（理论物理专业论文）物理学中广义哈密顿系统的保结构算法.pdf

摘要 广义h a m i t o n 系统形式是动力学系统的一利，恰当表述，它揭示了 力学系统内蕴的某种对称性质，它的理论研究和实际应用在力学研究中 具有十分重要的意义。本文在守恒系统解析解的理论基础上给出了构造 广义h a m i l t o n 系统任意高阶显式保群积分格式的方法，同时讨论了算法 的具体实施过程。对耗散广义h a m i l t o n 系统，就自治与非自治系统分别 进行了讨论：对于自治系统，采用李级数方法并结合分裂合成的技巧直 接进行求解；对于非自治系统，基于m a g n u s 级数方法和f e r 展开方法来 构造其数值解。文中方法保持了原系统真解的典则性，因而也是稳定的。 如果更关注系统的能量性质，如h a m i l t o n 函数性质，文中用离散梯度的 方法给出了广义h a m i l t o n 系统及广义h a m i l t o n 控制系统的保持其 h a m i i t o n 函数性质特征不变的数值解法。 关键词：哈密顿系统；李级数；离散梯度；保结构 a na l g o r i t h mf o rp r e s e r v i n gs t r u c t u r eo fg e n e r a l i z e dh a m i l t o n i a n s y s t e mi np h y s i c s x i a o y u nj i a n g ( t h e o r e t i c a lp h y s i c s ) d i r e c t e db yp r o f s u y i n gz h a n g a b s t r a c t g e n e r a l i z e dh a m i l t o n i a nf o r m a l i s mi sap r o p e rd e s c r i p t i o no fd y n a m i c s y s t e m ；i tr e v e a l ss o m ei n t r i n s i c s y m m e t r i cp r o p e r t i e so ft h e d y n a m i c s y s t e m s s oi t i sm u c hm o r ei m p o r t a n tt o s t u d yg e n e r a l i z e dh a m i l t o n i a n s y s t e m st h e o r e t i c a l l ya n dp r a c t i c a l l y i nt h i s p a p e ga r b i t r a r yh i g h o r d e r e x p l i c i ti n t e g r a t i o nm e t h o d sf o rs o l v i n gg e n e r a l i z e dh a m i l t o n i a ns y s t e m sa r e d e v e l o p e db a s e dt h et h e o r yo ft h ea n a l y t i c a ls o l u t i o no fc o n s e r v a t i o ns y s t e m s a n dt h e i m p l e m e n t a t i o no fa l g o r i t b 3 n si sd i s c u s s e di nd e t a i l t 1 1 e nt h e g e n e r a l i z e dh a m i l t o n i a ns y s t e m sw i t hd i s s i p a t i o na r ed i f f e r e n t i a t e db e t w e e n a u t o n o m o u sa n dn o n a u t o n o m o u ss y s t e m sf o rt h ec o n v e n i e n c eo ft h es t u d y a u t o n o m o u s s y s t e m s a r es o l v e d b yu s i n gl i es e r i e sm e t h o da n d o p e r a t o r - s p l i t t i n ga n dc o m p o s i t i o nm e t h o d f o rs o l v i n gn o n a u t o n o m o u s s y s t e m s ，t h en u m e r i c a lm e t h o d sa r ed e v e l o p e db a s e do nt h em a g n u ss e r i e s m e t h o da n df e re x p a n s i o nm e t h o d t h em e t h o d si nt h i s p a p e rp r e s e r v et h e c a n o n i c a lp r o p e r t yo ft h ee x a c ts o l u t i o no ft h eo r i g i n a ls y s t e m s ，s oi t i ss t a b l e s o m e t i m e s ，t h ee n e r g yp r o p e r t yo f t h es y s t e m s ，f o re x a m p l e ，t h eh a m i l t o n i a n p r o p e r t y ，1 s m o r e i m p o r t a n t i n t h i s c a s e ，u s i n g d i s c r e t e g r a d i e n t ，t h e n u m e r i c a lm e t h o d sa r eg i v e nt os o l v eg e n e r a l i z e dh a m i l t o n i a ns y s t e m sa n d g e n e r a l i z e dh a m i l t o n i a nc o n t r o ls y s t e m s ，w h i c hp r e s e r v et h eh a m i l t o n i a n p r o p e r t y k e y w o r d s ：g e n e r a l i z e dh a m i l t o n i a n ；l i e s e r i e s ；s y s t e m ；d i s c r e t e g r a d i e n t 绪论 1 1 引言 第一章绪论 用数学方法研究力学与工程技术中的具体问题是力学工作者面临的重要任务之 ，首先是依据由观察和实验所确立的基本规律，摈弃次要属性，借助数学工具建 立有关物理量之间的相互制约的运动关系，这种数学关系或具体算法称为数学模型。 建立数学模型的目的是运用数学方法对问题进行求解。因此更为重要的是研究数 学模型的求解方法，给出未知物理量的解析表示或数值结果；研究它的解的一般性 质，解释物理过程的关联与演化。动力学系统是一个广泛的研究领域，它包含大量 的物理系统、化学系统、生物系统，以及各种工程系统等。这些系统的表现形式虽 然干差万别，但其运动规律却具有相似的数学模型。一般，动力学系统可以用常微 分方程和偏微分方程的数学模型来描述，例如，自动控制系统的运行、电力系统的 运行、飞行器的轨道控制、化学反应过程、生态平衡问题等，其数学模型都是常微 分方程组初值问题和微分代数方程。许多偏微分方程通过空间离散化也可得到常微 分方程的初值问题。本文主要是针对常微分方程初值问题和微分代数方程描述的动 力学系统来讨论数值解法。 传统上人们从两个极端不同的出发点来理解和掌握常微分方程问题。纯数学家 推导深刻、丰富、大范围整体化的定性知识，而数值分析家构造富有技巧的算法， 以获得只有很小的误差的离散解，他们一般不考虑整体的定性性质。孰优孰劣? 要 具体问题具体分析。如果要问：“局部误差多大? ”这个问题大可以由传统的数值分 析方法来解决。事实上，真实的物理过程都不是极端的。在数学物理的研究中，问 题所属的物理学、力学和工程技术本身的特殊规律，常常会在问题的严格数学处理 之前，提示求解问题的定性的思想和方法，促使具体问题的解决。本文强调应将微 分方程的几何性质等定性信息与数值计算有机地结合起来，来处理实际问题。 大部分在物理学中显示巨大威力的新的数学思想均来自于几何与分析的交叉。 我们可以简单回顾微分方程与几何学不可分割的历史渊源。1 8 世纪以前的物理学家 和自然哲学家，如c o p e r n i c s 、g a l i l e o 、k e p l e r 、n e w t o n 等都对几何学非常熟悉， 他们常用几何概念来表达其物理思想。在1 9 世纪d e s c a r t e s 对e u c l i d 几何引入坐 标后，将几何学的研究看成是代数与分析的应用，引起了几何学的革命，促进了在 几何学中各种分析工具的应用。与此同时，在物理学中利用坐标概念将自然定律表 物理学中广义哈密顿系统的保结构算法 示成微分方程，促进了物理学的发展。在这阶段多数物理学家主要注意对物理体系 局域运动性质的探讨，对运动实体的内部对称性及大范围整体性质往往注意不足， 拓扑学与微分几何在物理学的重要性常被忽视。甚至任何物理现象都在空间发生， 任何物理理论都依赖于空问和时间的基本几何特性这样明显的事实有时也往往被忽 视。1 9 世纪中叶m a x w e l l 从实验观察总结出电磁现象的运动方程，注意到m a x w e l l 方程组的共性不变性，经过l o r e n t z 、m n k o w s k i 直到2 0 世纪初e i n s t e i n 提出狭义 相对论，人们进一步深入认识到了时空的基本几何特性的重要性。这时主要应用的 数学工具是微分方程及群论分析等。一直以来，微分方程在自然现象的数学研究中 起到决定性的作用。人们充分认识到通过研究微分方程的几何性质可以获知它的真 解的关键性的定性特征。其中最重要的例子是a l e x a n d e rr o w a nh a m i l t o n 提出的力 学定理，它使人们可以用更深的几何工具来理解和研究刚体体系及太阳系等复杂系 统的力学性质：可以用相应的h a m i l t o n 函数的对称性的概念来理解和研究诸如能量、 线性动量与角动量等h a m i l t o n 系统的守恒性质。用以研究微分方程另一个同样重要 的几何方法是应用由s o p h u sl i e 开创的基于对称性的方法，2 0 世纪8 0 年代以来， 随着非线性微分方程研究的需要，通过微分方程的对称性来研究非线性微分方程的 性质，特别是用于简化或完全求解微分方程，已成为个十分重要的课题。 当今时代，科学计算已是独立于理论研究、实验研究的一种基本的科学活动， 一般不再仅仅把它看作理论研究、实验研究的辅助手段。因此，作为独立的一种研 究手段，从计算力学的角度讲，动力学方程的数值计算，必然需要利用其定性知识， 反映它的几何性质。尤其当微分方程的几何性质代表r 一个关键的物理解释，那么 必须强调要保持微分方程的真解的几何性质，如渐进性质、不变量、辛性、李对称 性等等。具有足够小的误差，且能保持系统的重要定性性质的算法就是所峭的几何 积分法。几何积分无论在提高计算精度还是在保持系统的不变量性质等方面都比传 统的积分方法有优势。近几年，线性常微分方程的几何积分方法，尤其是基于经典 的m a g n u s 和f e r 展开方法的几何积分方法已得到很大的发展。本文旨在研究任意非 线性动力学微分方程的几何积分方法。它不仅对常微分方程数值解法自身的丰富和 发展十分重要，而且对相关的非线性动力学问题的解决也具有重大意义。 1 2 选题的背景与意义 动力学系统的几何积分方法是近二十年来计算力学和计算数学与科学工程计算 领域非常活跃的研究方向。这方面我国学者的研究特色及取得的研究成果，已得到 了国际学术界的公认。 从目前的研究情况看，从l a g r a n g e 体系向i a m i l t o n 体系的过渡，其意义在于 从传统的欧几里得型的几何形态进入到了辛几何的形态之中，突破了传统观念，从 而使对偶的混合变量方法进入到应用力学的广大领域。但是，我们应该认识到，上 述研究的一个重要前提是研究对象均限定为保守系统。而耗散系统广泛存在于自然 界和日常生活中，近年来随着研究的深入，如何处理耗散系统问题已成为学术界关 注的焦点。受保守系统的约束，这方面的研究范围受到限制。由于问题的复杂性， 一般情况下不能将现有的对保守系统的理论和方法简单地移植到耗散动力学系统， 而需要进行深入的研究。从几何角度看，辛流形是研究j l a m i l t o n 系统的恰当几何结 构，当结构矩阵出现奇异时，p o i s s o n 流形作为辛流形的推广为广义h a m i l t o n 系统 提供了一个更好的框架。 本文根据算子半群的理论，用微分算子的语言形式，研究了广义h a m i l t o n 系统 及带耗散的广义h a m j l 1o n 系统的几何积分方法。广义h a m i l t o n 实现是一个较新的 课题，目前还没有系统的、有效的实现方法。通常，耗散系统可以用一般非线性微 分方程的形式给出。本文的另一个目的还在于进一步研究非线性动力学一般方程的 李群积分方法。 如前所述，m a g n u s 级数方法和f e r 展开方法是经典的李群积分方法，其优点在 于，即使适当截断，它们依然保持精确解的几何性质。用于求解不同的问题，都得 到了比传统数值方法更好的结果。它们不仅保持真解的定性性质、具有很好的稳定 性，而且还特别处理了微分方程依赖时间变量的部分，使数值计算更加精确。然而， 到目前为止，m a g n u s 和f e r 展开方法主要还是用于求解线性微分方程问题。鉴于上 述，本文主要从两个不同的角度对一般非线性动力学系统进行研究：一个是在算子 理论范围，把非线性动力方程表示为一种线性映射作用的模型，便于在线性方程理 论上设计新算法；一个是把动力学系统的构形空间拓广到m i n k o w s k i 空间，使得原 动力学方程可以表示为一个李型方程，便于算法设计和程序实现。 近几年，线性微分方程的李群积分法，特别是，m a g n u s 级数方法和f e r 展开方 物理学中广义哈密顿系统的保结构算法 法已经得到很大的发展，可以说如何将目前的研究成果在非线性的耗散动力学系统 中得到深入发展是一项具有挑战性的课题，否则已取得的成果将失去应有的意义。 反之，若这套理论在非线性动力学系统得到证实和应用，其在学术上的意义将是深 远的。 1 3 主要研究内容 h a m i l t o n 力学的观点有效地解决了一系列不能用其它方法解决的力学问题，显 示了重要的理论价值。从前面对相关领域的历史和现状的介绍可以看出，h a m i t o n 系统的辛几何算法已得到足够的重视和广泛的研究，并且已经取得了显著的成绩。 近来，耗散系统的问题己引起学术界极大的关注。辛算法是一种李群方法，本文基 于经典的求解线性微分方程m a g n u s 和f e r 展开式等李群积分的思想和方法，研究了 耗散广义h a ml t o n 系统以及一般非线性动力学系统的李群积分方法。本论文完成的 主要工作有： l 、研究了广义h a m i l t o n 系统和广义h a m i l l o b 控制系统的保结构算法以及离散 梯度积分法。 在p o i s s o n 流形上给出了守恒的广义h a m i l t o n 系统的保结构算法，其优点在于 把原微分方程系统的p o i s s o n 结构引入积分过程，保持了原来系统的典则特性。对 于更广泛的带耗散的广义h a m i l t o n 系统，就自治系统和非自治系统分别给出了显式 的李群积分方法，保持了原动力学系统的李群性质。同时把这种积分方法推广到厂 义h a m i l t o n 控制系统。对于广义h a m i r o n 系统及广义h a m l t o n 控制系统，基于能 量的h a m i i r o n 函数是一个很重要的物理量，本文用离散梯度方法给出了保持其 h a m i l t o n 函数性质特征的数值解法。 2 、提出了广义h a m i i r o n 约束系统的李群积分法 对于带约束的耗散广义h a m i l t o n 系统通过引入拉格朗目乘子和采用投影技术给 出了保持动力学系统内在结构和约束不变性的李群积分法。采用投影技术保证了约 束的不变性，向约束流形投影时，通过引入拉格朗日乘子不会破坏原动力学系统的 李代数结构。 李级数解法 2 李级数 2 1 基本方程 第二章李级数解法 我们遇到的各类力学问题中，经常出现下列形式的自治微分方程系统 i = f ( x ) ，x ( o ) = x o 其中，x = 【x ( f ) ，x ：( f ) ，一，x 。( f ) 】1 ，i = ( i l ，j ：， 问 的导数，f ( x ) = ：( x ) ， ( x ) ， ( x ) 】 x 。= ( x 扎x ；”，x ) 1 是时间为零时x 的初值 ( 2 1 ) 的右端f ( x ) 定义了一个线性算子： ( 2 1 ) ，i 。) ，i 表示x 的第j 个分量对时 ：( i ， ，) 。是解析矢量值函数， 1 表示矩阵的转置。根据文献【3 ，式 l = l ( x ) = f l ( x ) 当+ + r 。( x ) 三= ( r l , - - , ) ( ，) 1 ( 2 2 ) m lo x 。出|m “ 其中，( 0 ，三) t 是既有矢量性质又有求偏微分特性的矢量偏微分算子。则微分 0 l “ 方程( 2 i ) 可表示为 i = l x = l ( x ) x ，x ( o ) = x o ( 2 3 ) 对于非自治动力学系统： i = f ( x ，f ) ，x ( o ) = x o ( 2 4 ) 令_ + 刮，一+ t = 1 ，则原微分方程变为：豢= i ( i ) ，i ( o ) = 。( 2 5 ) 这里i = ( x 。，j ：，x 。) ，f ( i ) = 【工( i ) ，厶( ) ，正( i ) ，1 】1 ，譬。= ( x 扎，x ，o ) ， 与模型( 2 1 ) 完全相同。微分方程( 2 1 ) 及( 2 3 ) 的解称为向量场r ( x ) 生成的流， 它是一个单参数李变换群。求一个给定向量场f ( x ) 生成的流( 即求解常微分方程组 的初值问题) 叫做对给定向量场f ( x ) 取指数“”。下面给出求解n 一维常微分方程组通 用的指数形式的分析解及其数值解法，并称之为李级数解法。该方法是常微分方程 幂级数解法在n 一维向量空问的推广。 物理学中广义哈密顿系统的保结构算法 2 ，2 挛级数数值方法 把李级数解( 2 _ ( ，) = “| | i = i 。 1 + u _ + 。l 记口= 口( x ) = 0 x ，口= 一，则l ：e ( x ) = ：，定义1 n 矩阵函数 f ( ；) ：f r ( x ) ：( _ ， ，一，厂，) ，那么三j ( ；) ：f - ( 掣) ，其中，掣是函数e 的梯度， 即 警= c 筹，筹，筹卜。 则e ( x ) = f ( 考k 一- i ) ，女= l 2 ，。那么“d = 砉岳上；忙1 0 ，f = l ，2 ，”，只要f ( x ) 足 以五k ! “” 够光滑，可以方便地得到任意精度要求的数值解。根据计算精度的要求，截取李级 数展开式的前耐】项可得m 阶近似解。设步长为h ，记z ：”为第k 次迭代值，那么， x i ) = ( x 。， ) = z ；1 ) + e ( x 。) + 十譬f ( x 。) ，f - l ，2 一，”，它是第一次迭代值， 得到x 。= ( x ，x j 2 ) , - - - x j 哪) ，第丘次迭代值为：x l ”= x i ( x 。， ) ，i = 1 , 2 ，一， ； = 1 , 2 ，如此可得历阶精度的数值解。 对于复杂动力学系统的微分方程( 2 1 ) 、( 2 3 ) ，可以通过分裂合成的方法“”( 第 三章还进一步介绍) 进行求解。也就是说，如果线性算子l ( x ) 能分裂成不可交换的 两部分a ( x ) 和b ( x ) ，即，【a ，b 】_ a t b b a 0 ，而且，a 和b 看作独立的线性算 子时，它们对应的微分方程能精确求解或较容易求解，那么，由李级数解法求解较 为简单的微分方程i = a ( x ) x 和i = b ( x ) x 可得它们的解分别为x ( t ) = e x p ( t a ) x 。和 x ( t ) = e x p ( t b ) x 。则，由对称合成的积分方法可得原微分方程的解x ( ，) = e x p ( t l ) x 。 即最后可获得原动力学方程的所阶近似格式： x = e x p ( h l ) x = ( e x p ( c g h a ) e x p ( d ，h b ) ) x 女+ d ( ”1 ) ，k = 0 ，1 ，2 ， ( 2 6 ) 当m = 2 ( 2 阶积分) ，最简单的形式是盯= 2 ，c l = c 2 = = 1 ，d l = l ，d 2 = 0 。当脚= 4 ， 有四阶积分公式为： r 式一型 羞 李级数解法 4 ， x = e x p ( h l ) x = h e x p ( c ，h a ) e x p ( d ，h b ) x + o ( h5 ) 忙1 其中， l q 叫一2 。丽i d ，：d ，：一 1 + a c 2 - 铲# 与，d 2 ：掣，以：o。2 “32 丽d 2 2 而d d 刮 及a ：1 2 。” 2 3 算例 例2 1 求解非线性周期系统响应问题“4 1 x l2 x 2 j 2 = 一2 2 5 x 1 一( x l 一1 5 s i n t ) 3 + 2s i n t x ，( 0 ) = 0 0 ，f 2 ( o ) = 1 5 9 9 2 9 其精确解是 i x l ( r ) = 1 5 9 9 4 1s i n 卜o 0 0 0 0 4 s i n 3 t x 2 ( ，) = 15 9 9 4 1c o s t 一0 0 0 0 1 2 c o s 3 t ( 2 8 ) 采用四阶精度数值方法，步长h = 0 1 ，近似解与精确解比较所得误差如图2l 和图 2 2 所示，采用二阶精度数值方法( 以便与后文计算结果相比较) ，其误差变化如图 图2 - 1 变量x 的误差a x l f i g2 一lt h ee r r o ra x lo f t h ev a r i a b l e x 图2 - 2 变量。2 的误差a x 2 f i g 2 2t h ee r r o ra x 2o ft h ev a r i a b l ex 2 物理学中广义哈密顿系统的保结构算法 第三章广义h a m ii r o n 系统的保结构算法 3 ip o i s s o n 流形上的广义h 锄ii r o n 系统的数值解法 3 1 1p o i s s o n 流形及广义h a m ii c o n 系统的基本理论 定义i设m 为n 维的光滑流形，m 上的广义p o i s s o r l 括号 ，j 是一个 c 。( 吖) c 。( m ) 寸c ”( 吖) 的光滑映射，对任意f ，g c 。( m ) ，满足： i ) 双线性：伽f + b g ，k ) ：日p ，k 拍 g ，k ( 3 1 ) i i ) 反对称性： f ，g = 一 g ，f ( 3 2 ) i i i ) l e i b n i z 法则： f g ，k = f g ，k + g f ，k ( 3 3 ) i v ) j a c o b i 恒等式： f ， g ，k + g ， k ，f ) + k ， f ，g ) = o ( 3 4 ) 具有广义p o i s s o n 括号结构的流形m ，称为p o i s s o n 流形，记为( m ， ， ) ，简 记为m 。 设p o is s o n 流形的局部坐标为( x ，r 2 ，- ，x n ) ，i j j l 。义p o i s s o n 括号结构可以由它在 坐标函数上的作用而确定。 定义2 广义p o i s s o n 括号 ， 的结构矩阵j ( x ) 是一个 n 阶反对称矩阵，其元 素由，。( x ) = ，x ， 定义，称为结构元素。 利用广义p o i s s o n 括号的l e i b n i z 性质，x , t - c 。) 中用局部坐标x 表示的函数 f ，g ，确： f ，g = 喜同j o 面o f i 3 g ( 3 s ) 命题1 对于定义在开子集m 亡r ”上r xr 函数矩阵j ( x ) 是肘上的一个广义 p o i s s o n 括号的结构矩阵的充分必要条件是j ( x ) 是反对称的且满足下列j a c o b i 恒等 式： 广义h a m i l t o n 系统的保结构算法 私x ，掣州掣掣 。， f ，k = 1 ，2 ，” 命题2若变换x 寸y = ( x ) 是一个微分同胚，则它把j ( x ) 变为了( y ) ，后者仍然 是广义p o i s s o n 括号的结构矩阵，且有关系 l ( y ) = 舞, 砉 反0 ，o 魂y ，o _ ，呲”删厶，一 ( 3 ，) 定义3若上述变换x y = 矿( x ) 保持广义p o i s s o n 括号结构不变，即 l ) = l ，。( y l 9 , 仃= 1 ，2 ，一 ( 3 8 ) 此变换称为广义典则变换。 定义4 设， ， ) 是一个p o i s s o n 流形，h ：m 斗r 是m 上的光滑函数( 也 可以是时间，的函数) ，那么m 上由日确定的广义h a m j l t o n 向量场x 定义为：对一 切f c ”) ，有 l 。f = f ，h ( 3 9 ) 函数称为该向量场的h a m i l t o n 函数。 定义5 广义自治h a m i l t o n 系统是一个三元组( m ， ， ，h ) ，它的动态表示为 i = x 。，即 护k 卧鼽( x ) 署 方程( 3 1 0 ) 被称为广义i l a m i l t o n 方程。设 _ o ) = 甲，( x 。，f l 甲，( x 。，0 ) = z ：。 i = l ，2 ，n 是广义h a m i l t o n 方程( 3 1 0 ) 的t = 0 时过x o = ( 霹，x 5 ”， 的存在域中的任何f ，( 3 1 1 ) 式确定了m 的一个变换： 掣：x o 甲( i o ，f ) i x 可以证明该变换是一个广义典则变换。1 ，即： 毫删掣掣以( x ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ，z 驴) 的解。那么对解 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 物理学中广义哈密顿系统的保结构算法 对于自治的广义h a m i l t o n 系统，上述典则变换( 3 1 2 ) 可以显式表示为。 甲如) ：柔争舡o ) ，川，z ，” 爿；( x 。) = x j ”，彳：。( x 。) = 臼：( x 。) ，( x 。) 。 定义算子如下 l 一萎n i 厶( x 。) 豢0 去0j = i uu 那么可以将甲写成更紧凑的形式 甲，( x o ，f ) = p “( 。) x 护，i = 1 ，2 ， 3 1 2 广义h a m i l t o n 系统的保结构算法 如下我们根据( 3 1 7 ) 来构造数值迭代算法。记 l ( x 0 ) 一毫山( 1 0 ) 嚣南州x o ) 南圳x o ) 毒+ 那么 l ( x o ) = j ，j ( x o ) ，i = l ，2 ， l l e 日j - , - 记 e = l l ( x 。) = l ( x 。) x ：。 口= 口( x o ) = l t ( x o ) z ? ，女= 1 h 2 那么，我们有 e k 护训知一川( 筹，嚣，嚣卜： 乒n 护= m 圳知删略熹，嚣) 7 ( 3 1 4 ) ( 3 15 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( x 0 ) 泰 ( 3 1 8 ) ( 31 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) 广义h a m 1 i o n 系统的保结构算法 耳划砖) _ 旷忙c 一0 ( 曩- i ( 嚣嚣，嚣) 。 + c k ( 凹- 2 , l ；- 2 ，疗2 ) ( l 嚣，l 秦，l 嚣) 7 + c m - 2 c m ，c 扩2 嚣，旷2 秦o x 2 ，r 2 斋d 2 c , ：) r m ：。 i = 1 , 2 ，一，t ，而m = 3 ，4 ，5 ， 由上可见，要计算f ，只需在，及r _ a f , ，。：3 ，4 ，5 ，( l 0 要：善) 的基础 o x o x删 上进一步计算p _ a l ，j ：1 ，2 ，h ，k 1 ，2 ，n 。如此，我们可以构造m ( 1 ) 阶 u a | 迭代格式。设步长为h ，记x l 。为x 的第i 个分量的第k 次迭代值，那么， 。：，) ：一( x 。， ) ：。5 ) + ( ；。) + + 譬f ( ，。) ，j ：1 ，2 ，”，它是第次迭代值，得 到x = ( z p ，x f ”，r ”) 7 ，第k 次迭代值为x 。= ( x 黔z ) 7 ，其中z p = 掣( x 。， ) ， 也就是 ”：_ ( 。一。， ) ：x ：三+ 址：( x 。一，) + + 生；f ( ；。一，) ，i ：l ，2 ，一，。；：l ，2 ， m ! 如此可得m 阶精度的数值解。 事实上，本节的保结构算法是第二章中李级数解法在 h a m i l t o n 系统的一个特例。 对于非自治广义h a m i l t o n 系统： i = x ，日( x ，) ) 根据文献 5 的方法可以将它做如下处理： f d x d r = x ，n ( x ，f ) + 只) d r d r = 和，h + p ， = 1 l 中，d r = 缸，何十p ， _ 一叫a p o i s s o i 流形k 广义 ( 3 2 3 ) 物理学中广义哈密顿系统的保结构算法 相空间变量拓广到w = ( x ，p ，) 7 ，这时新的时间变量为f 。 3 1 3 广义i t m ii r o n 控制系统中算法的应用 广义l t a m i1 t o n 控制系统 i ：j ( x ) 掣( ；) 十g ( 。) i l 以 y ：g r ( 。) 掣( 。) 0 i 又可写为 搿纠 0 h 。 a x 0 h 。 卸 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 其巾，h 。( x ，t 1 ) = h ( x ) + h ，h ) ，h ，m ) = 一u * 1 1 ，l i = y ，则前面所给数值方法同 样适用。 3 1 4 算倒 例3 - 1 求解如下l l a m i1 t o i l 系统微分方程 q l q 2 p 1 p 2 其中 0o oo l0 o一1 q l ( 0 ) q 2 ( 0 ) p l ( 0 ) p 2 ( 0 ) 取时间步长h = o 1 ，采用二阶算法进行计算，图3 1 给出了迭 代1 0 0 0 0 步h a m i l t o n 函数的误差变化，图3 - 2 和图3 - 3 分别给出了) c 寸偶变量q ，p ，及 q 2 ，p 2 的误差。 撩协 塑锄塑锄塑舰塑孰 o 0 o 糕 广义h a m i l t o n 系统的保结构算法 3 2 耗散广义h a m i l t o n 自治系统的数值解法 3 2 1 基本方程 考虑广义h a m i l t o n 系统的常微分方程初值问题： d x d t ：m ( x ) 掣，x ( o ) ：x 0 ( 3 2 6 ) 傀 其中，h 是h a m i l t o n 函数，m 是任意n h 矩阵( m 是反对称矩阵时，对应保守系 统) ，其元素是x 的光滑函数。 模仿前一节保守广义h a m jl t o n 系统的讨论，以m x ) 作为结构矩阵来定义伪 p o i s s o n 括号以及伪p o i s s o n 流形“。而后，在伪p o i s s o n 流形上讨论耗散广义 i _ l a m i l t o n 系统的保结构算法。 定义6 设m 为n 维光措流形， ( i ) m 上的伪p o i s s o n 括号 ， 是一个c 。) c 。( m ) _ c 。( m ) 的光滑映射， 满足：i ) 双线性性，i i ) l e i b njz 法则 ( i i ) 一个伪p o i s s o n 括号称为对称的，如果( f ，g - g ，f ；称为反对称的，如 果 f ，g = 一 g ，f ，v f ，g c 。( m ) 定义7 一个伪p o i s s o n 流形是一个流形带上由定义6 确定的伪p o i s s o n 括号。 同定义1 中的广义p o i s s o n 括号一样，伪p o is s o n 括号也由其结构矩阵唯一确定， 即 f ，g = 喜喜m f ( x 瓦o f 瓦o g 。其中，m ，( x ) 是伪p o i s s o n 括号的结构矩阵m x ) 的 元素。 由l e i b n i z 法则，对每一个h c 。( ) ，都可以定义一个向量场，记作z 。，并 称其为由h a m i l t o n 函数h 所确定的广义h a m i l t o n 向量场。具体定义为： d 。g = l z g = g ，h kv g c 。( m ) ，d 。是一算子，可见，伪p o i s s o n 括号 g ， 就 是函数g 沿着向量场z 。的方向导数，于是可以将算子d 。按时问参数f 在局部坐标 下表示为： = 砉膨，毒 c 。z t ， 物理学中广义哈密顿系统的保结构算法 那么，广义h a m i l t o n 系统( 3 2 6 ) 可写成 i = x ，) ，o ri = d h x ( 3 2 8 ) 从此以后，f ， 均指伪p o i s s o n 括号。运动方程( 3 2 6 ) 及( 3 2 8 ) 的解可以通过映射 y ( x 。，f ) 给出，即x = 叩( x 。，0 x 。，当然可以应用第二章的李级数方法求解，但是，耗 散系统相对较复杂本文通过分裂合成的方法“”求近似的甲( x 。，) 。 3 2 2 数值积分方法 讨论广义h a m i 】t o n 系统( 3 2 8 ) ： i ：d m x = 。，h ) ：m ( ，) 掣，x ( o ) ：x 。 它是一个由h a m i l t o n 函数推得的微分方程，( 自然地) 具有伪p o i s s o n 括号结构。 该方程的形式解或称x ( ，) 从t = 0 到f = h 的精确时间历程可由x ( h ) = e x p ( h d 。) x 。给 出。如果算子d ，能分裂成不可交换的两部分a 和b ，即【a ，b = ab b - a 0 ，其 中，【a ，b 】同上一章一样表示算子a 和b 的交换子。当然a 和b 应属于原李代数( 例 虮可以取a = 砉挚“x ) 毒等等) 俩艮帅瞻作独蛐鼢鼾时觥菏 确积分，那么，( 3 2 8 ) 的解可以表示为如下形式： x ( ) = 甲( x o ，h ) x o = e x p ( h d h ) x o = ( ne x p ( c ，h a ) e x p ( d 。h b ) ) x o 十o ( h 1 ) ( 3 2 9 ) 当。：2 ( 2 阶积分) ，最简单的形式是f l _ 2 ，。：。：昙，d ，：1 ，d ：0o 当m ：4 ， 积分公式为： x ( ) = 甲( x o ，h ) x o = e x p ( h d ) x o = ( n e x p ( c h a ) e x p ( d 。 b ) ) x o + o ( h5 ) ( ： 3 0 ) 其中， 11 。l 列42 丽d l d 3 l + a c 2 ：q ：i 笔，：掣，d4=0d2 。z 邓，2 丽2 而。 及 d = 1 2 1 ”， 事实一h ，合成积分方法是基于b a k e r c a m p b e l l h a u s d o r f f ( b c h ) 公式。对于两 个形如p “和e “的群元，它们的乘积可由一个含有交换子的公式近似： 广义h a m i l t o n 系统的保结构算法 e = p “- e ” ( 3 3 1 ) c = h a + h b + 吉 2 b , b 1 + 击 3 队，a ，b 十 b b ，a d + 百1 4 a ，b ，b ，a 1 卜 对于三个群元的乘积近似公式为： e w = e 批e e w 叫a + b ) + 1 ( a 】一抄a b 卜 其中用到了高阶交换子，如【a ，a ，b _ a ， a ，b 口。t 3 c 1 1 公式不依赖伪j ) o i s s o n 括号结 构，因此可以推得有效保持李群性质的积分。 这种分裂算子d 。= a + b ，再合成e x p ( a ) 和e x p ( h b ) 的方法并不容易，因为很 难求得精确的e x p ( h a ) 和e x p ( h b ) 。对于本节讨论的自治系统，第二章的李级数解法 是一个李群积分法，它给出e x p ( h a ) 和e x p ( h b ) 属于原系统的李群的显式近似。把对 称合成积分方法及相同精度的李级数解法同时用于带耗散的广义h a mj 1 t o n 系统 ( 3 2 6 ) ，可以得到显式的李群积分方法。顺便指出，属于原李代数的算子a 和b 应 尽可能简单。 而且，构造四阶积分法，应取不低于四阶的李级数解近似e x p ( a a ) 和e x p ( h b ) ， 即 e x p ( h a ) _ l m 十譬a 2 十+ 等n 叫1 e x p ( h b ) = i 十 b + 譬b2 + h m ! b + 0 ( 1 ) ( 3 3 2 ) zt! 其中t m 4 。而后，由四阶对称合成积分法( 3 2 9 ) 可近似求得e x p ( h d 。) 。即交替 使用( 3 2 9 ) 和( 3 3 2 ) 的近似公式，便可得求解方程( 3 2 6 ) 的近似格式： x 。：t ( k ) ，。：e 。p ( d 。) 。广f 卉。x p ( ch a ) e x p o ， b ) 1 x 。 ( 3 3 3 ) 其中，c ，d 。，i = 1 ，4 与( 3 3 0 ) 中的相应参数相同，x 。= x ( k h ) ，k = 0 ，l ，2 ， d h = d h ( x k ) ，a = a ( x 。) 等等。 3 2 3 数值方法在广义h a m i l t o n 控制系统的应用 带耗散的广义h a m i i t o n 控制系统模型如下： 弘3 、严 x “ + g 甜一(鼍甜一扭 g g m 驴 = = x y 物理学中广义哈密顿系统的保结构算法 它又可咀写成 其中 m ( x ) 一g ( x l g7 ( x ) 0 o h 。 a x 8 h 。 卸 h 。( x 川) = ( x ) + h 。h ) 。m ) = 一u t l = y 因此，文中积分方法完全适用。 3 2 4 算例 例3 2 求解非线性h a m il t o n 系统初值问题 x = x z 2 = + x i x 1 ( 0 ) = 一1 2 ，x 2 ( o ) = 0 ( 3 3 5 ) 其中h a m i t 。n 函数为( 一，x ：) ：一去x ? + 丢x ：2 一x ? ，一x ? + x ；一；x ? ：一o 2 8 8 是_ 它 上zjj 的解曲线，取步长h = 0 1 ，采用四阶近似格式计算，其相轨迹误差 b o r b = 一i 2 + 一詈耳+ 0 2 8 8 示于图3 4 ，其中i ，t 是数值解。图35 给出了 h a m i l t o n 函数的误差，它们都达到了六阶精度。 rh川i0 广义h a m i l t o n 系统的保结构算法 图3 - 4 相轨迹的误差 f i g 3 4 t h ee l i o t o f t h eo r b i t 图3 - 5h a m i l t