（应用数学专业论文）一类流体动力学方程组的渐近极限问题.pdf

摘要 本文主要通过摄动理论的带小参数的渐近展开方法，结合古典能量方法，研 究了r a y l e i g h - b c n a r d 对流模型及其极限形式无穷p r a n d t l 数模型之间的关系 由两个平行平面限制，从下部加热的r a y l e i g h b d n a r d 对流模型可以用 b o u s s i n e s q 方程组来比较精确地描述b o u s s i n e s q 方程组由一个关于流体速度 场的不可压n a v i e r - s t o k e s 方程加与温度成比例的浮力项，一个水平对流扩散方 程，以及边界条件和初始条件组成 无量纲化后可以将b o u s s i n e s q 方程组看作是含小参数占的非线性微分方程 组在无穷p r a n d t l 数极限模型中，只需给定温度场的初值，而在b o u s s i n e s q 方程 组中，速度场和温度场的初值必须都得给定且一般来说，当小参数占哼0 时，后 者的速度场初值不趋向于前者的速度场初值因此这是一个含有初始层的奇异 极限问题王晓明通过有效动力系统对这个问题进行了比较详细的研究，得到了 0 ( 占) 的收敛速度本文在此基础上通过摄动理论的渐近展开方法，结合古典能量 方法得到了更进一步的结果通过将近似解分解为外函数( f o ) 和初始层函数 ， ，、 ( f = 0 附近) ，证明了渐近解的收敛性，并得到了收敛速度o | s 恐1 和最佳收敛速度 o 【占2 ) 另外，当b o u s s i n e s q 方程组取特殊初值，使得当占- - y0 时，它的初值正好 趋向于极限模型的初值，这时初始层消失并通过渐近展开方法，古典能量方法， 嵌入定理等证明了此时的n 阶近似解在日范数意义下也是收敛的，且有收敛速 度o ( 占“ 关键词r a y l e i g h b d n a r d 对流；无穷p r a n d t l 数极限；奇异摄动理论； 渐近极限；收敛性 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h er e l a t i o no fr a y l e i g h b 白a a r dc o n v e c t i o na n di t sl i m i ti n f i n i t e p r a n d t ln u m b e rm o d e li ss t u d i e db yt h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o nm e t h o do f t l a es i n g u l a r p e r t u r b a t i o nt h e o r ya n dt h ec l a s s i c a la i 唧m e t h o d r a y l e i g h - b 6 n a r dc o n v e c t i o nm o d e li sc o n f i n e db yt w op a r a l l e lp l a n e sa n dh e a t - e da tt h eb o t t o mp l a n e i tc 姐b ed e s c r i b e db yt h eb o t t s s i n e 龇ls ”；t c m w h i c he o m i s t s o ft h ei n c o m p r 酷s i b l en a v i e r - s t o k e se q u a t i o n sf o rt h ef l u i dv e l o c i t y , w i t hab u o y a n - e yf o r c ep r o p o r t i o n a lt ot h et e m p e r a t u r e , c o u p l e dt ot h eh e a ta d v e e t i o n - d i f f u s i o n e q u a t i o n , a l o n g1 i t ht h eb o u n de o n d i t i o ma n dt h ei n i t i a lc o n d i t i o n s a f t e rn o n d i m e m i o n a l t h eb o u s s i n e s qs y s t e mc 觚b es e e m e d 蠲an o n l i n e a rd i 尽 e r e n t i a le q u a t i o ns e tw i t has m a l lp a r a m e t e r 占f o ri n f i n i t ep r a n d t ln u m b e ri n o d e l , w e n e e dt og i v et h ei n i t i a lv a l u eo ft h et e m p e r a t u r e ，w h i l ef o rt l a eb o u s s i n e s qs y s t e m , b o t ht h ei n i t i a lv a l u eo ft h et e m p e r a t u r ea n dt h ev e l o c i t ym u s tb eg i v e g e n e r a l l y s p e a k i n g , t h ei n i t i a lv a l u eo f t h el a t t e r sv e l o c i t yd o e sn o tl u nt ot h a to f t h ef o r m e r s v e l o c i t yw h e n 占专0 s ot h i s i sap e r t u r b a t i o n p r o b l e m w i t ha ni n i t i a l l a y e r r e f e r e n c e s 【2 ，3 】h a v em a d ed e t a i l e ds t u d ya b o u tt h i sp r o b l e mt l l r o u g l ae f f e c t i v e c l y n a m i e s ，a n do b t a i n e dt h ec o n v e r g e n c e 眦o g ) o nt h eb a s i so f i t , w eg e tf u l t h e l r e s u l t sb yt h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o nm e t h o do fp e r t u r b a t i o nt h e o r ya n dt h ec l a s s i c a l e n e r g ym e t h o d t h ea p p r o x i m a t i n gs o l u t i o ni sd i v i d e di n t ot h eo u t e rf u n c i d o m ( t 0 1 a n dt h ei n i t i a ll a y e rf t m e t i o m ( n e a r t = o ) ，a n dw cp r o v et h e “m v a 学即o ft h e a t 堆r o x i m a t i n g m a n dg c t 也e n v e r g e n c e 眦0 f 占 a n d 也co p 缸a lr a t e o 忙2 ) f l l r t h e r m l m - e , w h e nt h eb o u 3 s i n e s qs y s t e m 8v e l o c i t yi sg i v e nas p c c i a li n i t i a l v a l u e 血a ti t 衄st o 曲峙i n i t i a lv a l u eo f 也ei n f i n l t cp r 龇l t ln m b e rm o d e i ，s v e l o c i t y , t h ei n i t i a ll a y e rd i s a p p e a 墙a n - o r d e ra l 脚& n a t i n gs o l u t i o ni sa l s op r o v e d t ob ec o n v e r g e n ti nh 。n o r mb ya s y m p t o t i ce x p a n s i o nmc i h 0 正血ec l a s s i c a le n e r g y m 劬o d a n d 酬岘a n d t h e n v e r g e n c e 眦i s 雌“) r 丑y l c i 咖b 6 r dc o n v e c t i o n ；i n f i n i t ep r a n d t ln m b a rl i m i t ；s i n g u l a r p e r h 曲a t i t h e o r y ；a s y m p t o t i cl i m i t ：m 帕唱e n 眈 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：垒盈e t l 9 i ：越6 。) 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，1 1 1 ：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影r = o 、缩印或其他复制手段保存论文。 篓瓮黧毯啦隰峭 签名： 丑互 导师签名： ( 窆本】日期：砬妄2 ：厶：7 第l 章绪论 1 1 引言 第1 章绪论 1 1 1 r a y i e i g h - - b 6 n a r d 对流模型介绍 众所周知，在许多物理现象中，流体流动的同时也伴随着热量的传递简单地 说，r a y l e i g h - b 6 n a r d 对流描述的是从下面加热的流体层的行为r a y l e i g h b 6 n a r d 对流是一个有趣而又相当方便的非线性系统是研究非线性现象的理想模型 下面具体介绍一下 假定有由两个平行平面限制的水平流体层，两个平面之间的距离是h 在无 扰动的情况下，流体的速度处处为零，即流体处于平衡状态给下平面加热，假定 上平面的温度是互，下平面的温度是瓦( 正 正) 如图卜l 所示： ( 弓，互) 图卜1r a y l e i g b - b 6 n a r d 对流模型 p i g u r e l l 酗4 c i g h - b d n a r dc o n v e c t i o nm o d e l 由于热扩散，加热的底层流体比上面的流体轻这种头重脚轻的现象是不稳 定的，易于发生变动而另一方面，流体自身的粘性又会阻止这种变动的发生所 以，系统必须得超过一个特定的值才能变得不稳定，并最终达到稳定的对流状态 也就是说，当五，五的差值不是太大时，流体只有热传导而无对流产生；当正，五 的差值逐渐增大，达到某一值时，流体会突然产生对流，下面温度高的流体会上升 上面温度低的流体也会由于重力的作用而下降换句话说，先前的平衡状态有可 能是不稳定的运动过程中释放出的能量为对流的产生提供了运动能量这种现 象可通过参数i i a ( 即r a y l e i g h 数) 表现出来：当r a 超过某个特定的值( 大约是 1 7 0 0 ) 时，就会变得不稳定，低于这个值时，流体会仍然不动上升的流体到上平面 附近时会通过热传递而使本身的热量减少，然后再运动下来下降的流体到下平 面附近时会通过热传递使本身的热量增加，然后再运动上去一直这样下去，从而 形成对流这就是r a y l e i g h b 6 n a r d 对流问题 北京工业大学理学硕士学位论文 1 1 2 r a y i e i g h - b 6 n a r d 对流模型的研究现状 关于发生在从下面加热的粘性流体中的不稳定性这一问题的研究始于本世 纪初1 9 0 0 年，b 6 n a r d 首先完成了用两块水平平板隔开的一层流体中的热对流现 象的实验随后，b r u n t ，j e f f r e y s ，l o w 和r a y l e i g h 也从实验上和理论上研究 过这个问题从理论的观点来看，这个问题有着特殊的意义因为它是关于流体动 力学精确解的稳定性的，必须付出很多很多努力才能解决的极少数问题之一 尽管r a y l e i g h - b 6 n a r d 对流模型很复杂，但是应用的范围非常广，所以对它 的研究也非常多由于应用的方面不同，导致了研究的侧重点也会有所不同这个 模型在数学理论上也提出了许多极具挑战性的研究课题目前研究较多的，例如： 模型的某种弱解的整体存在性和正则性瞻3 】，无穷p r a n d t l 数模型及其相关模型的 光滑解的整体存在性以及上界问题”湍流中的n u s s e l t 数“”，地质流体动力学 中的相关的旋转b o u s s i n e s q 模型问题“”，等等 特别是近几十年来，人们对于在r a y l e i g h - b 6 n a r d 热对流中的热量传递问题 的研究已经做出了很大的努力由于在热对流中，浮力是由温度的差异引起的所 以，研究在对流中传递的热量总量是一个有趣的问题这个总量用参数n u 表示 目前已经有许多实验和数据模拟来测量n u 和其它参数的关系，其中大部分是关 于n u 和r a 的关系 h ：l + 二一f f b f 毛“，r l i l v 最蠲粕 关于无穷p r a n d t l 数极限模型中n u 的上界，已经有很多研究吼删 在冗口的值很大时，m f 已知的最好的严格上界是n u c 砌力这个最初是由 h o w a r d 在1 9 6 4 年利用变分方法得到的“”1 9 9 6 年，d o e r i n g 和c o n s t a n t i n 利用背景 方法也得到了这个上界“”然而，实验和数值模拟的结果表明一r - ，g 近似的 在区间 2 7 ，v 3 l 中在这期间，关于指数2 7 和l 3 也有几位作者讨论过“” 1 9 9 8 年，c o n s t a n t i n 和d o e r i n g 证明了在描述三维r a y l e i g h b 6 n a r d 对流的 无穷p r a n d t l 数极限模型中n u s l + c r a ： j ( 1 + l o g + 肠髟，c 为常数啪 2 0 0 1 年，c o n s t a n t i n ，h a l l s t r o m 和p o u t k a r a d z e 得到了，对于带旋转的无穷 p r a n d t l 数极限模型： 当腓2 r a - ( 1 + l o g + 肠) 兹时，n u s l + 纰( 1 + l o g + 血： 当髓s r a 一( 1 + l o g + 血时，n u s c 髓咣砌 并且还指出，对于较强的旋转，即肠兹se k 砌咣( 1 + l o g + j k ) - 时，上界 n u 1 + c e k 一乃砌乃是最佳的对于再强些的旋转，即r a - 2s e k s r a - y 4 时，上界 2 第1 章绪论 s 1 + c 池力起作用当旋转及其强的时候。即e k 冠一，n u 有界且最终会一致 地趋向于1 上面的结果都是固定置口而改变旋转的强度得到的如果改变冠口( 假 定r a 足够大) 而固定戤，则不管旋转有多强，对数的喜幂函数边界总会出现嘲 j 2 0 0 3 年，王晓明陈述了，无穷p r a n d t l 数模型的n u 将会收敛到当时已知的最 好的上界砌岫砌声即胁s 地只砌声+ r e m a i n d e r ( r a ，p r ) ，且当p r 斗。 时，r e m a i n d e r ( r a ，p r ) _ 0 这不仅改进了以前的结果，而且和物理上的预言保持 一致但作者只是陈述了，并没有给出严格的证明。1 2 0 0 4 年，颜晓东得到了，对于无穷p r a n d t l 数模型，没有旋转时：n u c 砌确， 常数。 2 有旋转时：n u 出f 昙瓦+ l r l ，常数。 0 初值条件： t o ( f = o ) = 万b y ，z ) 伍y , z ) e g ，且占_ 0 时，石g ，j ，z ) _ 露k y ，z ) ( 1 - 1 2 ) 显然，无穷p r a n d t l 数极限模型比b o u s s i n e s q 系统要简单得多，而且在这个 模型中，速度场线性地服从温度场，它的光滑解的整体存在性和唯一性已经得到 证明 1 3 课题简述 由于在无穷p r a n d t l 数极限模型中，速度场线性地依赖于温度场，所以只需 指定温度场的初值，而不用给速度场指定初值即：在方程组( 1 - 7 ) - ( i - 1 2 ) 中，令 t = 0 ，有 6 勖o ( f = o ) + 去白“o ( f = o ) = 血o ( f = o ) + r a e 3 霹 v “o ( f = o ) = o “。o = o l ：。= o 则“o ( f = o ) 可以用君k ) ，z ) 表示出来但是在一般情况下，当占呻0 时， ( f = o ) 不趋向于”o ( f = o ) 因此，这是一个含有初始层的奇异极限问题文献 3 利用有效动力系统，严 格证明了r a y l e i g h b 6 n a r d 对流在r 范数意义下，当p r 专时，以收敛速度 。仁) 收敛到无穷p r a n d t l 数系统本文在文献 3 的基础上，利用奇异摄动理论的 渐近展开方法和古典能量方法改进了文献 3 结果，得到了带零阶和一阶项的渐 近解的确切结构这对物理应用也有很大帮助然后证明了渐近解的收敛性，分别 得到了收敛速度o r f 1 和最佳收敛速度o g ：) 另外，还讨论了特殊初值的情况，即当l 。i 。m u 5 0 = o ) = “。( f = o ) 时，初始层消失 应用摄动理论的渐近展开方法和古典能量方法，嵌入定理等有力工具，先证明了 一阶近似解的收敛性，得到了o ( 占2 ) 的收敛速度，然后将近似解展开到n 阶，并证 明了n 阶近似解在日范数意义下的收敛性，得到了0 i 占“) 的收敛速度 第2 章主要结果 2 1 一般初值 第2 章主要结果 假设初值有如f 形式的一阶渐近展开： 0 。，r x f = o ) = 0 ：+ 翻：+ “函，r o o + 刮+ k y ，：) ( 2 1 ) 其中0 ，“。i ，露和刀都是c 。( g ) 函数，并且“品k y ，z x 仁，z ) c 。( g ) ，满足 0 0 品，瑶kj ，z l | 工2 c 0 2 ( c 为正数且不依赖于f ) 取渐近解： b 0 ，p ；，z 品b ，y ，2 ，f ) = 窆s 七g ，只列) + i 仁弘z ，f ) ，p l 仁) ，印) + ；仁y ，z ，f ) ，丁，g 戌副) + 亍g ，y ，：，f ) ) 其中f = = t 是快时间变量，0 ，p ，r k y ，：，f l i - o ，l 是外函数，不依赖于f ， 仁。，；7 ，于7 k y ，z ，f ) ，i ：0 ，1 是f ；o 附近的初始层函数 将渐近解的表达式代入到方程( 卜1 ) 一( 卜6 ) 中，令占的各次幂的系数为零，可以得 到： 首先，外函数“o ，0 尹h y , z ，t ) 满足的方程组即为无穷p r a n d t l 数模型 ( 1 7 ) 一( 1 1 2 ) ： 即。+ 壶白。= 血。+ p e s t 。 甲球o = 0 a ，r 。+ 0 。v p 。= a t 。 “o l：0 i , - o , 1 r 。i 枷= 1 r 。j ：。= o t 0 0 = o ) - - 对仁y ，z ) 0 1 ，1 ，一虹，y ，z ，f ) 满足线性方程组： 即1 + 瓦i 巳“l = 血1 + 砌巳r 1 一a “。一0 0 v - 。 v - ”1 = 0 a ，一+ 0 。v l r l + 0 1 v i r 。= a t l 9 ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) 北京工业大学理学硕士学位论文 一l 。= 0 r i |= 0 i ，o j r 1 0 = o ) - - r o ( 工, y ，z ) 一亍1 ( f = o ) 其中亍o = o ) 待定 其次，初始层函数仁。，；。，- 0 k ，弘z ，r ) 满足的方程组为： 巧。+ 即。+ 去白x - o = 。“ v 二o ：0 a ，- 1 + 仁0 v 妇= o 刊：0 i z , = o j i 。( = o ) = ：一“。( f = o ) 0 亍1 i f 寸) = 0 仁1 ，；1 ，- 1 k ，y ，z ，r ) 满足的方程组为： ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) ( 2 - 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) a ，- i + 、t p i + 瓦i 岛x 拈1 + 如- l 一v k 一v 乒。一仁。v 如砌) v 二1 ：0 ( 2 1 4 ) o l=0(2-15) 1 扣o , i 二1 ( f = o ) = ：一“1 ( r = o i 五( f _ m ) = 0 ( 2 - 1 6 ) 以上外部函数和初始层函数的光滑解的存在性在第3 章讨论 则有以下结果： 定理l 假设公式( 2 - i ) 满足，则当占斗0 时，对于任意0 s ，有： 肛一“二，t t _ l ，o 艄。d sc e c 为不依赖于占的正数 注意到品，kj ，z ) 0 f c 8 2 ( c 为正数且不依赖于占) ，所以收敛速度 厂3 、 o | f 2i 不是最佳的为了得到最佳的收敛速度，进一步假设： lj 露k y ，z ) - - 1 在：= 0 附近， 霉g ，y ，z ) - - 0 在z = 1 附近 ( 2 1 7 ) 定理2 假设公式( 2 - 1 ) 和( 2 - 1 7 ) 式满足。则当占寸0 时，对于任意0 s o ( 2 1 9 ) j = 2 ( 毛j ，z ，f _ m ) = o k y , z ) e g 2 2 特殊初值 假设初僵有如- f 形式的一阶渐近展开： 扯? 2 0 1 2 “：= 。，2 竺+ 翻1 0 = o ) + “矗( 2 - 2 0 ) t o = o ) = 石= 露+ 叫+ 其中万和t o 都是c 。( g ) 函数，并且“品k y ，z l 磁g ，y ，z ) e c 4 ( g ) ，满足 0 0 函，kj ，z ) | l f c s 2 ( c 为正数且不依赖于s ) 取渐近解： “二= “o + 翻1 = r o + z t l p 二= p o + 印1 则有如下结果： 定理3 假设公式( 2 2 0 ) 满足，则当s 一0 时，有： 肛一甜二，r 一，妒( g ) ) 。2 c 为不依赖于s 的正数 假设初值有如下形式的n 阶渐近展开： o r ，? r x t ：o ) ：佳6 1 u ( f ：o ) “o r ，兰占一石+ ( 2 - 2 1 ) 满足晶，k ，) ，z i | 庐( 。) c c “( c 为正数且不依赖于s ) 取渐近解： “。仁f ) = 占b f ) k f ) = 占r b f ) 北京工业大学理学硕士学位论文 p 。g ，f ) = 占p 。g ，t ) - 0 则有如下结果： 定理4 假设公式( 2 - 2 1 ) 满足，则当占专0 时，有： 一二，t 一i r 邶n s 臼删 c 为不依赖于占的正数 进一步有估计： 定理5 ( 好初值情形) 假设公式( 2 - 2 1 ) 满足，则当占一0 时，有： 肛一“：，t 一：l f 佑】玉。m c 为不依赖于占的正数 第3 章一般初值情形 先讨论一般情形给b o 嘶a e s q 系统的速度场和温度场都指定初值k ，石) ， 则当姆甜。( f = o ) 。o = o ) 时，初始层存在 3 1 构造渐近解 在本节中，利用奇异摄动理论构造的渐近解，包含在t = 0 附近的初始层展开 和从t = 0 开始的外部展开两部分然后给出了渐近解的一些有用的性质 3 1 1 外部展开 禹开初始时刻t = 0 ，找f 列形式的渐近展开式，便它可以很好地逼近方程 组( 卜i ) 一( 1 - 5 ) 的解： k ，p - ，咒) = i 占0 ，p l , t 。k ，z ，f ) ( 3 一1 ) 其中0 。，p l , t 7 b ，) ，印) 待定 把公式( 3 - 1 ) 代入到方程组( 1 - 1 ) 一( 1 - 5 ) 中，然后比较占。和占1 的系数得到： ( 1 ) 0 。，p 。，r o k ，y ，毛f ) 满足所谓的无穷p r a n d t l 系统( 卜7 ) 一( 卜1 2 ) ，即： 印0 + 去岛x u 0 = 血。+ r a e 3 t 。 v = 0 a , t o + 0 0 v l r o = r o “oj= 0 i ：- o , i t o= 1 , t o i= 0 i j = 0i ，- i 强加如下的初值条件：t o o = o ) - - 霉b ，y ，：) ( 2 ) 0 1 ，1 ，t 1 k 儿：，f ) 满足线性无穷p r a n d t l 系统( 2 2 ) - ( 2 - 6 ) ，即： v p i + 去岛州= 缸1 + p d 2 e 3 t 1 - - 即。一, , t ov - 。 v = 0 a , t 1 + 0 。v p l + 0 1 v l r 。= a t l “l i= 0 i z , , 0 1 北京工业大学理学硕士学位论文 t i= 0 i ，一o j 初值条件为：一( f = o ) = 露g ，y ，z ) 露g ，y ，：) 待定 注意到无穷p r a n d t l 数模型( 卜7 ) 一( 卜1 2 ) 是一个带旋转的稳定的s t o k e s 方 程组，把t 看作参数，加上一个带浮力项的热平流扩散方程而方程组( 2 - 2 ) 一( 2 7 ) 是一个线性的s t o k e s 方程组加上一个熟平流扩散方程因此，这两个方程组的光 滑解的存在性跟不可压缩s t o k e s 方程相同 命题1 假设万，露c 。( g ) 满足适当的相容性条件 刁i 。= l ，石i 一= o 霜l 。= o 贝g j e c 4 ( g 【o ，m ) ) 中，方程组( 卜7 ) 一( 卜1 2 ) ( 2 2 ) 一( 2 7 ) 都存在整体一致光滑 解 下面令 厶0 ，p ) = 占p 一+ 0 v - ) + 勖一l 肼e ，x u e - - 缸一r a e 3 t 厶0 - - , 7 。 厶0 ，r 。) = a ，r + 。v r 川 则 厶0 。，乙) = 占( a 疋+ g a m e , v - 。) + 。+ 去白x u 。# - - 血。一鹏乙 = 占。( 跏。+ e 3x l i o - - 血。一砌岛一) + o t u 。+ o 。v - 。+ 印1 + l e 3x u - 缸1 一鹏r 1 ) + 占2 ( a 产- + g 。v - 1 + 0 1 审- 。) + f 3 q 1 v - 1 = 占2 ( a “1 + 0 。咄1 + 0 1 v - 。+ f 0 1 吐1 ) = 呓， 工2 ( u 。w l g ) = v “。= v 口o + 刃u 1 = o 厶0 。，乙) = a 咒+ 。v 乙一a 乙 = 占。( a ，r 。+ 0 。甲j r 。一r 。) - 1 - 6 1 p ，r 1 + 0 。v l r l + 0 1 v 妒。一r 1 ) + 占2 0 1 v p l = 占2 0 1 审p 1 = 磁， 这样，通过直接的计算可以得到外部解0 二，p 二，咒) 满足的方程组： 1 4 占p t “二+ k v k ) + 即二+ 瓦1 白x “：i = 血：i + 如瑶+ ，( 3 - 2 ) v 。“。g = 0 ( 3 - 3 ) a 。咒+ “二v 户二= 咒+ r 二r ( 3 - 4 ) “二i。=0(3-5) 咒i ：。= 1 ，咒f 。= 0 ( 3 6 ) 不难看出，只要外函数0 。，p ，k y ，z ，f li = o ，l 给定，余项吒，和吒，就满足 如下估计： 。 脓，磁，：i 【r ( 0 删( g ) ) s 凸2 ( 3 - 7 ) 下面开始讨论初始层函数的结构 3 1 2 初始层函数展开及衰减性分析 在t = 0 附近，利用双尺度展开一致地逼近t = 0 的解 0 ，露，) = 0 二，圯，t = ：x x , y , z , f ) + ，f k 儿毛办r ：三 其中 ，巧) ：圭占隹7 ，；。，于。) 仁。，- ，于。i f 一。) ：o ( 3 - 8 ) 下面将恤二，p 二，) 的展开式代入到方程组( 1 - 1 ) 一( 1 - 5 ) 中，结合 ( 3 2 ) 一( 3 - 6 ) 通过直接计算可以得到： s p 。口品+ o ：，v - o 】+ 即；+ 去岛“二一“一砌岛 = b ，t s 0 ( a f - 。+ 瓦1 白五o + v p 。一一r 码- o ) “g +( 。删 瓦1 巳- i + v p l 一- 1 一p 位e 3 t i - t - 6 0 甲n v 声。+ 仁。v e 。) + 吒 v “；= v “；= 占v a ，焉+ 0 二v b 一 = 呓，+ 占。1 a ，亍。( a 亍1 + 二。v 露+ 0 。+ 一u 。) v 亍。) + “；i 脚。= “j l 川。= 窆占- | ：哪 ( 3 - 1 0 ) ( 3 - 1 1 ) ( 3 - 1 2 ) 北京工业大学理学硕士学位论文 l 。= 1 + 巧i 。= l + 乏占。- j i 。 i 。= 巧l 。= 窆f 孔叫 “二( f ：o ) ：圭占i ，o ：o ) + ( f ：0 ) ) ( f ：o ) ：壹占，( r ，( f ：o ) + 亍( f ：o ) ) 由初始层产生的余项为： r 厶= 占2 缸x , ：- 甲声1 + v 。g ，而) + “- 仁f ) ) + 仁1 审k + 仁。v 五1 + c 1 v ) = 。+ 。仁，：) + i ( x ，r ) ) 吒。) + 占3 怕。g ，曲) + u l ( x ，f ”访1 + ：1 v 白一。仁) + t 仁f ) ) + 仁1 v k l ) 0 8 i i = 1 , 2 ，3 ，4 日 呓，= r 0 + 胄各2 ( 3 - 1 8 ) 其中 = 占蛙掣审。o + 即声1 + h ! ：c + o v n 伊埘 仁1 审b + 仁。v b ，r 。( f ：咖一_ 1 ) w ”7 彰) 埘听i + f - - “。吧妒。) + 妒协，) ) + _ 1 v ，r ( f ：o ) + 一( f = o ) + 亍1 ) ( 3 2 0 ) 0 0 ，都满 足下列估计式： 慨( f 犯( o 可能依赖于s 设f o ，】，首先证明收敛速度o ( f ) 3 2 1 收敛速度0 f f 用0 ，p ，r ) 表示( 卜1 ) 一( 1 - 6 ) 的整体弱解，0 二，p 二，z = p ) 表示第3 章中所 构造的近似解令0 ：，一，巧) = 0 一“二，j p 一p 二，r 一殇) 表示误差函数则由 方程组( 卜1 ) 一( 卜6 ) 和( 3 - 3 3 ) 一( 3 3 7 ) 可以得到误差函数0 ；，“，巧) 所满足的误 差方程组，如下： 占p ，甜：+ 0 二v - ；+ 0 ：- v h 二+ “：) 】+ 印；+ 瓦i 岛； ( 4 一1 ) = 血；+ r a e ，巧一吒，一吒 v “：= 0 ( 4 - 2 ) o , ：r + 0 ；v 弦i + 0 ；v x 刍+ 巧) = 巧一r 二r r 易 ( 4 3 ) 。：乙= o ( 4 4 ) 巧l 。2 0 ( 4 5 ) “：( f = o ) = “玉b _ ) ，z ) 巧o = o ) = b y ，z l ( 4 - 6 ) 在方程( 4 3 ) 式两边同时乘以巧，然后在g 上关于g ，y ，：) 积分，利用分部积 分，c a u c h y s c h w a r t z 不等式，渐近解的性质以及关于余项r + j 的估计式： 0 + 赐6 r s 2 + 西( f 2 + f + l k 一 ( 4 7 ) 得到： 三丢l 眩o ：。，+ 8 v 巧眨 = 屯0 ：v b 巧凼：方出一l 幢，+ r 易k 击：西施 s 叫俐：+ c l r 2 + 0 4 + c e 2 ( f 2 + 州r e “ 取占足够小且不依赖于f ，应用p o i n c a r d 不等式，得到： 石dh e 她2 ( + i l v 巧旺( 。) sc | k0 ：( g ) + 白+ 。2 ( f 2 + r + 1 ) 2 e 。撕( 4 - 8 ) 对于任意固定的s 0 。任取f 【o ，s 】，( 4 _ 8 ) 式在【0 ，d 上关于r 积分，得到： 恢睨( 。) + 肿巧g v 2 ) 出慷( f = o ) + 眦) d t + 臼3 ( 4 - 9 ) 在( 4 一1 ) 式两边同乘以“：，在g 上关于g ，弘z ) 积分，再由分部积分，c a u c h y s c h w a r t z 不等式及渐近解的性质，得到： 三争观+ l v u ；l l ：, = 一f ( u 。g v x 二“；击舭+ 血l 岛巧“；西舭一伍二，+ 吒- ；蚴出 s 叫l v 。二峙( 研牡。s f 2 ( 。) + 硎”钏：( 。) + c l i “；8 ：( c ) + c r a 20 礞0 ：( 。) + c ，+ c f 4 ( r + 1 ) 2 e 一“ 应用p 。i n c a r a 不等式，限制占足够小使得叫l v m i i r ( g ) s c 占i i ，取万也足够小且 不依赖于占，得到： 占争；+ 眦s 2 啡，+ 4 + 。4 上式两边同时乘以三。；： 丢旧吼，】蔓( 纰2 瞰e 2 ，+ 。4 ) 对于任意固定的s 0 ，任取f 【o s 】，上式在【o ，f 1 上关于f 积分，得到： 8 “；( f ： 0 时的外部函数和t = 0 附近的初始层 函数两部分然后利用古典能量方法，并结合嵌入定理、分部积分公式以及 c a u c h y s c h w a r t z 不等式等有力的工具对定理1 和定理2 进行了证明验证了在 初始层存在的情形下近似解的收敛性，并对误差函数进行了估计，得到了最佳的 收敛速度o l 占2 ) 第4 章特殊初值情形 首先回顾两个方程组： g o u s s i n e s q 系统( 卜1 ) 一( i - 5 ) ： 占( o t u s4 o 审- ) + 印+ 去岛“= 1 + r a e 3 t v “= 0 a r + “v r = 丁 l = o r l 。= 1 r i 。= o 设初值有如下形式的一阶展开式： “? 2 0 1 2 i o 。= “。，2 竺+ 麟1 0 = o ) + “矗 ( 5 1 ) t a o = o ) = 巧= 瑶+ 刎+ 、。 无穷p r a n d t l 数模型( i - 7 ) - ( 1 - x 1 ) ： + 壶岛。= + r a e 3 t 。 v o o = 0 a ，r o + 0 。v p 。= a t 。 “o l = 0 i z - o 1 r 。i 。= l t 。l 。= o 初值： r o ( f = o ) = 露，且当日一0 时，巧对( 5 - 2 ) 不难看出，若给定( 5 一1 ) 形式的初值，当占_ o 时，则有：躲“0 - - o ) = “。( f = o ) ， 这时初始层消失 4 1 一阶近似解及收敛性分析 4 1 1 一阶近似解 取级数形式的近似解0 二，p ) 北京工业大学理学硕士学位论文 口二= “。+ 础1 = r o + 盯1 p 二= ，o + e p l ：| 哥近似解的表达式代入到( 卜1 ) 一( 1 5 ) 中，合并占的同次幂项，即可得到 0 。，r o , p 。) 和0 1 ，r 1 ，p 1 ) 分别满足的方程组 0 。，r o , p 。) 满足的方程组即为无穷p r a n d t l 数模型： 即o + 去e 3 “o = a u o + r a e 3 t o v “o = 0 止 a ，尹+ 0 。v j r 。= a t o “o i= 0 i ：- 0 1 t o l= l ，t o l = 0 l i z l t o o = 0 ) = 霉 0 1 ，一，p 1 ) 满足的方程组为： 即1 + 去岛川= 缸+ 如n 舢。一v - 。 v = o o t r l + 0 。v 沙1 + 0 1 v i r 。= a o i |= 0 i r _ o _ l t 1 l = 0 i m j r 1 0 = o ) = 刁 这两个方程组的解都可以得到因此近似解0 二，z ；，p 二) 可以确定 根据第3 章中厶0 5 ，r ) ，工：0 ) 和厶0 ，r ) 的定义，则有 厶0 。，) = f d ，“o + 0 。- v - 。) + 即。+ 上e k 一3x j a p p # - - 血。，一血码。 = f 。( 即。+ l e 3x 0 _ 血。一血e o t 。 + 占 3 r u e + v x 。+ 即1 + t k e $ x u _ 血1 一鹏r 1 ) + 占2 p ，“1 + 0 。v - 1 + 0 1 v - 。) + 一0 1 v - 1 = 2 ( a 。“1 + 0 。v - 1 + 0 1 - v - 。+ f 0 1 v - 1 ) = ， 厶0 。) = v “。= v “