（概率论与数理统计专业论文）含有正、负风险和模型的破产概率.pdf

含有正、负风险和模型的破产概率中文提要 中文提要 风险理论是精算科学的重要组成部分，而破产概率是风险理论中最基本的研究课 题之一，是衡量保险公司偿付能力和财务稳定的一个重要指标本文考虑含有正、负 风险和风险过程的破产概率，研究正风险和类与负风险和类的相关性对破产概率的影 响，并把相关与独立时两种情形的影响结果进行比较 本文第一章引入含正、负风险和的风险模型，介绍风险过程的实际背景；第二章 给出生存概率圣( “) 所满足的积分一微分方程，利用典型鞅方法给出破产概率( 钍) 满 足的l u n d b e r g 不等式，并且讨论两个相关正、负风险和模型的破产概率，研究相关性 对破产概率的影响；第三章对具体实例给出数值比较，进一步把相关性和独立性两种 情形的结果进行比较，说明对破产概率的影响 关键词：正、负风险和，破产概率，l u n d b e r g 指数 作者；郁方明 指导老师：王过京 含有正、负风险和模型的破产概率 a b s t r a c t r u i np r o b a b i l i t yf o rar i s kp r o c e s s w l t nd o s l t l v ea n c in e g a t l y er l s ks u i n s a b s t r a c t r i s kt h e o r yi sa l li m p o r t a n tp a r to ft h ea c t u a r i a ls c i e n c e ，a n dt h ei sah o tt o p i co f r i s kt h e o r yr e s e a r c h i ti sa ni m p o r t a n ti n d i c a t o rt om e a s u r es o l v e n c yo ft h ei n s u r a n c e c o m p a n ya n df i n a n c i a ls t a b i l i t y t h i sp a p e rw ec o n s i d e rt h er u i np r o b a b i l i t yo far i s k p r o c e s sw i t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v er i s ks u m s ，s t u d yh o wt h ed e p e n d e n c eb e t w e e nt h e t w oc l a s s e so ft h ep o s i t i v ea n dn e g a t i v er i s ks u m si m p a c t so nt h er u i np r o b a b i l i t y , a n d c o m p a r et h ei n f e c t i v er e s u l tw h e nt h et w oc l a s s e sa r ed e p e n d e n ta n di n d e p e n d e n t c h a p t e r1w ei n t r o d u c et h er i s kp r o c e s sw i t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v er i s ks u m s ，s h o w t h eb a c k g r o u n do ft h er i s kp r o c e s s c h a p t e r2w es h o wt h ei n t e g r a la n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o no fb i r t hp r o b a b i l i t y , g i v e t h el u n d b e r gi n e q u a t i o nt h a tt h er u i np r o b a b i l i t ys a t i s f i e sw i t hm a r t i n g a l ea p p r o a c h ，t h e n d i s c u s st h e nr u i np r o b a b i l i t yo ft h er i s kp r o c e s sw i t ht w od e p e n d e n tp o s i t i v ea n dn e g - a t i v er i s ks u m s ，s t u d yh o wt h ed e p e n d e n c ei m p a c t so nt h er u i np r o b a b i l i t y c h a p t e r3w ec o m p a r et h ec o n c r e t ee x a m p l e sb yn u m b e r s ，a n dm a k e sf u r t h e rc o m - p a r i s o nb e t w e e nt h et w or e s t f l t sc o m i n go u to fi n d e p e n d e n c ya n dd e p e n d e n c z w i t ht h e p u r p o s eo fn a r r a t i n gt h e i rr e s p e c t i v ei m p a c t so nt h ep r o b a b i h t yo fr u i np r o b a b i h t y k e y w o r d s ：p o s i t i v ea n dn e g a t i v er i s ks u m s ，r u i np r o b a b i h t y ，l u n d b e r ge x p o n e n t w r i t t e nb yy uf a n g m i n g s u p e r v i s e db yp r o f w a n gg u o j i n g 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人承担 本声明的法律责任 研究生签名：蕴圣刍圈日期：坦6 ：! i 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 杜科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和措闭，可以公布( 包括刊登) 论文 的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名：岔圣刍固日期：。越马：! 导师签名：乏互：毛日期：电! ：竺：坐 含有正、负风险和模型的破产概率 第一章绪论 第一章绪论 保险公司是经营风险的企业，其风险无处不在，如承保风险，保险基金 面临通货膨胀、利率变动的风险，投资的风险，无偿付能力的风险，等等 描述的风险多种多样，而保险公司最根本的风险就是无偿付能力的风险因 此，破产概率成为保险公司度量风险的最基本手段 我国的保险事业起步较晚，投资增值能力差，费用负荷也比较高，同时 面i 临行业间的激烈竞争因此，从各方面提高自己的竞争力，将风险的防范 置于保险公司经营运作的重要位置，是我国保险业发展的首要问题破产概 率的研究历来是国外保险公司极其重视的课题，对于我国新兴发展的保险业 尤为重要因此，对保险公司的破产概率进行分析研究是具有重要意义的 1 1 问题提出的背景 保险人对自身所经营风险的正确和全面的认识是保障稳健经营的前提 早在上世纪初( 1 9 0 3 ) 年，f i l i pl u n d b e r g 就奠定了经典风险分析理论的基础， 但直到1 9 5 5 年才由h a r a l dc r a m e r 等人所完善其风险模型可用如下的公式 描述： n ( t ) = u + c t s ( t ) = 钍+ c t 一z i ，( 1 1 ) k = l 其中u 表示保险人为某一类风险所准备的初始准备金，c 表示费率，n ( t ) 表 示到时刻t 之前的理赔次数，磊表示第k 次的理赔额因此s ( t ) 就表示到 时刻t 之前保险人的理赔总额，r ( t ) 就表示到时刻t 之前保险人的盈余额 风险过程( 1 1 ) 称为经典风险过程 含有正、负风险和模型的破产概率第一章绪论 衡量一个保险公司经营好坏的重要指标就是盈余额a ( t ) 会不会达到负 值，在将来某时刻达到负值即亏损的可能性有多大? 这是人们长期以来致力 于弄清楚的问题破产概率给出了保险公司经营稳定性的某种度量刻划，是 保险公司破产的可能性大小破产概率即为 皿( u ) = p ( i n f t 0 ，r ( t ) o ) ) 以往研究的相关类模型涉及只含相关正风险和类模型，参见a m b a g a s p i t i y a ( 1 9 9 8 ，1 9 9 9 ，2 0 0 3 ) ，c o s s e t t e 和m a r c e a u ( 2 0 0 0 ) ，y u e n 等( 2 0 0 1 ) ，或只含相关负风 险和类模型，参见董迎辉和王过京( 2 0 0 4 ) 事实上，这种相关性可推广到含 正、负风险和类的风险模型 在聚合风险理论中，经典风险模型及其拓广模型为描述风险经营过程提 供了各种数学模式在这些风险模型中，绝大多数都只考虑了该模型险种的 单性，顾客的理赔额是独立同分布的假定自然是合理的，同时顾客的理赔 到达时刻只需要一个点过程来刻划但是，考虑到保险公司的风险经营规模 的不断扩大，即风险经营业险种的多元化，有必要为这类多险种风险经营提 供较单一险种更为客观实际的风险经营模型基于这种想法，本文建立了两 类险种和的风险模型，即正风险和类与负风险和类这两类风险和的模型，对 应于保险公司人身意外伤害险与寿险年金险等实际正、负类险种在多险种 风险模型中，由于险种的多元化，各险种的理赔额自然是不同分布的，同时 各险种的理赔时刻也需要不同的随机点过程来描述，这自然给多险种模型 的分析带来了一定的困难 本文研究正风险和类与负风险和类这两类组成的风险模型，认为顾客 的理赔额在正风险和模型中是独立同分布的，在负风险和模型中也是独立 同分布的，各自计顾客理赔到达时刻的点过程本文根据这两类费率和的正 负性，统一划分这两类风险和组成的模型为： ( 1 ) 当费率和大于零时，认为这两类风险和组成的模型为正风险和风险 舍有正、负风险和模型的破产概率 第一章绪论 模型； ( 2 ) 当费率和小于零时，认为这两类风险和组成的模型为负风险和风险 模型 统一成一个风险和模型后，理赔到达时刻点过程也统一成一个点过程， 再根据同一类风险和模型的有关结论，得出本文研究课题的相应结论 本文主要研究含有两个正、负风险和类模型的破产问题，给出该模型破 产概率的积分一微分方程和指数不等式，并研究含相关正、负风险和类的模 型对破产概率的影响 1 2 含有正、负风险和模型的介绍 给定完备概率空间( q ，g ，p ) ，以下所遇随机变量均为该空间上的随机变 量正风险和风险过程( 即经典风险过程) r ( t ) 定义为 n i ( n r 1 0 ) = u 1 + c l t s l ( t ) = 让1 + c l t 一z ? ， ( 1 2 ) k = 1 其中u ，0 表示正风险和保险类的初始金额，c ， 0 为常数，表示保费收 入率， s 。( t ) ，t o ) 是参数为a 。，分布为f 1 且日( o ) = 0 的复合泊松过程， l ( t ) 表示正风险和类中在区间( o ，t 】中理赔发生的次数，z 1 1 表示正风险和 类中第k 次的理赔量 负风险和风险过程r 2 ( ) 定义为( 参见g r a n d e l l ( 1 9 9 1 ) ) n 2 ( t ) 岛0 ) = 乱2 + c 2 t s j ( t ) = 让2 + c 2 t 一z ? ， ( 1 3 ) k = 1 其中u 。表示负风险和保险类的初始金额，c 2 表示保险公司支付给投保人的 固定年金率， ( t ) ，0 ) 是参数为a 。，分布为尼且e ( o ) = 1 的复合泊松 过程，2 ( ) 表示负风险和类中在区间( o ，t 】中“理赔”发生的次数，而帮 3 含有正、负风险和模型的破产概率第一章绪论 表示负风险和类中第k 次的“理赔”量( 对保险公司而言，这里“理赔”实 为收入，因当投保人死亡( 即“理赔”发生) 时，保险公司将从投保人那里收 到一笔与“期望抚恤金”相当的资金) 考虑一个含有这两类保险的保险公司的盈余过程r ( t ) ，则 n ( t ) = r l o ) + 岛( t ) = u + d s ( t )( 1 4 ) 其中u = 让。+ s ( t ) = s ，( t ) + s 2 ( t ) ，l ：t ( t ) 是含两个正、负风险和类模型的和的 风险过程 风险过程( 1 4 ) 有其实际背景典型的负风险和过程( 1 3 ) 是寿险年金保 险一个较大的寿险保险公司除了寿险年金保险外，常常还有像人身意外伤 害保险等这样的险种，而后者的风险模型可由正风险和过程( 1 2 ) 描述 风险过程( 1 4 ) 的破产时刻定义为 咒= i n f t o ；见 0 ，则定义咒= o 。破产概率皿( u ) 定义为 皿( 札) = p ( 咒 o f r ( t ) o f 冗0 ) o ) ， 记一的均值为弘。，f 2 均值为阮为了避免平凡情形，本文始终假设 c 一( 弘1 a 1 + 肛2 a 2 ) 0 4 含有正、负风险和模型的破产概率 第一章绪论 1 3 本文所做的工作 本文主要研究了风险模型( 1 4 ) 的破产概率，给出了生存概率皿( “) 满足 的积分微分方程，利用典型鞅方法给出破产概率皿( u ) 满足的l u n d b e r g 不 等式，并且讨论两个相关正、负风险和模型的破产概率，研究相关性对破产 概率的影响，并举例进一步说明独立性和相关性对破产概率的影响 含有正、负风险和模型的破产概率第二章破产概率 第二章破产概率 2 1 积分一微分方程 为讨论简单起见且不失一般性，本节及下一节假设两个复合泊松过程 & ( t ) ，t 0 ) 和 s 2 ( t ) ，t 0 ) 独立，这意味着 s ( t ) ，t 0 是参数为a = a + a 2 ， 分布为 f ( z ) = b 1 日0 ) + a 2 f 2 0 ) j ，一o o s ) = p ( n x ( s ) = 0 ) = e 。”， p ( s l s ) = p ( 2 ( s ) = 0 ) = e 。”， 即- s z ) 。焘， p h s ) = p ( n i ( s ) = 0 ，2 ( s ) = 0 ) = e - ( 1 1 + 1 2 ) s ， 6 含有正、负风险和模型的破产概率 第二章破产概率 即n 的分布函数为 b 1 ( s ) = 1 一e - ( 1 l + 1 2 ) 8 = 1 一e 一1 3 从而n 是参数为a 的随机变量因在( 0 ，n ) 内r ( ) 0 ，即在( 0 ，丁1 ) 内破严不 会发生，利用d o o b 停时定理和r ( t ) 的齐次强马氏性，仿w a n g 和w u ( 2 0 0 0 ) 中( 2 6 ) 式的证明可得 圣( 让) = e p ( r ( 7 1 ) ) 】 ( 2 2 ) 由( 2 2 ) 式得 垂( u ) = e 睁( r ( 7 1 ) ) j ( t 1 8 1 ) 】 = e 睁( r ( n ) ) it 1 8 1 ) 3 惫即( 脚+ 吼一霹”) ) i t ， s ，】 = 安上+ o 。，n ( s ) 如z 计。中 + c s 一= ) d f l ( z ) + 等j ( 佃厶( s ) d s 圣( u + c s - z ) d f 2 ( 。) ：入1 j 件。 一a s 汹“忡圣十c s z ) d f l ( z ) = 入1 oe x p 一a s d 3 j o 圣( u 十。8 一。) d f l ( 。) 讹 佃e x p - a s 冲厂圣( 世+ 一z ) d f 2 ( ) d f 2 ( z ) + a 2 上懿ps 冲- 。圣( 世+ 叫 z ：a 广e x p 卜入s ) d s 一西( u + c s z ) d f ( z ) ( 2 3 ) = a 上歙p 一入s ) d 5 上。西( u + 。5 一z ) d f ( 。) ( 2 3 ) 令茹= 札+ c b ，由( 2 3 ) 式得 嘶) = 害e x p a u c ) f o o e ) ( p h z c d xe 嘶叫州z ) = ：e x p a u c f 。e x p 一地c ) 如m 0 2 垂( x - - z ) d n ( z ) + a 2 。圣( z z ) d f 2 ( z ) l ( 2 4 )+ a 2 圣( z zz ) l ( 2 4 ) j o 。 利用( 2 4 ) 可证 定理2 1 ：令仳o , f i 在( o ，。1 上、b 在( 一0 0 ，0 】上有连续密度函数，则 圣( 让) 在( 0 ，0 0 1 上连续可微分 7 含有正、负风险和模型的破产概率第二章破产概率 在( 2 4 ) 两端对u 求微分可得 定理2 2 ：令u o ，毋、易有连续密度函数，则圣( u ) 满足如下积分微 分方程 呱u ) = ：嘶) 一害嘶叫d f ( z ) = 尘生圣( “) 一等f 垂( u z ) d 只( z ) 一鲁圣( 仳一z ) d 而( z ) ( 2 5 ) ( 2 ) c 0 ，即破产不会发生又 t 如为有界停时，与( 2 2 ) 类似有 由( 2 6 ) 得 圣( 钍) = e 睁( r 口) ) 】( 2 6 ) 圣( t ) = e 睁( o ) ) j ( t o n ) 】 r - u c一 2e x p a 钍c ) 圣( o ) + a 1 上 e x p 一( a 1 + a 2 ) s d 8j c 圣( 缸+ c 8 一。) d f l o ) r u | c内 + a 2 上。e ) 币 一( a 1 + a 2 ) s ) d s 上西o + c s z ) d f 2 ( z ) ( 2 7 ) 令z = 牡+ c s ，由( 2 7 ) 式得 吣) = e x p a 札c 州o ) + ：e x p m c ) f 。唧 一a z c 圣( x - - z ) d f ( z ) = e x p a 让c ) 圣( o ) + ：e x p m c ) ，十，2，u 上e x p 一a z c ) 如盼1 上圣p 一力d r o ) + a 2 上o 。西p 一力d 易( z ) 1 = e x p 入u c ) 圣( o ) + - 等e x p a u c f 。e x p 卜妇c ) 如f 圣( x - - z ) d f l ( z ) + 等e x p 地c ) f 0 。( p 一蛔c ) 如仁圣 一z ) d f 2 ( z ) ( 2 8 ) 由( 2 8 ) 式可验证 8 含有正、负风险和模型的破产概率第二章破产概率 定理2 3 ：令u o ，f l 在( o ，o 。】上、尼在( 一o 。，0 】上有连续密度函数，则 西( u ) 在( 0 ，o 。】上连续可微分 在( 2 8 ) 两端对u 求微分可得 定理2 4 在定理2 3 的条件下，西( 乱) 满足如下积分一微分方程 = 害嘶) 一：嘶叫州。) = 量生垂( u ) 一等l “西( u - - z ) d f l ( z ) 一鲁巴蛋( u - - z j o j ) d 如( z ) ( 2 9 ) cc co o 由定理2 2 和定理2 4 看出，不论c 的正负性如何，垂( u ) 都满足同一积 分一微分方程但由定理2 1 和定理2 3 可以看出，c 的正负性不同，则西( u ) 所满足的积分方程也不同 令 2 2l u n d b e r g 不等式 假设存在r 。，使得rtr 。时，舰( r ) = e e x p r z 1 ) ) 】一o o ，允许r 。= 0 1 0 x ( t ) = c t s ( ) ，t 0 对t e e 0 1 。 e x p ( t s ) 9 ( r ) ) 1 = 毗阃甓筹崭铲， 因此 k ( t ) 是r 一鞅口 引理2g ( r ) 在( 0 ，o o ) 内有唯一正根 证明：由定义及假设知g ( r ) 在( 一o o ，r 。) 内有连续二阶导数，易知 g ( o ) = 0 ， l i r a 。9 ( r ) = + o o ， 9 ( r ) = a 1 ( r ) + a 2 ( r ) 一c ， ，( o ) = 入l p l + 入2 肛2 一c o ) 】 e ( 帆( 咒) l 咒t o l p ( 兀t o ) 含有正、负风险和模型的破产概率 第二章破产概率 在 咒 + o 。) 上，札+ x ( t ) t o ) = e e x p 一r ( 乱+ x ( t o ) ) ) j ( 咒 t o ) 】 e e x p 一r + x ( t o ) ) ) ，( 钍+ x ( t o ) o ) 】 由于c 一( 入。心。+ a 2 u 。) 0 ，由强大数定律可验证 札+ x ( t o ) 0 0 ，p a e ( t o _ o o ) 则由控制收敛定理 。! ! 雩。e 【e x p r ( u + x ( t o ) ) ，( 让+ x o o ) o ) 】 = e 【。坚雩舀e x p r ( 札+ x ( t o ) ) ) j ( 缸+ x ( t o ) o ) 】 =0 含有正、负风险和模型的破产概率 第二章破产概率 令t o 一+ o 。，则 e x p 一舰) 2 。坚雩o 。e e x p 一r ( u + x ( 兄) ) ) l 孔 t o p ( t u t o ) = e i e x p - r ( u + _ 】f ( 咒) ) ) l 咒 + 。】p ( 咒 + 。o ) 从而 ( u ) = p ( t 。 + 。) = 雨再面再e x p 丽 - r 丽u 可而i ( 2 1 5 ) ( 2 1 5 ) 式同样与g r a n d e l l ( 1 9 9 1 ) 第一章中的( 2 3 ) 式形式上相同 2 3 破产概率 近几年在精算文献中，有关含相关保险业务类风险模型的研究是主要 课题之一描述相关类保险业务的一个常用方法是假设每个类中的理赔计 数过程含有共同分量在此假设下构造的过程称为“含共同理赔次数分量” ( c o m m o ns h o c k ) 的风险模型 下面引入本节要考虑的含两个相关正、负风险和类的相关风险过程 设1 d ( t ) = 1 l ( t ) + n i 。( t ) ，五( t ) = 2 z ( t ) + 1 2 ( t ) ，其中1 1 ( t ) ，n 2 z ( ) 和 l 。( t ) 是独立的泊松过程，参数分别为a i i , a 。和a ，。令 儿d ( t ) ( t ) = 。z k f f ) ，t o ，i = l ，2 ( 2 1 6 ) 七= 1 ( ) = + q 一& d ( t ) ，t 0 ，i = 1 ，2 ( 2 1 7 ) r d ( ) = r x a ( t ) + r 2 d ( t ) = “+ c t 一( t ) ，t 0 ，( 21 8 ) 其中 & ( t ) = 岛d ( t ) + s 2 d ( ) ，t 0 ( 2 1 9 ) 由于1 a 和 k 中有共同的分量1 。，故r 。a 和，k 相关，即n , 4 t ) 是含两个 相关的正、负风险和风险过程模型( 2 1 8 ) 有其实际背景，例如投保人可能 1 9 含有正、负风险和模型的破产概率第二章破产概率 同时持有寿险年金保险和意外伤害险，若一次汽车事故导致该投保人受伤 死亡，则可能在r t a 与r 2 d 中同时有理赔发生 本节研究( 2 1 8 ) 中类之间的相关性对过程忍( t ) 的破产概率的影响，主 要比较r d ( t ) 与( 1 4 ) 中r ( t ) 的l u n d b e r g 指数的大小关系 仿c o s s e t t e 和m a r c e a u ( 2 0 0 0 ) 的证明方法可验证s e ( t ) 的矩母函数为 m s e ( r ) = e x p ) l d t ( a 1 1 m 1 p ) + x 2 2 m 2 ( r ) + a 1 2 m 1 p ) 如( r ) ) 儿一1 】) = e x p x d t m f d ( r ) 一1 1 ， ( 2 2 0 ) 其中扎= b + a 2 2 + a ，。，而m f e ( r ) 是分布函数 1 凡( 2 ) 2 竞b ，e ( z ) + a 2 2 b ( z ) + 入1 2 日+ 尼( 。) 1 ，一o o 。 o 。 ( 22 1 ) 的矩母函数，故& ( t ) 是参数为沁，分布函数为乃的复合泊松过程 风险过程凰( t ) 的破产概率记为虬( 乱) ，令乱0 ，则与( 2 1 4 ) 类似有 d ( u ) e x p 一r d 乱( 2 2 2 ) 其中心是下述方程 g a ( r ) = a a m f ( r ) 一沁一c r = 0 ( 2 2 3 ) 的唯一正根，称为l u n d b e r g 指数 为得到合理的比较结果，仿y u e n 等( 2 0 0 1 ) 和董迎辉和王过京( 2 0 0 4 ) ，假 设r ( t ) 与凰( t ) 有相同的期望损失，即应假设a 1 = a ，+ 入1 1 a 。= a 2 2 + 入2 在 此条件下，有 定理2 5 ：设让o , c 一( 入1 u 1 + a 2 u 2 ) ，贝4r 0 故g ( r ) 在g d ( v ) 之前与x 轴相遇，故r 0 ，不妨取c = - 4 此时方程( 2 2 4 ) 化为 三+ 之一9 _ 4 r ：0 ， 1 一r 1 + r 。 其唯一正根凰= 0 0 4 4 7 方程( 2 2 3 ) 化为 上+ 主一+ 上上一7 4 r ：0 百再+ 雨+ 百再雨一7 4 7 2 其唯一正根吼= 0 0 5 4 2 显然有r 0 ，不妨取c 一4 此时方程( 2 2 4 ) 化为 击+ 蔫一。抽扎l r 0 5 + r 其唯一正根风= 0 0 9 4 1 方程( 2 2 3 ) 化为 击+ 蔫+ 击丽1 - 7 + 4 r = 10 o 1 一r1 + r 一r5 + r 其唯一正根如= o 1 1 7 2 同样有r 0 叽，n 负风险和模型 疡o ) = 乱2 + c , 2 t s 2 c t ) = 牡2 + c o t 一帮，c 2 0 时，给出了生存概率圣( u ) 的概率积分方程，即( 2 4 ) 式： 垂( u ) = ：唧跏c ) f ”唧 一蛔c ) 如【a ，f 圣( x - - z ) d f l ( 卅九圣( x - z ) d f 2 ( ) d f l ( z ) 】 垂( u ) 2 唧 a t c ) 上唧 一蛔c ) 如【a 1 上圣(。) + a 2 上。 。) 1 ( 2 ) 当费率c 0 时，也给出了生存概率圣( u ) 的概率积分方程，即( 2 8 ) 式： 圣( 仳) = e x p a u c 圣( o ) + 等唧 从) f 。e x p 砒c d zf o 。圣( z z ) d f l ( z ) + 。e x p 舭 厂唧 也c 出垂( z z ) d f 2 ( z ) 同时，不论c 的正负性如何，圣( 乱) 都满足同一积分一微分方程，即( 2 9 ) ( 牡) = a , + 。a 2 0 ( u ) 一等上”圣( 让一力蜗( z ) 一警圣( u 一名) d 咒( z ) 1 7 含有正、负风险和模型的破产概率第四章结论 然后给出破产概率皿( u ) 的l u n d b e r g 指数不等式，即( 2 1 2 ) 式 皿m ) = p ( 孔 + o 。) e x p - r u s u p e x p t g ( r ) ， 并给出( 钍) 的一个表达式，即( 2 1 5 ) 式： 皿( u ) = 尸( 咒 + ) = 面面妄i = j i 之号墨 云；曹 丽 最后考虑含两个相关正、负风险和类的相关风险过程，研究相关性对破 产概率的影响，得出含正、负风险和类的相关风险过程的l u n d b e r g 指数比 独立风险过程的l u n d b e r g 指数小，即 定理2 5 ：设让0 , c 一( a 1 u l + a 2 u 2 ) ，则r 凡 第三章给出具体实倒进行数值比较，进一步得出相关正、负风险和类的 风险模型对破产概率的影响，即随着初始盈余的增大，相关时风险过程的破 产概率上界与独立时风险过程的破产概率上界的比值呈递减趋势这在一 定程度上表明随着初始盈余的增大，类之间的相关性对对破产概率的影响 会降低这一结论是本文最重要的结果 1 8 含有正、负风险和模型的破产概率 参考文献 参考文献 【1 】g r a n d e l l ，j ( 1 9 9 1 ) a s p e c t so fr i s kt h e o r y s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k 2 1c o s s e t t e ，h a n dm a r c e a u ，e ( 2 0 0 0 ) t h e d i s c r e t e t i m er i s km o d e lw i t hc o r r e l a t e d c l a s s e so fb u s i n e s s i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s2 6 ，1 3 3 1 4 9 3 】p h i h pp r o t t e r ( 1 9 9 0 ) s t o c h a s t i ci n t e g r a t i o na n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k 【4 】a m b a g a s p i t i y a ，r s ( 1 9 9 8 ) o nt h ed i s t r i b u t i o n o fas u mo fc o r r e l a t e da g g r e g a t e c l a i m s i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s2 3 ，1 5 - 1 9 【5 】a m b a g a s p i t i y a ，r s ( 1 9 9 9 ) 0 nt h ed i s t r i b u t i o no ft w oc l a s s e so fc o r r e l a t e da g g r e g a t e c l a i m s i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s2 4 ，3 0 1 - 3 0 8 f 6ja m b a g a s p i t i y a ，r s ( 2 0 0 3 ) a g g r e g a t es u r v i v a lp r o b a b i l i t yo f ap o r t f o l i ow i t hd e p e n - d e n ts u b p o r t f o l i o s i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s3 2 ，4 3 1 4 4 3 【7 】y u e n ，k a m c ，g u o ，j u n y i ，w ux u e y u a n ( 2 0 0 2 ) o nac o r r e l a t e da g g r e g a t ec l a i m s m o d e lw i t hp o i s s o na n de r l a n gr i s kp r o c e s s e s i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o - n o m i c s3 1 ，2 0 5 2 1 4 【8 】w a n g ，g ，w u ，r ( 2 0 0 0 ) s o m ed i s t r i b u t i o n sf o rc l a s s i c a lr i s kp r o c e s st h a ti sp e r t u r b e d b yd i f f u s i o n i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s2 6 ，1 5 2 4 9 】k o t z sb a l a k r i s h n a n ，n ，j o h n s o n ，n l ( 2 0 0 0 ) c o n t i n u o u s m u l t i v a r i a t ed i s t r i b u t i o n s ，v 0 1 1 ，m o d e l sa n da p p l i c a t i o n s ，w i l e y , n e wy o r k 1 0 id i s k s o n ，d c m ( 1 9 9 8 ) o nac l a s so fr e n e w a lr i s kp r o c e s s n o r t ha m e r i c a n a c t u a r - i a lj o u r n a l2 ( 3 ) ，6 0 6 8 【1 1 】d i c k s o n ，d c m ，h i p p ，c ( 1 9 9 9 ) r u i np r o b a b i