（概率论与数理统计专业论文）定时截尾场合三参数weibull分布的bayes估计.pdf

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p a r a m e t e rw e i b u l ld i s t r i b u t i o ni so n eo ft h em o s tp o p u l a r m o d d si l lm ef i e l do fr e l i a b i l i t y f o ral o n gt i m e ，p e o p l ep a ya t t e n t i o nt ot h ep a r a m e t e r e s d m a t i o ni nav a r i e t yo fs i t u a t i o n s t h i sa r t i c l ed i s c u s s e st h ep a r a m e t e re s t i m a t i o n p r o b l e mi nt h et h r e e p a r a m e t e rw e i b u l ld i s t r i b u t i o nb a s e d o nt y p eic e n s o n n gs a m p l e t h ef i r s tc h a p t e rb r i e f l yd e s c r i b e st h eh i s t o r ya n db a s i cr e s e a r c hs i t u a t i o na b o u t w d b u l ld i 妤b u t i o l l i nc h a p t e rt w o ，w ep r o p o s eb a y e se s t i m a t o r su n d e rt h et y p ei c e n s o r i n g a n dp r o m o t et h i sa p r r o a c ht od e s c r i b es i t u a t i o n sa b o u tt a k i n gs p e c i a l v a l u e s 锄d 坶p eic e n s o r i n gs a m p l ew i t hr e p l a c e m e n t c h a p t e rt h r e e f o c u s e so nt h eb a y e s e s t i m a t ea b o u ti t sr e l i a b i l i t yi n d e x e s c h a p t e rf o u rg i v e so u ts o m ed a t es i m u l a t i o na l l d 虹1 0 w st h a to b rm e t h o di se f f e c t i v ea n da p p l i c a b l e k e y w o r d s ：t h r e e p a r a m e t e r w e i b u l ld i s t r i b u t i o n ；t y p eic e n s o r i n g ；b a y e se s t i m a t o r c l a s s n 0 ：0 2 1 2 8 、 目录 中文摘要i i i a 】e ；s t r a c t i v 1 引言l 2参数估计4 2 1 形状参数m 的b a y e s 估计6 2 2 位置参数的b a y e s 估计8 2 3 尺度参数口的b a y e s 估计9 2 4 推广1o 2 4 1 当= 0 时l0 2 4 2 当m = 1 时1 1 2 4 3 有替换定时截尾情况的三参数w e i b u l l 分布一1 2 3可靠性指标估计13 3 1 可靠度函数r ( t ) 的b a y e s 估计1 3 3 2 失效率函数五( f ) 的b a y e s 估计1 5 4模拟研究18 4 1 参数数据模拟18 4 2 与极大似然估计比较18 4 2 1 极大似然估计18 4 2 2 模拟比较19 5结论2 5 参考文献2 6 作者简历2 8 独创性声明2 9 学位论文数据集。3 0 1 引言 w e i b u l l 分布是随机变量分布的一种，在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用 于机电类产品的磨损累计失效的分布形式。由于它对各种类型的实验数据的拟合 能力强，能够被用来描述多种类型的寿命实验数据，因此，它在应用概率统计和 可靠性分析中得到了广泛应用。 w e i b u l l 分布最初由瑞典工程师w w e i b u l l 提出。1 9 世纪3 0 年代，w w e i b u l l 在研究轴承寿命，以及分析材料强度和链条强度、疲劳等问题时，采用了“链式” 模型来解释结构强度和寿命问题。这个模型假设一个结构是由若干小元件( 设为r 1 个) 串联而成，于是可以形象地将结构看成是由n 个环构成的一条链条，其强度( 或 寿命) 取决于最薄弱环的强度( 或寿命) 。单个链的强度( 或寿命) 为一随机变量，设 各环强度( 或寿命) 相互独立，分布相同，则求链强度( 或寿命) 的概率分布就变成 求极小值分布问题，由此他给出w e i b u l l 分布函数。由于w e i b u l l 分布是根据最弱 环节模型或串联模型得到的，能充分反映材料缺陷和应力集中源对材料疲劳寿命 的影响，而且具有递增的失效率，所以，将它作为材料或零件的寿命分布模型或 给定寿命下的疲劳强度模型是合适的。w w e i b u l l ( 1 ，2 】) 开发了三参数模型并应用 它建模了大量的失效数据。从那以来，这个模型成了可靠性领域里最广泛使用的 模型。h a l l i n a n ( 3 ) 详细的介绍了模型的历史演变和各种表达式。 根据1 9 4 3 年苏联格涅坚科的研究结果，不管随机变量的原始分布如何，它的 极小值的渐近分布只能有三种，而w e i b u l l 分布就是第1 1 1 种极小值分布。 h a r t e r 和m o o r e 列出了一长列模型应用的参考文献，在他们论文的表i v 中给 出了各种可用w e i b u n 模型建模的具体应用。k e c e c i o g l u ( 4 ) 给出了该模型的一些 实际应用，它们有：电子管、继电器、电容器、球轴承、锗晶体管、光敏电阻、 汽车、疲劳等等的失效时间；耐腐蚀性干电池的泄漏、货物的退货、物品的销售 平均寿命，每个工作班中的停机次数等；服从指数分布的总成或系统的零部件的 寿命特征；受疲劳应力的固体失效，汽车前悬横梁的失效等的寿命分布，等等。 目前，二参数的w e i b u l l 分布主要用于滚动轴承的寿命试验以及高应力水平下 的材料疲劳试验，三参数的w e i b u n 分布用于低应力水平的材料及某些零件的寿命 试验，一般而言，它具有比对数正态分布更大的适用性。因此，快捷而准确的估 计w e i b u l l 分布的参数，显得尤为重要。 现有的文献大多讨论二参数w e i b u l l 分布，由于其与位置刻度参数族一极值分 布的对应关系，使其参数估计，如极大似然估计、最优线性无偏估计、最优线性 不变估计、简单线性无偏估计等具有非常优良的统计性质，从而被广泛使用。然 而对于有保证寿命的产品，使用三参数w e i b u l l 分布显得更为合理。与二参数 w e i b u l l 分布相比，三参数w e i b u n 分布的统计分析难度更大，但也有不少的理论 和应用研究。例如，胡恩平等( 5 ) 和严晓东等( 6 】) 讨论了三参数w e i b u l l 分布的极 大似然估计、矩法估计、相关系数优化法、双线性回归法、概率权重法、灰色估 计法和b a y e s 估计。费鹤良和陈迪讨论了定数截尾场合三参数w e i b u l l 分布的简单 估计、分位数估计和改进的极大似然估计( 7 】) 。徐晓岭讨论了定数截尾场合三参数 w e i b u l l 分布的最优线性无偏估计( 8 ，9 ) 与拟最优线性无偏估计。s m i t h ( e 1 0 ) 将 b a y e s 估计与极大似然估计作了比较，给出了b a y e s 估计优于极大似然估计这一结 论。汤银才等给出了三参数w e i b u l l 分布参数b a y e s 估计的两种方法( 【l1 1 ) 。 参数的估计方法有很多种，国际统计学界分为经典学派和b a y e s 学派。经典 统计学派在进行统计推断时基于两种信息：第一种是总体信息，即总体分布给我 们的信息。第二种是样本信息，即从总体中抽取的样本给人们的信息人们希望通 过对样本的加工和处理，对总体的某些特征做出较为精确的统计推断除了上述两 种信息外，还存在第三种信息一先验信息，记载抽样之前有关统计问题的一些信息 一般来说，先验信息主要来源于经验的历史资料，即利用总体信息和样本信息，又 利用先验信息进行的统计推断被称为b a y e s 统计学，它与经典统计学的主要差别 在于是否使用先验信息 b a y e s 统计起源于英国学者b a y e s ，他的论文t a ne s s a yt o w o r d ss o l v i n ga p r o b l e mi nt h ed o c t r i n eo fc h a n c e s ) 中提出了著名的b a y e s 公式和一种归纳推理方 法，参见文献( 1 2 】) 此后，更多的学着对b a y e s 方法产生了浓厚的兴趣，对其在观 点、方法和理论上不断完善并加以系统化，使b a y e s 统计日渐成熟，成为一个有影 响的统计学派 b a y e s 学派最基本的观点是：将未知量口视为随机变量并具有先验分布c ( 0 1 先验分布即日的概率分布，代表关于口的先验信息b a y e s 统计利用b a y e s 公式综合 先验信息和样本信息获得后验分布，以后验分布作为b a y e s 推断和决策的出发点 由于b a y e s 学派利用先验信息引入主观概率及由此决定的先验分布把概率和统计 的研究与应用范围扩大到不能大量重复的随机现象中来，因此，相对于古典统计方 法来说，被认为是一种更有效的方法相关资料参见文献( 1 3 】) 等本文将采用b a y e s 方法对定时截尾情况下的w e i b u l l 分布进行参数估计。 本文考虑如下三参数w e i b u l l 分布在定时截尾情况下的参数b a y e s 估计，以及 其可靠度、损失函数的b a y e s 估计： r11 f o ) = 1 - e x p 一去 一) ” 8 o ，朋 o ，0 ( 1 1 ) l j 其中m 为形状参数，其大小决定密度曲线的形状；口为尺度参数，也称特征 2 寿命，是一种寿命均值并给出分布中点的大致位置；为位置参数，也称最小寿 命，表明产品在以前不会发生失效。 若位置参数= 0 ，则模型退化为二参数w e i b u l l 模型。不同的形状参数m 表 示不同的分布规律，已知m = 1 为指数分布，m = 2 为瑞莱分布，m = 3 2 5 3 4 5 接 近于正态分布，m 4 以及等于其他值皆为广义w e i b u l l 分布。 由( 1 1 ) 知，三参数w e i b u l l 分布函数的概率密度函数为： f ( t ；m , o , i z ) = 詈。一) ”- l e x p 一吉。一) ” ( 1 2 ) 在对其参数以及可靠性指标进行理论研究之后，第四章我们主要通过数据模 拟，考察本文所用估计方法的可行性，并就b a y e s 估计与极大似然估计进行比较， 给出一般性评述。 2 参数估计 对于三参数w e i b u l l 分布( 1 1 ) ，现在抽取n 个产品进行定时截尾寿命实验， 截尾时间为t 。在实验当中的观察结果是：在 0 ，t 。 内有，个产品失效，其失效时 问依次为：，乞，。为了确定似然函数，我们需要观测上述结果出现的概率。 显然，一个产品在k ，岛+ d r ，】内失效的概率为 厂 协，i = 1 , 2 9 o ， ( 2 1 ) 其余的产品的寿命超过f o 的概率为 f 巾) 出卜 汜2 ) 那么，上述观察结果出现的概率为 ( ，t 2 , - - ，小厶) 芘后冉厂( f ：f ) 以l f 巾) 出j = 尼陆”一唧净刊”盼刊州o x p 矿1 h 7 = 尼( m 7 ) 尊 ( 仰广1 e 印b 喜( 忡) ” 冉以唧怕1 ) ( ) ” = 七( 研7 ) 冉 ( ) m - 1 l e x p 一缸喜( 仰) 肺小- ，) ( 岛刊” 漳以， ( 2 3 ) 其中k 可由l 厂“，t 2 ，f ，f ，+ l ，t n ) = 1 求得。 故似然函数( 【1 4 】) 为 比驴州聊川o c 歹m r 珥7 ( 厂1e x p 一新喜( ) “小叫( ) ” ) ( 2 4 ) 先验分布是b a y e s 推断理论的基础和出发点( 1 5 】) ，也是b a y e s 学派研究的重 点问题之一，它大体上可以分为无信息先验分布和共轭先验分布两大类。无信息 先验实际上包含很多信息，根据b e r n a r d o 和r a m o n ( 1 6 ) 1 拘观点，无信息先验分布 应该满足以下几条性质：不变性( 1 7 ) ；相合的边缘化；相合的抽样性质； 普遍性；容许性。 对于w e i b u l l 分布，其参数的共轭分布很难找到，通常假设关于m ，r ，a 的先验 信息很少，即无信息先验。一般来说，无信息先验不是唯一的，但它# f 7 对b a y e s 统计推断的结果的影响都是很小的，很少对结果产生较大的影响。所以无信息先 4 验分布都可以采用。本文根据j e f f i e y 提出的无信息先验准则，取m 及的先验分布 为 g p ，朋) 芘1 t h n ， 0 ) = c ( c 为常数) ( 2 5 ) 由于w e i b u l l 分布中参数与秒，m 相互独立，于是( m ，9 ，) 的联合先验分布为 万( m ，p ，a ) o c g ( 8 ，m ) ( 1 9 ，聊) = g ( o ，m ) 五( ) 芘i o r e ( 2 6 ) 根据b a y e s 理论知，( m ，口，) 的后验分布密度为 7 r ( m ，口，i ，乞，o ) = 万( 聊，目，) 三( ，乞，i ，l ，7 7 ，) 咖一伯州冉( 仰广1o x p 一新窆i = l ( 仰) ”小吖) ( 气刊” j = l vl jj ( 2 7 ) 损失函数o ( a ，) 被称为b a y e s 估计的第四种信息，是定义在参数空间与行动 空间上的二元函数，表示当自然界( 或社会) 处于状态d 时，而人们采取行动对人 们引起的( 经济) 损失。损失函数o ( a ，) 是把决策与经济效益联系在一起的桥梁。 有了它决策才能进入定量分析阶段。它要根据实际情况而定，是统计决策问题中 三个基本要素( 状态集、行动集、损失函数) 中最重要的要素。 常用的损失函数有如下几种： 1 平方损失函数 g ( p ，d ) = ( d 一) 2 ， 或加权平方损失函数 o ( p ，d ) = 允( ) ( j 一) 2 2 线性损失函数 g ( ，d ) = 箸笛二岩；：三三箬， 其中k 和k 是两个常数。 当= k 时，就得到绝对损失函数 o ( p ，d ) - - i d - p l ， 若k 和墨分别是目的函数，则称加权线性损失函数 g ( 屈d ) = 【k 墨o ( ( p ) ) ( ( d 岁一- a ) ) ：三三若 3 0 1 损失函数 进一步有 g ( 屈d ) ：冉 l l l d 一同占 i d 一剧 占 0 ， g ( 屈d ) = 罢： ：二爿三：， 占 。， 或 g ( ，d ) = 后品) ，i d i ：竺污三s ， s 。， 4 多元二次损失函数 o ( p ，d ) = ( d - f 1 ) a ( d - p ) ， 其中f _ ( 届，屈膨) d i - ( 吐，吐d p ) ，a 为p x p 阶正定阵。 其中平方损失函数是在统计决策问题中用的最多的损失函数，部分理由是把 g ( f ) 在零点展开成t a y l o r 级数时，二次函数是一个很好的近似，另一部分理由是 它与最d , - 乘法的形式相似，将来计算方便，又有一些很好的性质( 1 8 】) 。本文中 我们正是采用了平方损失函数。 我们取平方损失函数 g ( d ，) = ( 4 一屈) 2 ， ( 2 8 ) 其中= 以，厦，屈) = m ，7 7 ，) 为待估参数，d = d i ，d 2 ，如) 为所采取的策略。 根据b a y e s 理论我们知道：在平方损失下，后验均值必为b a y e s 估计。接下来， 我们分别对定数截尾下w e i b u l l 分布的三个参数进行b a y e s 估计。 2 1形状参数所的b a y e s 估计 定理1 在平方损失下，形状参数朋的b a y e s 估计为 嘲卟) 叫r n i = 1 ”矿。1 障i = 1 刊”小_ ，) ”卅j7 斗”， i l l ( 2 1 1 ) 其中， 毛一= r ( ，) r ，z 1 r 冉( 一) ”。 喜( 一) ”+ ( ，z 一，) ( f o 一) ” 一d 锄。 ( 2 1 2 ) 证明：册的后验边际密度为 6 万【坍l ，乞，j = fr 局刀( m ，秒，嗽，f ，p 口础 = 向r r 筹冉( 一) ”1 唧 一吉 喜( 一) m + ( 刀一，) ( 气一) ” 卜护础， ( 2 1 3 ) 对于其中关于秒积分的部分 f 古唧h 黔矿小叫”砌以 我们作如下变换： r 古唧h 黔小_ ，) ”砌d 秒 =窆(一)”+(刀一，)(岛一)用一7。-ft(1i=lli = 1 一) ”+ ( 刀一，) ( 气一) ” ) 1 = i ( 一) ”+ ( 刀一，) ( 岛一) 用i一) ”+ ( 刀一，) ( 气一) ”i l lj vj 唧缸小叫砌d 幽卜卜枞) m ) 广r ” = i t i 一) “+ ( 刀一，) ( 气一) “l r ( ，) ， li = l i ( 2 1 4 ) 则( 2 1 3 ) 式变形为 万( 肌l ，乞，0 ) = 毛f r 万y r - 1 珥r ( 一) ”le x p 一吉 喜( 一) 研+ ( 刀一，) ( 乇一) ” 卜臼础 = 向r ( ，) r 研1 冉( 一) ”1 喜( 一) “+ ( 刀吖) ( f o 一) 朋 1 d | | i 可通过r 万( 所if l ，f 2 ，o 枷= 1 求得，即 r 万( m ，) = 岛r ( ，) rf m 1 冉( 一) ”1 喜( 一) ”+ ( 刀一枞气一) ” 1d 锄， 于是， f = r ( ，) r q lr 冉( 一) ”1 l - 喜( 一) “+ ( 舻，) ( 一) ”j - i - - r 础l 概 l广i 由b a y e s 理论，平方损失下，m 的b a y e s 估计为 e ( m lt l ，t 2 ，) = r 舰( 研，t r 矽r t l 唧( ，) r 朋7 呻( f j _ 矿卅防小叫”卜卜 2 2 位置参数的b a y e s 估计 定理2 在平方损失下，位置参数的b a y e s 估计为 p = 如r ( ，) r 。 r 肌1 1 1 = 1 1 ( 一) ”1 喜( 一) ”+ ( 万一厂) ( 气一) 肘 一西m 其中， 乞一= r ( 厂) r 小7 1 r 冉( 一) ”卅 喜( 一) 辨+ ( ，z 一，) ( 岛一) ” 一d 西优 证明：的后验边际密度为 万( i ，乞，) = rf 包万( m ，0 ，嗽，t , ) d o d 聊 = 如rf 加”i 0 h 1 r i ( f i 一) ”1 唧 _ ( 1 帼i = l 仰卜卜州，”p 咖，l l j j 关于口积分的部分同理如( 2 1 4 ) ，于是 万( i ，f 2 ，) = 岛rr 所i 0 h 1 n ( 一) 胪1 e x p 一( ，秒) l 喜( 一) “+ ( 以一，) ( 岛一) ”1 ) d 口西竹 f - i j = 如i ( ，) r 聊卜1 兀r ( 一) ”1i 窆( 一) ”+ ( 万一，) ( f o 一) 脚i 锄 广r1 一， i = ll f = l j ( 2 2 3 ) 其中常数岛可通过j - 万( if l ，f 2 ，t ，) d t z = 1 求得，即 f 万( i ，乞，p = 也r ( ，) rf m 1 n ( 一) 舻1i 窆( 一) ”+ ( 刀一，) ( 气一) 用l 锄础= l ， 广一 1 一， 于是 乞= r ( ，- ) r 聊7 1 r 冉( 一) “。1 喜( 一) ”+ ( ，z 一，) ( 气一) 肘 d 西优。 由b a y e s 理论，在平方损失下，的b a y e s 估计为 e ( it , ，t 2 ，) = r 万( ，肌 = 屯r ( ，) f lr 研1 血i = l ( 一) 胪1 | l 喜( 一) ”+ ( 刀一州岛一) ” - ，锄卜 i f = l jl 2 3 尺度参数口的b a y e s 估计 其中 定理3 在平方损失下，尺度参数目的b a y e s 估计为 痧：岛1 1 ( ，一1 ) fr m ，- t n ( 一) ”一主( 一) ”+ ( ”一厂) ( 岛一) ”1 ，d 锄 f - l l ，= lj ( 2 3 1 ) 恕= i ( ，) rr 聊1 n ( t 一) ”1l 窆( 一) 肘+ ( ，z 一，) ( 乇一) ”l d 砌 广一 1 一， ( 2 3 2 ) 证明：秒的后验边际密度为 万( 口l ，乞，) = rr 屯万( 川，9 ，t , ) d l u d m = 毛rf 研i 0 川n ( 一) 川 o x p 一( ，口) - l 窆i = 1 ( ) ”+ ( ) ( 气一) m 似j j 锄， 其中常数屯可通过j - 万( 口lf i ，f 2 ，t , ) d 8 = l 求得，即 r 万( 秒呲，o 矽 = 岛rfr 所一0 川兀r ( 一) ”l e x p t 一( i 0 ) 喜( 一) ”+ ( 玎一，) ( 岛一) ” t d 。u d m d $ = ， 一 i ( 一) ”+ ( 玎一，) ( 岛一) ”i = l ， llj = ljj q - i = 1 ( ，) rr 掰，- t 血( 一) 州- 主( 一) ”+ ( 以一，) ( 岛一) ” - ，d 胁 由b a y e s 理论，平方损失下，秒的b a y e s 估计为 e ( oi ，乞，) = f 砌( 秒，t ，) d o = 岛r f m 1 冉( 一) ”1r 古 o x p 一( ，口) 主i = 1 ( 一) ”+ ( 刀一，) ( 岛一) ” ) d 口d 西竹 l jj = 岛r ( ，一1 ) rf m 1 n ( 一) ”1i 之( 一) 肼+ ( 刀一r ) ( 乇一) ”l d 锄 i = 1 ll = l- 1 2 4推广 2 4 1 当a = 0 时 分布函数即为二参数w e i b u l l 分布 o ；聊，口) = 号r ”一e x p t 一万1f 朋 ， ( 2 4 1 ) 同理，通过上述求参数估计的方法，可得 形状参数m 的b a y e s 估计为： 痈= r ( ，) r 朋7 n 广1 l 砉肼+ ( 力一，) l 。咖， ( 2 4 2 ) 其中， ：r ( ，) r m f 1 厂，_ 窆m + ( 刀一，) 矿1 - ，概 ( 2 4 3 ) 。 ，= lli = 1 j 尺度参数0 的b a y e s 估计为： l o 其中 爹= 岛r ( ，一) r 胁卜1 i i = 1 1 棚。 窆i = l 胂+ ( 刀一厂) 岛” 一7 西 ，c 2 4 4 ) 妈= r ( ，) rr 优1 i ，；1 。t - 1 ；：。脚+ ( 刀一，) 岛” 一7 西，z c 2 4 5 ， 2 4 2 当聊：1 时 ( 1 2 ) 式变形为： o ；秒，) = 万1e x p 一万1o 一) ) 此时，我们取的先验分布为 g ( ) = 吉， o 1 ，p 。， 像4 8 ) 则其联合先验分布为 加) = 南i 1e x p ( 一告) 弦4 取办= m i n ( 气。) ，盯) ，根据上述方法我们即可求得定时截尾情况在平方损失下的 和目的b a r e s 估计分别为 = 0 = 其中s = t i + ( n - r ) t o 。 ( 2 4 1 0 ) ( 2 4 1 1 ) 2 4 3 有替换定时截尾情况的三参数w e i b u l l 分布 在有替换定时截尾情况的三参数w c i b u l l 分布，即：在一组实验中，当第一个 产品失效后，立即用第二个产品替换，继续实验，失效后再用第三个，如此继续， 至定时f 实验结束。 假设时间f 之前共有r 个产品相继失效，第歹个产品的寿命为乃，记 最= 乃， k = l 2 吖 ( 2 4 1 2 ) 则s 。表示从实验开始起至第七个产品失效时的累计时间。 设筹命丁服从三参数w e i b u l l 分布，l ，乞，是取自有替换定时截尾试验的一 个样本，r ( 力为定时f 以前失效产品的个数，记w = 萎箔三：，则。乞，w 的 联合分布密度为 ( f i ，f 2 ，t r ，w ) = ( 詈) 7 冉c 一，”一e x p 一吉 喜c 一，肼+ c 行一，c t - s , - 比，” ) ，一只，z 三z ：三：；，- ，= t ，2 ，r ， ( 詈) 7 冉”) ”- le x p b 黔 ，一母 _ a ( ( 所m 1 ) = l ，2 ， 0 ，其他 rr ) a1 、 对于这种情况，我们也可以通过上述方法对其参数进行b a y e s 估计，只是在形 式上将会有些复杂。本文将不再具体推述。 1 2 3 可靠性指标估计 3 1 可靠度函数尺( f ) 的b a y e s 估计 可靠性理论( 1 9 】) 是以工业产品( 或系统) 的寿命特征作为主要研究对象，对 系统寿命的各种特征指标进行定量分析和比较的理论。 随着科学技术的进步，人类开发了许多大型的复杂设备和系统，系统效能中 最重要的指标之一就是系统的可靠性。在工业产品的研制和开发过程中，系统可 靠性的研究具有相当重要的意义。对于大型的复杂设备或系统，经常需要了解在 确定的时刻系统仍能够正常工作的概率，或对于给定的符合要求的可靠度，求系 统能够无故障运行的时间。 通常用一个非负随机变量孝表征系统的寿命。设系统寿命孝的分布函数为 ，( f ) = p 孝f ， ( 3 1 1 ) 则系统到时刻f 工作正常的概率r ( t ) = p 善 f ) = 1 - f ( t ) ，r ( f ) 称为系统的可靠度 函数( 【2 0 ) 。 在可靠性讨论中，w e i b u l l 分布是经常遇到的寿命分布，由( 2 2 1 ) 我们可知 在定时截尾情况下三参数w e i b u l l 分布的可靠度函数为： r = 尺( f ) = 1 一，( f ) = e x p 一去( 卜) ”】， f a 定理1 在平方损失下，可靠度函数 尺= 尺( f ) = e x p 一去。一) 用】， f ， ( 3 1 2 ) 的b a y e s 估计为 j i i = ( ，) rr ( 卜- m rm r _ 1 n ( 一) ”1i 毫( 一) 埘+ ( 咒一，) ( 岛一) ”i d # d m 1 = 1 li = 1 j ( 3 1 3 ) 其中 包一1 ：工_ 点_ t - t z ) - 彬m r - ! l ：l ( 一) 肘f e ( i n 去) 7 1ro-,)-喜(一)。+(月一，)(fo一)”一1drd西啊 证明： 作( m ，0 ，) 到( 朋，r ，) 的变换 1 3 ( 3 1 4 ) 尺= e x p 弓( ，一】 u 2p 川2 糟， 于是( m ，r ，) 的后验联合分布密度为 万( 历，r ，tl ，t 2 ，0 ) = 万( 聊，0 ，, ul ，如，f ，) i ，l 一一 而- l n rj 冉( 仰) 州 唧 品防小叫 ) 籍 = ( r 一) 一朋7 ，悖1 ( h 去) 7 - 1 毒： ( 一) ”一1 r 卜一”【善一4 + 一r x f o 一芦r 卜1 ， 关于m ，积分，得r 的后验边际分布密度为 万( 尺i ，乞，) = 屯f f ( r 一) - ”聊7 1 ( h 去) 1 冉( 一) ”一1 尺。一p r ”l 善r “一一r “n - r x f o 叫叶1 d c 切， = 七j ( h 去) 7 1j e 。j 。( r 一) 一月，嚏7 1 乏! l ( ) m _ l r ( t - u ) - 善一。+ 一，x f o 一乒r j - 1 d a b 竹， 其中 髓- 1 ：r r ( r 一) 一w 朋r t 冉( 一) m 一f ( h 1 r - ir ( - # ) - 喜“叫广“p ，x 扩r 搬咖 1 4 e ( 尺i ，乞，) = f 肋( 尺l 枷，凇 =七j互i。jj”(，一，。)一m7月曙71毒：rl(zj一，z)“一1e(bn去)1t。一芦)-”喜(一)。+(nrxfo声)mdr，。西m = ( ，- ) f r ( ，一) 一研1 珥r 一) ”1 喜( i 一) 朋+ ( 刀一，) ( 气一) ” - ，d 锄 3 2 失效率函数兄( f ) 的b a y e s 估计 失效率是一个重要的可靠性指标。所谓失效率是指工作到某一时刻尚未失效 的产品，在该时刻后，单位时问内发生失效的概率。一般记为a ，它也是时间t 的 函数，故也记为五( f ) ，称为失效率函数，有时也称为故障率函数或风险函数。在极值 理论中，失效率称为“强度函数”；在经济学中，称它的倒数为“密尔( m i l l ) 率5 在人寿保险事故中，称它为“死亡率强度”。失效率不仅是一个可靠性工程常用的 指标，可靠度、失效概率等其他可靠性指标也可以通过失效率函数计算。 失效率曲线的典型情况为浴盆曲线( 【2 l 】) ，曲线随时问变化可分为三段时期： 早期失效期，偶然失效期和损耗失效期。 按上述定义，失效率是在时刻t 尚未失效产品在f + 的单位时间内发生失效 的条件概率即它反映t 时刻失效的速率，也称为瞬时失效率。 理论上，失效率可以表示为寿命概率密度函数与可靠度之比。 由( 1 2 ) 和( 3 1 2 ) 可知，失效率函数为： a 叫f ) _ 舞= 詈( 广1 ，晓t 0 ( 3 2 1 ) 定理2 在平方损失下，失效率函数 a ：名( f ) ：罢。一) ”， f o ， 的b a y e s 估计为 批叶州r r 高万冉( 等雕( t 7 - g ”+ ”啦t o - 盯，l 1 枷， ( 3 2 2 ) 其中 岛_ 1 _ r ( ，) ff 矿肌t t - - m 万计一卜) 氰斟小叫吲n 胁 证明：作( 聊，0 ，) 到( ，l ，名，) 的变换 五：丝( f - ) 册。1 0 、 。7 m2 聊 ， p 2p 怍i 芈乒 于是( 朋，旯，) 的后验联合分布密度为 万( 所，名，i ，乞，) = 万( 小，0 ，it , ，t 2 ，t , ) l j l 吲1 ( 寿湘r 州 唧 - 寿防小叫矿 华 = 竺mn 1 4 f ，锉t - a 、) 剃o x p 一扣， 喜( 等卜) ( 等) m ， 从而，后验边际密度为 万( ai ，乞，) = 毛f r 等冉( 等厂e x p 一扣， 喜( 学卜，( 等门卜咖 其中 1 6 ( 学厂 r 2 - te x p 争悄 百t 】i - t t 卜叫阿m 棚 1 州订p 一1 冉( 等h 卜， 喜( 百t i - i x 卜，( 学门卜锄， 于是，在平方损失下，名的b a y e s 估计为 e ( 兄l f l ，f 2 ，) = 毛f f 去冉( 学h p e x p 一叫， 喜( 百t , - , u 丁小叫( 等m 五卜拥 = 屯r ( 川) r r 丽m r冉( 等厂1 喜孵 ”小叫【等j j m w + i 棚 1 7 ，兀鲥 一m 一m 4 模拟研究 4 1参数数据模拟 我们取= 0 ，所= 3 0 ，0 = 6 ，刀= 3 0 ，t o = 2 9 由模型( 2 1 2 ) 产生随机数，运用 m a n a b 进行计算，用本文中的方法求的各参数的估计值，见下表： 随机模拟2 0 0 0 次，取其平均值，并计算其m s e 由上面两个表的结果可以看出：模拟的结果和真实的结果比较接近，说明本 文提出的方法是可行的。 4 2与极大似然估计比较 4 2 1 极大似然估计 由( 2 4 ) 知似然函数为： ( ，乞，i 所，r l ，) = 等孵唧h 黔小_ ，) 砌 2 。 则对数似然函数为 l i l 三( ，乞，im ，7 7 ，) = ，( h 所一h 秒) + ( m t ) 喜( 一) 一吉 喜( 一) m + ( 刀一厂) ( 气一) ” 4 - 2 2 由此构造似然方程为 等= 一舌+ 古阻刊”小- ，) - o i o l n l = 云+ 古 喜( 一吨刊小_ ，) ( 岛刊m l n ( 乇训 _ o 等= - ( 朋_ 1 ) 喜去+ 准胁”矿一州地计1 - o ( 4 2 3 ) 显然似然方程为非线性方程组，且结构复杂，一般采用n e w t o n - r a p h s o n 迭代 法进行求解，其基本思想为：首先给出待估参数朋，0 的初选值，t o ，o o ，且令 + 锄= 硝硒+ = ；岛+ a 0 = 矽，然后在，脶，o o 处将似然方程组的左端各项级 数展开，并作一阶近似，则方程组转化为线性方程组。 求解线性方程组获得a m ，a 0 的解后，进行判断，如果锄，a 0 均小于给 定的误差界限，则对应的锄，秒即为估计值，否则用m o + 砌；心+ ；岛+ a 0 代 替砌，a 0 重新计算，反复循环，最终得鸭，0 的估计值。存在的问题是，如果 初选值选择不当将导致迭代过程发散，而无法得到最终结果。常采用图解法获得 的估计结果作为初选值。 当坍= 1 时，此分布函数的极大似然估计，设气1 ) 气：) f ( 。) 为f l ，乞，乞的次 序统计量，其中友，厶，乙为独立同分布样本。我们很容易求得 4 2 2 模拟比较 2 气1 ) ， 痧= 吾 喜+ ( 以一，) 岛一掣 ( 4 2 4 ) ( 4 2 5 ) 在聊= 1 的情况下，我们考察b a y e s 估计的精度，同时对文中所给的极大似然 估计( 4