（概率论与数理统计专业论文）随机环境中的单生链和广义随机游动.pdf

摘要 随机环境中生灭链和随机环境中随机游动是随机环境中马氏链 的两类重要模型t o r r e z ( 1 9 7 9 ) 借助于矩阵求出了两边界均为吸收 壁的随机环境中生灭链的灭绝概率本文在第一章中借鉴此方法， 研究了状态空间为 o ，1 ，m ) 具有反射壁的随机环境中单生链的灭 绝概率，得到了关于灭绝概率的差分方程随机环境中生灭链作为 随机环境中单生链的特例，相应的结果也在文中得到，井应用到具体 的例子 s o l o m o n ( 1 9 7 5 ) 引进了随机环境中随机游动的概念，在整数 集上证明了该模型的存在性，并得到了它的极限定理汪荣明( 1 9 9 3 ) 求出了状态空间为非负整数集的随机环境中随机游动的灭绝概率， 并得到明确的表达式随机环境中广义随机游动是随机环境中随机 游动的自然推广本文在第二章中具体构造出了非负整数空间上的 随机环境中广义随机游动，验证了其存在性，得到了其灭绝概率的 具体表达式具体而言，本文有如下主要结论： 1 求出了。为吸收壁的马氏环境中单生链的灭绝概率 2 求出了0 为吸收壁，m 为反射壁的马氏环境中单生链的灭绝 概率 3 求出了0 为吸收壁，m 为反射壁的马氏环境中生灭链的灭绝 概率 4 求出了0 为吸收壁，m 为反射壁的马氏环境中齐次生灭链的 灭绝概率。 5 求出了状态空间为非负整数集的随机环境中广义随机游动的 灭绝概率 关键词：随机环境马氏环境生灭链单生链广义随机游动 灭绝概率 a b s t r a c t t h eb i r t ha n dd e a t hc h a i ni nar a n d o me n v i r o n m e n ta n dt h e s i n g l eb i r t hc h a i ni nar a n d o me n v i r o n m e n ta r et w oi m p o r t a n t m o d e l so fm a r k o vc h a i ni nar a n d o me n v i r o n m e n t ，t o r r e zf1 9 7 9 1 c a l c u l a t e dt h ee x t i n c t i o np r o b a b i l i t i e sf o rt h eb i r t ha n dd e a t h c h a i ni nar a n d o me n v i r o n m e n tw i t hi t sb o t hb o u n d a r yp o i n t s a 8a b s o p t i o nb a r r i e r s i nc h a p t e ro n eo ft h i st h e s i s l u s i n gt h e m e t h o d a p p e a r i n g i nr e f 7 】a u t h o rc a l c u l a t e st h ee x t i n c t i o n p r o b a b i l i t i e sf o rt h es i n g l eb i r t hc h a i ni nar a n d o me n v i r o n m e n tw i t h ar e f l e c t i o nb a r r i e r a n do b t a i n st h ev e c t o rd i f i e r e n c ee q u a t i o n s a b o u tt h e m e x t i n c t i o np r o b a b i l i t i e sf o rt h eb i r t ha n dd e a t h c h a i ni nar a n d o me n v i r o n m e n t as p e c i a lc a s eo ft h es i n g l e b i r t hc h a i ni nar a n d o me n v i r o n m e n ta r ea l s oo b t a i n e da n dt h e r e s u l t sa r ea p p l i e di n t oe x a m p l e s s o l o m o n ( 1 9 7 5 ) i n t r o d u c e dt h e c o n c e p to fr a n d o m w a l ki nar a n d o m e n v i r o n m e n t ，p r o v e d t h ee x i s t e n c eo ft h em o d e lo nt h es e to fi n t e g e r s ，a n do b t a i n e di t s1 i m i t t h e o r e m s w a n gr o n g m i n g ( 1 9 9 3 ) c a l c u l a t e d t h ee x t i n c t i o np r o b a b i l i t i e sf o rac l a s so fr a n d o mw a l ki nar a n d o me n v i r o n m e n tw i t h t h es e to fn o n - n e g a t i v ei n t e g e r sa ss t a t es p a c e g e n e r a l i e dr a n - d o r aw a l ki nr a n d o me n v i r o n m e n t si st h en a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no f r a n d o mw a l ki nr a n d o me n v i r o n m e n t s i nc h a p t e rt w o ，a u t h o r c o n s t r u c t st h em o d e lo fg e n e r a l i z e dr a n d o m w a l ki nr a n d o me n v i r o n m e n t so nt h es e to f n o n - n e g a t i v ei n t e g e r s ，p r o v e si t se x i s t e n c e ， a n do b t a i n se x p l i c i tf o r m u l ao fi t se x t i n c t i o np r o b a b i l i t i e s t h e m a i nr e s u l t sa r ec a l c u l a t e da st h ef o l l o w i n g ： 1 e x t i n c t i o np r o b a b i l i t i e sf o rt h es i n g l eb i r t hc h a i ni nm a r k o v i a ne n v i r o n m e n tw i t ha na b s o r p t i o nb a r r i e r0 2 e x t i n c t i o np r o b a b i l i t i e sf o rt h es i n g l eb i r t hc h a i ni nm a r k o 一 3 a ne n v l r o n m e n tw i t ha na b s o r p t i o nb a r r i e r 0a n dar e f l e c t i o n b a r r i e rm 3 e x t i n c t i o np r o b a b i l i t i e sf o rt h eb i r t ha n dd e a t h c h a i ni n m a r k o v i a ne n v i r o n m e n t w i t ha n a b s o r p t i o nb a r r i e r0a n dar e t t e c t i o nb a r r i e rm 4 e x t i n c t i o np r o b a b i l i t i e sf o r t h eh o m o g e n e o u sb i r t h a n d d e a t hc h a i ni nm a r k o v i a ne n v i r o n m e n tw i t ha na b s o r p t i o nb a r _ t i e r0a n dar e f l e c t i o nb a r r i e rm 5 e x t i n c t i o np r o b a b i l i t i e sf o rt h eg e n e r a l i z e dr a n d o m w a l k m a x i d o me n v i r o n m e n t sw i t ht h es e to f n o n - n e g a t i v ei n t e g e r sa 8 s t a t es p a c e k e yw o r d s ：r a n d o me n v i r o n m e n t m 解k o v i a ne n v i r o n - m e n tb i r t ha n dd e a t hc h a i n s i n g l eb i r t hc h a i n g e n e r a l i z e d r a n d o mw a l k e x t i n c t i o np r o b a b i l i t y 4 前言 随机环境中马氏链是马氏链的推广，是近年来发展比较快的一 个新的研究方向这一方面的研究工作主要沿着两条线索展开一 方面是将马氏链中已有的结论在某种意义下拓广到随机环境模型中 去，正如将一元函数的许多性质推广到多元函数一样，这种思路是 非常自然的迄今为止，许多随机环境中的研究成果就属于这一种 类型。另一方面是通过对非时齐马氏链的研究来达到研究随机环境 中马氏链的目的因为给定环境过程的一个现实，随机环境中马氏 链即变成了一个非时齐马氏链。但从确定环境的研究推广到随机环 境，不是简单地将原有结论平移就行了，研究中经常会遇到许多本 质性的困难，需要引进许多新概念和新方法。一般来说，随机环境中 马氏链当然不是普通意义的马氏链，不具有马氏性目前有关随机 环境中马氏链的严格数学理论和成果还不是很多，绝大部分的成果 产生于研究具体的过程和模型随机环境中生灭链和随机环境中随 机游动就是两类重要的随机环境中的马氏链模型 t o r r e z ( 1 9 7 8 ，1 9 7 9 ) 引入了状态0 为吸收壁的马氏环境中生灭 链的概念，证明了一致咖常返环境中生灭链以概率1 不稳定，并 计算了马氏环境中生灭链的灭绝概率c o r r e z ( 1 9 8 7 ) 引入了一种 特殊的生灭链模型一具有反馈的随机环境中生灭链，给出了此模型 几乎处处灭绝或者以正概率非灭绝的充分条件s o l o m o n ( 1 9 7 5 ) 写出了第一篇关于随机环境中随机游动的论文，讨论了其存在性， 得到了其常返和非常返的充要条件，并对其极限性质进行了研究 c s s r 9 5 h o r v 矗t h 和r 6 v 6 s z ( 1 9 8 7 ) 讨论了随机环境中随机游动局部 时的稳定性，b o l d r i g h i n i ，i g n a t y u k 等( 1 9 9 2 ) 研究了中心极限定 理成立的条件汪荣明( 1 9 9 3 ) 研究了状态空间为非负整数集的随机 环境中随机游动的灭绝概率，并得到明确的表达式 本文主要将这两类模型中的一些方法做了推广，讨论了随机环 境中单生链和随机环境中广义随机游动的灭绝概率 5 第一章随机环境中的单生链 1 1记号、背景与定义 确定环境中单生链的概念首先由陈木法( 1 9 9 9 ) 提出，且在这 方面取得了一些深入的结果( 1 1 ，5 】) 李应求( 2 0 0 2 ) 借鉴确定环境情 形，引入了随机环境中单生链的概念，并讨论了其灭绝和不稳定问 题，李炜( 2 0 0 0 ) 研究了过程和环境过程的状态空间都有限、且过程 的边界点均为吸收壁的随机环境中单生链的灭绝概率的计算，从而 推广了文献【7 】的有关结果。作为随机环境中单生链的特例，随机环 境中生灭链的概念首先由t o r r e z ( 1 9 7 8 ) 引入，他给出了其不稳 定和灭绝的充分条件，并于1 9 7 9 年讨论了状态空间中只有有限个 状态、边界点均为吸收壁的随机环境中生灭链的灭绝概率计算本 章借鉴文献【7 】的方法讨论了具有反射壁的随机环境中单生链的灭 绝概率的计算，得到了关于灭绝概率的向量差分方程随机环境中 生灭链作为随机环境中单生链的特例，其相应的结果也在本章中得 到，并应用到具体的例子下面所用记号与术语可在文献( 3 5 】中见 到 设( q ，户，p ) 是一概率空间，( x ，a ) ，( ，b ) 为任意二可测空 间，x = ，礼芝o ) 和= ( & ，钆o ) 是( q ，p ) 上分别取值 于x 和e 的随机序列，p = p ( 口；，) ，口e ) 是( x ，a ) 上的转 移函数族，k = ( - ，- ) ) 是( e ，b ) 上的转移函数族如果x 是 中的马氏链，且具有转移概率p ： fp ( 日；。)z 0 ，y = 鬈十ls m ，p ( o m 泸岛罄至蔓m ， ：【0 其它 则称戈是随机环境中的单生链其中，对任意的护。e ，譬，y x ，p ( 疗；茁) 0 ，r ( 日；。) 0 ，口( 日；z ，可) 0 ，且p ；z ) + ? ( 咿；z ) + 6 e q ( 口；茁，y ) = 1 特别地，如果对任意的9 e ，可 1 ) 且对任意的口e ，。，y x ，r ( 毋；0 ) = 1 ，q 0 ；m ，y ) = 1 ，即0 为吸收壁，m 为反射壁 设是转移概率为k 的马氏链，由文献【4 】知 ( ，矗) ，几o ) 是马氏双链，且一步转移概率为： q ( z ，p ；y ，a ) = k ( 0 ，d ) p ( 口；z ，y ) z ，y x ，p ，a e( 1 2 ) 一 对任意的毋x ，9 e ，定义戈的灭绝概率为： 缸( z ，口) = 只，o ( 3 n 0 ：墨：0 ) 令巩= ( 札( 。，1 ) ，u ( z ，) ) 7 ，。x 由予0 为吸收壁，显然 y o = ( 1 ，1 ) 定理1 如果x 是马氏环境中单生链，对任意的o ，r ( p ；o ) = 一1 1 ， g ( 口；m ，y ) = 1 ，则x 的灭绝概率由如下差分方程确定： 阮= 只+ 1 + r 巩+ 甚q 。巩+ o ，z = 1 ，2 ，m 一1 封= l m l u m = q 埘p + 勖o ，u o = ( 1 ，1 ) 7 f 一 ( 2 1 ) 其中 忍：r1 p ( 1 ；引州1 攀砂_ 忍= l ； ； l ， 【k ( n ，1 ) p ( ；z ) k ( ，) p ( ；z ) j fk ( i ，1 ) r ( 1 ；z ) r x = l ； 1k ( n ，1 ) r ( ；z ) k ( i ，) 口( 1 ；。，可) 1 k ( n ，) q ( ；茁，管) j & o = ( g ( 1 ；z ，o ) ，：，口( ；z ，o ) ) 7 ，：z = i , 2 ，m ，y = 1 ，2 ，z 一1 证对任意的z x ，p 0 ，由马氏性 u ( 。，臼) - 舭。e r ，口胁o ：= o ，( x 1 ，1 ) = ( s ，a ) ) 2 v 。z 五。廿u ( y ，口) q ( z ，口；可，a ) ：曼k ( p ，a ) 晒( p ；。) u 扛+ 1 , 0 0 + r p ；) u ( z ，d ) + 蔓q ( a 焉掣) 让( 可，q ) ( 2 2 ) 由( 2 2 ) 武得： 一q ( 口忍o ) = 量1k ( 口，a ) 睡y g ( 目忍) u ( ) ( 2 3 ) a = l= ii 正oj 却( p ；。) u 扛+ l ，口) + 7 - ( p ；。) 珏( 茁，口) 当。：1 时，x e - 1 口( p ；，可) u ( 可，d ) 兰0 考虑到 乏二6 口。乱( z ，9 ) = 也( z ，臼) ， a = l 如果o l = 毋，6 缸= 1 ，否则6 融= 0 ，则由( 2 3 ) 式可得以下一系列方 程： 8 l m 1 = 1，j 甸 k “ “哪川 q k 酞 奶 力 k “ d q q k 酞 r。l = 甜q 一q ( 目；1 ，0 ) = 堇，k p ，o ) ( r ( 目；1 ) u ( 1 ，a ) 一5 0 。u ( 1 ，臼) ) + p ( 口；1 ) u ( 2 ，n ) a = 1 + 一q ( 口；2 ，0 ) = 薹ik ( o ，a ) k ( 日；2 ，1 ) u ( 1 ，a ) + ( r ( 口；2 ) ( 2 ，a ) 口= 1 一面二钍( 2 ，口) ) + p ( 目；2 ) 锃( 3 ，血) 】 一q ( 日；m l ，o ) = 童l k ( 口，q ) 髻q ( o m - 1 , y ) 札( 9 ，a ) + ( r ( 8 ；m 一1 ) u ( m 一1 ，o t ) 一西。u ( m 一1 ，口) ) + p ( p ；m 一1 ) u ( m ，a ) 一g ( 口；m ，o ) = 薹。k ( 秽，口) 【。譬口( 9 ；m ，s ，) 珏( 笋，口) 一昂。“( m ，e ) l 其中，口= 1 ，2 ，上述系列方程可用矩阵表示为： r 1 i q 2 1 q 3 1 0 p 2 r 3 一f 0 0 o q m 一1 ，lq m i ，2 r m 一1 一i 嘞一1 q m ，l q m ，m 一1 一j u 1 巩 u m - - s l o s 2 0 s m o 其中i 为阶单位阵易见( 2 4 ) 式给出了关于巩的差分方程 以= b 巩+ 1 + 如巩+ 葛q 。，+ & o ，z = 1 ，2 ，m 一1 ， u m ：譬q m _ + s m o ，u o ：( 1 ，1 ) ， = 1 a 推舱l如果戈是马氏环境中单生链，对任意的p 0 ，r ( p ；0 ) = 1 ，g ( 口；m ，m 一1 ) = 1 ，则x 的灭绝概率由如下差分方程确定； 巩= b 阮+ 1 + 忍玩+ z - 1 q 。+ & o ，。= l ，2 ，m 一1 ， u m = k u m 一1 ，v o = ( 1 ，- ，1 ) ( 2 5 ) 9 一lill他r1111 0 其中 k = k ( 1 ，1 ) k ( n ，1 ) 一k ( i ，) - k ( n ：n ) 定理2 如果文是马氏环境手中生灭链，对任意的0 o , r ( e ；o ) = 1 ，g ；m ，m 一1 ) = 1 ，则文的灭绝概率由如下差分方程确定： 瓣：_ ：兄等q x u x j l ) _ l ，x1 2 ，m k u m1u o 。1 ( 2 6 ) =一，= ( 1 ，1 ) r 7 其中q 。= k ( i ，1 ) 口( 1 ；茁) - i k ( 1 ，) q ( 1 ；z ) i lk ( n ，1 ) g ( ；z ) k ( n ，) g ( ；z ) 证由于对任意的0 0 ，掣 0 ) 是( q ，歹，p ) 上的一列独立随机向量序列，且 满足下列条件： l 危j 0 ，a t 0 ，m 0i 0 ，j = 0 ，一，l 一1 啦+ m + - i c 反 ：1 ( 1 1 ) l 啦+ m +觑j = 1 r一70 i0 其中( 0 ) 有相同的分布 定义1 ，歹，p ) 上满足( 1 1 ) 的随机向量序列称为随机环境 ( r , e ) ，并记为 定义2给定r e ，称状态空间为况的( q ，尹，p ) 上的随机 序列戈= ，n o ) 为随机环境中广义随机游动，如果 p ( x o = m ) = 1( m 0 )( 1 2 ) p ( + 1 = jlx o = m ，x 1 = 址x 2 = i 2 ，一，x 。= i ；西 1 m q t o 其中i l ，i 2 ，i 。一1 ，i ，j 瓦 j = i = 0 i 0 ，j = i i 0 ，j = i + l ( 1 3 ) i 0 ，0sj i 一1 其它 2 2存在性 设d i = 扛，可；劲，施一1 ) 【0 ，1 】件2 ：z + 可+ 葛勺= 1 ) ( i o ) ，( 啦，b i ；q ，t 一1 ，q ，0 ) 是皿上的任意一个向，量设孝= 茁。，钆o ) 掣，和d t 分别表示由犁和鼠生成的仃 域令q = 础亘破，f = x 亘职设矿= 晚，i o ) 三 ( 啦，b i ；q ，i 一1 ，c i o ) ，i o 】- ，则歹置i 设嘞是群上的转 移函数： - - 1 d h 对任意的u 兰( p ，固q ，设) = p ，) = 茁。这样就得 到了随机环境中广义随机游动模型文= 蕊，他o ) ，下面将给出 证明 设托丌x i n n - i 是d i 上的一个分布，令q = ( 咒x 丌x ：嚣) 4 = uj = u 则q 是环境置d i 上的乘积测度，使得仇= ( a ib t ；q ，t 一1 ，一，q o ) 0 一1 z 一一跏跏跏舵 1巩弧剜0 i | “嗡 0 ) 关于i 独立，且a i ( i 0 ) 具有相同的分布对任意的n 1 ，i o ，i n - 1 ，i n 4 ，设 i 矿( x o = i o ，x 1 = i t ，一，墨= i 。，) 专晶而埠如，i t ) 婚( i 。一1 ，i 。) ( 2 2 ) 其中i 。= 1 ，如果m = i o ，否则h 而= 0 由( 1 2 ，知嗨可扩张 为( 掣，) 上的概率测度 引理l v b c 掣，岣( b ) 对任意的歹是( 亟d i ，亘觋) 上的 目h 可测函数 证设h ( b ) 三嗨( b ) 对任意固定的bc 掣，负! j 日( b ) 是 环境口的实值函数设日是由 日( b ) ：bc 掣) 构成的线性空 间 i ) 如果b o = x o = m ) c 础，由( 2 2 ) h ( b o ) = 咏岛) = m 矿( x o = m ) = 1 h i i )对于v 厶h ，他1 , 0 个，存在b zcb 2c c 晶c ，b nc 掣，n 1 使得厶= h ( b n ) 由于蚴是掣上 的概率测度，有0 厶1 所以0 ，1 ： ，= 是恐，n = 。l i m ，h ( b n ) = 占照晦( b n ) = m # ( ，l i m b n ) 设b = 崭豌= 县溉玩显然bc 群所以由极限唯一性 f h 由此根据【4 】，p 2 9 ，定理2 1 可得引理1 结论 由引理1 ，对于ac 矗d t ，bc 掣，可定义 t = i p ( a b ) = a m “b ) d q ( p ) ( 2 3 ) 引理2 p 可扩张为( q ，) 土的概率测度 证设g = a b ：a 矗现， - 由于c 是一个7 r 一 类，由【4 1 ， ，引理，扩张为- - 1 盯( c b p l 7 4 6p ) 上的盯一可加概率测度所 1 5 以根据c a r a t h 6 0 d o r y 测度扩张定理，p 可扩张为( q ，) 上的概 率测度 引理3 i ) 设b a ，如果晦( 文b ) = 1 对q n e 瓦 则p ( 文b ) = 1 ； 托)对任意固定的万疆d i ，又是状态空间为瓦的马氏链 i 越)x 是( q ，丁，p ) 上的随机环境中广义随机游动 证i ) 由( 2 3 ) ， p ( x b ) 2 嚣d 。朋钛b ) d q ( 毋) = 1 = 1 i i )由于嗨是群上的概率测度，又由( 2 3 ) ，对任意固定的 ，o o 口兀d 则有 p ( z o 2 m ) 2 愠d i m 矿( x o 2 m ) d q ( 回2 1 1 p ( + 1 = j l x o = m ，x 1 = i l ，尥= i 2 ，一，= i ；芋臼) = 蛑( 矗+ 1 = j i x o = m ，x 1 = i l ，x 2ii 2 ，= i ) = 吲i ，j ) ( 2 4 ) 所以由( 2 1 ) ，在这神情形下x 是马氏链，且转移概率如( 2 4 ) 所示 扰i )直接由i ) 和( 2 3 ) 可得 以下设 喀= c k ， i o ，0 j i 一1 ( 3 1 ) 。 k = 0 坫铷十瓤l o = 卜i , 美- l 2 ，( 3 2 )l 。= 鲁十卺l 1 + + 等k l ，n = l 川 _ 一 设 k ，粤0 ) 掣是转移概率如( 2 4 ) 所示的马氏链显然 0 是吸收壁，设r 表示 k ，n o ) 始于状态i 0 z + ) 的分布设 儿耐口：誊盏嚣芝三黑嚣眯瓦 3 ，u = 只( j n 1 ：= 0 ) ， i 0 r 7 由于0 是吸收壁，显然= r ( r o 群是转移概率如( 2 4 ) 所示的马 氏链，则 f 曼曼l 女 u m = 壮“ 。b o 【 1 证 假定i 0 ，a i 0 对于0 i ，0 ，设v i 2 “酊， 则由马氏性有 u o31 ，2 0 i - 1 v i = a i v i + l + 如钝+ ec 4 k v k , 0 i j( 3 4 ) k = o 由( 1 - 1 ) ，1 一晚= 。i + 函i - i q ，又由( 3 4 ) ，可得 i - 1 a i ( v i + l 一仇) = ec i k ( v i 一讥)( 3 5 ) k = o 根据( 3 1 ) 整理( 3 5 ) 得 1 一1 v i + 1 - - 2 壶巨嚷( 喵) ( 3 6 ) 由( 3 2 ) 和( 3 6 ) 得 v 2 一u 1 = 蓝a l ( v l v o ) = ( 1 一v o ) l i 地一钉2 = 鲁( l 一 o ) + 密( u 2 一u 1 ) = 0 l 一钉o ) 五2 钝“一钵= 鲁 ，一甜。) + 卺( 忱一砚) + + 与 ( 协一v i - 1 ) = ( 1 一v o ) l 1 7 = k 玖 吕量脚 左右两边累加得 t v i + l v l = ( 毗一v o ) l k k = l 因l o = l ，可得 t v i + i = l k v l 一l k 口o k = ok = l 由于v o = l ，v j = 0 ，则 那么 j - t 0 = = k = o j l 1 = 七= 1 将( 3 8 ) 代入( 3 7 ) ，则有 让+ 1 = k = o 即当0 i 0 时有 2 只c r 。 丁7 ，= 拦恐“玎= 霪i 三：7 量女 对于( q ，芦，p ) 上的随机环境中广义随机游动文= 蜀，n o ，设矗。= p ( 3 n 1 ：瓦= o ) ，则有如下结论： 1 8 七一 七 l 一五 笔星| 掣脚 七 l | | k k 占萎脚 定理5 ：k 囊l k 嘲 证 o ) p ( 厕 玩 ( 3 0 k = o 【 l 脚l k 2 粤 = p ( 弓n 1 ：墨= o ) 2 愠。嗨( j 礼1 ：矗= 定理的结论直接由引理4 可得 1 9 参考文献 1 c h e nmf ，s i n g l e b i r t hp r o c e s s e s ，c h i n aa n no f m a t h ， 1 9 9 9 ，2 0 b ( 1 ) ：7 7 8 2 c 2 l iw ，c a l c u l a t i n g e x t i n c t i o n p r o b a b i l i t i e sa n dm e a na b s o r p t i o nt i m ef o rg e n e r a l i z e dt h eb i r t ha n dd e a t hc h a i ni nar a i l - d o me n v i r o n m e n t jc h a n g s h au n ie l e c t p o w e r , ：2 0 0 0 、1 5 ( 3 ) ：8 1 0 3 l i y q ，r e c u r r e n c ea n d i n v a r i a n tm e a s u r eo fm a r k o vc h a i n s i nd o u b l e - i n f i n i t er a n d o m e n v i r o n m e n t s ，s c i e n c e i nc h i n a ( s e - r i e sa ) ，2 0 0 1 ，4 ( 1 0 ) ：1 2 9 4 - 1 2 9 9 【4 李应求，关于马氏环境中马氏链的几点注记，数学进展：1 9 9 9 ， 2 8 ( 4 ) ：3 5 8 - 3 6 0 ( 5 1 l iy q ，i n s t a b i l i t ya n de x t i n c t i o no fs i n g l eb i r t hc h a i n si n r a n d o me n v i r o n m e n t s ，a c t am a t h s i n i c a ，2 0 0 2 ；4 5 ( 2 ) ：l 一8 ( i n c h i n e s e ) 6 t o r r e zwc ，t h eb i r t ha n dd e a t hc h a i ni n ar a n d o me n - v i r o n m e n t ：i n s t a h h t ya n de x t i n c t i o nt h e o r e m s ，a n n p r o b ， 1 9 7 8 ，6 ：1 0 2 6 - 1 0 4 3 。 【7 t o r r e zw c ，c a l c u l a t i n g e x t i n c t i o np r o b a b i l i t i e sf o rt h e b i r t ha n dd e a t hc h a i ni nar a n d o me n v i r o n m e n t ，ja p p l p r o b ，1 9 7 9 ，1 6 ：7 0 9 7 2 0 f 8 f s o l o m o n ，r a n d o m w a l k si nr a n d o m e n v i r o n m e n t ，a n n p r o b 3 ( 1 9 7