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相依样本下带有讨厌参数的经验似然比置信区域 2 0 0 2 级概率统计专业硕士研究生李乃医 导师王成名教授 摘要 经验似然是o w e n ( 1 9 8 8 1 提出的一种非参数推断方法，随屙一些学者把它应用线型模 型，、r 参数模型，同归函数，密度核估计，有偏样本等等，但这些大都是样本独立同分布情 形f 讨论 崔恒建( 文献 1 ) 假设1 ，ax 。为取自总体x 的i i d 样本且o o = e h ( x ，) ，其中 为讨厌参数，讨论了感兴趣参数0 0 的经验似然比置信区间本文将条件0 。= e h ( x ，) 推广到一般估计方程e h ( 爿，o o ，) = 0 且样本口，i f 1 ) 为强平稳庐混合序列( 定义见文 献 2 】) 的情况，利用经验似然比方法构造目。的置信区域 设h ( z ，s ，f ) 是连续多元函数，并记0 。 f i f r ，i t - i 占) ，其中占 0 对于一般估计方程e h ( x ，0 。，) = 0 ，其中x 为随机变量to o ，为未知参数，为获 得瓯的置信区域，先取的相合估计应( x 。，ax 。) 皇丘，丁| 是其经验似然比为 r ( e o ) = s u p t i i n w i ，w i o ，w i = 1 ，w i h ( x 。，o o ，p ) = o l i = l i = 1i = 1 j 其对数经验似然比为 l ( 0 0 ) = 一2 1 0 9 r ( 0 0 ) = 2 l 0 9 0 + 州( x 。，0 0 ，p ) ) 1 2 i 其中s r 。，且满足 踯，= 去喜器一。 条件a ( 1 ) 0 。是e h ( x ，0 ，2 ) = o 的唯一根； ( 2 ) h ( z ，o o ，) 非退化，目e ( s u p h ( x ，0 。，t ) i ) 2 f e 0 。f ( 3 ) 寺善h 2 ( x ，o o ，丘) = 砌r ( 汀( ，o o ，) ) + o p ( 1 ) ： 去喜则勰瑚= 去喜础娼坤咭， * ! ( 5 ) 口，| f 1 ) 为强平稳庐混合序列，妒( f ) 非增且混合速度满足乏庐2 ( ) 1 ) 的平稳性及日( z ，5 ，f ) 连续性知，i ( f = 1 ，人，2 9 ) 有相同分布函数g ，其对应经验 分布函数g 2 ；。分组后，其经验似然比为 1 ( 吼) = s u p n 2 9 只l 只= 1 ，只o ，善鼻州i ij = 1滓i 1 叫。 其对数经验似然比为 j ( 吼) ：一2 l o g r ( 岛) ：2 曼l o g ( 1 + 旯厥i ) 其中 r 且满足 足= 去莩箍= 。 条件b ( 1 ) o o 是e h ( x ，o o ，) = 0 的唯一根； ( 2 ) 日( ，0 0 ，) 非退化且e ! 浆1 日( 工，0 0 ，f ) 1 ) 9 r 芝ir 0 dl 一“ ( 3 ) 耻跏吖1 ) 其峨= 去萋m 2 , s ：= 去萋吣。) 2 ( 4 ) 去喜h ( o o = i 窆h ( x o o 小吖击) ( 5 ) 五i i l 为强平稳混合序列，( f ) 非增且混台速度满足矿2 ( f ) 0 f o rg e n e r a le s t i m a t i o ne q u a t i o ne h ( x ，o o ，) = 0 ，a s ti su n k n o w n ，w ew a n tt o c o n s t r u c tc o n f i d e n c er e g i o n sf o r o o ，f i r s tc h o o s eac o n s i s t e n c ee s t i m a t i o n ( x l ，a ，xh ) o f t h e ne m p i r i c a ll i k e l i h o o dr a t i of u n c t i o ni sd e f i n e da s r f 0 0 1o ，窆心：1 ，窆w f ( 一，瓯，丘) ：。l i = 1 i = l j h e n c e ，d e f i n ee m p i r i c a ll i k e l i h o o dr a t i o l ( 0 0 ) = 一2 l o g r ( 0 0 ) = 2 l 0 9 0 + s h ( x 。，吼，应) ) j = 1 w h e r e s r 。s a t i s f y i n g 足( s ) = i 1 缶 鬲h 丽( x i , 函0 0 , f i 丽) = 。 4 w m 。nh r。，、，i p 蚍 ( 1 ) 口。i s t h eu n i q u es o l u t i o n o f e q u a t i o n e h ( x ，0 ，) 。o ： ( 2 ) 嚣( x ，0 n ，p ) i s n o n d e g e o r a t e a n d e ( s u pl h ( x ，0 。，) 1 ) 。，f 。fs o m e ， 2 ； 锱“ ( 3 ) 吉善晖鼎蝴“刚置吼”+ o j d ： ( 4 ) 去喜h ( x o o 刃。言善默x t , o o ) + 郎嘧1 孔 。t# ( 5 l 伍。lf l i s s t r o n e 3 ys t a f t 。n a r y ? i - m i x i n g r a n d 。mv a r i a b l e s ，a n d ( f ) i 5 n o n i n c r e a s m g ，； t h e o r e m1u n d e rt h ea s s u m p t i o no f c o n d i t i o n a - t h e n a s f l l ( 0 0 ) 。7 a 2 办 媳衅蠢2 = v a r ( h ( x ，o o ，芦) ) + 2 白，置，氏，鼻h ( x 一氏，) ) i = 1 盯2 = v a r ( h ( x ，o o ，p ) ) a s 蔗2 8 矗d 盯2 鑫撑h n k 菇。w 拄，t h ea b o v e r e s u l tc o u l d n o t b eu s e d i n p r a e f i c e ，w e w i l lu s e t h e b l o e k w s 。 e r n d 试c 盎ll i k e l 让m o dt oo v e r e o m et h i ss h o r t c o m i n go f t h eo r d i n a r ye m p i r i c a l 1 i k e l i h o o d p u t 搬。垂“l g = 去 ，妇。 盛 o ，量鼻疵：o f = l j “吼) ：一2 1 。g r ( 岛) ：2 量1 0 9 ( 1 + z , 磊m d w h e r ea r 1 s a t i s f y i n g 枷= 去喜蔫= 。 c o n d i t i o nb ( 1 ) 0 0 i s t h eu n i q u es o l u t i o no f e q u a t i o n e h ( x ，0 0 ，) = 0 ( 2 ) 日( ，0 0 ，) i s n o n d e g e r a t ea n d e ( s u pl h ( x ，o o ，f ) 1 ) 4 0 9 t e o p dr o r s 。m e 胪高 垆s 2 + o p ，w h e r e s z = 去和2 弘去萋州y ( 4 ) 去；叫棚) = 蒿哪o o 小吖匆 i 1 i ss t r o n g l ys t a t i 。n a r y m i x i n gr a n d o mv a r i a b l e , ( n ) i sn 。n i n c r e a s i n g ，2 ( 弘0 3 i = l t h e o r e m2u n d e r t h ea s s u m p t i o no f c o n d i t i o n b ，t h e na s m o “岛) _ 。z j ， i tf o l l o w sf r o mt h e o r e m 2t h a tw h e nnt r e n dt oi n f i n i t e a1 一盘c o n f i d e n c er e g i o n sf o r o oi s g i v ef o r ： p ( o o | l ( 0 0 ) c 。) 1 一口，w h e r ec 0 i st h e ( 1 一a ) - t hq u a n t i l eo ft h es t a n d a r d z j ld i s t r i b u t e k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：n u i s a n c ep a r a m e t e r ，s t r o n g l ys t a t i o n a r y , - m i x i n gd e p e n d e n t s e q u e n c e ，e m p i r i c a ll i k e l i h o o dr a t i o ，c o n f i d e n c er e g i o n s 6 只 馨己 引言 似然方法是统计学中最重要的工具之一，它通常要求已知总体分布的类型，其 中仅含若干个未知参数当我们对问题的背景所知甚少，比如仅仅知道一些附加信 息( 如总体的一阶矩，二阶矩) ，以至于不能对总体分布类型做出假定，这时便无法使 用通常的似然方法 o w e n ( 1 9 8 8 ) ( 文献 8 ， 9 ) 引入经验似然，它是一种非参数推断方法它是一种 类似于b o o t s t r a p 和随机加权方法，所不同的是它在每个样本点上所赋予的概率是 带有选择余地，在一些合理的约束下，描绘了支撑在样本上的一个多元似然，而经 验似然比置信区域的构造就是此多元似然的一个等高区域更值得一提的是经验 似然比置信区域具有保范围性，它与被置信的总体特征具有同样的范围，这是其它 方法所没有的并且它的区域形状完全由样本决定，其覆盖概率不比b o o t s t r a p 置 信区域差 由于经验似然与经典或现代的其它统计方法相比具有上述突出的优点，此种 方法受到统计学界的广泛的关注一些统计学者还把它应用到各种统计模型中：线 性模型( 文献 1 4 ) ，半参数模型( 文献 1 9 ) ，部分线性模型( 文献 1 6 ) ，有偏样 本( 文献【1 3 】) 密度核估计( 文献【1 5 和( 1 7 1 ) ，非参数回归模型( 文献 1 8 】) 等， 但这些大都是在样本独立同分布的情况下讨论的近年来k i t a m u r a ，y ( 文献 2 1 ) ，l i n ，l ，r u n c h u ，z ，( 文献 2 2 ) 张军舰，王成名( 文献 6 ) 等对相依情形下的 经验似然方法做了一定的研究 本文中所讨论的带有讨厌参数问题是统计中常见问题之一如某总体服从正 态分布，均值未知，要求方差的置信区间，此时均值是个讨厌参数。对这种参数族的 情况，我们可以采用枢轴变量来构造方差的置信区间测非参数族情况，如总体分 布类型和均值都未知，要求构造方差的置信区间以及更高阶中心矩置信区间等我 们可以采取先估计出讨厌参数的值、再利用非参数大样本的方法来构造我们感兴 趣参数的置信区域 崔恒建( 文献 1 ) 在样本独立同分布的情况下讨论了带有讨厌参数的经验似 然比置信区间鉴于实际中样本通常并非独立，于是本文就相依样本讨论带有讨厌 参数的情况下经验似然比置信区域，并且得到类似独立同分布的结果 相依样本下带有讨厌参数的经验似然比置信区域 1 羧备知识及主簧结果 酋先给出相关的概念： 定义l 称随机变量序列 爿。1 1 n 0 9 为混合的，如果存在一非增的正数列 移积) | n l i m e ( n ) = 0 ，对任绘8 n ，i 1 露 琰雷) 一p ( 爿) 尹( 固苍乒铆) 尹( 0 ) 其中a f 1 ib f ：，f 表示随机变量 x 。i j i 墨删) 所产生的盯域 邂义2 薅瓿畿舞穿舞留。| 1 n 2 ； f e 0 埘 ( 3 ) 去萋2 ( 爿i ，o o ，国= v a r ( 日( x ，岛，) ) + ( 1 ) ； ( 4 1 i 宝。h ( x i ，吼，舻l 宝。h ( x i 咖州击) ( 5 ) z ，i i 1 为强平稳妒混合序列 定理1 若条件a 成立，则有 庐( f ) 非增且混合速度满足j ( f ) 0 0 i = l t ( o 。) 一。冬z 扣斗。 o - 一 其中a2 = v a r ( h ( x ，0 0 ，) ) + 2 c o v ( h ( x 。0 ，以h ( x ，o o ，) ) i = 1 盯2 = v a r ( h ( x ，o o ，) ) ( 14 ) 由于a 2 和盯2 未知，定理1 的结果不便应用，为弥补这一缺陷，下面利用分组经验似然方法 重新构造经验似然比以使其极限分布不含未知参数。 令垅= k “l g = i 去1 ，其中【】表示取整，。 a 一 只 = 只 堙h k 2 去善羔- o 条件b ( 1 ) 瓯是e h ( x ，o o ，) = 0 的唯一根 ( 2 ) h ( z ，o o ，) 非退化且e ( s u p1 日( x ，o o ，f ) i ) 4 f i 芝if 0 时一z “ 沪s 2 。+ o p ，其峨= 去 | | ；叫一= 去善础，2 ( 4 ) h ( x o o 舻蒜叫o o 小州去 ( 5 ) x ，i i 1 为强平稳混合序列，( i ) 非增且混合速度满足2 ( j ) 0 0 证明：两式证法类似，仅证明第一个不等式由于h ( x ，o o ，) 非退化，那么 p h ( x ，o o ，卢) 0 利j ；j 概率的连续性知j 反 0 ，使得 p 口( 彳，o o ，) 啊 o 又j 足。，使得j p 爿i 足 鲁 由h ( x ，s ，f ) 在盖x r x 转g 上弱连续瞧妇l 燕 o 袋褥 从而有 丁是 h ( x ，o o ，f ) 一h ( x ，o o ，) i 西，其中l f 一i 占2 ，l x 降k a h ( x ，o o ，国 o 只弦( 盖，魂，誊) o ，| x 阵k ，| 一露匿蠡 只( x ，0 。，) + 艿 d ： 筮黻只0 彳( _ ，o o ，5 ) o e h ( x ，o o ，f ) + 葫 o 引理2 记z 。哩凳1 h ( x i ，0 o ，p ) l ，若条件a 2 成立，则有 z 。= o 。02 ) 证明：v 艿 。，有j p ( i p 一卢1 0 ，当r 九l 时，有 p ( 避俨( 托惟m 。a 钆xs 唧u p 。 h ( k ) 1 l _ 方 由( 2 2 ) 知，v 占 o 及万 0 ，3 n 2 0 当咒 ”2 时，有 p ( m 。；，a 。x 。，s 。u 。p 。t h ( x t ，吼，) 峰”2 5 ) l d 因此当n m a x n 】，n 2 时有 p ( m a xh ( x j , o o , # ) _ m a x 翟愀置删胁j is 小z 孑 由s 和占的任意性知 z 。2 翟i i ( 五，o o ，丘) o p ( ”2 ) 引理3殴 i i 1 是庐混合序列，e x ，2 ，有s u p e i z 。ir 则有 i s f s n ( 2 2 ) o 二 。且混合速度满足妒2 ( i ) o ，使得剐石去喜日( 置，8 0 ，) l m 。) 对一切的n 都成立 刚打击喜瞰娼膨ei 匕h ( x 函, _ , o o , 一i ) 1 2 其中c 为某个止常数，此时只需取m2 。 冈此 c ns u p e h 2 ( o o ，) 1 5 f s 月 n m ； c e h 2 ( x ，吼，卢) 面_ c e h 2 ( x ，o o ，) 去善nh ( 环o o 棚= 吖专 即可 若 i 引理5 设讧，i f 1 是强平稳混合序列，混合速度满足i ( f ) c 。假定 i = 1 e x l = 0 ，e i x ，1 2 ，则a 。2 = e x ? + 2 e ( x 。x 。+ 。) 收敛，且有 i = 1 s u pi 尸( x ) 一( x ) i o ，口，其中( z ) 为标准止态分布 注此引理为文献 5 中系4 7 的特例 引理6 设忸，l i 1 是强平稳混合序列，满足i ( f ) 0 0e i h ( x ，o o ，) 1 4 m 1 3 2 庐 。m 一 。旦4 亟 去和墨，= a 2 + o p 国 其中a 2 = v a r ( h ( x ，v 0 ，0 ) ) + 2 c o v ( h ( x 0 ，芦xh ( x ，o o ，芦) ) r # l 跚铷：= 去姜螂y ，蚓理。有 邵i e s d 2 = ( 砻2 竣擎2 9 珈2 瑙内箩 鲫旁。翌( 1 1 ) 2 坝i ) 2 】2 0 s 0 ， 这说明0 是集合 ( l ，o o ，应) ，a ，h ( x 。，o o ，声) 所构成的凸包的内点，所以 r ( o o ) = s u p r ( f ) lf h ( x ，o o ，茹s ) d f = o ，f 只 ， 存在为正。注意到 r ( o o ) = s u p 兀r l w i 上式右端对求上确努时，满是 hh w i o ，嗨= l ，且w i h ( x i 一0 p ) = 0 。 坤lj = l 利用拉格朗日乘子泣，可得唯一解 l 其中s er 1 ，并满足 义有 w ：一 n ( 1 十s h ( x f ，0 。，露) ) 1 s f n = 去喜意麓将= 。 o = l ( s ) 净! i 玎 吼，p ) 一嚣h i l l * l s + h 婀2 ( x ( x i i o ，民。 ，d 蜃) j ( 3 ，1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 贸 姒 。 予是 出条件a ( 4 ) 褥 l 兰l r 乏i ，不同的地方c 取值可不同。 完全类似引理2 证明可得 因此有 往证 = 0 。( g 展开k ( a ) 有 其中z z s2 聪i ”i 而由条件b ( 5 ) 戋u ，m ；a ：x 。i r l = d ，( g4 ) 隧l 届zl = 压蹬l r | = u m m o ，( g4 ) n2 0 p ( n 4 ) = 0 p ( 月4 ) d 。( g2 ) 0 ：i k ( ) 户_ 1 z g = 去嵩箍 上i 争丝i 2 9 智1 + x 4 m y j ，型圣一一1 i + z 2 9i i 2 9 去售田 ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 一l堙h 巧 一所 培 匕 一m 堙 去善而r = 届去喜日( 妊仇脚= 石去喜日( 吼川+ 而，( 击) 翻崩 l 疆4 褥 专喜风qc 务叫g 南 ：。， 由( 3 1 9 ) 及( 3 ，2 0 ) 式得 旯| s ： i 十z 2 9l 五 再由引理5 ，引理6 ，( 3 。1 7 ) 及( 3 2 1 ) 式知 令y i = a 而y t 出( 3 1 7 ) 和( 3 ，1 8 ) 式知 又展开足辑) 褥 = 0 。( g2 ) ( 3 ，2 1 ) 五 0 。( g2 ) 一三 三 ，m ；，；a ：x 。1 ，f 1 = o ，( g2 ) 。，( 9 2 ) 2d 一( 1 ) 加去喜器= 去霎粤 = 去萋诹t 监斧 = 去霎佩”尚2 ， = y m m ：7 喝五+ 去善风尚 令2 9 量，= l 佩熹测有 旯= 掣而哥+ 掣卢 由g l 理6 ，条件b ( 5 ) r r ( 3 1 8 ) 式得 去莩( 而) 3 去喜( 石) 2 糍五= 嘣g b ( 32 2 ) ( 32 3 ) ( 32 4 ) pi - 去萎( 届川2 ( 1 + ”一。地- ) 0 i 胎1 一。地。) ( 3 2 5 ) 7 口 由( 3 2 3 ) 式并利用t a y l o r 展开式得 f ( o o ) = 2 = 2 2 9 # l 2 9 i = 1 i 4 9 m r 一窆( 旯风) z + 2 量叩 4 g s ；- ( f ) ：+ 4 压m g y s ；- 一( s ；- ) z ( 7 ) z 2 9m l 。 ( s ，卢) 2 m 一2 蝴掣( - ) 2 + 4 知m g y s ；1 卢一2 愕( 洲( 开去萋懈 一z g ( 田) 2 卢2 去萋m 1 2 4 面动去莩州巩掣) 2 + z 善2 9 叩 n s ；1 ( y ) 2 2 9 f 1 2 s i 由条件b ( 3 ) 和引理6 及引理5 ，类似前面讨论得 由( 32 5 ) 式得 由( 3 18 ) 和( 3 2 4 ) 式得 ，1 一dz j ) ，n o o ，：= 2 9 f 1 2 1 = o p ( 1 ) 0 p2 9 2 i 叩，阵2 b i 兄1 3 - o ( ml i1 ) 3 = op ( g 。1 ) = o p ( 1 ) ，从而知 综合( 3 2 6 ) ，( 3 2 7 ) ，( 3 2 8 ) 及( 3 2 9 ) 式得 ( 32 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) _ 船h 2+ 疗 船h y 船m 2 | i )y + 0昭 玷h ， i i ) 吼 ( r 唱 2 吁 堙m 2+ m 卢 s+一y而s 堙 一 卢 一2 s+一yl 善 一2 s l 石 幻h 2 + k m 堙h 功 l 善 墨敌 叩 堙 2+ ， + ，二 。 + 吼 ， p = ( 日 。m 1 一n = 一y中其 定理2 证毕 ，( 吼) 斗dz ：、，n 寸0 0 4 注解 ( 3 3 0 ) 本文两个定理给出一些条件，比如象条件a ( 3 ) ，a ( 4 ) 和b ( 3 ) ，b ( 4 ) ，都对样本有一定的要 求。实际上，在一些情况下条件a ( 3 ) ，a ( 4 ) 和b ( 3 ) 是能够被满足的r 面给出些实例： 例1 若已知h ( x ，o o ，) = ( 一) 2 0 0 ，且满足e h2 ( ，0 0 ，) o 。，其中 = e x ，0 0 = 砌脯= 仃2 ，取p = 1 窆一x 。2 i ，其中x l ，a z 。取自总体z 的强平稳驴混 合样本，并且混台速度满足庐i ( f ) 0 ( 3 ，则有 i = l 利用引理4 知 从而有 去善nh ( z 。，0 0 ，丘) 一去喜( x r ，吼，脚 = 去喜i 五一i ，2 一仃2 一言喜l x r 一，2 一盯2 】 = ( x 一) 2 一i ：o p ( ) 、n 去喜刚0 0 舻i 窆，h ( x 勰棚吨( 扣，( 旁 因此满足条件a ( 4 ) 例2 若已知h ( x ，吼，卢) = ( x 一) 2 一吼，且满足e h 4 ( x ，0 0 ，) 0 0 ，其中 = e x ，0 0 = 砌搿爿，取应= 去喜即_ ，其蝎，似。魄总体x 的强平稳矿混 合样本，并且混合速度满足矿2 ( f ) 。，则有 i = 1 喜2 ( ”0 0 ，丘) = 去喜 ( x 。一牙) 2 一盯2 2 2 去喜 ( 五一) 2 一盯2 2 + 去喜( 一牙) 4 + ( 一牙) 2 去喜( x 。一) 2 m 坷) 2 音善峭刊2 町2 + ( 。焉善 ( x i - ) 2 - 矿 ( x i - 脚 m 。) 焉萎( 即胁 利用引理4 ，从而有 吉喜职o o 川= 州日( x ，o o 川) + d p ( 1 ) _ 冈此满足条件a ( 3 ) 同理，类似上述方法可得例2 也满足条件b f 3 ) 另外，本文不仅将崔恒建文献 1 中条件0 0 = e h ( x ，) 推厂到更一般的估计方程 e h ( x ，o o ，) = 0 ，而且在样本为强平稳混合序列情形下讨论带有讨厌参数的经验似然 比置信区域，所得到结果类似独立同分布情形当h ( x ，0 ，) = h ( x ，) 一0 ，0 为实数时， 所得的置信区域为一区间( 见文献 1 ) 。文中关于h ( x ，0 ，) ，其白变量的维数大于1 时，其方法和推导仍然成立 参考文献 【1 崔恒建，带有讨厌参数的经验似然比置信区间，北京师范大学学报，1 9 9 5 ，3 1 ：1 - 5 2 】林止炎，相依样本情形时密度的核估计，科学通报，1 9 8 3 ，1 2 ：7 0 9 7 1 3 3 】3 刘京军，陈平炎，甘师信，混合序列的大数定律，数学杂志，1 9 8 8 ，1 8 ：9 1 9 5 4 陈希孺，高等数理统计，中国科学技术人学山版社，合肥，1 9 9 9 【5 s a m o u l j d ，c o n v e r g e n c eo fs u m so fm i x i n gt r i a n g u l a ra r r a y so fr a n d o mv e c t o r sw i t h s t a t i o n a r yr o w s ，a n np r o b a b i l i t y , 1 9 8 4 ，1 2 ：3 9 0 4 2 6 6 】张军舰，王成名等，相依样本情形下经验似然比置信区间，高校应用数学学 报1 9 9 9 1 4 ：6 3 7 2 7 孽留根，混台序列强人数律的收敛速度，系统科学与数学，1 9 9 4 ，1 4 ：2 1 3 2 2 i 8 o w e n ，a b ，e m p i r i c a ll i k e l i h o o dr a t i oc o n f i d e n c ei n t e r v a l sf o ras i n g l ef u n c t i o n ，b i o m e t r i k a ， 1 9 8 8 ，7 5 ：3 7 2 4 9 9 o w e n ，a ，b ，e m p i r i c a ll i k e l i h o o dc o n f i d e n c er e g i o n s ，a n n s t a t i s t ，1 9 9 0 ，1 8 ：9 0 1 2 0 【1 0 陆传荣，林止炎，混合相依变量的极限理论，科学出版社，北京，1 9 9 7 f 1 1 1 严士建等，概率论基础，科学出版社，北京，1 9 8 2 1 2 】李朝刚，王伯成，方差的经验似然比置信区间，工科数学，1 9 9 6 第1 期 1 3 】秦永松，有偏模型中一类统计泛函的经验似然估计及渐进性质，应用数学1 9 9 8 第3 期 1 4 1 o w e n ，a b ，e m p i r i c a l l i k e l i h o o d f o r l i n e a r m o d e la n ns t a t i s t ，1 9 9 1 ，4 ，1 7 2 5 1 7 4 7 1 5 秦永松，条件分位数和条件密度的经验似然比置信区间，数学年刊1 9 9 0 年第5 期 1 6 秦永松，部分线性模型参数的经验似然比置信区域，应用概率统计，1 9 9 9 年第4 期 1 7 s o n g x ic h e n ， e m p i r i c a l l i k e l i h o o di n t e r v a l s f o r n o n p