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二元迭代关系的矩阵表示与组合反演关系理论中文摘要 二元迭代关系的矩阵表示与组合反演关系理论 中文摘要 本文主要讨论以( 9 ) 一反演为典型代表的、由二元序列 f ( n ，) 和 g ( n k ) ) 给出的无穷阶矩阵f = ( f ( n ，后) ) 与g 一( g ( 扎，) ) 反演( 逆) 问题 第一章介绍了组合数学反演理论的历史，以及我们研究反演关系的目的，并引入 本文将傲为重点考虑的( ，) 9 ) 一反演，它包含了g o u l d 。h s u 反演，k r a l i _ e n t h a l e r 反演， g o u l d l l s u c a r l i t z 反演，b a i l e y 引理，b r e s s o u d 反演等这些也已被证明在组合恒等 式的证明和封闭与式研究中起着至关重要作用的反演 第二章主要研究m i l n e 关于二元序列的迭代关系的特征定理。作为主要结论，我 们给出了这一定理的矩阵描述，即用a x = x 日来讨论无穷阶下三角短阵反演；而后 又给出了除m i l n e 算子方法之外另外两种新方法来建立经典的矩阵反演证明 第三章给出了一类具有“可位移”特性的矩阵f 一( f ( n ，) ) 的逆g = 一( g ( “，) j 利用这一方法，我们最终证明了( ，) 一反演这种方法大不同于用k r a t t o e n t h a l e r 的 算子法给出的证明 第四章我们给出了m i l n e 特征定理的一种推广，即去掉“下三角”这个条件时， m i l n e 特征定理仍然是成立的作为例证。同时给出了两对无穷阶、非下三角的反演； 最后，利用这一思想，得到了广义的b r e s s o u d 反演， 在最后一章里说明了我们的方法并不是万能的，并且我们给出了一个饲子说职当 不满足什么样的条件时，就无法用我们的方法来解决问题进而提出了两个尚待解决 的问题， 关键词：无穷下三角矩阵； ( f ，9 ) 一反演；m i l n e 特征定理；位移算子；s t i r l i n g 数、 作者：张正丽 指导老师：马欣荣( 教授) 二元迭代关系的矩阵表示与组合反演关系理论 a b s t r a c t t h et r e a t i s eo nt h em a t r i xr e p r e s e n t a t i o no f b i v a r i a t er e c u r r e n c es e q u e n c e sa n d c o m b i n a t o r i a li n v e r s i o n a b s t r a c t i n t h i st h e s i s ，w em a i n l yd i s c l l s 8t h ei n v e r s eo fa r b i t r a r ym a t r i c e sf ( ，_ ( n ，k ) ) a n dg = ( g ( ，七) ) g i v e nb yb i v a r i a t es e q u e n c e s ，1 ( 亿，七) a n d ( 7 ( 礼，危) ，a n da l m o s t f l ft h e mt u r no u tt ob et h es p e c i a lc a s e so ft h e ( ，g ) 一i n v e r s i o n c h g p t ，e ro d e 诘c o n c e r n e dw i , ht h eb a s i ck n o w l e d g eo fi n v e r s er e l a t i o n s 、m ) ( ii s a p p l i c a t i o n si nc o m b m a t o r i e s m o r ed e t a i l s & r eg i v e nt ot h e ( ，譬) 一i n v e r s i o na n di t s p e , e i a lc a s e s ：t h eg o u l d h s ui n v e r s e ，t h ek r a t t e n t h a l e ri n v e r s e ，t h eg o u l d h s u c a r i t z e l v e r s e ，t h eb a i l e yt l a n s f o r m ，t h eb r e s s o u di n v e r s e a st h em a i np a r to ft h i sp a p e r ，c h a p t e rt w od e s c r i b e sm i l n e 8c h a r a c t e r i z a t i o n t h e o r e m ，w h i c hc a l lb ed e s c r i b e db yt h em a t r i xe q u a t i o na x = x b b a s e d o nm i l n e r s i d e - aa n dm o t i v a t e db yt h ea u t h o r so w l i d e a ，w er e c o n s i d e rt h ep r o b l e mo ff i n d i n g l m ，i n v e l s eo ft h ei n f i n i t e ，l o w e r t r i a n g u l a rm a t r i c e sw h i c hd e f i n e db yt w ob i v a f 、i a lc s e q n e i l c e s d u r i n gt h i sp r o c e s s ，t h r e em e t h o d si n c l u d i n gm i l n e 8o p e r a t em e t h o da lp p n tf o r w a r da n du s e df r e q u e n t l y i nc h a p t e rt h r e e ，w e1 n l i o d u c eas o r to fs h i f t a b l em a t r i x b yu s i n go fm i l n e s c h a r a c t e r i z a t i o nt h e o r e m ，w ef i n di t si n v e r s eo fs h i f t a b l em a t r i xe n t i r e l y f u r ，h e r ， a p p l y i n gt h et h es a m et e c h n i q u e ，w ef i n dt h et h i r dp r o o fo ft h e ( f ，9 ) 一i n v e r 、8 ew l l e l l 9 i h i sp r o o f i sd i f f e r e n tf r o mt h ep r e v i o u s l yk n o w np r o o f g i v e nb yt h ek r a t l e n th a l e r s o p e r a t o rm e t h o d o n eg e n e r a l i z e dm i l n e 8c h a r a c t e r i z a t i o nt h e o r e mi sp r e s e n t e di nc h a p t e r 1 f m o r ep r e s e c i s e l y ，a s s u m i n gt h a t 1 一( v ( n ，) ) a n dg 一( g ( t t ，) ) a r en o tl o w er 一 l i = ；霆堡垡薹墨堕壅堕鲞墨皇望鱼垦塑差墨里垒 a b s t r a c t t r i a n g u l a rm a t r i c e s ，i tt u r n so u tt h a tm i l n e sc h a r a c t e r i z a t i o nt h e o r e mi ss t i l lv a l i da s ar e s u l t w eo b t a i nt w on e wi n v e r s e se m df u r t h e rg e n e r a l i z et h eb r e s s o u di n v e r s ei na l l l o r es e t t i n g i nt h el a s tc h a p t e rw ec a ns e et h a to u rm e t h o dc a nn o ts o l v ea ll p o s s i b l epro h i t , i l l s ) a n dw eg i v eo n ee x a m p l et oi l h n n i n a t ei nw h a tc a s e st h em e t h o dw o u l db eo f1 1 0 e f f e c t w h a t sn l o r e ，w eg i v et w on e wp r o b l e m st ob es o l v e d k e y w o r d s ：i n f i n i t el o w e r t r i a n g u l a rm a t r i x ；( f ，g ) 一i n v e r s e ；m i h m se h a r a c t e r i z a - t i o nt h e o r e m ；s h i f t a b l em a t r i x ；s t m i n gn u m b e r s w r i t t e nb yz h a n gz h e n g l i s u p e r v i s e db ym ax i n r o n g 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创惟声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独市进行研究i i 作肌 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本沦文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的制 料对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文巾以明确方式标明。本人承 一f 本声明的法律责任。 研究生签名 学位论文使用授权声妙j 日 期 ；= 州大学、中国科学技术信息研究所、同家罔书馆、清华大学论文合作部、中i 司 丰j 科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文。、奉人电了文档的内容和纸质论文的内容相， 鳓。睬在保密期内的保密论文外，允许沦文被奋阅和借阅，r ，j 以公布( 包括刊赘) 论 文的牟= 部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理：， 研究牛签铝：一 ，一 导帅答名：量批荔 日 期 日期：冽毕j ， 第一章引言 反演问题源自特殊函数论的一个基本分支一超几何级数和基本超几何级数无需 甓疑的是后者的研究上可追溯到大数学家欧拉和高斯对 纠= 薹警扩 的研究，以及到上个世纪七八十年代后期g a n d r e w s 和r a s k e y 对整数分拆和正交 函数( q 一函数和q 一积分) 研究工作中事实证明：超几何级数和基本超几何级数在数 论、根系( r o o ts y s t e m ) 、结合方案、差分方程、李代数和李群、物理学、统计学有着 广泛应用。正因为如此，人们逐渐形成了对超几何级数和基本超几何级数的三狰研究 方法：与数学机械化紧密联系的w z 一方法；传统的变换方法；由徐立治和初文昌首创 的反演方法( i n v e r s et e c h n i q u e ) ，本文主要围绕第三种方法展开讨论 简言之，反演方法就是利用反演关系来证明或者导出恒等式即对一个恒等式的 证明可简化为对其对偶恒等式的证明另一方面，给定一个已知的恒等式，通过反演 关系有可能导出一个新的恒等式那么其关键问题就是如何给出一个反演关系和是否 能找到一个适合的恒等式 矩阵反演是组合数学与特殊函数论中的重要的工具，被广泛的应用于推导和证明 超几何级数和基本超几何级数反演关系实际上是相当于其相应的矩阵反演上个世 纪6 0 年代，p d o r d a n 给出了许多已知的矩阵反演反演关系的系统研究是从1 9 6 t 年 开始的首先，h w g o u l d 发表了一系列( 尽管是很简单的一种反演) 关于反演的论 文，而当时尽管徐立治教授正处于文革冲击之中，仍不约而同地提出了较g o u l d 的 结果更般的反演公式所写论文神奇般到了g o u l d 手中但鉴于当时国内的政治环 境，g o u l d 无法与徐立治取得及时联系，直到几年后才互通书信，相约合作发表事宜， 井于1 9 7 4 年发表在著名的d u k e 杂志上，这就是后来的g o u l d h s u 反演公式f 5 1 ( 此 结果现已被学术界数百次的引用) ，同期发表的还有该杂志主编c a r l i t z 给出的q 一模拟 呲但是他没有给出相应的应用后来g e a n d r e w s 证明了几十年前的b a i l e y 引理恰 好包含在c a r l i t z 给出的q 一模拟中，也就在这个时候，g e s s e l 和8 t a n t o n 利用双基矩 阵反演证明了他们得到的b a g r a n g e 反演的q 一模拟4 1 也是c a r l i t z 给出的q 一模拟， 即：g o u l d h s u 反演的q 一模拟的特殊情况并用之导出了许多基本超几何级数的求和 公式和变换公式及再次得到了r o g e r s ，r a m a n u j a n 类型的恒等式b r e s s o u d 也给出了 一个矩阵反演，即反演关系的等价形式，并且在考虑r o g e r s r a m a n u j a n 类型的恒等 式的有限形式的时候也使用了反演技术几年以后，g a s p e r 和r a h m a n 证明了一个 二元迭代关系的矩阵表示与组合反演关系理论 第一章引言 双基矩阵反演，统一了g e s s e l 和s t a n t o n 提出的矩阵反演及b r e s s o u d 提出的矩阵反 演；这个双基矩阵反演可以推导出大量漾亮的新的二次、三次、四次基本超几何级数的 求和公式而上面各反演公式的统一形式是由k r a t t e n t h a l e r 获得 c k r a t t e n t h a l e r 于l 9 8 1 年给出了一个很通用的反演关系，包括了r i o r d a a l 的大郊分的反演关系和上 面提到的所有的矩阵反演这个矩阵反演就是： 和 矩阵( 厶，* ) 。，k 。z 和( 9 k ，) 。z ( z 是整数集合) 是矩阵反演，其中 厶， 兀似n - 1 ( + b c ) r i ；：，( c j 一吼) 从2 0 世纪7 0 年代开始，m i l n e 提出了与根系有关的多维的超几何级数和基本超 几何级数的理论l i l l y 和m i l n e 又把早期的a n d r e w s 考虑的矩阵推广到了多维情 形随后，b h a t n a g a r 和m i l n e 把g a s p e r 和r a h m & 1 1 提出的维矩阵反演推广到了多 维情形1 9 9 6 年，k r a t t e n t h a l e r 建立了所谓算子方法，并具体给出了k r a t t e n t h a l e r 反演公式| 7 ) 而最终m 8 e h l o s s e r 于1 9 9 9 年1 8 】给出了前面所有的矩阵反演的统一形 式，尤其是前面提到的c k r a t , t e n t h a l e r 获得的一般的矩阵反演作为一维的情形也包 含在这个矩阵反演中 本文即将要讨论的问题是与m i l n e 提出的特征定理密切相关的 m i l n e 于1 9 8 1 年9 1 提出了三角序列的反演性质的特征定理，当时未引起技学术界重视。 1 9 9 8 年， m i l n e 和他的学生b h a t n a g a r 1 0 l 再次发表关于二元序列的迭代关系的特征定理，也 只考虑个别反演的证明，但其所含深刻的结论仍然被忽视了 2 0 0 4 年，马欣荣在指 导他的几个硕士生选择以反演为主题的研究工作中，对m i l n e 特征定理进行了系统考 虑，逐渐形成了本文将涉及的( ，口) 一反演这是目前最为广泛的结论本文即将要讨 论的问题就是与此反演相关的几个问题 1 1 反演关系简介 为读者方便起见，我们首先给出本文用到的第一个概念 2 嘲一，生飞替鼍 旦 第一章引言 二元迭代关系的矩阵表示与组合反演关系理论 定义1 1 1 设f = ：( 厶，k ) 。妊z 弘表示整敷集合，是无穷阶下三角矩阵，即厶，女= 0 当礼 膏，称g = ( ，i ) 。z 为f 的逆矩阵当且仅当 厶蛳= 矗t k k 则f = ( a n , k ) 和g = ( 6 。，k ) 是互逆矩阵当且仅当，( g ( z ) ) 例如，( z ) = e 。一1 , g ( x ) = l g ( 1 + 。) 2 数论中的反演 经典的m o b i u s 反演： 假设，g ：n 一，那么， g ( 凡) = m ) v k ，“ 当且仅当 m ) 一f z ( 跏) v k h 其中，z ( 礼) = ( 一1 ) 或l 或0 ，称为m o b i u s 函数 3 组合数学中的反演 3 二元迭代关系的矩阵表示与组合反演关系理论 第一章引言 偏序集上的m o b i u s r o t a 反演 假设，g ：p 一尺，那么 m ) 弘( 舢) 9 ( z ) v z ：z _ y 当，呈仅当 g ( ) = p 。( 舢) ，( 茁) ， v x ：x 0 当臣仅当 ( 。( i 0 t ) n ) l ( r ) ，( n ) l ( k ) ( ( 一1 ) 。k i ) g ( ) = 9 ( ) 一( ( 一1 ) 。k 4 ) l ( k ) g ( ) t 0l 0 我们将要利用上述引理作用在f ( 佗，七) 上，而且当n 0 那么容易得到 ( 一1 ) ”( 肛”) ，( ，z 一 ，助一( 一1 ) ”n n - - v - 1 f ( 礼一 一1 ，) = = k f ( n ，) 兰0 三0 由特征定理得 ( - - 1 ) ”k c ( n ，k + ) 一( 一1 ) a k c ( n ，k + + 1 ) = n g ( n ，) v o u 兰o 用算子来表示 ( k a k h ) l ( k ) g ( n ，k ) 一- n g ( n ，k ) 夸c ( n ，k ) = l ( k ) h ( n ，) 、代入上式 旦丛，n o k + n 、川 竺生生t t ( n ，1 ) a k + l + 礼 烈啪hh 妒揣枞) 一元迭代关系的矩阵表示与组合反演关系理论 第二章m i l n e 特征定理及其应用 因此 ( 删妒厂等篙辫 这就是 的逆矩阵，从而得证 口 对上面的例子，我们还可以用直和法来证明 例子2 3 3 为方便起见，我们把f ( n ，k ) 和g ( 礼，k ) 中的a j k 换成a j + k 证明：注意到 1 ( 扎+ l ，k )a 。一 一 f ( n ，k ) 礼+ l k 即 ，1 ( 佗+ l ，k ) 一a n f ( n ，k ) = ( f ( 扎+ l ，) + f ( 仳，) ) 其中托任意的 将n 换成i 并两边对i 从0 到+ o o 求和 + o o十o o ( i + 1 ) f ( i + l ，七) 一吼f ( z ，尼) = k f ( n ，自) i = 0i = 0 那幺 ( i 一啦) 一1 ( 2 ，七) 十f ( 礼，”一k f ( n ，k ) i - - 0 写出上式的矩阵形式a x x b ，其中， a = ( 一a k 十。kk ) b = ( 矗女) ， x 一( p 1 ( 佗，纠) 吐紫 第二章m i l n e 特征定理及其应用 二元迭代关系的矩阵表示与组合反演关系理论 则y a = b y ，那么位于( n ，) 位置上的元素亦相等 化简得 即 那么 用k + l 替换k 得 g ( n ，i ) ( k a k + a i 6 i ，女) 4 = k 瓯。g ( i ，知) i k ( 七一n ) g ( n ，k g ( n ，) 一n g ( n ，) l = k + 1 ( k 一吼) g ( 礼、i ) = m k ) c ( n ，) i = k 4 1 兰g ( m 女) 托一o k ( 23i ) 箫g ( n , k + l 卜。塞。g h 珏 ( 2 凇) ( 2 3 1 ) 一( 2 3 2 ) 并化筒之 ，耻警高 即得 f 面这个例子对换元法作了很好的解释 二元迭代关系的矩阵表示与组合反演关系理论 第二章m i l n e 特征定理及其应用 例子2 3 - 4 ( k r a t t e n t h a l e r 反演) j 寄和 k 器为复数序列，且j 女时b j k r ( f 7 ( 扎，尼) ) 和g = ( g ( n ，) ) 定义如下 知 晰，= 甓筹 g 仇、 那么，尸和g 是互逆矩阵 证明： p ( n 1 ，) 一= f ( 礼，k ) ib 女h a j ( 吗+ 6 。) n 兀，n ：- b 1 ( 一6 。) 兀k ( a j + 6 圳1 - ( 吣一k ) 兀霉( q + k ) 丌墓+ ，( 幻 口。- 一6 k k + 】一玩 则 ( k a n ) ，( 礼，) 一l ( n ) b k p ( n ，) 由引理2 3 1 及m f l n e 特征定理易得 ( 6 k a k k ) l ( k ) “g ( 扎，k ) 一b 。g ( n ，七) 和前面相似做代换g ( 佗，七) = l ( k ) h ( n ，) 代入上式得 i b k 瓦- b , 2 坳，k ) ， 蜂( 1 ) o , k 1 + b n 、。 帅，= 揣b n - 1 m h ，= 黔n - 1b 筹 又f ? f ”，咒) _ l 和( n ，7 + 1 ) z 0 ，t t ( n ，礼)l ，可得 哪，一寒n - 1 筹 第二章m f l n e 特征定理及其应用二元迭代关系的矩阵表示与组合反演关系理论 因此 ，垆忡m ，驴糍躐 这是f 的逆矩阵，即证得 侈| 1 - $ - 2 3 5 对上例，我们再用直和法来证明为了方便，我们把a j + b k 都换成a ， 证明：注意到 f ( 佗斗l ，k ) f ( 礼k ) 。一b k b n + 1 一b k 故 6 州1p 1 ( n 1 ，女) 一m 。f ( ”，) = b k ( f ( n + l ，) 一f ( n ，) ) 其中礼是任意的 由直和法得 简化之 口 k ( h i 啦) f ( i ，女) + 。p ( n ，女) = b k f ( n ，南) ( 23 3 ) t = 七 给出( 2 3 3 ) 矩阵的形式： a x = 二x b ，其中a = ( “( n ，女) ) 一( ( k a k k ， ) ) 口 ( b ( n ，) ) = ( ( b k 矗， ) ) ，x = ( f ( 礼，) ) ，则y a = b y 那么位于( n ，女) 位置上的元素亦相同，则 将a ( n 女) ，b ( n ，) 代入( 2 3 4 ) 并作变换得 用 1 替换，得 毽bnm ， k 一6 k + 1 b k + 1 一a k t l 】7 ( 2 34 1 ( 2 ： 5 1 ( 2 0 6 ) f 魄 | _ “ fn “ f6 “铷 嘶q 。h 。 二元选代关系的矩阵表示与组合反演关系理论 第二章m i l n e 特征定理及其应用 1 235 ) 一瞄3 6 ) ，r 侍 f b , , - 。b k 。，旷高) 一g ( 啪+ 1 ) 简化得， m ，牡瓜b - b k 著，七+ 1 ) = 翼鬟i 囊旨嘶， = = 寰1 1 1 鲁b j k o 。k 一 ：堡二墨卫兰! 型! 生二刍尘 k 兀= ：( b j b 。) 即得 对b a i l e y 反演，m i l n e 在他的文章l l o 】已经用一种方法证明过了，下面我们用换 无法来证明 侧子2 3 6 ( b a i l e y 变换) j 设a 是不定元，定义 ( 刚) 。：= n ( 1 一。q k - 1 ) ，( 刚) 。= 1 ， k = 0 无穷下三角矩阵f = ( p ( 礼，) ) 定义如下 脚- 一葡瓦篙而， 无穷阶下三角矩阵g = ( c ( n ，) ) 是f 的逆矩阵，则 ，”= 告瓣( _ 1 ) n - k q ( “。 证明：注意到 尸( 礼+ 1 ，) l -u-*-一一 f ( n ，)( 1 一q ”+ 1 一) ( 1 一a q n + 1 十) 1 8 第：二章m i l n c 特征定理及其应用二元迭代关系的矩阵表示与组合反演关系理论 ( 1 一a q + 1 + 一矿+ 1 一+ a q 2 n j c 2 ) f ( 扎+ 1 ，k ) = = f ( n ，而) 写出矩阵的形式 接中 i f = b p c a = ( 以+ 1 ，k 一岛，k + a q 2 m + 1 矗十1 k ) ，b 一( 矿+ 1 如+ 1 ，j ，c = ( ( n 矿 g 一) 如，k ) 注意到a 和g 是可逆的令g = ( a ( n ，) ) 是p 的逆，那么( g ( n ，) ) 的相应的矩阵 形式就是 f 面用换元法我们定义h = ( y ( n ，女) ) = c 。g a 那么有 i i a = = c h b 比较如，) 位置上的系数，得到 ( n ，k 一1 ) 一y ( n ，) + a q 2 可( n ，七一1 ) 一g ( 。9 7 1 + g 一“) 可( 礼，k 一1 ) ( 2 3 7 ) 解出( 2 3 7 ) 得到 考虑到h = ( p ( n ，自) ) = c _ 1 g a ，即g = c h a ，那么 k 一1 c ( n ，) = ( a q n + q 一“) 2 q ( n ，o ) n ( 】一a q ”+ 1 ) ( 1 一q - n i ) ( 2 ： 8 ) 又有初始条件g ( n ， ) 一( a q ；g ) 2 。，那么( 2 3 8 ) 给出了g ，其中 掣( n ，。) 一面i i 而面( 系a q ；q f ) 2 n 孑可丽 = ( 一，) ”一1 。“( n 一】，2 i 五；j ；! ! ；i ；：； ； 二元迭代关系的矩阵表示与组合反演关系理论 第二章m i l n e 特征定理及其应用 例子2 3 7 ( 两类s t i r r i n g 数的互反关系) 设第一、第二类s t i f l i n g 敷定义式分别为： 知 那么这两类s t i f l i n g 数是互反的 和 证明：由( 2 39 ) 和( 2 3 t 0 ) 易得如下递推关系式 s ( n l ，k ) - = s ( n ，一1 ) 1k s ( n ，尼) 8 ( n 十1 ，k ) = s ( n ，七一1