（理论物理专业论文）量子纠缠与非定域性及二者之间的联系.pdf

摘要 本文针对量子信息论中的量子纠缠和空间非定域性问题进行了研究 和分析，主要内容包括： 首先，讨论了量子纠缠与纠缠分析，对两体可分离态和纠缠态的分 类、两体可分离态的判别、两体纠缠度的定义和计算进行了介绍和研究， 同时也讨论了多体纯态的量子纠缠，介绍了一些多体纠缠态。 另外，还对量子定域性与非定域性的根源进行了分析，介绍了e p r 佯谬和b e l l 不等式以及更为常用的c h s h 不等式，对这些不等式的破坏 的最大值进行了研究，另外也讨论了几种无不等式的b e l l 定理。 接着，研究了连续变量纠缠与杂化纠缠的空间非定域性，给出了连 续变量系统的b e l l 不等式并得到了最大破坏，讨论了连续变量的g h z 定理，研究了杂化纠缠态的空间非定域性，对纠缠相干态的非定域性进 行了分析并讨论了其在真空热库中的演化。 虽后，分析了量子纠缠与空间非定域性之间的关系，对空间非定域 性的本质进行了分析和探讨，讨论了可分离性与空间定域性的联系，并 研究了最大b e l l 空间非定域性和最大纠缠之间的分歧。 a b s t r a c t i nt h j sd i s s e r c a t i o n ，、v es t u d y t 1 e p r o b l e m o fq u a n t u mc n t a n 宙e m e n ta n d n o n 1 0 c a l 慨w b j c hi s a ni m p o r t a n tp a no fq u a t l t u mi n f b 肌a t i o nt l l e o r y t h em a i n c o r y t e n t sa r ea sf b l l ( w v s ： f i r s t ，w e d i s c u s sa b o u tq u 柚t u r ne n t a j l g l e m e ma i l de n t a n g l e m e n ta 1 1 a l y s i s ， i n c l u d i n g t h ec l a s s m c a t i o no f2 - p a n i t e s e p a r a b l e a i l d n o n - s 印a r a b l es t a t e ，t h e c r i t e r i o nf o r2 _ p a r t i t es e p a r a b l es t a t e ，t h ed e f l n i t i o na n dc o m p u t a t i o nf o r2 一p 删t e e n t a j l 9 1 e m e n td e 酎e e a d d i t i o n a l l y ，q u a n t u i i le n t a l l 9 1 e m e mo fm u l t i - p a n i t es t a t e i s a n a l ) ，z e d a f t e r1 l l a t ，l es d u r c eo fq u a n t l l ml o c a l i t ya n dn o n - l o c a l i t yi sa n a l y z e d e p r p a r a d o x ，b e l li n e q u a l i t y ，a n dm o r ep o p u l a rc h s hi n e q u a l i t y i si n t m d u c e d ，t h e i r m a ) 【i m mv i 0 1 a t i o n i sc a l c u l a t e d m o r e o v e ls e v e m lb e l lt h e o r e m sw i t h o u t i n e q u a l i t ya r ed i s c u s s e d f u r n l e r n l o r e ，w ef o c u so ne m a l l g l e m e n to fc o n t i n u o u sv 撕a b l es y s t e m a 1 1 d h y b r i de n t a i l g l e ds t a t e ，a n da l s ot h e i rn o n l o c a l i t y b e l l l i k ei n e q u a l i t yf o r c o n t i n u o u s v a r i a b l es y s t e mi si n t m d u c e d ，a n di t sm a ) ( i m u mv i 0 1 a t i o nd i s c u s s e d g h z 血e o r c m f o fc o n t i n u o u sv 耐a b l es y s t e mi sa n a i y z e d ，n o n - i o c a l i t yo f h y b r i de n t a n 9 1 es t a t ei s d i s c u s s e d ， a l s od i s c u s s e di s n o n l o c a l i t y o fe n t a n g l e dc o h e r e n t s t 砒e ，a n d i t s e v 0 1 u t i o ni nv a c u 啪t 1 1 e r m a lr e s e r v o i l a tl a s t ，w es t u d yt 1 1 er e l a t i o nb e t 、v e e nq u a n t 啪e n t a n g l e m e n ta 1 1 dn o n - 1 0 c a l i t y t h eb a s i cc o n c e p t sf o rn o n - l o c a l i t ya r ei n c l u d e d ，t l l ec o n n e c t i o nb e t w e e n s e p a r a b i l i t y a n d l o c a l i t y i s a 1 1 a l y z e d i na d d i t i o n ，t 王1 ed i v e 唱e n c eb e t w e e nm a ) 【i m mb e l l n o n - i o c a i i 锣a n dm a ) 【i m mq u a l l t u me m a l l g i e m e n t i sd i s c u s s e d 致谢 本论文是在张永德教授的悉心指导下完成的，在此我谨向尊敬的张 老师表示最衷心的感谢。在我整个研究生阶段的学习、工作和生活中， 一直都得到了张老师不遗余力的指导和帮助，以及热心的关怀同照顾。 张老师在科研工作中所表现出的不屈不挠的顽强作风、渊博精深的专业 知识、严谨朴实的治学态度，都给我留下了深刻的印象。同时在生活中 他又是个和蔼风趣、待人热情、对学生关怀备至的良师益友，从他那 里不仅仅可以学得科研工作方面的知识，同时也能领会到好多为人处世 的道理和准则，几年来张老师的谆谆教诲使我受益匪浅。 我要特别感谢本科研小组的陈增兵博士和郁司夏博士，他们在我的 研究和学习以及论文写作中提供了很多无私的帮助，并对论文提出了不 少建设性的建议和意见，在此表示诚挚的谢意。 感谢本科研小组的逯怀新教授、赵梅生博士对我的工作提供的热心 的帮助和支持。感谢潘建伟教授对我的关心和支持。 谢谢我的家人和朋友，没有你们的支持我什么都做不到。 最后，向工作在防治s a r s 前线的医护人员表示敬意。 第一章引言 量子信息与量子计算是近年来迅速发展起来的一个新兴领域，在国 际实验和理论物理界受到了广泛和热烈的关注。量子信息论作为构想中 的未来实用量子计算机的理论基础，已经成为量子物理研究的热点，在 多个研究方向上开展了大量的研究工作并得到了丰硕的研究成果。例如： 量子态的随意传送( q u a n t u mt e l e p o r t a t i o n ) 、纠缠交换( e n t a n g l e m e n t s w a p p i n g ) 、量子编码、量子算法、量子网络、量子计算机的实验实现等 等。 作为量子理论与经典信息论交叉的产物，量子信息论为量子理论自 身的发展提供了一个全新的空间，有助于启发人们对量子力学基础的一 些问题做出更深层次的分析和探讨；同时它又把量子特性引入到信息科 学这个日益被重视的学科里面，将经典信息论用量子力学的语言和规则 加以拓宽和发展，无疑将大大地推动信息科学的革新和进步。 量子纠缠和非定域性，这两个量子信息论中的核心问题，从1 9 3 5 年 e i n s t e i n ，p o d o i s k y 和r o s e n ( e p r ) 的那篇著名的论文发表以来，就注 定要像孑子生兄弟一样永远相互联系在一起了。围绕这两个焦点问题，实 验和理论物理学家们开展了长期、大量的工作，针对纠缠的判定、纠缠 的度量、纠缠的分类、非定域性的度量等等专题得到了很多研究结果， 同时对量子纠缠与非定域性二者之间的关系也发生了兴趣，本文中的主 要工作就是对这些问题进行系统的研究、分析和总结。 在总结了量子信息论中关于量子纠缠和非定域性的一些基本问题的 同时，作者系统的研究了量子纠缠和非定域性以及二者之间的关系。得 到的主要成果有：对任意两能级系统的非定域性分析问题，得到了c h s h 不等式的最大破坏，为非定域性的度量提供了有效的手段；研究了连续 变量系统的b e l l 不等式，得到了最大破坏；讨论了杂化纠缠态的空间非 定域性：分析了量子纠缠和非定域性之间的关系。 全文共分五章。第一章即本章，为引言；第二章的内容包括量子纠 缠与纠缠分析，对两体可分离态和纠缠态的分类、两体可分离态的判别、 两体纠缠度的定义和计算进行了介绍和研究，同时也讨论了多体纯态的 量子纠缠，介绍了一些多体纠缠态；第三章的内容包括b e l l 定理及其推 广，对量子定域性与非定域性进行了讨论，介绍了e p r 佯谬和b e l l 不等 式以及更为常用的c h s h 不等式，对这些不等式的破坏的最大值进行了 研究，另外也讨论了几种无不等式的b e l l 定理；第四章的内容包括连续 变量纠缠与杂化纠缠的空间非定域性，研究了连续变量系统的b e l l 不等 式并讨论了最大破坏，讨论了连续变量的g h z 定理，研究了杂化纠缠态 的空间非定域性，对纠缠相干态的非定域性进行了分析并讨论了其在真 空热库中的演化；第五章的内容包括量子纠缠与空间非定域性之间的关 系，对非定域性的根源进行了分析和探讨，讨论了可分离性与空间定域 性的联系，并研究了最大b e l l 空间非定域性和最大纠缠之间的分歧。 2 第二章量子纠缠与纠缠分析 量子纠缠是两体及多体量子力学中一个非常重要的概念，与量子力学 的一些基本问题如态叠加原理以及量子测量的非定域性等密切相关。一 直以来它都被认为是量子力学中十分深刻的问题，然而直到现在尚未得 到很好的了解。 对量子态进行量子纠缠分析，例如量子态的可分离性的判定、量子纠 缠基本形式的归类、量子纠缠的分解以及等价转换等等，是量子信息论 中的一个重要课题，同时也是一个极富挑战性的工作方向。 2 1 两体纯态的分类 两体纯态的定义： 能用单一波函数描述的两体态，亦即在态空间h 。oh 。中任意一套基 矢下的任何相干叠加态。一般来说，任意一个纯态可以表示为 f y ) = c 。1 )( l ) 1 为正交归一基矢) 显然对两体系统a 和b 的情况，就可以写为 i y ) 。= c ，i ) 。i ) 。，( i 吵。) 。f ) 。) 为正交归一基矢) ( 2 1 ) 引入量子纠缠的概念，可以将两体纯态分为两大类： a ) 可分离态 l y ) 一。2 l y ) 。 i 妒) 。，子系统均处于确定的量子态。例如1 1 ) 。1 1 ) 。 b ) 不可分离态( 即纠缠态) i 。无法表达成i ) 。o 力。这样单独一项，也即子系统均不处 于确定的量子态。例如f 矿+ ) 2 击目o ) 。f o ) 。+ f 1 ) 。f 1 ) 。) 为下面关于纠缠与可分离性的讨论做准备，在此引入s c h m i d t 分解的 概念：两体系统的任一纯态i p ) 。总可以表示为如下标准的称为s c h m i d 分解的形式【1 】 帆。= 厉f ) 。，( 舻1 ) ( 2 2 ) 这里万可以取正或负值；其中 扎 和 f ) 。 分别是h 一和h s 中的某两组 特定的( 显然是和i y ) 。有关的) 正交基。下面证明这样的分解总可以找 到。 证明：此系统一般纯态可以表示为 f 矿) 。= a 。f 圳) ；】，) 。 7 ) 。 这里 扎 和 ) 。 分别是h 。和h 。中的正交归一基，而且l f ) 。t “。i ) 。 注意 力。 不一定是正交归一的。 原则上，对于子系统一的任意状态p 。，总可以选到这样一组爿的正 交基 扎j ，使得尸。在这组基中是对角的。假定上面的 扎j 就是这组基， 于是有 办= 且扎( f i 另一方面，用态i 妒) 。对子系统b 的部分求迹也可以表示这个p 一，即 p 。耋f 0 矿) 。( 吵 ) ： 7 ) 。( 儿( 7 | l j ：f ( ，j 圆h 。( 外 lpj ：。( 7 1 7 ) 。 ，) 。( j 4 最后一步等号是由于 1 7 ) 。( 小。( t 1 7 ) 。( 粥。= 。( 。( t h2 a ( 羽。 这里 ) 。 是子系统口的任一组正交归一基。将这两个办表达式相比较， 即得。( 7 1 7 ) 。= p f 6 ，。于是可知 i ) 。j 是彼此正交的。将它们归一，即令 h 2 去m 于是就得到 。= 习讥h 这就是两体量子系统任一纯态i y ) 。的s c h m i d t 分解a 显然，所采用的基 一般会依赖于j 矿) 。就是说，一般而言不能用这两组正交归一基 f ) 。 、 f ) 。 同时又去对另一个纯态l 呐。作s c h m i d t 分解。 在s c h m i d t 分解形式下约化密度矩阵为 p 。= ( ) 。( 妒1 ) = p ，1 f ) 。( j 1 p 。= f _ ( 1 ) 。( y ) = p ，i f ) 。( f f 可以看到，p 。与户口的非零本征值的个数相同( 这里并不要求h 。和h e 的 维数相同，因此p 。与尸。的零本征值的个数可能不同) 。于是只要将p 。、 几对角化，就可以找到这两组基 乱 、 f ) 。 以及本征值p 。，从而给出 s c h m i d t 分解的表达式。步骤是：对任给的态1 矿) 。，算出它的并矢( 注 意还须取复数共轭) ，对一或b 分别作部分求迹运算，相应得到p 。或户。， 将它们分别在h 。和h 。中对角化，得到两组正交归一基 i ) 。 和 f ，) 。 和一 组本征值伽，) ，按这里的表达式即可写出 ) 。的s c h m i d t 分解。 两体系统的任一纯态l y ) 。的约化密度矩阵p ( 或p s ) 非零本征值的 个数( 也就是s c h m i d t 分解式中的项数) 被称为s c h m i d t 数。如果一个 两体纯态的s c h m i d t 数大于1 ，那么它必定为纠缠态。 对于4 和口都是两能级系统的情况，如下被称为b e l l 基的四个纠缠 态恰好组成一个完备基： k 击) s 峨 ( 2 3 ) 2 ) 。= 击。) 。m t ) a ) 由上面四个b e l l 基出发，对爿或口分别独立地旎以任何幺正变换所得到 的纠缠态都称为最大纠缠态，即 l u ) 。= u 。u 。【j 1 ) 。，j 矿+ ) 。j 使用两个双态系统原本能够贮存两位的信息，但在最大纠缠态中，这些 信息却全部被隐藏在子系统之间的关联上。4 或b 都未能单独荷载任何 信息，因而不能通过单独对一( 或占) 的局部测量来获取它们。 量子纠缠必然体现为粒子态之间的关联，但单单有关联并不意味着 一定有纠缠。例如态t ) 。 t ) 。，在a 和b 的自旋取向之间有关联但却无纠 缠，子系统各自均处于自旋确定态。 2 2 两体纠缠度的多种定义 无论是从实验或者理论研究的角度来看，现在量子纠缠已经在量子 力学及量子信息论中处于非常重要的地位，因而对量子纠缠的定性和定 薰描述自然地就产生了追切的需求 2 ，3 】。作为一个备受关注的研究方向， 对于一般量子态纠缠程度的度量到目前为止仍然得到很彻底的解决，只 是对两体纯态系统的情况取得了比较理想的成果，在本节中我们将介绍 几种目前最为典型和常见的两体纠缠度的定义。 6 既然要定量地描述纠缠，就一定要引进纠缠等价类的概念，相互等 价的纠缠态具有同样程度的纠缠( 也即纠缠度相等) 。下面我们介绍l o c c ( 局域操作和经典通信) 等价和l o c c a 等价的概念【4 ，5 】。如前面所讲， 在这里我们讨论的仅限于纯态的情况。 l 0 c c ( 局域操作和经典通信) 本身一共包含两种成分，其中的一类 是局部量子操作，具体就包含：对体系作局部的幺正变换或者局部的测 量、附加一个子体系、对其中的子体系作测量等等；第二类是经典信息 传递，指的是在各个子体系之间交换经典信号。如果用数学的语言来表 达，l o c c 就是一个如下形式的超算子 印= 三，店 ( 2 4 ) 其中工，= fp po 为局域算子的赢积，它们满足迹不增条件： 0 。l f 以后我们经常用到的l o c c 大多数是保迹的。 f 面介绍l o c c 等价和l u 等价的定义： 如果只通过局部的量子操作和经典的信号传递( l o c c ) ，就能将纯 态i 甲) 转化为纯态中) ( 即存在保迹的l o c c 超算子上，使得l 。) = 上i 甲) ) ， 则称i 甲) l o c c 可约为。) ，记为f v ) 塑坚o 中) 。若、壬，) 丝i o j 。) 且 i 中) 坦：鸟i 甲) ，即f 甲) 和中) 相互均l o c c 可约，则称f 甲) 和中) 是l o c c 等价的，记为i 甲) 卜马j ) 。如果甲) 和 中) 只相差局部的幺正变换 ( l u ) ： j 嘞= u 。p u 。圆j 、壬，) ， 我们称i 甲) 和i 中) 是l u 等价的( 很显然它们同时也是l o c c 等价的) 。对 7 纯态的情况，b e n n e t t 等人已经证明，如果i 掣) 和f m ) 是l o c c 等价的， 则它们之间只相差局部的幺正变换。因此对于纯态来说，l o c c 等价与 l u 等价二者是同样一回事，没有区别。 已经有了l o c c 等价的概念，自然就想到去找一组基本的纠缠态 伪，使得对任意的m 体纯态 v ) 有 l 甲) 垡蔓哼i ，) 。1 。 矿：) 。”2 。f i f ，。) “” ( 2 5 ) 这样，这个任意态l 甲) 的纠缠程度就可以用一个向量( n 一，n z ，) 来表 示。遗憾的是，即使对两体纯态( m = 2 ) 这个最简单的情形，这样一组 基本纠缠态的数目也是无穷多的。因此，仅仅用l o c c 等价这个尺度 来度量纠缠度肯定是不够的。 记f ( i 矿) ，渺) ) ；f ( 引y ) 1 2 ，定义它为f ) 相对 ) 的置信度，我们用它表示 两个态的接近程度。如果对任意万 o 和s o ，存在正整数( n ，n ：) 和l o c c 操作三，使得 b 占 并且 f ( 三0 甲) “) ，j 。) “2 ) 1 一占 则称i 、壬，) l o c c 渐进可约为 中) ，记为f 甲) 坐王与l o ) 。 与l o c c 等价的概念类似，可以引进l o c c 渐进等价( l o c c a 等价) 的概念。其含义是，啊份( 船，足够大) l 甲) 态，可用l o c c 将它们变换到 数值几乎同样的份数的j m ) 态，反之亦然。 纠缠度的定义有多种，但都必须满足以下几个基本要求【2 】： ( 1 )可分离态的纠缠度为o ： ( 2 )l u 等价的态的纠缠度相等； ( 3 )在l o c c 变换下，平均纠缠度不增加； ( 4 )对于直积态，纠缠度是可加的。 对多粒子纯态，纠缠度的定义还有待最后的定论；而对于两体混态 和多体混态，相应的纠缠度定义仍处在研讨之中。下面我们讨论两体系 统的纠缠度。 a ) 部分熵纠缠度 两体纯态1 y ) 。的部分熵纠缠度e ，是用其中任一子系统的v o n n e u m a n n 熵s 来定义的 e 。= s ( p 月) = s ( p 口) ( 2 6 ) 这里以= 护( ( 1 y ) 。( 1 ) ，p 。= 驴肿( 1 y ) 。( 吵1 ) 。而s ( p ) 的定义为( 例如 对p ) s ( p _ ) = 一驴( p 1 0 9 p ) 这里的对数以2 为底。 显然，对任何可分离态f 伊) 。= i z ) 。圆f ) 。，e ，= o 。对具有最大纠缠 的b e l l 基，比如i 妒+ ) 。，由于其一。几2 7 ，因此e ，( 妒+ ) = 1 。9 2 = 1 。 部分熵纠缠度e 。向两体混态的直接推广是v o n n e u m a n n 相对信息熵 e ，其定义为： e ，( p 口) 兰去 s ( p ) + s ( p 8 ) 一s ( p _ b ) ( 2 7 ) 但是相对信息熵中包含了经典的信息关联，所以在l o c c 下可能增加 【6 】，因此它还不能算一种对两体混态纠缠程度很理想的度量。 9 b 1 形成纠缠度 对两体量子态p 。( 可能是纯态，也可能是混态) ，形成纠缠度b 7 】 的定义为 乓( ) 2 焉；只e 一( 帅 ( 2 8 ) i ，】，j _ 其中扫，i 虮) ) 代表了p 。的任意一种分解方式，即 p 。= p ，f y ，) ( y ，f 这里的e ，( 1 ”) ) 为1 ) 的部分熵纠缠度，其中i ) 为任意的两体归一纯态， 不要求一定相互正交。必须指出，式( 2 8 ) 的右边是对的所有可能的 分解方式求极小值。 很显然，这样定义的形成纠缠度b 满足下面的性质： ( 1 ) 当且仅当p 。为可分离态时，有睇( p 。) = o 。这条性质可作为两体 量子态可分离态的一个充分必要判椐。 ( 2 ) 对于纯态，形成纠缠度与部分熵纠缠度相等，这从它们的定义很 容易得到。 对于一般的两体量子态，形成纠缠度的计算很难具体操作，但是如 果考虑两能级系统的情况，即两个子系统a 和b 的态空间都是2 维时， 形成纠缠度是可以直接计算的 8 】。方法如下，记 p 。= ( 盯? o 盯? ) p 五( 盯? o 仃? ) 将它和砌相乘，得到的算子n 。万为半正定( 不一定是厄米的) ，设其 根为刀，且按递减顺序排列，即 p 。口p 。f 砭) = 五；l 砭( 五：五3 旯。o ) 记 l o c ( p 日) = m a x 0 ，h 一五2 一 一旯4 ) 那么可以证明，p 。的形成纠缠度为： ，- ( 正莩 亿， 这里的日( p ) ；一p l o g p 一( 1 一p ) l o g ( 1 一p ) 。容易看出e ，是关于c ( p 。口) 的单 调函数。 c ) 可提纯纠缠度 假设有份两体量子态p 为a l i c e 和b o b 所共享，如果a 1 i c e 和b o b 通过l o c c 操作能得到e p r 对的个数最多为j ( ) ，那么可提纯纠缠度 d ( p 。) 【7 】定义为 脚= 熙等 ( 2 1 0 ) 这里所涉及的l o c c 中的经典信息传递是双向的，就是说既包含了a 向 b 传递经典信息，同时反过来b 也向a 传递经典信息。因此，也常常把 d ( p 。日) 记为d 2 ( p j b ) 。 如果在上面的基础上限制经典信息是单向传递的，即经典信息只能 由a ( b ) 向b ( a ) 传递，反方向的经典信息传递被禁止，那么就则得 到单向可提纯纠缠度d l ( p 。) 啪一s 熙警 ( 2 1 1 ) 其中毛( ) 为通过局部量子操作以及经典信息的单向传递能够从份 。态提纯出的e p r 对的数量。再进一步，还可以定义无经典信息传递 的可提纯纠缠度d o 。) 眦；溉竽 ( 2 1 2 ) 其中( ) 为仅仅通过局部量子操作能够从份p 一。态提纯出的e p r 对 的数量。关于可提纯纠缠度，目前已知的一些性质【9 有： ( 1 ) d o ( p _ 日) s d l ( p 口) s d ( 户_ 口) e f ( p 口) ； ( 2 ) 对于纯态i ) ，有d 10 y ) ) = d 0 y ) ) = e ，0 y ) ) 。 d ) 相对熵纠缠度 两体量子态p 。的相对熵纠缠度e ，( p 。) 【2 ，1 0 定义如下 e ，( 尸口) = m i 4 s ( p 8i i 盯8 ) ( 2 1 3 ) d b e u 其中s ( p 。i l 吼口) 为相对熵 s ( p 口| | 仃“口) 三矿 p j 口( 1 0 9 户_ 口一l o g 盯加) ) 而d 为全部两体可分离态的集合。 下面是相对熵及相对熵纠缠度的一些相关性质： ( 1 ) s ( p | | 盯) 0 ，当且仅当p = 盯时等号成立。因此有e ，( p ) 2 0 ，等号 成立当且仅当p 。是可分离态； ( 2 ) 相对熵纠缠度e ，在局域幺正变换下不变： ( 3 ) 相对熵纠缠度e ，在l o c c 操作下不增加； ( 4 ) 对于纯态 ( 其中l 丸，) 和i 缈。：) 分别为体系a 和b 的正交归一基矢) ，相对熵 纠缠度等于部分熵纠度，即： e ，( p 。) = e ，q 甲) ) = 一p 。l o g ：p 。 ( 2 1 4 ) ( 5 ) 如果p o 是与p 。最接近的可分离态( 即p 。是使e ，取最小值时 的可分离态) ，定义态 p ，= ( 1 一z ) p 8 + 印。 其中0 x 1 。则p o 也是与以最“接近”的可分离态。 ( 6 ) 相对熵纠缠度满足如下不等式 e ，( 印l + ( 1 一x b 2 ) x e ，( p 1 ) + ( 1 一x ) e ，( p 2 ) ( 2 15 ) 其中o o ：j 8 ) 为相应的正交归一化本 征态矢。 首先，让我们来证明如下引理。 引理：对于上面定义的可分离态p 。，存在r 女的左幺正矩阵m 。( 即 满足肘+ 肘= ，。的条件) ，使得 石j y ? 妒? ) 瓦k 妒? ) 厄1 y ? ) m r 。女 历垆) 石l ) 压垆) ( 2 2 3 ) 证明：既然有式( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) ，而l 8 ) 又是p 。的正交归一且本征值 非零的本征态，那么态矢l y ? ) 当然可以写为谚”) 的线性叠加，即存在 ，i 的矩阵m ，使得( 2 2 3 ) 成立。于是有 ：( 佩吵? 妒? ) ，压伽抄，石泐? ) = ( 历垆) ，压垆) ， 石( ? 8 石( ? 8 瓜 ；忻，冈桦压】压垆 i 瓜 i 石( 声? 8 因此得庇：，。，即m + m = m ，m 为左幺正。以上已经证明了，对 于按式( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 展开的可分离态p 。，总存在满足式( 2 2 3 ) 的左幺正 的矩阵m 。于是引理得证。 记矩阵m 。的第，行( 1 琏，) 为x 。= ( x f ，x ：，x ：) ，并且记 小叫，( 房f ，厝f ，一，居f ， 则由( 2 2 3 ) 得 f 少? 妒? ) = y f | 卯8 ) + y ：i 刃8 ) + + y ：i 刀8 ) 其中向量y ，满足归一化条件1 2 + 1 y ：1 2 + + l y ：f 2 = l 。由于i 妒? ) 是可分 离纯态，因此它的部分熵一定为o 。基于这个结论及上面的引理，我们 得到如下的定理。 定理：两体量子态p 。可分离的充分必要条件是，方程 1 9 群疗 矿 j 4 2 r 似缈；沁 厉压l 喜 ，l，lv月i 掣) ；m i 8 ) + 咒i 刃5 ) + + m l 8 ) 卅+ 坩+ “+ 坩= l ( 2 2 4 ) 蜀( 1 v ) ) = o 或 f 办一j 卜。 存在，( r 七) 个不同的解向量 y 1 ，y 2 ，y7 ) ，并且存在一组正实数p ( ，p ，= 1 ) ，使得矩阵m 岭媛矿 左幺正。 这里我们说两个向量( y 1 ，y 2 ) 不同是指不存在非零因子k 使得有关系 式y 1 = 足y 2 ，事实上我们总可以适当调整使得矩阵m 的第一列( 即“) 为非负实数。部分熵只( 1 甲) ) 定义为只( 1 甲) ) = 一护。l o g n ) ，其中 矶；0 甲) 。( 、壬，f ) 为子体系a 的约化密度矩阵。条件s 一( i 、壬，) ) = o 与条件 j 以一，i = o 是相互等价的，这由以半正定且迹为l 就可以直接看出。 如果p 。有非常多的非零本征值( 即| j 的数值比较大) ，这时方程( 2 2 4 ) 的求解通常都比较繁琐，定理的使用受到较大的限制：但是对于户。非 零本征值较少( 即t 的数值比较小) 的情况，方程的求解往往就变得比 较简单，此时定理的可操作性就很强。 需要强调指出的是，上面的定理给出的是一个充分必要判据，它对 体系态空间的维数并没有限制，而且在原则上总是可操作的( 只是当非 零本征值很多的时候计算会比较繁琐) ：这个判据的另外一个好处是，在 判定可分离性的同时给出了可分离态具体的显式分离表达式。另外，还 需要补充说明的是，以上给出的判据对任意m 体量子态的可分离判定也 是适用的【2 2 】，相应地只要将条件e 4 甲) ) = o 改成& ( 1 掣) ) = o 即可，其中 口= 爿，占，c ，m 。 2 4 相对熵纠缠度计算的两个定理 作为常用的几种纠缠度定义之一，相对熵纠缠度在量子信息领域起 着很重要的作用，对于两体纯态的情况，它与部分熵纠缠度、形成纠缠 度、可提纯纠缠度等等都具有相同的数值；对于两体混态情况，它是可 提纯纠缠度的上限。但它的计算通常却比较困难。文献 2 3 】中推广了 v e d r a l 和p l e n i o 的定理【l o 】，从而对一大类两体量子态得到了其相对熵 纠缠度的值。 从量子态p 的相对熵纠缠度e ，的定义式( 2 1 3 ) 可以看出，如过用p o 来 表示能取到最小值的可分离态，那么计算量子态p 的相对熵纠缠度实际 上也就是在寻找p o 。 定理1 ：对两体量子态( 不一定是纯态) p = 巩。j 九，) ( 丸：= 。j 如) ( 纯：j 。j y ，) ( 矿。j h 】，月2 月i n 2 相对熵纠缠度由下式给出： ，( p ) = 一口。i o g d 。一s ( p ) ( 2 2 5 ) 而取到最小值的可分离态为 p o = 口。1 丸y 。) ( 九y 。1 ( 2 2 6 ) 其中l 。) ( i ) ) 为a 体系( b 体系) 的一组正交归一基矢，s ( 户) 为由 下式定义的v o nn e u m a n n 熵： s ( p ) = 唧。i o g p ) 2 i 如果p 是纯态，从而有口。：= 瓜，此时定理就退化到v e d r a l 和 p l e n i o 的定理。 定理2 ：体系a 、b 和c 处于三体纯态1 甲。c ) ，在它的两体约化密度 矩阵p 。、尸。和尸。中，若至少有两个是可分离态，那么有等式 s ( p j ) + e ，( 曰，c ) = s ( p 日) + e ，( 爿，c ) = s ( 尸c ) + e ，( 4 ，b ) ( 2 2 7 ) 由定理2 可以直接得出如下推论：如果把某个两体量子态尸。纯化为 三体纯态i l 。) ( 意即p 。是纯态i 甲。) 的两体约化密度矩阵) ，且两体约 化密度矩阵，。和岛。是可分离态，那么p 。的相对熵由下式给出： e ，( p 口) = s ( 尸月) 一s ( d c ) = s ( p 口) 一s ( p c )( 2 2 8 ) 其中成( 口= 一，占，c ) 为体系a 的约化密度矩阵。 对两体纯态情况，从前面讨论可以知道，各种定义给出的纠缠度都 是相等的，即唯一的。p o p e s c u 和r o h r l i c h 仿照热力学第二定律的证明 得出( 2 4 】：对两体纯态，纠缠度只有一种。是唯一的。他们的主要出发 点是：在渐近可逆的l o c c 作用下，纠缠度应该是不变的。因此对于两 体纯态情况，纠缠度大小的顺序是一致的。 但是对于两体混态情况，纠缠度的大小顺序往往依赖于具体纠缠度 的定义，并不具有一致性。事实上，有如下结论【2 5 ： 定理：任意给出两种纠缠度的定义e 。和幺，只能是下面两种情况之 一：要么它们是恒等的( 即对任意两体量子态p 都有占。( p ) = 。( 尸) ) ；要 么它们给出的纠缠度的大小顺序不一致( 即存在两体量子态岛和户：，使 得玩( p 。) 蚴 由于2 o 。 定义下面的厄米算符 ，q ) 雹= 2 行曩 ，吒，o ) 雹= 2 柠+ 堰 q q k k嬲觥 = f 硪昭p ：，吒，仃：) 雹= 2 疗丢 1 f 2 1 幽口g p ：，盯一，吒，o ) 罂= 2 n + 1 差 兀蕊鬈嚣鬃壁 以及系数 f 0雹= 2 月丢 卜1 c i 雹：2 玎+ 堙 在此基础上构造如下厄米算符 爿妊1 2 s i n 口+ l c 。s 口+ n ( 3 2 1 ) b ( ) = ls i n + lc o s + n 容易验证爿2 仁) = b 2 ) = 1 。计算他们的关联函数： e 仁，) 2 p 阻) 圆b 】甲)( 3 2 2 ) = ( 1 一y ) c o s 口c o s + k s i n 口s i n + ， 、。 其中 足= 2 ( c ，c ：+ c 3 c 4 + + c 2 。一1 c 2 。) 现取口= 。，a = 詈，= 一= 招n 1 一，) ，计算b e l l 算符的平均值， 结果为 ( 甲f 占0 。甲) = e ( 口，) + e ，) + e ( 口，) 一e 0 ，) = 2 【( 1 一y ) 2 + kz p + 2 y( 3 - 2 3 ) 显然，上面的结果总能使c h s h 不等式得到破坏。 为了与前面的方案进行比较，下面具体考虑自旋单态这一特殊情况， 即( 3 18 ) 式。在这个特定的情况下，( 3 2 0 ) 式中的所有系数都相等，为 c ：( 2 ，+ 1 ) 一； 2 ，+ 1 如果自旋j 为半整数，贝| j 肛2 等- 1 ，此时同( 因n 为偶数 jl1 于是得剑 ( ) 。= 2 l + k 2 = 2 2 即对于半整数自旋j 的情况，此方案可以给出c h s h 不等式的最大破坏。 如果自旋为整数，那么k 以答：昔，当- ，较大时，可以得到 ( 、 ，j 。i 甲) = 2 压( 1 一o 1 4 6 4 _ ，) 于是当，_ o o 时，由上式得出( ) 。j 2 互，趋近c h s h 不等式的最 大破坏。但对于有限整数自旋_ ，的情况，就不能给出最大破坏。例如， 当，= l 时，由上式可以求得( ) = 2 5 5 2 。 3 3 两能级体系c h s h 不等式的最大破坏 前面已经知道，对任意的两体纠缠态，一定存在对b e l l 不等式的破 坏。但是我们更感兴趣的是，对给定的态，通过变换测量角度，找到对 b e l l 不等式的最大破坏，此最大破坏的数值体现了这个态的空间非定域 性的强弱，可以用来作为空间非定域性的度量。下面我们就通过推导和 计算来看看，对于给定的两能级体系一般纠缠态，b e l l c h s h 不等式的 最大破坏是如何达到的。 两能级体系下的最大纠缠态只存在一种类型，即b e l l 基及其在l u 变换下的结果。我们考虑一个一般的( 非最大的) 纠缠态 i i f ，) = 口i o o ) + 声1 1 1 ) ( 3 1 3 ) 其中口，芦 o 。b e l l 算符为 台：( 厅一) ( 云考。) + ( 西t 色) ( 5 子。) + ( 厅彦。) ( 5 子。) 一( 厅子一) ( 占彦a ) 这里厅，甜，云，矛为单位矢量 厅= ( s i n bc o s 仍，s i n bs i n 妒l ，c o s q ) 5 = ( s i n 岛c o s 妒2 ，s i n 幺s i n 矿2 ，c o s 岛) a = ( s i n 岛c o s 仍，s i n q s i n 妒i ，c o s 鼠) 驴= ( s i n 岛c o s 仍，s i n 岛s i n 矿2 ，c o s 岛) 那么b e l l 算符的平均值为 ( 台) = c o s bc o s 岛+ c o s qc o s 岛+ c o s 只c o s 岛一c o s 岛c o s 岛 ：嚣鲁毫篙激乏2 茹曼羞笔；激捌c s + s i n 日。s i n 岛c o s 慨+ 仍j s i n 只s i n 岛c o s 【仍+ 伊2 月 其中足= 2 筇。为了简化形式，我们选取仍= 仍= 妒：= 妒：= 0 ( 在附录中 将证明这样的简化并不会影响b e l l 一c h s h 不等式破坏最大值的达到) ，并 引入下面新的一组变量 一= 业半型，b = 毕 c ：鱼二垒! 堡二鱼 2，。= 半 于是上式改写为 ( 台) = ( c 。s 4 c 。s d + c 。s b c 。s c s i n s i n c s i n b s i n d ) + k ( 一c o s 爿c o s d + c o s b c o s c + s i n 爿s i n c s i n b s i n d ) ( 3 1 5 ) 对上式求极值，令 掣：一i 碘i n 知。脚。触c ) - o 4 0 警叫础；n 胁。c 。心n 班。 三婆：一。；n 4 。c