（理论物理专业论文）高维hilbert空间中量子隐形传态的研究.pdf

摘要 量子信息学是量子力学和信息科学相结合而产生的新的研究领 域。经过近十年的发展，它已经发展成为一个重要而又富有活力的研 究领域。量子通信是量子信息学的一个重要分支，主要包括量子隐形 传态、量子稠密编码、量子密钥分配等。其中，量子隐形传态是量子 通信中最引人注目的方向之一，它是量子非局域性最切实的证明，在 量子信息学其他方面也有很重要的应用。最近，高维量子隐形传态的 研究吸引了人们很大的兴趣。我们在这个领域也作了一些研究。我们 先提出了传送一个多体d 维量子纠缠态的隐形传态方案，继而对可控 量子隐形传态进行了深入研究，设计了一个在多个控制方控制的量子 网络下来高效地传送多体d 维的量子态。全文共分为五章，第一章阐 述了量子隐形传态的发展历史及最新进展。第二章介绍了两维体系中 量子隐形传态的一些典型方案及在通道为部分纠缠态时传态最大成 功几率的结论。第三章先介绍了d 维体系中量子隐形传态的典型方 案，然后在讨论多体d 维量子纠缠态的隐形传态及最佳方案和最大成 功几率。第四章阐述了可控量子隐形传态的基本原理、基本方案，并 在此基础上进一步讲解两维的高效可控量子隐形传态方案，最后讨论 了多体d 维体系中的可控量子隐形传态的方案。在第五章，我们对本 文的工作做了一个简单的总结，并对量子隐形传态的前景作了简单的 展望。 关键词：量子隐形传态，可控量子隐形传态，最大成功几率，部分纠 缠态，最大纠缠态，高效。 a b s t r a c t q u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r yi sn e wr e s e a r c hf i e l dt h a tb r i n g st o g e - t h e ro i s c i p l i n e so fq u a n t u mm e c h a n i c sa n di n f o r m a t i o ns c i e n c e o v e rt h e p a s td e c a d e ，t h i ss u b j e c th a sd e v e l o p e di n t oas i g n i f i c a n ta n dv i g o r o u s f i e l do fr e s e a r c h q u a n t u mc o m m u n i c a t i o ni so n eo ft h em o s ti m p o r t a n t b r a n c ho fq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y , a n de m b m c e sq u a n t u mt e l e p o r - t a t i o n , q u a n t u md e n s ec o d m g ，q u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o na n ds oo n q u a n - r u m t e l e p o r t a t i o ni so n eo ft h em o s ta t t r a c t i v ef i e l d si nq u a n t u mc o n l m u n i c a t i o n i ti st h em o s tt a n g i b l em a n i f e s t a t i o no fq u a n t u mn o n l o c a l i t y , a n d p l a y si m p o r t a n tr o l e si no t h e rf i e l do f q u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y r e c e n t l y , g r e a ti n t e r e s th a sb e e na b s o r b e dt os t u d yq u a n t u mi n f o r - m a t i o ni nh i g h - d i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c e s w ea l s om a k es o m es t u d yi n t h i sf i e l d a tf i r s t , w ep r o p o s eam e t h o df o rt e l e p o r t i n ga nm u l t i - q u d i te n - t a n g d e ds t a t e ，t h e nw ed od e 印l yr e s e a r c ho nc o n t r o l l e dt e l e p o r t a t i o n , a n d d e s i g nas c h e m ef o rt e l e p o r t i n gm u l t i - q u d i t s t a t ei nq u a n t u mn e t w o r kc o - n t r o l l e db yb yn a g e n t se f f i c i e n t l y t h et h e s i sc o n s i s t so f f i v ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ed e p i c tt h e d e v e l o p m e n th i s t o r ya n dt h el a t e s tp r o g r e s si nt h ef i e l do fq u a n t u mt e l e - p o r t a t i o n i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ei n t r o d u c es o m et y p et e l e p o r t a t i o ns c h e m e si nq u b i ts p a c e ，a n dt e s t i f yt h em a x i l n u ms u c c e s sp r o b a b i l i t yw h e n t h eq u a n t u mc h a n n e li sp a r t i a l l ye n t a n g l e ds t a t e i nt h et h i r dc h a p t e r , w e a l s of i r s t l yi n t r o d u c es o m et y p eq u d i tt e l e p o r t a t i o n , a n dt h e nd i s c u s st h e t e l e p o r t a t i o no fm u l t i q u d i te n t a n g l e ds t a t e ，s u m m a r i z i n gt h eb e s ta p p r o - a c h a n dt h em a x i m u ms u c c e s sp r o b a b i l i t y i nt h ef o r t hc h a p t e r , w ei n t r o - d u c et h eb a s i cp r i n c i p l ea n ds c h e m e so fc o n t r o l l e dt e l e p o r t a t i o n ，t h e nw e d e t a i l e d l ye x p l a i n t h ee f f i c i e n t l yc o n t r o l l e dt e l e p o r t a t i o ns c h e m e si nq u b i t a n dq u m ts p a c e sr e s p e c t i v e l y i nt h ef i f t hc h a p t e r , w eg i v eas u m m a r ya n d a r to u t l o o k o f t e l e p o r t a t i o n 、 k e yw o r d s ：t e l e p o r t a t i o n , c o n t r o l l e dt e l e p o r t a t i o n , m a x i n l u n ls u c c - i i i e s sp r o b a b i l i t y , p a r t i a l l ye n t a n g l e ds t a t e ，m a x i m u me n t a n g l e ds t a t e ，e f f i e i e n t l y i v 高维h i i b e r t 空问中量子隐形传态的研究 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：座荔炱沙7 年 月四日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大 学。同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密阿。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：庄压受日期：岬年5 月t s 日 导师签名：磊1 呓日期：砷年占月，7 日“ 童丝坚! 旦竺皇塑! 量三堕垄堡查墅堑壅 第一章绪论 建立在2 0 世纪物理学支柱之一的量子力学基础之上的量子信息 学，是- - i 利用微观粒子的量子力学原理来解决经典信息学和经典计 算机所不能解决的问题的学科，因此量子信息学是量子力学和信息学 的交叉科学。一方面，量子信息学为信息的产生、存储和传输等提供 了新的载体，促进了信息科学技术的快速发展。随着当代信息科学的 不断进展，被选作信息载体的物质的尺寸不断减小，这势必突破经典 物理学规律的使用范围，触及到量子物理的领域。另一方面，量子信 息学的深入发展，遇到了许多新课题，这又有力的促进了量子力学自 身的不断完善和发展。由于其潜在的应用价值和重大的科学意义，量 子信息学作为最近十几年来迅速发展起来的新兴学科，正在引起各方 面越来越多的关注 1 。 量子信息科学包括：量子密码、量子通信、量子计算和量子测 量等。由于量子特性在信息领域中有着独特的功能，在提高运算速 度、确保信息安全、增大信息容量和提高检测精度等方面可能突破 现有经典信息系统的极限，引起各国政府、科技界和信息产业界的 高度重视。现有的经典信息以比特作为信息单元，从物理角度讲， 比特是个两态系统，它可以制备为两个可识别状态中的一个，如是 或非，真或假，0 或1 。量子信息的单元称为量子比特( q u b i t ) ，它 是两个逻辑态的叠加态。经典比特可以看成量子比特的特例。用量 子态来表示信息是量子信息的出发点，有关信息的所有问题都必须 采用量子力学理论来处理，信息的演变遵从薛定谔方程，信息传输 就是量子态在量子通道中的传送，信息处理( 计算) 是量子态的幺 正变换，信息提取便是对量子系统实行量子测量。在实验中任何两 态的量子系统都可以用来制备成量子比特，常见的有：光子的正交 偏振态、电子或原子核的自旋、原子或量子点的能级、任何量子系 统的空间模式等。信息一旦量子化，量子力学的特性便成为量子信 息的物理基础，其主要的有：( 1 ) 量子态的叠加性：量子信息可以 同时输入或操作n 个量子比特的叠加态；( 2 ) 量子相干性：量子干 涉现象成为量子信息诸多特性的重要物理基础；( 3 ) 量子纠缠性：n 硕士学位论文 ( 大于1 ) 的量子比特可以处于量子纠缠态，对其中某个子系统的局 域操作会影响到其余子系统的状态；( 4 ) 量子不可克隆定理：量子 力学的线性特性禁止对任意量子态实行精确的复制，这个定理和不 确定性原理构成量子密码术的物理基础等。 量子隐形传态是指：将发送方粒子的未知量子态信息分解为经 典信息和量子信息分别通过经典通信和量子通道的方式送往空间远 距离的接收方，而接收方可以通过这些信息把手中的粒子完美的恢 复为原量子态的全貌 2 。在这个过程中传送的仅仅是原物的量子 态，而不是原物本身。发送者甚至可以对这个量子态一无所知，而 接收者是将别的粒子( 甚至可以是与原物不相同的粒子) 处于原物 的量子态上；且原物的量子态在此过程中已遭破坏。量子隐形传态 是目前量子通信领域中最引入注目的课题之一，是量子信息理论的 重要组成部分，是量子非局域性 3 的最切实的证明，在量子计算机 4 ，5 、量子密码术 6 9 、量子稠密编码 1 0 ，1 1 、量子安全直接 交流 1 2 等方面也有重要的应用。早期提出的量子隐形传态，即远 距离隐形传物，就是想利用一种超常规的力量和现代发达的科学技 术方法，将某物体从发送者所在处传送到位于空间远距离的接收处。 但在量子力学中，由于海森伯不确定关系的限制，因而提取一个物 体的所有信息是不可能的。同时，量子不可克隆原理也指出无法精 确地克隆未知量子态。因此，隐形传物是不可能完美实现的。自从 1 9 9 3 年b e n n e t t 等人在 p h y s r e v l e t t 上发表一篇题为“由经 典和e p r 通道传送未知量子态”的开创性文章之后 1 3 3 ，量子隐形 传态引起了人们很大的兴趣，在理论和实验两方面都取得了快速发 展。在量子隐形传态的理论研究方面，许多新的传态方案已经被提 出。1 9 9 4 年v a i d m a n dl 等人提出连续变量的量子隐形传态方案 1 4 ； 1 9 9 7 年郑仕标和郭光灿腔q e d 的量子隐形传态方案 1 5 ，1 6 ；2 0 0 1 年s o l a n oe 等人提出了离子阱的量子隐形传态方案 1 7 ：2 0 0 3 年， r o al 等人提出了一种d 维的量子系统的隐形传态方案 1 8 ，他们采 用了非最大纠缠态作为量子通道，通过对量子态的识别，当所有的 非正交态是线性无关的量子态时，存在一个最优的平均保真度，从 而达到最佳概率的量子隐形传态等。在实验上，1 9 9 7 年奥地利的 i n n s b r u c k 的z e i l i n g e r 小组首次实现了量子隐形传态 1 9 ，论文发 表在 n a t u r e 上，此项研究成果轰动了学术界和欧美的新闻界； 1 9 9 8 年，美国加州理工学院的k i m b l e 的c i t 小组根据v a i d m a n 的方 高维h i l b e r t 空问中量子隐形传态的研究 案，利用运转于阈值以下的简并参量过程产生两束频率简并相位相 干的正交相位压缩光，在5 0 的分束器上耦合产生一对连续变量的 e p r 纠缠光束，实现了连续变量( 连续相干光场) 的量子隐形传态 e 2 0 ；在1 9 9 8 年底，美国n i e l s e n 等人用核磁共振的方法实现了核 自旋量子态的隐形传态 2 1 ，2 0 0 3 年，潘建伟等人实现了自由量子 态的隐形传态 2 2 ，这被认为是2 0 0 3 年度国际物理学十大进展之_ ； 2 0 0 4 年中国科技大学研究小组实现了五光子纠缠态的制备并演示了 终端开放的量子隐形传态 2 3 ，同一年，r i e b e 等人使用c a + 作为量 子信息的载体在线性的p a u l i 阱中实现了量子隐形传态 2 4 ， b e n n e t t 等人也使用b e + 在分离的离子阱中实现了量子隐形传态 2 5 等。 在本文中，我们介绍了量子隐形传态中一些常用的也很典型的 方案，继而在这些基础上进行了深入的讨论，对用一个部分纠缠通 道传送多体d 维纠缠态进行了详细的讨论。最后引入了可控的量子 隐形传态，并在n 个控制方控制的量子网络中实现了传送m 个未知 量子信息的高效可控量子隐形传态。 高维h i l b c r t 空间中量子隐形传态的研究 第二章量子隐形传态的基本方案 2 1 引言 量子隐形传态是量子信息理论的一个很重要的分支，也是目前 量子信息中人们关注的热门课题之一。量子隐形传态不仅向人们展 示了自然界中的神秘规律，而且还可以用量子态作为信息载体，通 过对量子态的传送来完成传输大容量的信息。由于量子通信在原则 上是不可破译的，所以这种方法可靠性高，安全性强，能节省资源， 降低通信的复杂度。此外，它在量子信息学其他分支上也有很重要 的应用。因此，研究量子隐形传态具有重要意义。 自从1 9 9 3 年b e n n t t 1 3 等人首次提出单个量子比特( q u b i t ) 任意态的传输方案之后，量子隐形传态得到了很好的发展 2 7 3 2 。 根据采用的通道不同，量子隐形传态可分为两种 2 6 ：采用最大纠 缠态作为量子通道的量子隐形传态 2 7 - 2 9 ，和采用部分纠缠态作为 量子通道的量子隐形传态 3 0 3 2 。 文章先阐述量子隐形传态的基本原理和基本步骤，再具体描述 在单个q u b i t 系统和多个q u b i t 系统的情况下所采用的典型的传态 方案。 2 2 量子隐形传态的基本原理 量子隐形传态的基本思想就是通过预先制备的量子通道和一些 经典通信手段将一方粒子的未知量子态传输到远处的另一方粒子 上，使另一方粒子处于该量子态上，而原来的粒子仍留在原处【3 3 】。 假设发送方a l i c e 要传送给b o b 的量子态为 ) 。- - 口1 0 ) 。+ 纠1 ) 。 ( 2 - 1 ) 其中口，是未知系数，也是我们要传送的信息，且满足归一化条件 口2 + 2 = l 。共享的量子通道为一个最大纠缠态( e p r 对) 硕士学位论文 m 1 ) 。= 击q 。) + 1 1 1 ) ) ” ( 2 - 2 ) 由粒子1 、2 和3 所组成的总体系的量子态为 1 i 甲) 删= 位i o ) + 科1 ) ) l 去q o o ) + f l l 。 = 专咿) 。：i ) 34 p ) 。：巧峨 ( 2 3 ) + 重i m l ) 。：l 多) ，+ 盯；盯；i m l ) ，：一l 妒) ，1 其中，矿，o - x 是p a u l i 算符；i 西1 ) ，j m 2 ) ，l 中3 ) ，j 4 ) 是四个b e l l 态，其具 ) = 万1 、+ 协 击3 ) = 击( f 0 1 ) + f l o ) ) ， 要实现阮这个未知的量子态的隐形传送，可分为三个步骤来完成： 1 a l i c e 对手中的1 、2 粒子进行b e l l 基测量。 2 a l i c e 通过经典通信手段告诉b o b 测量结果。 3 b o b 接受a l i c e 的2 比特经典信息后对手中的3 粒子进行相 应的幺正操作，从而把3 粒子恢复到i ) 态。 a l i c e 的b e l l 测量结果与b o b 要执行的相应幺正操作的对应关系如下 表2 1 所示： 表2 - 1 ：a l i c e 所测结果与b o b 相应的幺正操作 m i c e 所测结果b o b 的幺正操作 i 圣1 ) 。： j 3 1 0 2 ) 。： 西 。： p ) 1 2 o ；o ； d防 吣蚴 卟 州 扫扣 卜卜 妒 时 高维h i l b e r t 空间中量子隐形传态的研究 运用相同的步骤和方法，我们很容易知道：当a l i c e 和b o b 所 共享的最大纠缠通道为其他三个b e l l 态时，b o b 所需执行的幺正操 作。这个规律很容易推广到多体系统，下面我们就分别对不同通道 的多体量子态的隐形传态进行讨论。 2 3 用多个独立的最大纠缠量子通道传送q u b i t 系统量子态 我们可以将上面的结果推广到多体情况。我们采用n 个e p r 对 作为量子通道来传送n - q u b i t 的任意量子态。假设发送者a l i c e 要传 送的n - q u b i t 任意量子态为 l 力。，。= 口嘞 k , k 2 k ) 。 ( 2 - 5 ) q ，b ，。 其中未知系数满足归一化条件：，咖p j 2 = 1 、。量子通道采用n 个e p r x f f ：i m i q - ，l o ) ：，i o - ) 。( o = l 2 ，3 ，4 ，j = l 2 ，) ，其中 q u b i t s l ，2 ，妒在发送者a l i c e 手中，q u b i t s i ”z 9 19 - 在接受者b o b 手中，这3 n 个q u b i t 组成的总体系的量子态为： i 甲) 。= i ) l ：。l o “) 。i m ) ：，i 西啊) ， = 古4 m 1 。i m ) 。i o “) 删j ) l - ：。， + i t 妒) 。i o ) 笠l o “) 删修) ，：。 ( 2 6 ) + 西i m ) 1 。i 西) 材i 中“) 删渺) ，。胛 。 + 群西卜) 。i 中。) 。l d “) 。 o 茚西- a i 妒) l 帆】 我们仍然采用上述的三个基本步骤来传送n - q u b i t 的任意量子态： 1 a l i c e 分别对q u b i t 对( 1 ，l t ) ，( ，”) 作b e u 测量。 2 灿妣把所得测量结果通过经典通信告诉b o b 。 3 b o b 在接到a l i c e 传来的测量结果后执行如表2 - 2 所示的相 应的幺正操作。 硕士学位论文 表2 2a l i c e 的测量结果与b o b 的对应的幺正操作 a l i c e 所测结果b o b 的相应幺正操作 i 中) 。i m ) 笠一一1 m k ) w ， 啡i o ) l ) - 中啊) w 酢 盯；1 m ) 。i ) 笠一 中培) w 仃刍 西西西西啡西面 i o ) 。i m 。) z t 1 0 。) 脚 o 酊， 2 4 用多个独立的部分纠缠量子通道传送q u b it 系统量子态 前面两节中我们采用的量子通道均为最大纠缠态，现在将这个 规律推广到量子通道为非最大纠缠态的情况。假设发送者a l i c e 要 传送给接受者b o b 的n - q u b i t 的任意量子态为： 班，：1 妒卸i 毛屯k ) 珏。 ( 2 7 ) 其中系数满足归一化条件。山i 。i t t k 。k 2 - - t x1 2 = l 。量子通道采用n 对部 分纠缠纯态： i 神。- - - - o r 。i o o ) 。+ p d l1 ) 。， i 西：中2 口：i o o ) z ，+ p ：1 1 1 ) ：甲 ( 2 - 8 ) ； 尹) ，矿= 口。l o o 。，+ 户i i l l ) ，w 其中，粒子l ，2 ，和1 ，2 , - - - n 是属于m i c e 的，粒子r ，2 ”，妒是属于 b o b 的，并且系数满足归一化条件k 1 2 + 协1 2 = 1u = l 2 ，忉，且 高维h i l b e r t 空间中量子隐形传态的研究 p 0 。 暑- i， 2 ，“；q d d 厂矿 一 ”) + 丽1 。磊，。吒加“j 驻。c 呐，) 2 ( f l 。a o , ) 2j 五，办，办k ”m 最后，b o b 对辅助粒子a 进行正交测量。如果测得粒子a 处于眦， 则表示隐形传态获得了成功。否则，则传态失败。隐形传态成功的 总几率为d 2 ( 兀i l ，) 2 【3 4 】。 3 4 用单个量子通道传送多个q u d i t 系统的纠缠态 前面两节中简单的介绍了多体d 维体系中任意量子态的隐形传 态方案，本节我们再来详细地讨论一下用一个n + 1 个q u d i t 组成的 部分纠缠通道来传送由n 个q u d i t 组成的纠缠态的隐形传态方案 【4 8 】。在这个方案中，假设有两方参与了传态：发送方妇、接受 方b o b ，他们的具体情形见图3 - 1 。 幽山盥蠲团 吵“_ 一ov 瞄，” 一 v l ，“1 ，、1 ， 图3 - 1 多体q u d i t 纠缠态的隐形传态 硕士学位论文 其中a l i c e 手中有n + 1 个信息q u d i t ，分别标记为，口i ，a 2 ，a ， 每个q u d i t 均有d 个能级：i o ) ，1 1 ) 忙一1 ) 。其中信息q u d i t sq ，a 2 ，口 处于如下的未知量子纠缠态： i l ，k 。= 窆k = 0 吼k k b ) ( 3 2 1 ) 其中复系数是未知的，且满足归一化条件：。d - i kj 2 = l 。b o b 有n 个q u d i t ，分别标记为岛，6 2 ，“，每个q u d i t 也都有d 个能级： i o ) ，1 1 ) ， d - 1 ) 。其中q u d i t s 岛，如，“与a l i c e 手中的q u d i t 嘞构成了 纠缠通道： ， 甲) 蝴山= 荟d - i 反。l 矗如。) ( 3 - 2 2 ) 这里假设系数尾( f - - o 1 d1 ) 是已知的实系数，满足归一化条件： 2 压2 = l ，且忱一。l 是这些系数中最小的a 所以整个联合系统的初态 可以表示为： 一 i k ) = i l l ，) 。o i 甲) 嘞 扣咖 ：曼艺反1 气k 磕k ) 3 _ 2 3 = 反1 气k 磕k ) 。 i l ok - - 0 我们先简单的描绘一下这个传态方案。整个传态过程可以分为 两步。在第一步中，a l i c e 首先对手中的粒子进行一系列的测量，包 括在q u d i t 对( 饵，) 上所作的推广的d 维b e l l 测量以及对每一个q u d i t 呜，口分别作一个单q u d i t 丌测量。然后a l i c e 把测量结果通过经典 通信方式告诉b o b 。在第二步中，b o b 接到a l i c e 传来的经典信息后， 首先完成n h 个单q u d i t 幺正操作。然后他引进一个辅助q u b i t6 0 ， 继而在由q u b i t 和q u d i t s ，6 2 ，k 张成的i - i i l b e r t 空间中完成d 个 两能级的幺正量子门。最后b o b 测量辅助粒子q u b i t 氏。如果测量 结果是，则隐形传态获得了成功。否则传态失败。具体过程如下： 叶 基于两q u d i t 系统a 和b 上的推广的b e l l 测量基矢【4 9 】具体形 式如下： 柚= 击善唧2 砷，d 删_ ，。脚) 。 。( 3 - 2 4 ) 高维h i l b e r t 空间中量子隐形传态的研究 其中聆，m = 0 , 1 ，d - 1 ；j o m f ( j + m ) m o d d 。基矢i 。) 。是正交归一的， 并且是完备的。现在由a l i c e 对q u d i t 对( q ，) 作推广的d 维b e l l 测 量。他有p l 的几率得到测量结果n 和m 。几率p t 的具体形式如下： 丑：丢窆k 尾。1 2 ( 3 - 2 5 ) k - o 整个体系的量子态塌缩如下： i k ) 。c e x p ( - i 2 痈m d ) u 。压。n 忱兀忙。唬 ( 3 2 6 ) t l o j f f i 2 j ，0 这里我们用符号t 来表示量子态是未归一的。 接着，a l i c e 分别对每一个q u d i ta 2 ，a n 作一个单q u d i t 丌测量。 对单个q u d i t 体系的万测量万的测量基矢定义【3 8 】如下： i 乃) 2 万1 萎a - i e x p ( 7 2 = f 7 别z ) ( 3 - 2 7 ) 其中厂= 叫，d 一1 。基矢k ，) 是正交归一的，并且是完备的。假设 b o b 对q u d i ta 2 ，的测量结果分别为五， 。整个系统在测量后 塌缩到如下的量子态： i 吆” ) 瓴i 。瓴| 。i 。i ) ( 3 - 2 8 1 * e x p 一疵伤。五o o 厶( d n ) d c c k k 。，1 - ! k e m ) h 、 。 在完成上述的一系列操作之后，a l i c e 通过2 l o g ：d 比特的经典通 信把m 和( 厶0 六0 0 厂0 行) 的值告诉了b o b 。 在第二步中，b o b 首先完成了一系列的单q u d i t 幺正操作，其具 体形式如下： 9 = z 嚣h 4 j 4 。舢x ：“x ：x 毒。 q 。2 9 这儿x 和z 均为推广的d 维p a u l i 算符【5 0 】，其具体定义如下： 卅后) = i 七o1 ) ；z i j | ) = e x p ( f 2 疵，d x 七) ( 3 - 4 0 ) 其d pk = 0 , 1 ，d 一1 。在完成这一系列的单q u d i t 幺正操作0 之后，整 1 9 硕士学位论文 个系统的量子态塌缩到如下形式： d - i i q o ) o co l 叱“而0 c 嚷见。f lr k , , ( 3 4 1 ) k - o 1 = 1 不管a l i c e 的测量结果如何，b o b 通过上述的一系列幺正操作总可以 获得i ) 。从系统初态1 ) 通过一系列的测量和操作最后获得i 匕) 的 几率为： d it - i 昱= 日= k 展。，1 2 ( 3 - 4 2 ) n = o k = o 然后，b o b 引进一个初态为i o ) 6 。的辅助q u b i t ，继而在由q u b i t 6 0 和q u d i t s 岛，兢，如张成的h i l b e r t 空间中完成如下的一系列两能级 的幺正量子门： u = 砜u 1 。( 3 - 4 3 ) 每一个两能级的幺j e f f - 子门阢( 七= o , 1 ，d 一1 ) 均是2 d ”x 2 d ”幺正矩 阵。它只对基矢k ) 1 0 h 和基矢k 1 ) b 是非平庸的，对其它 的基矢是平庸的。在由这两个非平庸的基矢1 屯，o k 和 k k l l k 张成的子空间中，幺正量子门可表示为： 以= b 蜀 ( 3 - 4 4 ) 其中a = 历一，g 。在完成这一系列的两能级幺正量子门之后，这个 系统的量子态塌缩到如下态： 陬) u 陬叭 d-i 一 ( 3 - 4 5 ) a c 【瓴岛。i - i _ | 0 1 0 “+ 能。一雎。1 - i i j | ) 。1 1 ) b 】 、 k - oj l 。 i - i 最后，b o b 对辅助q u b i t6 0 作一个正交测量。如果测量结果是量 子态i o ) 虬，则q u d i t s 岛，6 2 ，6 的量子态塌缩到 d - i_ ) = 吸n l 吼 j - o 1 = 0 ( 3 - 4 6 ) 与信息q u d i ta 1 ，a ：，a 。的量子态一致，这表明隐形传态获得了成功。 高维h i l b e r t 空间中量子隐形传态的研究 否则，传态失败。从量子态i 叱) 塌缩到量子态i ) 的几率为p m ： 磊圭( d - i k “f 篷q 历一。1 2 + k 以l ：二碉2 ) 】磊圭( k 艮。f 【她历一- 1 2 + k 熊。一照t i ) 】 k - o，i - o 。 整个量子隐形传态的成功总几率p 为： ，：d - i 昱己：d 协一，f，= 昱己= d 协一，f m - o ( 3 4 7 ) 我们上面讨论的是在量子通道为部分纠缠态的情况。如果在量子隐 形传态中所采用的通道是最大纠缠通道时，则有通道系数 孱= l ，万( 七= o d 1 ) 。这时通过同样的方法可以求得传态成功的总 几率p = i 。 3 5 小结 在这一章节当中，我们首先简单的介绍了通道分别为最大纠缠 通道时和部分纠缠通道时多体d 维体系中量子隐形传态的典型方案 及最大成功几率，并引进d 维体系传态方案中要用到的一些幺正操 作。最后我们再详细的介绍了在多体d 维体系中纠缠态的量子隐形 传态方案。当采用的通道为部分纠缠通道时，提出传态的最佳方案 及能实现的最大成功几率。当通道变为最大纠缠通道时，成功的最 大几率也就相应的变成了1a 一吐酉 高维h i l b e r t 空间中量子隐形传态的研究 第四章多体d 维可控量子隐形传态方案 4 1 引言 早在1 9 9 8 年，k a r l s s o n 和b o u r e n n a n e 就向人们展示了怎样去 传送一个q u b i t 的未知量子态给两个接受者 5 1 只有一个接受者能 够完全恢复这个q u b i t 的量子初态，并且要在另一个接受者如实地 告诉他自己的测量结果的前提下。后来，h i l l e r y 等人首次提出了量 子秘密分享的概念 5 2 把一个量子信息分给空间隔离的许多接 受者，他们中任何一个都无法得到整个量子信息，除非他们共同合 作。在2 0 0 0 年，z h o u 等人提出了一个可控制的传送一个单粒子的未 知量子态的方案 5 3 。不同于量子秘密分享的是，可控量子隐形传 态是指发送者通过由许多控制方控制的量子网络把量子信息传送给 接收者。之后，可控的量子隐形传态得到了很好的发展 4 3 ，5 3 ，5 4 。 在这一章节中，我们将先简单地介绍一些典型的也是安全的两维量 子可控隐形传态方案，然后再介绍高效的多体两维可控量子隐形传 态方案，最后详细地讨论高效的多体d 维可控量子隐形传态方案。 4 2 两维量子可控隐形传态方案 在这一节中我们将简单地介绍一个典型的且安全的两维可控量 子隐形传态方案 5 1 ，5 2 ，其具体过程如下： 假设发送者a l i c e 想要通过由1 1 个控制方控制的量子网络将手 中处于未知量子态l - - - i o 。+ 纠1 ) 。的q u b i t 4 传送给远处的接受者 b o b 。设所采用的量子通道为一个由n + 2 个q u b i t 组成的g h z 态： g z ) - - i o ) 。1 0 。1 0 ) “+ 嘲1 ) 。1 1 ) “ ( 4 1 ) 其中a l i c e 、b o b 和n 个控制方手中各有一个通道q u b i t 。整个系统 的初态i ) 可以写成如下形式： 硕士学位论文 ：黼舞蛾i o ) 。i o ) 。+ 1 1 ) 口f 眈1 1 ) 锄) ( 4 _ 2 ) = ( 口l o 。+ 纠1 ) 。o 。“+ 1 1 ) 。f 1 ) 。1 1 ) 。) 。 整个方案可以按照下面的步骤来进行： ( 1 ) 由a l i c e 对手中的q u b i t 对( 爿，4 ) 进行两q u b i t 的b e l l 测 量，然后把测量的结果通过2 比特的经典通信告诉b o b 。 ( 2 ) 由n 个控制方分别对手中的控制q u b i t 作一个h a d a m a r d 门变换，然后在计算基矢l o ) 和1 1 ) 下进行正交测量，然后通过1 比特 的经典通信把正交测量结果传送给b o b 。共需消耗n 个比特的经典通 信。其中h a d a m a r d 门 5 5 变换如下： 吲o ) = 西1 0 o ) + 1 1 ) ) ；叫1 ) = 万1 0o ) - 1 1 ”( 4 - 3 ) ( 3 ) b o b 在接收到所有传来的经典信息后就可以把手中的 q u b i tb 恢复到信息q u b i ta 的量子初态。 另一方面，假如n 个控制方中有一个不合作的话。在a 1 i c e 和 n 一1 个合作的控制者完成所有上述操作后，然后再把不合作的控制方 的g h z - q u b i t 求迹，这样就可得到b o b 手中的q u b i tb 所处的量子态 的密度算符为盯i o ) 。( o l + t p l 2 陬( 1 i 或盯h ( 1 i + 拼i o ) 。( o i 。从这个密度 算符的式子中b o b 只能得到信息q u b i t a 的幅度信息而不能得到相位 信息。因此b o b 无法恢复信息q u b i t 的量子初态。 我们很容易把这种方案推广到多体的情况。假设我们要传送m 个信息q u b i t 的直积态。我们采用并列的m 个g h z 通道分别传送这m 个信息q u b i t ，通过重复m 次与上述完全相同的方法就可以把这m 个信息q u b i t 传送到接受者手中。且由于每个控制方拥有每个g h z 通道中的一个控制q u b i t ，所以他能够同时控制m 个信息q u b i t 的传 态，这提高了传态的安全性。这样我们就把这种规律推广到多体两 维的且安全的可控量子隐形传态。 4 3 高效的多体两维可控量子隐形传态方案 在前一节中我们介绍了典型的且安全的多体两维可控量子隐形 传态的方案。在这一节中我们将介绍另外一种多体d 维可控量子隐 高维h i l b c r t 空问中量子隐形传态的研究 形传态方案【4 3 】。相较前一种方案，这种方案效率很高，因而可以节 省很多量子的和经典的资源。 假设a l i c e 处有m 个信息q u b i t ，分别标记为q u b i t1 , 2 ，m 。它 们处于要传的量子态n ：。( 嘶i o ) ，+ 屈1 1 ) f ) 。她希望通过由n 个控制方控 制的量子网络把这m 个q u b i t 的量子信息传送给远方的b o b 。要实施 的具体步骤如下： 首先，a l i c e 要通过局域逻辑门制备如下的e p r - g h z 纠缠态： 兀q o o ) ，+ 1 1 1 。) o l o n z ) + + n 0 0 0 ) ，- 1 1 0 ，) o i g 磁) 一( 4 - 4 ) j-l扣d 这儿量子态i g 肱) 。= 1 0 0 0 ) 1 1 1 1 ) 是( n + 1 ) 个q u b i t 的g h z 态。然 后，a l i c e 把前面的n 个g h z - q u b i t 分别分发给n 个控制方，把m 个 e p r - q u b i t ( 1 , 2 , - - - ，m ”) 发给b o b ，把最后一个g h z - q u b i t 和另外的m 个e p r - q u b i t ( 1 ，2 。，历) 留给自己。整个系统的总的量子初态为： 兀i o ) ，+ p , 1 0 ，) q 唧，+ | 1 1 ) 。) o i g 舷) + 】 “。 ( 4 - 5 ) m + 兀陋。i o ) ，+ p , 1 0 ，) 4 0 0 ) ，- 1 1 1 ) ，) o l g n z ) 一】 i = 1 接着，a l i c e 对m 个q u b i t 对0 ，1 ) ，( 2 ，2 ) ，m ) 分别作两体b e l l 测量。 在测量之后，系统的量子态变为： 缈x g 丑z ) + + 杪l g 舷) ( 4 6 ) 这里i ) 和i 妒是b o b 手中的m 个q u b i t1 n ，2 h ，肼”的量子态。其中i y ) 和i 妒分别为： ” y ) = r i i ) ，l y = 兀i ，( 4 7 ) l - it = l 上式中i 缈) ，和杪) ，是b o b 处的q u b i t ，的量子态。它们的具体形式依 赖于a l i c e 对q b i t 对( ，i ) 作b e l l 测量的结果： 硕士学位论文 y ) ，= 妒，= q 陬+ 属阱弦最= i 筋) 钕l 缴：裟缈2 引鬻t i f o ri 、件8 ， q i o ) ，+ 屈1 1 ) ，只= l y 毒) ( 缈+ i 、 、7 q i 咻一尼1 1 ) 1 缈昂= l 虾渺；i q i o ) ，- p , l o ，加只= i 筋) ( 彤i 二巍苏加f o 笺r 锶引 ， 一q i o ，+ 届1 1 ) ，只= l 少； c ，；i 、。 一i o ) ，- ：, 1 0 ，f o r & ，= i 虾) ( 蝣i 式中咒为b e l l 态的投影算符，其中四个b e l l 态的对应式分别为 蝣) = i 唧，主| 1 1 ) j 蝣) = 1 0 0 ，1 1 0 ) 。 ( 4 1 0 ) 然后，每个控