（应用数学专业论文）迭代级数域及其在qmorris和qdyson类常数项等式中的应用.pdf

摘要 摘要 m o r r i s 等式在统计和量子物理中都有很广泛的应用。它等价：j ：s e l b e r g 积 分，而s e l b e r g 积分是著名的欧拉b e t a 积分的一个礼维推广。s e l b e r g 积分被用于 证明m a c d o n a l d 的一些猜想和随机矩阵中著名 拘m e h t a - d y s o n 猜想。随后兴起 了关于其的酽模拟研究。1 9 8 8 年h a b s i e g e r 和k a d e u 分别独立的证明了f 1 a s k e y 猜 测的q m o r r i s 等式。 1 9 6 2 年，基于粒子物理中的问题，d y s o n 猜测某l a u r e n t 多项式的常数项 为一个多项式系数，此常数项恒等式被称为d y s o n 猜想。这个猜想很快于 当年 相g u n s o n 和w i l s o n 分别独立证明。二十年后w i l s o n 因为用重正规化群 趁查茎堡臣叫色叠趣塞亘茎堡堕墨堡望兰兰兰，而证明d y s o n 猜想的文章是 他的第一篇学术论文。1 9 7 0 年g o o d 应用l a g t 盈g e 插值给出- j d y s o n 猜想的一 个优美的递归证明。1 9 8 2 年，运用v a n d e r m o n d e 行列式恒等式与多重竞赛 图，z e i l b e r g e r 给出了一个组合证明。1 9 7 5 年a n d r e w s 提出了d y s o n 猜想的g 一模 拟形式。a n d r e w s 的q - d y s o n 猜想吸引了很多杰出的数学家，但是直至u 1 9 8 5 年 才z e i l b e r g e r 和b r e s s o u d 通过组合的方法证明。最近，g e s s e l 和：k i n 应用迭代 级数和多项式的性质给出了一个完全不同的代数证明。在参数都相等的情形 下，q - d y s o n 猜想就简化为m a c d o n a l d 的关于根系的类型a 的常数项猜想。 本论文给出了关于q - m o r r i s 和口一d y s o n 类常数项等式的三个主要结果。我们 的主要研究工具是x i n 在他的博士论文中所建立的迭代级数域的理论。 这个理论有很多应用领域，其中一个主要的应用是用来证明常数项等式。 本论文主要研究利用迭代级数域的工具h t d 蝈q - m o r r i s 和q - d y s o n 类常数项等式。 首先，运用g e s s e l 和x i n 证明q - d y s o n 猜想的方法，我们给出了q - m o r r i s 等式 的一个简洁的证明。证明的思想是将等式两边看作某一变元的多项式。要证 明两个次数为d 的多项式相等，只需证明它们在d + 1 个点上相等即可。不同 于g e s s e l 和x i n 证明q d y s o n 猜想的是我们需要处理重根问题。应用多项式的观 点我们证明了没有重根的情况。基于q - d y s o n 类常数项在参数相等情形下的有 理性( 即口m o r r i s 常数项可以看作关于所有参数的有理函数) ，我们将其无重 根的情况推广到了一般情形。同时，我们还介绍7 q - m o r r i s 等式与q s e l b e r g 积 分的等价性。特别地，当g 趋近于1 时我们就得到- m o r r i s 等式与s e l b e r g 积分等 价。 摘要 接着，我们推广了g e s s e l 和x i n 的迭代级数的方法从而建立了一系列的g - d y s o n 类常数项等式，这些等式被称：为q - d y s o n 乘积项的第一层公式。这些公式 给出 q - d y s o n 乘积项的一类系数的精确公式，包含了s i l l s 的三个猜想为特例， 并推广t s t e m b r i d g e 的特殊线性群的特征的第一层公式。对于这些新的公式， 基于g e s s e l 和x i n 的工作的自然推广我们发展了一套新的方法，不仅能够证明， 而且能够计算此类常数项。 最后，通过扩展我们得到的关于q - d y s o n 乘积项的第一层公式，我们首次 证明了k a d e u 关于d y s o n 乘积项的猜想，同时推翻了k a d e l l 关于此猜想的g 一模 拟。在证明k a d e l l 猜想的过程中，我们发现有大量的互相抵消。由此启发，利 用扩展公式我们给出并证明了k a d e l l 关于d y s o n 乘积项的猜想的一个口- 模拟。 关键词：h a b s i e g e r - k a d e l lq - m o r r i s 等式，z e i l b e r g e r - b r e s s o u dq - d y s o n 定理，迭 代级数，s i l l s 猜想，k a d e l l 猜想 a b s t r a c t _ _ - _ _ - - - _ _ - 一一 a b s t r a c t t h em o r r i sc o n s t a n tt e r mi d e n t i t yh a sa p p l i c a t i o n si nt h es t u d yo fs o m e m o d e ls y s t e m si ns t a t i s t i c a la n dq u a n t u mp h y s i c s i ti sa l s ok n o w nt ob ee a u i v - a l e n tt ot h es e l b e r gi n t e g r a l ，w h i c hi st h en - d i m e n s i o n a lg e n e r a l i z a t i o no ft h e f a m o u se u l e rb e t ai n t e g r a l t h es e l b e r gi n t e g r a lw a su s e dt op r o v e t h eo u t s t a n d i n gm e h t a - d y s o nc o n j e c t u r ei nr a n d o mm a t r i xt h e o r y , a n dc a s e so ft h em a u c d o n a l d c o n j e c t u r e s i tf u r t h e ri n i t i a t e dt h es t u d yo ft h eq - a n a l o g s i n1 9 8 8h a b s i e g e r a n dk a d e l li n d e p e n d e n t l yp r o v e dt h eq - m o r r i s i d e n t i t yc o n j e c t u r e db ya s k e y i n19 6 2 ，b a s e do nap r o b l e mi np a r t i c l ep h y s i c s ，d y s o nc o n j e c t u r e dt h a t t h ec o n s t a n tt e r mo fac e r t a i nl a u r e n tp o l y n o m i a li sa m u l t i n o m i a lc o e 伍c i e n t t h i sw a sc a l l e dt h ed y s o nc o n j e c t u r e t h ec o n j e c t u r ew a sq u i c k l yp r o v e di i l d e p e n d e n t l yb yg u n s o na n db yw i l s o n t w e n t yy e a r sa f t e rh i sp r o o fw i l s o nw a s t or e c e i v et h en o b e lp r i z ei np h y s i c sf o rh i sw o r ko nt h er e n o r m a l i z a t i o ng r o u p a p p r o a c ht ot h es t u d yo fc r i t i c a lp h e n o m e n a ，t h a tp a p e ri sh i sf i r s tp u b l i c a t i o n b ya p p l y i n gt h el a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n ，g o o dg a v ea ne l e g a n tr e c u r 8 i v ep r o o f i n1 9 7 0 m o r e o v e r ，b yu s i n gv a n d e r m o n d e sd e t e r m i n a n ti d e n t i t ya n d m u l t i t o u r n a m e n t s ，z e i l b e r g e rg a v eac o m b i n a t o r i a lp r o o fi n19 8 2 t h eq - a n a l o gw a s c o n j e c t u r e db ya n d r e w si n1 9 7 5 a n d r e w s q - d y s o nc o n j e c t u r ea t t r a c t e dm a n y o u t s t a n d i n gm a t h e m a t i c i a n sb u tr e m a i n e do p e nf o rt e ny e a r s 。u n t i lz e i l b e r g e r a n db r e s s o u df o u n dac o m b i n a t o r i a lp r o o f t w e n t y y e a r sl a t e r ，g e s s e la n d n g a v eav e r yd i f f e r e n tp r o o fb yu s i n gi t e r a t e dl a u r e n ts e r i e s ，a n dp r o p e r t yo fp o l y - n o m i a l s i nt h ee q u a lp a r a m e t e rc a s e ，t h ei d e n t i t yr e d u c e st ot h ew e l lk n o w n m a c d o n a l d sc o n s t a n tt e r mc o n j e c t u r ef o rr o o ts y s t e m 8o f 帅ea i nt h i st h e s i sw eo b t a i nt h r e em a i nr e s u l t st h a tr e l a t e dt ot h eq - m o r r i sa n d q - d y s o ni d e n t i t y t h em a i nt o o li st h ef i e l do fi t e r a t e dl a u r e n t8 e r i e 8 w h i c hw a s e s t a b l i s h e db yx i ni nh i sp h d t h e s i s t h et h e o r yh a sm a n y a p p l i c a t i o n s o n em a j o ra p p l i c a t i o ni st op r o 、r ec o n - s t a n tt e r mi d e n t i t i e s t h i st h e s i si sm a i n l yc o n c e r n e dw i t ht h e a p p l i c a t i o n so ft h e f i e l do fi t e r a t e dl a u r e n ts e r i e si np r o v i n gt h e q - m o r r i sa n d 口一d y s o ns t y l ec o n s t a n t t e r mi d e n t i t i e s i i i a b s t r a c t f i r s t b yu s i n gg e s s e l - x i n sl a u r e n ts e r i e sm e t h o d f o rp r o v i n gt h ez e i l b e r g e r - b r e s s o u dq - d y s o nt h e o r e m ，w eg i v eas h o r tp r o o fo ft h eh a b s i e g e r - k a d e l lq - m o r r i si d e n t i t y t h ei d e ai st or e g a r db o t hs i d e so ft h ei d e n t i t ya sp o l y n o m i a l s t h e nt op r o v et h ee q u a l i t yo ft w op o l y n o m i a l so fd e g r e ea tm o s td ，i ti ss u f f i c i e n t t op r o v et h e ya r ee q u a la td + 1p o i n t s d i f f e r e n tw i t ho e s s e la n dx i n sp r o o f o ft h eq - d y s o nc o n j e c t u r e ，w eh a v et od e a lw i t hm u l t i p l er o o t s w eu s et h e p o l y n o m i a la p p r o a c ht op r o v et h ec a s e si nw h i c ht h er o o t sa r ed i s t i n c t ，a n du s e a n o t h e ra r g u m e n t b a s e do nt h ef o r mo ft h ec o n s t a n tt e r ma saf u n c t i o no fa l l t h ep a r a m e t e r s ，t oe x t e n dt h er e s u l tt ot h eg e n e r a lc a s e i na d d i t i o n ，w es h o w t h a tt h eh a b s i e g e r - k a d e l lq - m o r r i si d e n t i t yi se q u i v a l e n tt ot h eq - s e l b e r gi n t e g r a l w h e nl e t t i n gqa p p r o a c h1 ，w eo b t a i nt h a tt h em o r r i si d e n t i t yi se q u i v a l e n tt o t h es e l b e r gi n t e g r a l s e c o n d ，b ye x t e n d i n gg e s s e l - x i n sl a u r e n ts e r i e sm e t h o d ，w ee s t a b l i s ha f a m i l yo fq - d y s o ns t y l ec o n s t a n tt e r mi d e n t i t i e s ，w h i c hw ec a l l t h e mt h ef i r s t l a y e rf o r m l l l a sf o rt h eg d y s o np r o d u c t t h e s ei d e n t i t i e sg i v ee x p l i c i t f o r m u l a s f o rc e r t a i nc o e f f i c i e n t so ft h eq - d y s o np r o d u c t ，i n c l u d i n gt h r e ec o n j e c t u r e so fs i l l s a ss p e c i a lc a s e sa n dg e n e r a l i z i n gs t e m b r i d g e sf i r s tl a y e rf o r m u l a sf o rc h a r a c t e r s o fs l ( n ，c ) f o rt h en e wi d e n t i t i e s ，w ed e v e l o pan e wt e c h n i q u ei ne v a l u a t i n g ， n o tp r o v i n g t h e mb a s e do ns e v e r a ln a t u r a le x t e n s i o n so fg e s s e la n d ：k i n sw o r k t h i r d ，b ye x t e n d i n go u rf i r s tl a y e rf o r m 山f o rt h eq - d y s o np r o d u c t ，w eg i v e t h ef i r s tp r o o fo fk a d e l l sc o n j e c t u r ef o rt h ed y s o np r o d u c ta n ds h o wt h ee r r o r o fh i sq - a n a l o g o u sc o n j e c t u r e i nt h ep r o o fo fk a d e u sc o n j e c t u r e ，w ef i n dt h a t m a s s i v ec a n c e l a t i o n sh a p p e n i n s p i r e db yt h i s ，w i t ht h ee x t e n d e df o r m u l aw e e s t a b l i s haq - a n a l o go fk a d e l l sc o n j e c t u r ef o rt h ed y s o np r o d u c t k e yw o r d s ：h a b s i e g e r - k a d e uq - m o r r i si d e n t i t y , z e i l b e r g e r - b r e s s o u dq - d y s o n t h e o r e m ，i t e r a t e dl a u r e n ts e r i e s ，s i u s c o n j e c t u r e s ，k a d e l l sc o n j e c t u r e a m ss u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ( 2 0 0 0 ) ：0 5 a 3 0 ，3 3 d 7 0 i v 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：j 7 司云 脯r 月如日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：阁云 毋剜侔_ 1 - 月如日 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1 b a c k g r o u n d t h e f o l l o w i n gm u l t i i n t e g r a li sk n o w na ss e l b e r gi n t e g r a l z 1 1 l 一1 j = 0 n z ? 一1 ( 1 一既) p i ii x i x j l 2 7 d x l d x n 1 t 0 ，r e 0 3 ) o ，r e ( 7 ) 一m i n 1 扎，r e ( a ) ( n 一1 ) ，a e ( z ) ( n 一1 ) ) ， c o r r e s p o n d i n gt ot h ed o m a i no fc o n v e r g e n c eo ft h ei n t e g r a l w h e nt a k i n g 扎= 1i n ( 1 1 1 ) w eg e tt h ee u l e rb e t ai n t e g r a l 2 7 1 x a - l ( 1 一z ) p 一1 出=r ( q ) r ( p ) r ( q + p ) s ot h es e l b e r gi n t e g r a li st h en - d i m e n s i o n a lg e n e r a l i z a t i o no fe u l e rb e t ai n t e ! g r a l t h ep r o o fo f ( 1 1 1 ) i st h es u b j e c to fs e l b e r g s1 9 4 4p a p e r 4 5 s e l b e r gh i m s e l f r e m a r k si nh i sc o l l e c t e dw o r k s 4 6 t h a t “1w a sr a t h e rd o u b t f u lt h a tt h er e s u l t s w e r en e w ，w h e ns e l b e r g sw o r kw a sn o ts ow i d e l yk n o w n s o m eo fi t sc o n s e - q u e n c e sw e r et h o u g h to fa sc o n j e c t u r e sb yv a r i o u sa u t h o r s s e v e r a ln e wp r o o f s a n dg e n e r a l i z a t i o n sh a v es i n c eb e e nf o u n da sd e s c r i b e di na n d r e w se ta 1 5 ，c h a p - t e r8 】i nq u i c ks u c c e s s i o nt h es e l b e r gi n t e g r a lw a s u s e dt op r o v et h eo u t s t a n d i n g m m e h t a - d y s o nc o n j e c t u r ei nr a n d o mm a t r i xt h e o r y , a n dc a s e so ft h em a c d o n a l d c o n j e c t u r e s i tf u r t h e ri n i t i a t e dt h es t u d yo fq - a n a l o g s ，w h i c hi nt u r ne n r i c h e dt h e m a c d o n a l dc o n j e c t u r e s w i t ht h ep a s s i n go fa t l es e l b e r go i la u g u s t6 t h2 0 0 7a t a g e9 0 ，f o r r e s t e ra n dw a r n a a rw r o t ear e v i e w 3 0 】o nt h es u s t a i n e dp r o m i n e n c e o ft h es e l b e r gi n t e g r a l i n19 8 2m o r r i sf i r s ts t a t e dt h a tt h es e l b e r gi n t e g r a li se q u i v a l e n tt ot h en o w c a l l e dm o r r i sc o n s t a n tt e r mi d e n t i t yi nh i sp h d t h e s i s 【4 4 f o ra ，b ，k ，n n ( t h en o n n e g a t i v ei n t e g e r s ) d e f i n e 日c z - ，z n ；。扣，七) ：= 垂c 1 一观) 口( 1 一云1 ) m o r r i sp r o v e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t 1 t 7 句n r 1 一旦y 1巧 c x th cz ，z 礼；口，6，忌，=童重量号乏睾刍翥黜，x i 十五cj ：i ( ，十 ：j ：尼： ( 1 1 2 ) w h e r ec t x ( x ) st h ec o n s t a n tt e r mi nt h el a u r e n te x p a n s i o no f ( x ) i np o w e r s o ，z l ，z n t h em o r r i sc o n s t a n tt e r mi d e n t i t yh a sa p p l i c a t i o n si nt h es t u d yo fs o m e m o d e ls y s t e m si ns t a t i s t i c a la n dq u a n t u mp h y s i c s 【1 9 ，2 8 ，2 9 i n1 9 8 8h a b s i e g e ra n dk a d e ui n d e p e n d e n t l yg e n e r a l i z e dt h em o r r i sc o n s t a n t t e r mi d e n t i t y ( 1 1 2 ) t ot h eq - c a s e b o t hh a b s i e g e ra n dk a d e l lf i r s tp r o v e daq - a n a l o go fs e l b e r g si n t e g r a lt h a tw a sc o n j e c t u r e db ya s k e y 1 8 】a n dt h e nd e d u c e d f r o mi tt h eq - m o r r i si d e n t i t y t h eq - m o r r i si d e n t i t yi sag e n e r a l i z a t i o no ft h e s o - c a l l e d “ac a s eo fm a c d o n a l d sr o o ts y s t e mc o n j e c t u r e 4 3 ” f o ra ，b ，k ，n n ，d e f i n e ( 去) 如) 。 1 i j s n( 薏) 七( 口孰 w h e r et h ee x p r e s s i o nx ( s ) i s1i fsi st r u ea n d0o t h e r w i s e ，a n d ( z ) 仇= ( 1 一 z ) ( 1 一q z ) ( 1 一q m - 1 z ) h a b s i e g e ra n dk a d e ui n d e p e n d e n t l yp r o v e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t 2 n 澍 = 、l ， 七l d0 n zz ，f c x t - q ( ，。 七) = n 怂- 1 丽( q ) a 蕊+ b + 面k , ( q ) 瓤k t + k ( 1 1 3 ) a n o t h e rf a m o u sc o n s t a n tt e r mi d e n t i t yt h a ta t t r a c t sm a n ys c i e n t i s t si st h e d y s o nc o n j e c t u r e i th a so r i g i n si ns t a t i s t i c a lm e c h a n i c sb yd y s o n 2 6 】i n1 9 6 2 i nd e s c r i b i n gt h es t a t i s t i c a lp r o p e r t i e so faf i n i t ec o u l o m bg a so fn p a r t i c l e s ，h e f o u n di tn e c e s s a r yt oe v a l u a t et h ei n t e g r a l ，2 霄 f 2 = j o j o j k e 乃一e 阳i2 z d 乡1 d 钆， w h i c hh ec o n j e c t u r e dt ob ee q u a lt o ( 2 7 0 n f ( n z + 1 ) r ( z + 1 ) n h i sa p p r o a c ht o t h i si n t e g r a lw a st or e c o g n i z et h a ti t se v a l u a t i o ni se q u i v a l e n tt os h o w i n gt h a tt h e c o n s t a n tt e r m i n 兀t 勺( 1 一黾吻) 。( 1 一巧z t ) zi sr ( 礼z + 1 ) r ( z + 1 ) n t h i sc o n s t a n t t e r mi se a s i l yv e r i f i e df o rn = 2 b yt h eb i n o m i a lt h e o r e ma n df o r 铊= 3b yt h e d i x o ni d e n t i t y t h e s er e s u l t sl e dd y s o n t oc o n j e c t u r et h ef o l l o w i n gg e n e r a l i z a t i o n t h e o r e m1 3 2 6 f o rn o n n e g a t i v ei n t e g e r sa l ， 旱钳1 1 1 渤( 1 一考广= 洋， n 一j ( a l + + n n ) ! a l ! a n ! ( 1 1 4 ) a so b s e r v e db ya s k e y 1 s ，t h es e l b e r gi n t e g r a lc a nb eu s e dt op r o v e d y s o n s c o n j e c t u r ei nt h ee q u a lp a r a m e t e rc a s ed i r e c t l y d y s o nu s e dt h ei d e at h a tt op r o v et h ee q u a l i t yo ft w op o l y n o m i a l so fd e g r e e a tm o s td ，i ti ss u f f i c i e n tt op r o v et h a tt h e ya r ee q u a la td + l p o i n t s t h e nh e u s e dd o u g a l l sm e t h o d 2 5 ，i nw h i c hm o s to ft h e p o i n t sa r eo b t a i n e db yi n d u c t i o n ， m a k i n gh e a v yu s eo ft h es y m m e t r yo f ( 1 1 4 ) h ep r o v e dt h ec a s e 佗= 4 o f ( 1 1 4 ) t h i sa p p r o a c hd o e sn o ts e e mt og e n e r a l i z eb e y o n dn = 5 t h ec o n j e c t u r ew a sq u i c k l yp r o v e di n d e p e n d e n t l yb yg u n s o n 【3 4 a n db y w i l s o n 【5 4 t w e n t yy e a r sa f t e rh i sp r o o fw i l s o nw a st or e c e i v et h en o b e lp r i z e i np h y s i c sf o rh i sw o r ko nt h er e n o r m a l i z a t i o ng r o u pa p p r o a c ht ot h es t u d yo f c r i t i c a lp h e n o m e n a ，【5 4 】i sh i sf i r s tp u b l i c a t i o n a ne l e g a n tr e c u r s i v ep r o o fw a s p u b h s h e db yg o o d 3 3 ，a n dac o m b i n a t o r i a lp r o o fw a sg i v e nb yz e i l b e r g e r 5 8 】 3 g o o d sp r o o fo ft h ed y s o nc o n j e c t u r eu s e st h er e c u r r e n c e l i j n( 1 一考厂= j = ll i # j n 、x i i 上一 山 一1 t h e nh ep r o v e d ( 1 1 4 ) b yv e r i f y i n gb o t hs i d e ss a t i s f yt h es a m er e c u r r e n c ea n d i n i t i a lc o n d i t i o n s t u r e ： i n1 9 7 5 ，g e o r g ea n d r e w s 1 c a m eu pw i t haq - a n a l o go ft h ed y s o nc o n j e c - t h e o r e m1 4 ( z e i l b e r g e 卜b r e s s o u d ) f o rn o n n e g a t i v ei n t e g e r sa l ， 粤n l i j 0 t h eo b s e r v a t i o ni st h a ti no r d e rt og e ta s e r i e se x p a n s i o