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鞅变换及其相关问题 摘要 本文主要考虑了右过程的鞅变换的相关问题首先，我们考虑了满足一定条件 的右过程在g i r s a n o v 变换下的转移概率密度的表达式问题；其次，我们考虑了由 m a r k o v 调制的l 6 v y 过程的最小相对熵鞅测度的问题，证明了其最小相对熵鞅测度 是某个状态转换e s s c h e r 变换；最后，我们考虑了右过程的不变测度及其遍历性的 问题 本文的具体安排如下： 本文主要分为五章第一章介绍了第三、四、五这三章我们所研究问题的背景 以及我们得到的结果第二章简单介绍了后而三章里所用到的重要概念和重要的定 理以及些重要的性质，有关第二章的内容可参见【l 】， 1 5 ， 1 6 1 ， 2 5 1 ，f 2 6 ， 3 1 在第三章罩，我们得到了右过程在g i r s a n o v 变换下的转移概率密度表示公式 q i a n 和z h e n g ( 2 4 j ) 建立了由一个向量场扰动的扩散过程的转移概率密度表示公 式，他们所考虑的过程是扩散过程，不需要考虑l 6 v y 系在这一章里，我们考虑更 般的情况，d 2 就是带有跳的右过程，由于我们所考虑的右过程具有跳，因此需要计 算m a r k o v 桥( 首次在【1 1 】中出现它的定义) 和变换后过程的l 6 v y 系我们得到的 右过程在g i r s a n o v 变换下的转移概率密度表示公式，对于获得由漂移变换后过程 的转移密度函数的信息非常有用，因此其本身具有重要的理论和实际价值此外，我 们还得到了右过程在e s s c h e 变换下的转移密度表示公式及变换后过程的无穷小生 成元 在第四章里，我们得到了m a r k o v 交换l 6 v y 过程的最小熵鞅测度f u j i w a r a 和 m i y a h a r af 1 2 1 与e s c h e 和s c h w e i z e r ( 【9 ) 分别研究了几何l 6 v y 过程与l 6 v y 过程 的最小熵鞅测度e l l i o t t ，c h a n 和s i uf 6 ) 研究了当风险资产是由m a r k o v 调制的 几何b r o w n 运动驱动的期权定价问题，采用了状态转换e s s c h e r 变换( 是文献f 2 8 】 中介绍的随机e s s c h e r 变换的修正) ，得到了由m a r k o v 调制的几何b r o w n 运动的 最小熵鞅测度e l l i o t t 和o s a k w e ( i s ) 研究了具有m a r k o v 交换补偿予的纯跳过程 的期权定价问题在这章里，我们研究了当风险资产是由m a r k o v 调制的l 6 v y 过 程的随机指数所驱动的不完备市场下的期权定价问题，证明了最小相对熵鞅测度是 某个状态转换e s s c h e r 变换 在第五章里，我们得到了常返右过程的不变测度的存在性、唯一性及其遍历性 对于正常返的m a r k o v 链而言，它存在唯一的不变测度在什么条件下一个m a r k o v 过程存在不变测度是非常有趣的问题，这个问题已经被一些学者研究过文献【2 1 l 和文献【2 9 】，证明了一维常返扩散过程存在唯一的不变测度k h a s m i n s k i i ( 【1 9 】) 研 究了乒紧完备距离空间上常返扩散过程的遍历性m a r u y a m a 和t a n a k a ( e 2 2 1 研 究了 r 维欧氏空间上常返且具有强m a r k o v 性的m a r k o v 过程的遍历性问题在 这一章里我们考虑了p o l i s h 空间上的常返右过程的不变测度的存在性及其遍历性 的问题 关键词：g i r s a n o v 变换转移密度函数无穷小生成元l d v y 系 m a r k o v 桥最小熵鞅测度e s s c h e r 变换不变测度常返性遍历性 2 0 0 0m r 主题分类：6 0 g 0 7 ，6 0 g 4 4 ，6 0 g 5 1 ，6 0 h 1 0 ，6 0 j 2 5 ，6 0 g 3 5 ，6 0 j 4 0 ，6 0 j 7 5 ，9 0 8 2 4 9 4 a 1 7 中图分类号：0 2 1 1 6 2 ，0 2 1 1 6 3 m a r t i n g a l et r a n s f o r ma n dr e l a t e dp r o b l e m s a b s t r a c t t h ep r e s e n tp h d t h e s i sm a i n l yd e a l sw i t ht h et h em a r t i n g a l et r a n s f o r mf o r r i g h tp r o c e s s e sa n dr e l a t e dp r o b l e m s f i r s t l y , w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mo ft h er e p - r e s e n t a t i o nf o r m u l af o rt h et r a n s i t i o np r o b a b i l i t yd e n s i t yo far i g h tp r o c e s su n d e r g i r s a n o vt r a n s f o r m s e c o n d l y , w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mo ft h em e m m s ( m i n i m a l e n t r o p ym a r t i n g a l em e a s u r e ) f o rm a r k o vs w i t c h i n gl d v yp r o c e s s e s ，a n dj u s t i f yt h a t t h em i n i m a le n t r o p ym a r t i n g a l em e a s u r ei so b t a i n e db ys o m er e g i m es w i t c h i n ge s - s c h e rt r a n s f o r m a tl a s t ，w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mo ft h ei n v a r i a n tm e a s u r ea n dt h e e r g o d i cp r o p e r t yo fr e c u r r e n tr i g h tp r o c e s s e s t h i sp a p e ri n c l u d e s5c h a p t e r s i nc h a p t e rl ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d o ft h et h i r d ，t h ef o u r t ha n dt h ef i f t hc h a p t e r sa n do u rr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，w e i n t r o d u c es o m ei m p o r t a n tc o n c e p t s ，t h e o r e m sa n dp r o p e r t i e sw h i c ha r eu s e di nt h e f o l l o w i n gt h r e ec h a p t e r s f o rt h ec o n t e n to ft h es e c o n dc h a p t e r ，w ec a d s e e 1 】， 15 】， 【1 6 ，【2 5 2 6 】， 3 1 1 i nc h a p t e r3 ，w eo b t a i nt h er e p r e s e n t a t i o nf o r m u l af o rt h et r a n s i t i o np r o b a - b i l i t yd e n s i t yo far i g h tp r o c e s su n d e rg i r s a n o vt r a n s f o r m q i a na n dz h e n g ( 【2 4 】) e s t a b l i s h e dar e p r e s e n t a t i o nf o r m u l af o rt h et r a n s i t i o np r o b a b i l i t yd e n s i t yo fa d i f - f u s i o np e r t u r b e db yav e c t o rf i e l d i nt h ec a s eo f ( 2 4 1 ，t h e yc o n s i d e r e dt h ed i f f u s i o n p r o c e s s e sw h e r et h el 卿s y s t e m sd i s a p p e a r e d i nt h i sc h a p t e r ，w es h a l lc o n s i d e ra m u c hm o r eg e n e r a lc a s et h a ti sa r i g h tp r o c e s sw i t hj u m p s w h i l ei no u rc a s e ，s i n c e t h ep r o c e s sh a sj u m p s ，w eh a v et oc o m p u t el d v ys y s t e m so ft h em a r k o v i a nb r i d g e ( w h i c hi sf i r s t l yd e f i n e di n 1 1 ) a n dt h et r a n s f o r m e dp r o c e s s t h er e p r e s e n t a t i o n f o r m u l af o rt h et r a n s i t i o np r o b a b i l i t yd e n s i t yo far i g h tp r o c e s su n d e rg i r s a n o vt r a n s - f o r mw eo b t a i n e di sv e r yu s e f u li no b t a i n i n gi n f o r m a t i o na b o u tt h ed e n s i t yf u n c t i o n s p e r t u r b e db ya d r i f tt r a n s f o r m t h e r e f o r ei th a st h e o r e t i ca n dp r a c t i c a lv a l u e sb yi t s o w n w ea l s oo b t a i nt h er e p r e s e n t a t i o nf o r m u l af o rt h et r a n s i t i o np r o b a b i l i t yd e n s i t y o far i g h tp r o c e s su n d e re s s c h e rt r a n s f o r ma n dt h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro ft h e t r a n s f o r m e dp r o c e s s i nc h a p t e r4 ，w eo b t a i nt h em e m m sf o rt h em a r k o vs w i t c h i n gl d v yp r o c e s s e s t h em e m m sf o rl d v yp r o c e s s e sa n dg e o m e t r i cl 嘶p r o c e s s e sh a v e b e e ns t u d i e db y 9 l a n d 【1 2 】- e l l i o t t ，c h a r ta n ds i n ( 【6 】) i n v e s t i g a t e dt h eo p t i o np r i c i n gp r o b l e mw h e n t h er i s k yu n d e r l y i n ga s s e t sw e r ed r i v e nb ym a r k o v - m o d u l a t e dg e o m e t r i cb r o w n i a n m o t i o n t h e r et h e ya d o p t e dt h er e g i m es w i t c h i n ge a s c h e rt r a n s f o r mw h i c hw a st h e m o d i f c a t i o no ft h er a n d o me s s c h e rt r a n s f o r mi n t r o d u c e db y 【2 8 j t h e yj u s t i f i e d t h e i rp r i c i n gr e s u l tb yt h em i n i m a le n t r o p ym a r t i n g a l em e a s u r e e u i o t ta n do s - a k w e ( 8 ) s t u d i e dt h eo p t i o np r i c i n gf o rp u r ej u m pp r o c e s s e sw i t hm a r k o vs w i t c h i n g c o m p e n s a t o r s i nt h i sc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t et h eo p t i o np r i c i n gp r o b l e mw h e nt h e r i 8 k yu n d e r l y i n ga s s e t sa r ed r i v e nb ym a r k o v - m o d u l a t e dl d v yp r o c e s sa n dw ej n s t i f y t h a tt h em i n i m a le n t r o p ym a r t i n g a l em e a s u r ei so b t a i n e db ys o m er e g i m es w i t c h i n g e s e c h e rt r a n s f o r m i nc h a p t e r5 ，w eo b t a i nt h ei n v a r i a n tm e a s u r ea n dt h ee r g o d i cp r o p e r t yo f r e c u r r e n tr i g h tp r o c e s s e s f o rap o s i t i v er e c u r r e n tm a r k o vc h a i n ，t h e r ee x i s t sa u n i q u ei n v a r i a n td i s t r i b u t i o n i ti 8i n t e r e s t i n gt os t u d yt h a tu n d e rw h a tc o n d i t i o n s am a r k o vp r o c e s sh a sa ni n v a r i a n tm e a s u r e t h i sq u e s t i o nh a sb e e ns t u d i e db y m a n ya u t h o r s 【2 1 】a n d 【2 9 lh a dp r o v e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fa ni n v a r i a n t m e a s u r ea n dt h ee r g o d i cp r o p e r t yf o ro n e - d i m e n t i o n a lr e c u r r e n td i f f u s i o np r o c e s s e s k h a s m i n s k i i ( i t 9 ) s t u d i e dt h ee r g o d i cp r o p e r t i e so fr e c u r r e n td i f f u s i o np r o c e s s e so n a a - c o m p a c tc o m p l e t em e t r i cs p a c e m a r u y a m aa n dt a n a k a ( 2 2 ) s t u d i e dt h es a n l e q u e s t i o n sf o rr e c u r r e n tm a r k o vp r o c e s si nn - d i m e n t i o n a le u c l i d e a ns p a c e 融w h i c h h a v er i g h tc o n t i n u o u sp a t h sa n dt h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t y i nt h i sc h a p t e r ，w e c o n s i d e rt h er e c u r r e n tr i g h tp r o c e s so np o l i s hs p a c e k e y w o r d s ：g i r s a n o vt r a n s f o r m t r a n s i t i o nd e n s i t yf u n c t i o ni n f i n i t e s i m a l g e n e r a t o r u 、，ys y s t e m m a r k o v i a nb r i d g em e m me s s c h e rt r a n s - f o r mi n v a r i a n tm e a s u r e r e c u r r e n tp r o p e r t y e r g o d i cp r o p e r t y 2 0 0 0m r s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：6 0 g 0 7 ，6 0 g 4 4 ，6 0 g 5 1 ，6 0 h 1 0 ，6 0 j 2 5 ，6 0 g 3 5 6 0 j 4 0 ，6 0 j 7 5 ，9 0 8 2 4 ，9 4 a 1 7 c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o n ：0 2 1 1 6 2 ，0 2 1 1 6 3 m 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果论文中 除了特别加以标注和致谢的地方外不包含其他入或其它机构已经发表或撰写 过的研究成果其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确 的声明并表示了谢意 懒各塞琏面日期：坦z 聋组石曰 论文使角授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定即：学校有权保 留送交论文的复印件，允许论文被查阏和借阅：学校可以公布论文的全部或部 分内容可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文保密的论文在解密后 遵守此规定 作者签名：骞蛳导燃：复避日期：缉 第一章绪论 鞅变换是随机过程理论中很重要的变换之一，特别是g i r s a n o v 变换无论在理 论上还是在应用领域都起着很重要的作用c a m e r o n - m a r t i n 定理是随机分析中最 重要的结果之一下面我们简介c a m e r o n - m a r t i n 定理 假设( p ，w ：) 是欧氏空间j p 上的b r o w n 运动，其转移半群b ( 孔由) 具有转 移密度函数h ( t ，$ ，) ，即 最，( z ) = p ，( 五) = l f ( ) 日o ，z ，可) 其中 h ( t , x , y ) 一南e x p ( 一譬) 考虑下面的随机微分方程 d x t = d w t + 6 ( x t - ) 出；x o = $ ( 1 1 1 ) 其中6 ( z ) 一( 6 t ( z ) ) = ：l6 ( 。) 刍是f p 上有界可测向量场记( 玩；t2o ) 是 b r o w n 运动的自然流，定义一个概率测度q 。： 筹l 巩：= 懿p ( z 6 ( 鹏) d 睨一；z j 6 1 2 ( 巩) ， 则有下面著名的c a m e r o n - m a r t i n 定理 定理1 1 c a m e r o n m a r t i n 随机过程( w t ，q - ) 是随机微分方程一1 的唯 一解 目前有很多工作研究随机过程经过鞅变换后的一些性质q i a n 和z h e n g ( 2 4 1 ) 主 要考虑了扩散过程在鞅变换后转移密度函数的表示公式具体地，如果( 托，。线，p ) 是上的扩散过程，其无穷小生成元为 l = ；争最+ 委驴去 第一章绪论 设c 是有界向量场，即 l c l 2 = 一 是有界的，其中( ) = ( ) - 1 是矩阵( 矿) 的逆矩阵记五= m t + a t 是过程 ( 托，尸2 ) 的半鞅分解，令 p w = e x p f o 荨( 五硫( 五) d 膨一云1z 等( 五) ( 五) 一( 五) 驯 则( r t ) 是一个正p 。一鞅构造一族概率测度驴， 篓1 ：忌， 护z i 藏 一 则过程( 五，驴) 是扩散过程，其无穷小生成元是 伊一砉毫 假设转移半群只( z ，d y ) 具有正连续的转移密度h c z ，t ，y ) ，记p ( z ，t ，分) 为扩散过程 ( 托，玩，驴) 的转移密度q i a n 和z h e n g ( 1 2 4 1 ) 得到了p ( z ，t ，y ) 是h ( x ，t ，! ，) 与由漂 移变换产生的积分的和，具体地有如下表示： 定理1 2 假设h ( x ，t ，y ) 和p ( x ，t ，) 关于y 连续，函数y 一群4 ( r r ) 是连 续的。则 p ( x ，t ，y ) = ( z ，z 可) + p 2 ( 仉( c ( k ) ，v 。h ( x t ，t t ，) ) 9 ) d t ， 其中( c ( 咒) ，v z ( 托，t t ，) ) 9 = d j ：l 助( 五) ( 托) 击( ( 五，t t ，) ) ，碍= p ( | 坼= ) r 扩散桥的概率测度， 在文献 2 4 】中，作者主要是用扩散桥作为桥粱来得到扩散过程在鞅变换后的转 移密度函数的表达公式我们在第三章中把文献【2 4 】中的扩散过程推广到更加一 般的具有跳的右过程我们采用文献 1 1 】中m a r k o v 桥的定义，以m a r k o v 桥作为 桥梁得到了右过程在一定条件下经过鞅变换后的转移密度的表达公式我们简介如 下假设 x = ( q ，箩，只，托，巩，严) 2 第一章绪论 是一个以( ，劈) 为状态空间的时齐右过程，其轨道是右连左极的这个过程的转 移半群只( z ，d y ) 具有正转移密度 ( z ，t ，掣) ，也就是 只( z ，d y ) = a ( x ，t ，) 由 假设过程x 是一个半鞅，其积分表示为 五= 凰+ 嚣+ a + f o 厶u m 阱，p ，砒) + z 。厶u - m 卜a ，p ( 缸如) ， 其中x 。是x 的连续鞅部分，并且对于1 t ，jsd ，有( 柳，碍) t = 露( k ) 如，仇j 留，a 。是零初值的可预料有限变差过程，v 是此过程的跳测度，矿是跳测度v 的对 偶可预料投影，记肛：= 一矿另外还假设右过程x 存在一个关于l e b e s g u e 测度 对偶的右过程贾记( ，1 0 为x 的l 4 v y 系，假设l t t = j ： ；q x , ) d s ，其中a 是有 界的，( a ，d ( a ) ) 为过程x 的无穷小生成元记x 的局部鞅部分是 形：= 搿+ z f , u l l u l 0 t 的d o l 6 a n s - d a d e 指数是 ( ) t = 唧( 肌一；( 。) t ) y i ( 1 + h u , ) e 一肌， 一 o d l 对于口e ，在流。红上定义概率测度p 一一， 筹db 刃p zl 巩1 4 第一章绪论 测度p 称为p 的e s s c h e r 变换测厦 注：e s s c h e r 变换并不是3 3 节中介绍的变换的一种特殊情况 设矿( z ，t ，y ) 为过程( x ，玩，p ) 的转移密度函数，我们得到了矿( z ，t ，) 的表 达式( 定理3 5 ) 以及过程( x ，玩，p ) 的无穷小生成元( 定理3 6 ) 定理3 5 设h ( x ，t ，可) 和矿( 为t ，y ) 关于y 连续，函数y 一珲( 召) 也是连 续的，记 砸 舢) = = ，l ( z , t - s , y m 揣， 则 矿0 ，t , y ) = 0 ，z 可) + p 。( z 2 妒，v h ( x 一，t s ，掣) ) 。) d s + p z t 厶让五( = ，咒 酬e 矿扛一剐一1 ) a ( 咒) ( 咒，d z ) d 8 定理3 6 记l o 为过程( x ，舅，p 一) 的无穷小生成元，则对于f d ( a ) n 俨， 有 l 9 ，扛) = a f ( x ) + 徊，v ，( z ) ) 口+ e 。7 。一姊( e 矿( ；一。) 一1 ) ( ，( z ) 一，( 名) ) a ( z ) ，d z ) j r d g e r b e r 和s h i u ( 1 4 ) 首次将e s s c h e r 变换应用到期权定价当中，他们用最大期 望效用来解释引用e s s c h e r 变换的原因事实上，还有一种有用的解释就是用e s s - c h e r 变换研究最小熵鞅测度，可参考f 2 】 9 】 1 2 j 在数学金融理论中，最重要的问题之一就是确定贴现的价格过程的等价鞅测度 在完备市场中，贴现的价格过程存在唯一的等价鞅测度但是在不完备的市场中，贴 现的价格过程的等价鞅测度并不是唯一的，如何在诸多的鞅测度中选取一个合适的 等价鞅测度成为人们关心的问题下面的对偶结果提供了一种寻求合适的等价鞅测 度的方法记m e 为贴现的股票价格过程s 的等价鞅测度的集合，e 为某些可预料 函可积过程的集合概率测度q 关于概率测度p 的相对熵定义为 日旧，p ，：= + 昂c o 罗蜿器】罢盖了只 l， 宙则 第一章绪论 最小熵鞅测度是通过一个重要的对偶结果与最优投资策略指数期望效用相联 系( 可参考1 3 】，【1 7 l ，【2 7 】) ： ，t s 啪u p e p 一e x p ( 一o t d s t ) = 一e x p ( 一蕊。h ( q j o ，p ) ) p e v t m 此对偶结果对于各种可行策略空间e 都是适用的比如，我们可以选择e 其包含 所有可预料过程口，对于所有具有有限相对熵的q 朋。，使得f o d s 是q - 鞅最 小熵鞅测度q g 如果存在则其必唯一( 可参考f 1 3 】) 由此对偶结果可知，找出最小 熵鞅测度( m e m m ) 具有非常重要的理论和实际价值 e l l i o t t ，c h a r t 和s i u ( 1 6 1 ) 研究了当风险资产是由m a r k o v - 调制的几何b r o w n 运动驱动的期权定价问题，他们采用了状态转换e s s c h e r 变换( 【2 8 】中介绍的随机 e s s c h e r 变换的修正) ，得到了m a r k o v - 调制的几何b r o w n 运动的最小熵鞅测度 e l l i o t t 和o s a k w e ( 8 ) 研究了具有m a r k o v 变换补偿子的纯跳过程的期权定价问题 在第四章里，我们得到了m a r k o v 交换l d v y 过程的最小熵鞅测度是某个状态转换 e s s c h e r 变换我们所研究的贴现的定价过程是由m a x k o v 交换l d v y 过程的随机指 数驱动的我们简介如下： 假设( 厶) t 丁是概率空间( q ，步，p ) 上的l d v y 过程，其中t = 【o ，刁，其标准 分解为 厶= 耐+ a + o 上$ n ( d s , d x ) 一2 上从h ( d x ) ， 其中h ( x ) = x l i z l ( 1 设过程u = 阢，t o ，是概率空间( q ，莎，p ) 上的m a x k o v 链，独立于b r o w n 运动( n ) 和跳过程( 厶) ，状态空间为 e l ，e 2 ，e n ) ，其中 岛= ( 0 ，0 ，l ，0 ，o ) j 矿 假设对于每个状态j ，有唧，o 和补偿测度玛( d x ) d t 与之对应在概率p 下，令 ，r ( d 8 ，d x ) 是跳测度的补偿测度，其中 n i r ( d s ，出) ：= 似一，e j ) i i j ( d z ) d s j f f i l 记8 ：= ( a l ，n 2 ，a n ) 舻，口：= ( 0 1 ，0 2 ，) 舻，在时刻s 的漂移为a 。：= 6 第一章绪论 ( u s ，n ) 以及波动率为口。：= ( 以，盯) 定义m a r k o v 交换l 4 v y 过程为 耻厶蚺z 。以d 眦+ “z n ( d s 川一z 上m d s ，如) 记 玩”) t 丁为p 强化的 x t t 丁的自然流，对每个t t ，记穸y - 盯 以，ss t ) ，伤：= 。夥v 。掣在流缓上关于一族参数为 以，7 的状态转换e s s c h e r 变换 p 口一p ，由下式定义 飘：= 蠢器，石i 砚：。两丽赤厕蚝l 假设贴现股票价格过程 & ) t 7 是m a r k o v 变换l 4 v y 过程的随机指数： & = 岛占( x ) f ，t t ， 其中s o = s 0 ，对于毛t t 以及s t ，令砺j ：= 箩yv 莎由于m a r k o v 链 产生的不确定性，我们考虑关于扩大的流的鞅条件记 m 8 ：= q ：q p s ) c 丁关于流 绣，) t 和【0 t l ；黾q o 鞅) 我们所考虑的等价鞅测度q 是指q h 4 。，对于q m 。，任何丁，有 e p s t l 。秽】= s o ( 1 1 2 ) ( i i 2 ) 式称为鞅条件 注：鞅条件中关于。犁的条件期望可以理解为市场上的经理人提前了解到隐 m a r k o v 链u 的信息 对于任意关于概率测度p 绝对连续的概率测度q ，我们定义q 关于p 的相对 熵过程衄( q ，p ) 为 凰( q ，p ) ：= e q 1 0 9 露i 莎期， 其中 帮：= 器f 矾 在第四章里，我们得到了m a r l 【0 v 交换l 6 v y 过程的最小熵鞅测度是某个状态转换 e s s c h e r 变换( 定理4 1 ) 第一章绪论 定理4 1 如果存在p = ( 一1 ，以) 俨，对于任何j = 1 ，2 ，竹，使得 | z 毋。一h ( x ) l j ( 如) 0 ， 如果f a ，则有u 。，g 8 第一章绪论 3 。对于任意开集dce ，任意d 上有界b o r e t 函数，使得 u ( a ) = 酽( ，( x ( 盯d ) ) ；盯d + 。o ) 关于n d c 连续 对于z e ，a ，记 p d ( 。，a ) ：= p 。( d a ，叼 + o o ) ， ( z ，a ) ：= 酽e - - 。t l a ( 五) 幽，：= 噶 ，4 d j 0 取e 的两个开子集d l ，d 2 ，使得百1 ，岛是紧的并且d 1n 反= 0 令 及 f r l ( o r ) ：= ( 7 d 1 ) ， 西i ：= i n 一1 + 9 lo 目h i 蜀：= 西l n 猡， 丁1 ) ：= ( 7 1 + o d 2o 以l ， ：= + 0 d 2o 以。，n 22 易：= d 2 n 毋 k ：=