源 广泛应用于量子隐形传态、量子编码、量子密钥分布和量子计算等量子信息处 理中量子纠缠的重要性使得对量子纠缠的定性和定量描述显得尤为重要 最近几年在纠缠态的度量方面取得了一些进展，但除了对于两体系纯态纠缠 得到了些肯定的结果外，对于混合纠缠态以及多体系统纠缠态的纠缠度量 仍在探讨 分离态和纠缠态 假定通信双方a l i c e 和b o b 共享一个处于态p o 日的量子系统如果p 邶 能写成下面的形式； p 加= p k p # o p p ( p k = 1 ) ( 1 2 0 ) k 则p 8 是可分离态，系统是可分离系统可分离态有以下性质： ( 1 ) 可分离态展现普通的经典统计关联性质，不展现量子关联性，也就是 它们不违背b e l l 不等式 ( 2 ) a 和b 的可分离态可以通过a l i c e 和b o b 各自的局部量子操作和经 典信息的交换产生 如果p 蛔不能写成如上的形式，则由p 惦描述的态是就是纠缠态例如， “0 a 0 8 ) + l1 a 1 8 ) ) ( ( 0 4 0 8 + ( 1 。1 8 ) 和 【l0 d 0 8 ) ( o “0 8l + ( 1 , 4 1 8 ) ( 1 a 1 8l 都是 纠缠态，只不过前者是纯态纠缠态，后者是混合纠缠态量子纠缠态具有如下 性质： ( 1 ) 量子纠缠态不能通过局部的量子操作和经典信息的交换产生，换句 话说，它们的产生需要a l i c e 和b o b 之间量子信息的交换 ( 2 ) 量子纠缠体现了系统之间的最子关联，从而导致了b e l l 不等式的违 量子熵与纠缠的基本概念和理论 9 背 仿照两体纠缠态的定义，可以纠缠态推广到多体系统例如m 体可分离 态可写成 p 4 。= 肛p ? o p 尸9 圆p ? 7 ( 戤20 ，p ：= 1 ) ( 1 2 1 ) li 不能写成上面形式的态就是纠缠态 两体纯态纠缠程度的度量 作为对纠缠程度度量的纠缠度须满足以下几个条件【3 8 】： ( 1 ) 可分离态的纠缠度为零 ( 2 ) 局部幺正操作不改变纠缠度 ( 3 ) 在局部量子操作和经典通讯下平均纠缠度不应增加因为局部量子 操作和经典通讯不会引起量子关联 ( 4 ) 可加性设备态la - b ) 、la z b 2 ) 、l 如b 。) 可能是纠缠态，【a b ) = l a i b l o 4 2 岛) o ola ，。b 。) ，则la b ) 的纠缠度e ( 1a b ) ) 为e ( 1a b ) ) = f ( i l b l ) ) + e ( a 2 8 2 ) ) 十+ e ( ia ，。b 。) ) 设两体纯态系统a b 处于量子态i 皿加) ，子系a ，b 的约化密度矩阵分 另0 是p 4 = t r s ( 皿。) ( 。i ) ，p 。= t r 4 ( i 皿。b ) ( 母。i ) a 和b 之间的纠 缠程度可以用a 或b 的v o nn e l l n l a n n 约化熵s ( p a ) 或s p b ) 度量s ( p a ) 取 最小值0 对应于a 、b 间退纠缠，态p 邶是可分离态；s ( p ) 取最大值l 对 应于a 、b 间纠缠最大，态一8 是最大纠缠态 用约化熵度量两体纯态的纠缠程度是否合理呢? 为了证明其合理性。量 子信息学的权威b e n n e t t 引进了形成纠缠( e n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o n ) 和蒸馏 纠缠( e n t a n g l e m e n to fd i s t i l l a t i o n ) 的概念 6 】 态的形成是指在n 。9 c 的情况下，仅通过局域操作和经典通讯从c n 个 b e l l 态制备出n 个态a b ) 的过程形成纠缠就是态的蒸馏所需c 的最大值。 与态的形成相反的过程是态的蒸馏，它指在n o q 的情况下，仅通过局域操 作和经典通讯从n 个态1a b ) 制备出n c 个b e l l 态的过程蒸馏纠缠度就是所 需c 的最大值根据以上概念和熵的性质易知用约化熵度量两体纯态的纠缠 量子熵与纠缠的基本概念和理论 1 0 程度是合理的。假定b o b 和a l i c e 有n 份量子态 4 b ) ，通过局域操作和经典 通讯把这1 1 份量子态ia b ) 转换为n s ( a ) 份b e l l 态设b 。为b e l l 态的纠缠 度由纠缠度的连续性和可加性知n e ( a b ) n s ( a ) b 。；通过局域操作和经典 通讯把n s ( a ) 份b e l l 态转换成n 份la b ) 同样地，有n s ( a ) b 。芝n e ( a b ) 7 2 _ 。时得到e ( a b ) = s ( a ) b 。b 。是b e l l 态的纠缠度。是常数，令其等 于1 则纯态ia b ) 的纠缠度为e ( a b ) = s ( a ) 由此可见用v o nn u l l i l 1 1 1 1 约化熵度量两体纯态的纠缠是合理的，子系的 v o nn u l l l a i l l l 约化熵定量地描述了两个子系同的纠缠程度在量子光学中通过 计算原子或光场的熵可知原子和光场之间的纠缠程度 两体混合态纠缠程度的度量 怎样度量混合态的纠缠程度是非常棘手的阁题对于两体混合态的纠缠 度到目前为止已提出了多种定义其中包括上面提到的形成纠缠和蒸馏纠缠 如果把态的形成和蒸馏中的局域操作和经典通讯看作是把纠缠态从非纠缠态 区分开来的“测量过程”，纠缠度就和测量数次后仍不能区分开纠缠态和非纠