（概率论与数理统计专业论文）种群动态模型的马氏骨架方法.pdf

摘要 本文采用马尔可夫骨架过程的方法来研究地震等强自然灾害发 生的条件下单种群种群数量的变化。其核心内容借助于马尔可夫骨架 过程( m s p ) 方法研究了种群动态学中单种群种群数量的瞬时分布。马 尔可夫骨架过程是由侯振挺教授及其同事们于1 9 9 7 年首次提出的一 类随机过程，它包含了许多已有的随机过程模型，如马尔可夫过程、 半马尔可夫过程、逐段决定马氏过程、d o o b 过程、再生过程、半再 生过程等一系列经典的随机过程，具有重要的理论和应用价值。 在以往的种群数量研究中，生物种群数量的变化过程通常由微分 方程或差分方程的解给出，即由一条连续的光滑曲线，或一条右连左 极的阶梯曲线( 离散时间的连续延拓) 来描述，例如著名的具有密度 制约的单种群l o g i s t i c 模型。上述模型在局部或者相对较短的时期内 可行。但当从整体来看或者相对较长的时期内，例如种群数量在特殊 情况下发生了突变，它们就存在了明显的缺陷。而马氏骨架从概率论 的角度解决了这个矛盾口在马氏骨架理论中，我们把发生突变的时刻 当成是停时列的一个停时t ( 刀1 ) ，再补充新的变量以寻求一个马尔可 夫骨架过程，即种群数量发生变化的时刻( 以1 ) 为马尔可夫骨架过程 在时间轴上的第刀个间断点，然后研究单种群种群数量在任意时n t 的瞬时分布。例如，本文的模型就考虑了发生重大自然灾害的情况下 种群数量的变化状况。 在本文中，先由两个引理给出了马尔可夫骨架过程的向后方程中 | i l 和g 的表达式，接着给出两个定理，分别研究了离散和连续两种条 件下单种群种群数量瞬时分布，证明了单种群种群数量在时刻t 的瞬 时分布是某一非负线性方程的最小非负解。 关键字：马尔可夫骨架过程，单种群种群数量，最小非负解 i i a b s t r a c t i nt h et h e s i s ，w em a k eu s eo ft h em e t h o do fm a r k o vs k e l e t o np r o c e s s e si n o r d e rt os t u d yt h ec h a n g eo fs i n g l e s p e c i e sp o p u l a t i o nn u m b e ru n d e rt h e d i s a s t e rs u c ha se a r t h q u a k e s t h ec l o ur e c u r st ot h em e t h o do fm a r k o v s k e l e t o np r o c e s s e st os t u d yt h ei n s t a n t a n e o u sd i s t r i b u t i o no fs i n g l e s p e c i e s p o p u l a t i o nn u m b e ro np o p u l a t i o nd y n a m i c s m a r k o vs k e l e t o np r o c e s s e s a r eak i n do fc o m p r e h e n s i v es t o c h a s t i cp r o c e s s e s ，w h i c ha r ef i r s t l yp u t f o r w a r d b yp r o f h o uz h e n g t i n ga n dh i sc o l l e a g u e s i n19 9 7 t h e p r o c e s s e sc o n t a i nm a n ye x i s tc l a s s i c a ls t o c h a s t i cp r o c e s s e sm o d e l s ，s u c h a sm a r k o v p r o c e s s e s ，s e m i m a r k o vp r o c e s s e s ，p i e c e w i s ed e t e r m i n i s t i cm a l k o v p r o c e s s e s 、d o o bp r o c a 粥e s 、r e g e n e r a t i v ep r o c e s s e s ，s e m i r e g e n e r a t i v ep r o c e s s e s 。 t h e yh a v ei m p o r t a n tv a l u ei nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n i nm o s tf o r m a ls t u d i e s ，t h ec h a n g eo ft h ep o p u l a t i o nn u m b e ri s u s u a l l yp r o d u c e db yd i f f e r e n t i a le q u a t i o no rd i f f e r e n c ee q u a t i o n ，n a m e l y , i sd i s c r i b e db yac o n t i n u o u ss m o o t hc u r v eo r al a d d e rc u r v e ( t h e c o n t i n u o u sc o n t i n u a t i o no fd i s c r e t et i m e ) w h i c hi sr i g h t - c o n t i n u o u sw i t h l e f tl i m i t s ，s u c ha st h ef a m o u ss i n g l e s p e c i e sl o g i s t i cm o d e lw i t hd e n s i t y d e p e n d e n c e b u tw h e na l lc o m e st oa l lo ri nar e l a t i v e l yl o n gt i m e ，f o r e x a m p l e ，w h e nt h ep o p u l a t i o nn u m b e ra lec h a n g e da b r u p t l yu n d e rt h e e x c e p t i v ec i r c u m s t a n c e s ，t h e r ea r ed i s t i n c tl i m i t a t i o n si nt h e s em o d e l s h o w e v e r , w ec a np u tt h ea x ei nt h eh e l v eb ym e a n so ft h em e t h o do f m a r k o vs k e l e t o np r o c e s s e sf r o mt h ea s p e c to fp r o b a b i l i t yt h e o r y i nt h e i l l t h e o r yo fm a r k o vs k e l e t o np r o c e s s e s ，w ec a l lc o n s i d e r t h et i m eo f b r e a k 弱 as t o p p i n gt i m elo 1 ) o ft h es e r i e s t h e n ，i no r d e rt os e e kam a r k o v s k e l e t o np r o c e s s ，w es u p p l e m e n tn e wv a r i a b l e s t h u s ，t h et i m el0 - - 1 ) a t w h i c ht h e p o p u l a t i o nn u m b e rc h a n g e s i st h ed i s c o n t i n u i t yp o i n to f m a r k o vs k e l e t o n p r o c e s s e s a tt h et i m ea x i s a t l a s t ，w es t u d yt h e i n s t a n t a n e o u sd i s t r i b u t i o no fs i n g l e s p e c i e sp o p u l a t i o na tr a n d o mt i m e t f o re x a m p l e ，i nt h em o d e lo ft h i st h e s i s ，w h e ns t u d y i n gt h ec h a n g eo f t h ep o p u l a t i o nn u m b e r , w et a k et h eo c c u r r e n c eo ft h ed i s a s t e ri n t o a c c o u n t i nt h i st h e s i s ，f i r s t l y , w eb r i n gf o r w a r dt h ee x p r e s s i o n so fha n dq i nt h eb a c k w a r de q u a t i o no fm a r k o vs k e l e t o np r o c e s s e sv i al e m m a3 3 1 a n dl e m m a3 3 2 s e n c o n d l mw ep u tf o r w a r dt h e o r e m3 3 1a n d t h e o r e m3 3 2 ，s t u d y i n gt h ei n s t a n t a n e o u sd i s t r i b u t i o no fs i n g l e s p e c i e s p o p u l a t i o nu n d e rd i s c r e t es t a t ea n dc o n t i n u o u sc o n d i t i o nr e s p e c t i v e l y , a n d p r o v i n gt h a tt h ei n s t a n t a n e o u sd i s t r i b u t i o no fs i n g l e s p e c i e sp o p u l a t i o n n u m b e ra tt i m et i st h es m a l l e s t n o n n e g a t i v e s o l u t i o no fs o m e n o n - n e g a t i v el i n e a re q u a t i o n k e y w o r d s ：m a r k o v s k e l e t o np r o c e s s e s ，s i n g l e s p e c i e sp o p u l m i o nn u m b e r , t h es m a l l e s tn o n n e g a t i v es o l u t i o n i v 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名： 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：幽导师签名雠日期盟年且月互日 硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景 长江上游的温带森林区，是全球3 4 个生物多样性区域，是世界上为数不多 的诺亚方舟之一。东邻成都盆地，西接青藏高原，喜玛拉雅山缓慢的造山运动中， 中国西南山区的上升在急速和平缓中交替。青藏高原阻挡了东南季风，形成了西 南多云潮湿的封闭环境，成为大熊猫、小熊猫、金丝猴、牛羚等多种濒危物种的 天堂，中国5 0 的鸟类、哺乳动物，以及3 0 的高等植物生活在此。然而这个多 样性区域又是和高风险区域相互重叠。 发生在2 0 0 8 年5 月1 2 号的汶川大地震，不仅对我国人民的生命财产安全造 成破坏性影响，也对西南地区的野生种群的生存环境造成威胁。据四川省林业厅 公布的初步调查结果，汶川大地震不仅造成野生动物大量死亡，而且形成了严重 的生存环境隔离，山区已形成若干个“孤岛 ，可能令丰富的生物多样性资源丧 失。专家认为，地震可能加剧野生动物生存环境破碎化，而地震产生的山体滑坡、 泥石流，会让已经割裂的动物栖息地更小更分散，对濒危物种将是很大的威胁。 1 2 研究现状 以上小节提出的问题就是种群生态学问题。其核心是种群动态研究。所谓 种群动态( p o p u l a t i o nd y n a m i c ) 是指研究种群数量在时间上和空间上的变动规 律及其变动原因( 调节机制) 。在数学生态的文献中，大多将描述生物种群数量 变化的生态模型分为两类：1 生命长、世代重叠而且数量很大的种群，常常近似 用连续过程来描述，通常表为微分方程，主要是用微分方程的理论和方法来研究。 2 生命短、世代不重叠的种群，或者虽然生命长、世代重叠但数量比较少的种群， 常用不连续过程来描述，通常表为差分方程，主要用差分方程的方法来研究。在 上述两类模型中，通常把种群之间的影响以及环境对种群的影响归结到模型的参 数中和差分方程来进行研究。因此种群数量的变化过程可由微分方程或差分方程 的解给出，即由一条光滑曲线，或者一条右连左极的阶梯曲线来描述。从局部来 看，或者说在一段相对较短的时期内，用上述模型来描述生物种群数量的发展和 变化是可行的。但从整体看来，或者说在一段相对较长的时期内，用上述模型来 l 硕士学位论文第一章绪论 描述生物种群的变化就存在明显的缺陷。例如，以上提到的汶川大地震的突然发 生，无论是当地人口还是野生物数量都发生了突然下降。我们把类似于这种变化 称为突变，它具有以下特征：其一这种突变发生的时刻是不确定的，或者说是随 机的。其二，突变的强度一般来说也是不确定的，或者说是随机的。 由于以上原因，本文采用马尔可夫骨架过程的方法来研究地震等强自然灾 害发生的条件下单种群种群数量的变化。我们把发生突变的时刻当成是停时列的 一个停时r 。伽1 ) ，再补充新的变量以寻求一个马尔可夫骨架过程，即种群数量 发生变化的时刻f 。1 ) 为马尔可夫骨架过程在时间轴上的第刀个间断点，然后 研究单种群种群数量在任意时刻t 的瞬时分布。其核心内容借助于马尔可夫骨架 过程( m s p ) 方法研究了种群动态学中单种群种群数量的瞬时分布，并证明单种群 种群数量在时刻t 的瞬时分布是某一非负线性方程的最小非负解。 1 3 论文的主要内容和结构 本文主要研究了种群动态学中单种群种群数量的瞬时分布。整个论文主要 分为以下三部分： 第一章是绪论，主要介绍论文的选题背景和研究现状，以及本文的主要内 容和结构； 第二章是基础知识，主要介绍了马尔可夫骨架过程的概念，其向前向后方 程，正则性准则和有限维分布，其中部分定理和命题笔者按照自己的理解给出了 证明。 第三章是马氏骨架过程方法在种群动态学中的应用，是本文的核心。先由 两个引理给出了马尔可夫骨架过程的向后方程中h 和g 的表达式，接着给出两个 定理，分别研究了离散和连续两种条件下单种群种群数量瞬时分布，证明了单种 群种群数量在时刻t 的瞬时分布是某一非负线性方程的最小非负解。 2 堡主堂垡笙茎第二章基础知识 一一一一 ： ：三：= ： 第二章基础知识 弟一旱垂由函划联 2 1 马尔可夫骨架过程的概念 设( 丘s ) 是一可测空间x - x ( t ，功) ，o t r 是定义在完备的概率空间 ( q f ，尸) 上取值于( e ，g ) 寿命为r 的随机过程， f t x ) f o 是由x 生成的自然盯一 代数流。 状态空间e 中加入一个孤立点，将其扩充到窟= ：e u ) ，对应过程x 也 扩展到j = ： j ( f ，c o ) ，o t f ，其中 枷，= 主丢2 曩巾 即过程在时间f ( 缈) 之后，被吸收在状态，称之为坟墓点。假设q 为定义在 r + = 【o ，0 0 ) 上取值于窟的所有右连续函数生成的空间。 令1 9 i 为推移算子：( 2 ) ，= q 州( q ) 脚q 在不引起混淆的情况下，我们将 不再区别x 和j 。 定义2 1 1 随机过程x = 彳( f ，c o ) ，o t f 称为马尔可夫骨架过程，如果存在一 停时列 o ) 。卸，满足 ( 1 ) r o = o r r 个f ，并对任意的，l o ， j 乞 乞+ i ； ( 2 ) 对于切玎= o ，i ，有“= 吒+ q q ； ( 3 ) 对每个和任意定义在一o ，。) 上的有界占阶) 可测函数，有 e p ( z ( 乙+ ) ) f 譬 = e 厂( x ( + ) ) i x ( l ) ，尸口j ，( 2 。1 ) 有q = ( 国：l ( 缈) ) ，f h r = 么：v f o 彳r 、( 缈：l f ) c z 是q 靠上的仃一代数。我们把 l ) 二叫做马尔可夫骨架过程x 的骨架时序列。 进而，如果在q 厶上 3 硕士学位论文第二章基础知识 研厂( x ( l ) + ) ) i 硭】- 研厂( x ( + ) ) l x ( l ) 】= 乓( ，) 【厂( x ( l ) ) 妒一口j ( 2 1 ) 成立，则称x 是时齐马尔可夫骨架过程，记为m s p 。在这里e ( ) 表示对应于 p ( i x ( o ) = x ) 的期望。 注2 1 1 本文中，设e 为p o l i s h 空间，是b o r e l o - 4 弋，q 是定义在职+ - 【o ，c o ) 取值e 的右连续函数空间，取值于e 的右连续随机过程x = x ( f ，国) ，o t o o 。 设瓦= v ：。互j 。假设存在( q ，) 上的一族概率测度，x ee ，满足 v ae 瓦，x 专只( 彳) 是g 一可测，v x e ，只( 么) = p ( 么i k = x ) ，v ae 疋。对任意 ( e ，s ) 上的概率测度，我们定义( q ，只) 上的概率测度0 如下： v a 瓦，乞( 彳) = 只( 彳) ( 纠令f p 为一j 关于测度乞的完备化，并且 z = n p 。爿e ) f 一，f o ，这里p ( e ) 为( e ，占) 上的概率测度的集合。 注2 1 2由于p o l i s h 空间可度量化，可视是定义在度量空间上的右连续随机 过程，所以x 关于 c x ，f o 是循序可测的。故x ( o ) 和厂( x ( o + ) ) 是可测的， 这里厂是( 一以，占。声) 上的可测函数。设x = x ( f ，国) ，o f 是一马尔可夫骨 架过程。令仉= ( 吒，x ( l ) ，一o ) ，这罩c r o = 0 ，吒= 毛- r - i n i ( 约定： 0 0 - - 0 0 = 0 ) ，则玩，刀0 是取值于可测空间( 败+ xe ，b ( m + ) 占) 的随机变量序列。 命题2 1 1 如果( f ) ；f 0 ) 是以纯景。为骨架时序列的马尔可夫骨架过程，则 k l l 是盯( x ( l + f ) ；f o ) 一可测的。 证明：由是一停时列可知它冗可测，从而存在一可测函数厂和一序列h f 2 ，) ， 使得f 。( 功) = ( x ( f l ，t o ) ，x ( 乞，) ，) ，故由0 + 。一= 只。= 厂( x ( 0 + f 1 ) ，x ( l + 乞) ， ) 得f 州一f 。是盯( x ( l + f ) ；，0 ) 可测。 定义2 1 2 设g 为的一个子o r 代数，( u ，d ) 为一可测空间，若孝为在( u ，d ) 中取值 的随机元。如果 k ( r o ，彳) ，彩q ，a d 1 是( u ，u ) 上的一簇概率测度，满足条件：( 1 ) 4 硕士学位论文 第二章基础知识 v a 以后( 彳) 是q 上g 可测函数；( 2 ) v a 协七( 么) 是p ( 孝1 ( 彳) l g ) 的一个版本， 即g ，工七( 织彳) 尸( d 神= 以曰n 孝一1 似” 则称伽( 彩，彳) ，国g 么u ) 为善关于g 的混合条件分布。 定理2 1 1 若( u ，d 为一个r a d o n 可测空间，则对于任意的取值于( u ，功的随机 元及f 的子仃代数g ，存在关于g 的混合条件分布。 定理2 1 2 如果】，是取值于可测空间( y ，功的随机元，孝是取值于( u ，功的随机 元，d 为一个r a d o n 可测空间，则存在y v 上的( 混合) 条件分布k ( y ，彳) ，使 ( i ) 对于固定的y v ，k ，) 是( c 厂，d ) 上的概率测度； ( i i ) 对于固定的a u ，k ( ，彳) 是y 上的y 可测函数； ( i i i ) 对于固定的a d ，k ( y ，a ) 是h 孝- 1 ( 彳) i 盯( y ) ) 的一个版本。 注2 1 3 由于p o l i s h 空间是r a d o n 可测空间，故上述二定理对于取值于p o l i s h 空 间的随机元亦成立。对于马尔可夫骨架过程 五，o t 2 ”( x ( 乙) ，t ，彳) = 尸 x ( 乙+ 。) a ，+ 。| x ( 乇) ) ，p 一口j 。 其中口1 ( 工，t ，a ) 简记作q ( x ，t ，彳) ，q 1 ( x ，d t ，d y ) 简记作q ( x , d t ，咖) 5 硕士学位论奎 苎三童茎型塑望 命题2 1 2对于任蒽的n ，t o a 占，工占， g ( + t ( 砒a ) - g ( x ，d s ，d y ) q ( y ，f _ s ，么) = i ef q ( x ，d s ，d y ) q n ( y ，f 一墨，4 ) 证明：由条件概率的基本性质 g 州( 五f ，a ) = p ( x ( l + 。) a ，+ i t l x ( o ) = x ) = f 尸( x ( l + 。) 彳，+ 。f i 彳( ) 2 y ，l2 s ，x ( o ) = 功 p ( x ( l ) 咖，l 凼l x ( o ) = 曲 = f p ( 义( l + 巳一) 彳，气s f s l x ( 。) 2 y ，乞2 s ) p ( x ( l ) 咖，吒d , l x ( o ) = j r ) = p ( x ( _ ) 4 ，f f s i x ( o ) = y ) p ( x ( r 。) d y ，f 。d , l x ( o ) = 力 = j c g ( y ，f s ，a ) q 佃( x , d s ，d y ) 又有q ( n + o k f ，a ) = p ( x ( 吒+ 1 ) 4 ，f 肿l t l x ( o ) = x ) = f 尸( x ( k 。) 彳，。+ s t x ( 一) 2 y ，2 j ，x ( o ) = x ) p ( x ( i ) 咖，z i 凼i x ( o ) = 砷 = i ef p ( x ( f 。+ 。) 彳，。+ 。f l x ( ) 2 y ，2 s ) q ( x , d s ，咖) = f 以x ( l ) 么，乙f s i x ( o ) 2 y ) q ( x , d s ，d y ) = q 。( y ，f j ，彳) g ( x ，d s ，d y ) 2 2 向前向后方程 定义2 2 1 称时齐的马尔可夫骨架过程x = x ( f ，国) ，o sf 是正规的，如果存 在e x r + 占上的函数h ( x ，t ，a ) ，使得 6 硕士学位论文 第二章基础知识 ( i ) 对固定的x , t ，h ( x , t ，) 是占上的有限测度； ( i i ) 对固定的a 占， ( ，彳) 是e r + 上的s x b ( r + ) 可测函数： ( i i i ) 对于任意的t o , a 占 ( x ( ) ，t ，4 ) = p x ( f ) a ，t 吒+ i li x ( ) p - a a h ( x ，t ，彳) = p x ( f ) a ，t - 0 ，a g ，其中g ”( x ，出，d y ) ，q ( x ，d s ，咖) 为上节定义的( e ，占) 上 的测度族。 证明：对于任意的x e ，t o ，a g ，n n p ( x ( f ) a ，f 乙+ li x ( o ) = 力 = i p ( x ( t ) 么，乙a t r + 。l x ( 毛) = y ，毛= s ，x ( o ) = x ) 以x ( 乙) a y ，吒a s l x ( o ) = 功 = f h 彳。一s + 乙) 么，f s 勺毛i x ( 乇) = y ，毛= s ，x ( o ) = 力g ”( x , d s ，d y ) 由 义( f ) ；o ) 的齐次性及 x ( f ) ；o ) 在0 处的马尔可夫性立得： p ( x ( t - s + t ) 彳，t j 气f li x ( 吒) = ) ，l = 岛x ( o ) = 曲 = p ( z o s ) a ，t s tl x ( o ) = j ，) = h ( y ，t - s ，彳) 7 硕士学位论文第二章基础知识 故p ( x ( f ) 彳，sf t + i x ( o ) = 功= 【g ( ( 石，d s ，d y ) h ( y ，f 一墨，彳) a k 而p ( x ，t ，彳) = p x ( f ) 彳i x ( o ) = 工) = 尸( x ( f ) 彳，t e ；似) 是 o ，) 上的右连左极的映射) ，周知，d d o ，o o ) 在 s k o r o h o d 度量下是个p o l i s h 空间。令 以f ) 舢) 为d 【o ，) 上的坐标过程，b ( d 【o ，o d ) ) 表示d e 0 ，o o ) 上的b o r d 代数。显然曰( d 【o ，o o ) ) = 盯 “f ) ，t r + ) 。 引理2 2 1 对于任意的a s ，l ( w ( f ) ) 是r + 眈【o ，o o ) 上的b ( m + ) 曰( 眈 o ，) ) 可测函数。 定理2 2 4 如果( e 占) 是p o l i s h 空间， x ( f ) ；f o ) 是取值于( e ，占) 且具有右连左 极轨道的马尔可夫骨架过程，则 x ( f ) ；f 0 ) 是正规的。 证明设p 。东。是 x ( f ) ；f 0 ) 的骨架过程时序列。由于的所有轨道是右连左极的， 故可以将 x ( f ) ；f 0 ) 看成是取值于d e 【o ，o o ) 的随机元f 。由定理2 1 2 和注2 1 3 存在f 关于( ( o ) ，f 。) 的混合条件分布k “s ，d w ) 兰尸( 孝d w l x ( o ) = z ，f 。= s ) 使得 ( i ) 对于固定的x 占，s o ，k ( x ，s ，) 是仇 o ，o o ) _ h l 拘概率测度； ( i i ) 对于固定的c 曰( p e 【o ，o o ) ，k ( ，c ) 是s b ( m + ) 可测的； l o 硕士学位论文第二章基础知识 ( i i i ) v c 仨口( d e o ，o o ) ) ，k ( x ( o ) ，c ) 是以孝c l x ( o ) ，) 的一版本。 对于任意的a e 占，由引理2 2 1 ，l ( “f ”是坎+ d 【o o o ) 上的b ( m + ) 曰( p e 【o ，) ) 可测函数。 令丢“j ，f ，彳) = t 【o ，。) l ( ( f ”k 似s ，a w ) ，显然j | ；( 工，s ，f ，彳) 满足： ( i ) 对于固定的毛j ，t ，j | c ( z ，s ，t ，彳) 是( e ，占) 上的概率测度； ( i i ) 对于固定的么占，则五( x ，s ，t ，彳) 是e x i r + x l r + _ x i t je xb ( i r + ) xb ( i r + ) 可测的 函数； ( i i i ) 对于固定的f o ，ace ，左( x ，s ，t ，么) = p ( x ( f ) 彳i x ( o ) = 而= s ) p 一口j 令 ( x ，f ，彳) = f j | c ( x ，s ，f ，彳) 反工，d s ) ，其中反x ，d s ) 是关于x ( o ) 的混合条件分布 p ( 出l x ( o ) = 石) 。显然有： ( i ) 对于a s ，j i l ( ，a ) 是e x r + 上的e x b ( r + ) 可测函数； ( i i ) 对固定的工e ，t 0 ，j l l ( x ，t ，) 是( e ，g ) 上的有限测度； ( i i i ) 并且由条件概率的性质，对于固定的a g ，t 0 ， m h ( x ，t ，彳) = ih ( x ，s ，t ，a ) p ( x ，出) = f p ( x ( f ) 彳1 x ( o ) 2 五i2 s ) p ( t 凼| x ( 。) = x ) p - a d = f p ( x ( t ) 么，f t l x ( o ) = x ) = h ( x ，t ，彳) p - a s 即以x ( l + f ) a ，毛+ i l f i x ( l ) = 石) = j i l ( x ( 吒) ，t ，a ) p 一口j 故 x ( f ) ；f 0 ) 是正规的马尔可夫骨架过程。 硕士学位论文第二章基础知识 2 3 正则性准则 为了讨论方便，我们假定马尔可夫骨架过程 x ( f ) ；f o ) 是不中断的( 或称为 正则的) 。实际上，上面得到的定理2 2 1 - 2 2 4 对于中断马尔可夫骨架过程 x ( f ) ；o f 0 ，0 “( x ) 吃g ( x ) 的定义有：g ( x ) 吃 又由( 2 1 2 ) 及g ( x ) 的定义有：g ( 曲0 即得到了( 2 1 3 ) 。由已知( 2 1 3 ) 只有零解，即g ( 曲= 0 ，即得( 2 1 4 ) 。 推论2 3 1 如果状态空间昱只有有限个点，且v x e ， p ( f o l x ( o ) = 功 0 则x 正则。 1 3 硕士学位论文 第二章基础知识 2 4 有限维分布 令d ”= ( ，乞，乙) ；h t e ，t n 坎+ ，0 乞 厶) 定义2 4 1 称时齐马尔可夫骨架过程 x ( f ) ，t 0 ) 是严正规的，如果对于任意的 nen ，存在e x d 1 占”上的函数h ( x ，f l ，厶，4 ，4 ) ，使得( i ) 对于固定的 x ，乙，h ( x ，f l ，乙，) 是( f ，s 4 ) 上的有限测度； ( i i ) 对于固定的4 ，4 占，磊( ，4 ，4 ) 是e d 町上的b o r e l 可测的