（概率论与数理统计专业论文）不变分布及收敛速度.pdf

摘要 不变分布及收敛速度 摘要 不变分布是连续时间马氏链中标准转移函数及跳过程的一个重要性质，对不变 分布的讨论有着十分重要的意义随机稳定性是各种随机模型中至关重要的问题， 随机稳定性中的关键问题是找出各种收敛速度的判定准则本学位论文致力于不变 分布和收敛速度的研究，其目的是得到q 一函数不变分布的构造，以及容易验证的收 敛速度判定准则 论文的第二章介绍一些基本概念，主要是连续时间马氏链及跳过程中的一些基本 定义、性质和一些基本关系剩下的内容分为两部分：第一部分讨论不变分布及h 一 不变分布，包括第三章和第四章；第二部分研究收敛速度，包括第五章，第六章和 第七章， 第三章首先回答了w i l l i a m s ( 1 9 7 9 ) 开问题，对q 一矩阵为全稳定和单瞬时情形， 完整的解决了该问题，也就是说，不仅证明了q 一函数的存在性，而且还把具体的q 一 函数构造出来了；其次对跳过程的不变分布，也得到了很好的结果 第四章致力于“一不变分布的研究，首先对q 一矩阵为全稳定和单瞬时情形，证 明了q 一函数p 一不变分布的存在性，并且也把具体的q 一函数构造出来了；然后把 u 一不变分布推广到跳过程，得到了一些较好的性质和结果 第五章讨论标准转移函数的收敛速度以及各种收敛速度之间的关系，通过找出强 遍历、随机单调性和f e l l e r 转移函数之间的紧密关系，我们证明了随机单调标准转 移函数是强遍历的充要条件是它不是f e l l e r 转移函数对于最小随机单调转移函数 的强遍历，给出了非常容易检验的准则，此外，我们还证明了非最小随机单调转移 函数强遍历当且仅当它是遍历的 第六章对生灭过程中的收敛速度进行了研究，得到了对保守生灭q 一矩阵，最小 q 一函数是强遍历的充要条件是r - 0 0 和s t * ；且当r c 和s t 0 0 时，存在唯一可 配称诚实q 一函数是强遍历的 第七章讨论了分支过程中的收敛速度，对各种推广的分支过程，得到了过程遍历、 指数遍历和强遍历的条件，与此同时，还得到了过程的鞅性和大偏差上下界成立的 条件 摘要 关键谲q 一矩阵，q 函数，q 一颚瓣式，f e l l e r 转移函数，睫枧单谰，跳进程， 一 q 对，q 涵数，晕一预解戏，次不变分布，不变分布，转一次不变分商， l 一举变分 毒，常滚，遍弱，捂数遽掰，移一指数牧敛，多矮式一致浚敛，强遍历 2 摘要 i n v a r i a n td i s t r i b u t i o na n d c o n v e r g e n c e r a t e a b s t r a c t i n v a r i a n td i s t r i b u t i o ni sag r e a t l yi m p o r t a n tp r o p e r t yo fs t a n d a r dt r a n s i t i o nf u n c t i o n i nc o n t i n u o u s - t i m em a r k o vc h a i n sa n dj u m pp r o c e s s e s , i ti so fc o n s i d e r a b l ys i g n i f i c n e e t os t u d yi t s t o c h a s t i cs t a b i l i t yi so fc r u c i a li m p o r t a n c ei n “lk i n d so fs t o c h a s t i cm o d e l s s u c h i n v e s t i g a t i o n i n v o l v e s f i n d i n gc r i t e r i a o f 时lk i n d so fc o n v e r g e n c er a t e s t h e d i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt ot h es t u d i e so ni n v a r i a n td i s t r i b u t i o na n dc o n v e r g e n c er a t e t h e a i m so f t h e p a p e r a r et oi d e n t i f yi n v a r i a n td i s t r i b u t i o no fq - f u n c t i o na n d t of i n dc r i t e r i a o f c o n v e r g e n c e r a t ew h i c ha r ee a s yt oc h e c k t h ed i s s e r t a t i o ni n c h a p t e rl s u m m a r i z e ss o m eb a s i cc o n c e p t s , m a i n l ys o m eb a s i c d e f i n i t i o n s , p r o p e r t i e sa n ds o m e b a s i cr e l a t i o n si nc o n t i n u o u s - t i m em a r k o vc h a i n sa n d j u m pp r o c e s s e s t h e l e f ti sd i v i d e dt w op a r t s t h ef i r s t p a r t ，w h i c hi sc o m p o s e do f c h a p t e r3 ，c h a p t e r4 ，i s d e v o t e dt os t u d y i n gp r o b l e m so ni n v a r i a n td i s t r i b u t i o na n d h i n v a d a n td i s t r i b u t i o n t h es e c o n dp a r ti sc o n t r i b u t e dt os t u d y i n gp r o b l e m so n c o n v e r g e n c er a t e , w l f i c h i sc o m p o s e do f c h a p t e r5 ，c h a p t e r6 ，c h a p t e r 7 i nc h a p t e r3 ，f i r s tw ea n s w e rt h eo p e np r o b l e mo fw i l l i a m s ( 1 9 7 9 ) w es o l v et h e p r o b l e mc o m p l e t e l yw h e nq - m a t r i xi st o t a l l ys t a b l eo ru n i i n s t a n t a n e o u s , t h a ti s ，w e n o to n l yp r o v et h ee x i s t e n c eo fq - f u n c t i o nb u ta l s oi d e n t i f yt h e a - f u n c t i o n 。s e c o n d ， f o ri n v a r i a n td i s t r i b u t i o no f j u m p p r o c e s s e s ，w ea l s oo b t a i ns o m eg o o d r e s u l t s c h a p t e r 4i sd e d i c a t e dt ot h es t u d yo nl l - i n v a r i a n td i s t r i b u t i o n f i r s t ，a s q - m a t r i x i s t o t a l l y s t a b l eo r u n i i n s t a n t a n e o u s , w ep r o v et h e e x i s t e n c e o f 牡一i n v a r i a n t d i s t r i b u t i o no f q f u n c t i o n a n d i d e n t i f y t h e q f u n c t i o n s e c o n d ，w eg e n e r a l i z e p - i n v a r i a n t d i s t r i b u t i o nt o j u m p p r o c e s s e sa n d o b t a i ns o m e g o o dp r o p e r t i e sa n d r e s u l t s + c h a p t e r 5i sc o n t r i b u t e dt os t u d y i n gc o n v e r g e n c er a t eo fs t a n d a r dt r a n s i t i o nf u n c t i o n a n dr e l a t i o no fa l ik i n d so f c o n v e r g e n c er a t e s 。b yr e v e a l i n gt h ec l o s el i n ka m o n gs t r o n g e r g o d i c i t y , s t o c h a s t i c a l l ym o n o t o n e ，a n dt h ef e l l e rt r a n s i t i o nf u n c t i o n sw ea r ea b l et o p r o v et h a tam o n o t o n ee r g o d i ct r a n s i t i o nf u n c t i o ni ss t r o n g l ye r g o d i ci fa n do n l yi fi t i s 3 摘要 n o taf e l l e rt r a n s i t i o nf u n c t i o n a n e a s yc h e c k i n gc r i t e r i o nf o ram i n i m a lm o n o t o n e t r a n s i t i o nf u n c t i o nt ob es t r o n g l y e r g o d i ci s t h e no b t a i n e d w ef u r t h e rp r o v et h a ta n o n - m i n i m a l e r g o d i c m o n o t o n et r a n s i t i o nf u n c t i o ni sa l w a y ss t r o n g l ye r g o d i c c h a p t e r6i sd e v o t e dt os t u d y i n gc o n v e r g e n c er a t eo f t h eb i r t ha n dd e a t hp r o c e s s e s f o rac o n s e r v a t i v eb i r t ha n dd e a t h q - m a t r i x , w ep r o v e t h a tt h em i n i m a l a - f u n c t i o n i s s t r o n g l ye r g o d i c i fa n do n l yi fr c oa n d s 。s u p p o s e ab i r t ha n dd e a t h a m a t r i xs a t i s f i e sr a n ds 0 0 。t h e nt h e r ee x i s t sau n i q u er e v e r s i b l eh o n e s t q f u n c t i o nw h i c hi ss t r o n g l ye r g o d i c 。 c h a p t e r7i sd e v o t e dt os t u d y i n ga l lk i n d so f t h ee x t e n d e dt i m e - c o n t i n u o u sb r a n c h i n g p r o c e s s e s e r g o d i c i t y , e x p o n e n t i a le r g o d i c i t ya n ds t r o n ge r g o d i c i t yc r i t e r i a 馘ep r e s e n t e d i nt h em e a n t i m e , w ea l s oo b t a i nt h em a r t i n g a l ep r o p e r t ya n dt h ec o n d i t i o n so f t h eu p p e r a n dl o w e re s t i m a t eo f l a r g ed e v i a t i o n s k e y w o r d sq - m a t r i x ，q - f u n c t i o n ，q r e s o l v e n tf u n c t i o n , f e l l e rt r a n s i t i o nf u n c t i o n , s t o c h a s t i c a l l ym o n o t o n e , j u m pp r o c e s s e s , qp a i r , 譬- f u n c t i o n , q - r e s o l v e n tf u n c t i o n , s u b i n v a r i a n t d i s t r i b u t i o n ，i n v a r i a n td i s t r i b u t i o n , p s u b i n v a r i a n td i s t r i b u t i o n ，i 上一 i n v a r i a n td i s t r i b u t i o n , r e c u l t e l t e e ，e x g o d i c i t y , e x p o n e n t i a le r g o 蘸c i t y , 爱- e x p o n e n t i a l c o n v e r g e n c e , p o l y n o m i a l u n i f o r mc o n v e r g e n c e , s t r o n ge r g o d i c i t y 毒 第一章绪论 第一章绪论 马尔可夫过程是一类重要的随机过程，它的原始模型是马尔可夫链，由俄国数 学家a a | 马尔可夫于1 9 0 7 年提出粗略说来，所谓马尔可夫性可以用下述直观语言 来刻划：在已知系统目前的状态( 现在) 的条件下，它未来的演变( 将来) 不依赖 于它以往的演变( 过去) ，换言之，在已知“现在”的条件下，“将来”与“过去” 无关，具有这种特征的随机过程称为马尔可夫过程按状态空间来分，马尔可夫过 程可分为两类：一是离散状态空间的马尔可夫过程，即马尔可夫链；二是连续状态 空间的马尔可夫过程，即扩散过程按时间来划分，也可分为两类；一是离散时间 的马尔可夫过程；二是连续时间的马尔可夫过程这样的话，马尔可夫过程就可分 为四类对离散时间离散状态空间的马尔可夫过程，较为简单且研究得较为完善目 前，研究最多的是以下两类：一是连续时间离散状态空间的时齐马尔可夫过程，即 所谓的连续时间时齐马氏链，这种链之所以重要，一是由于它的理论比较完整深入， 可以作为一般马尔可夫过程及其它随机过程的借鉴，二是它在自然科学和许多实际 问题中( 例如物理、生物、化学、规划论、排队论等) 有着越来越广泛的应用；二 是连续时间连续状态空间的时齐马尔可夫过程，即不朗运动和扩散过程，扩散过程 和偏微分方程有着深刻的联系，特别是在五十年代n o 引进积分后，随机分析理论 迅速发展，扩散过程的应用也越来越广，如在金融( 期权、股票) 、保险等领域，象 b l a c k - s c h o l e s 的欧式期权定价公式就是求解一个随机微分方程有了以上的直观认 识和说明，我们可以给出离散状态空间马尔可夫过程的严格数学定义称随机过程 x 一 x ；f 0 ) 为一离散状态空间的马尔可夫过程，如果它具有马尔可夫性： 对任意力2 ，任意0 t l t 2 0 的，i 2 ，f 。e e ，有 p ( x ( t 。) 一i 。l x ( f 1 一) ，x ( t 2 ) 一屯，x ( t 。- 1 ) - i - ) - p ( x ( t 。) - i x ( t 。) 一f 。) ， 上式直观解释为已知“现在”( t n 。) - o ) 的条件下，“将来”( f 。) 一) 与“过去” ( r ( ) 一i 1x ( t 2 ) 一f 2 ，x ( t n 。) 一f 。) 无关 可以说，马尔可夫过程已成为概率理论的一个重要分支，有着大量的文献对它 进行研究，如a n d e r s o n ( 1 9 9 1 ) ”，c h e n ，m f ( 1 9 9 2 ) 1 “，c h u n g ，k l ( 1 9 6 7 ) t “，h o u ， 塑二里堕笙 z t 等( 1 9 9 4 ) n h o u ，z t 和g u o ，q f ( 1 9 8 8 ) t 3 “，胡迪鹤( 1 9 8 3 ) t 3 9 】，m e y n 和 t w e e d i e ( 1 9 9 3 ) ，钱敏平和龚光鲁( 1 9 9 7 ) ，王梓坤( 1 9 6 2 ，1 9 8 0 ) 9 3 ，y a n g ， x q ( 1 9 8 1 ，1 9 9 0 ) 1 ”舯1 1 等等 第一节 问题提出的背景及研究现状 设q 一( 劬；j e ) 为一q 一矩阵，m 一( m l ；f d 为一概率分布，若有 荟f 。0 ，v i c e ， 则称卅为q 的不变分布 设p 一( p # ( ，) ；f ，j c e , t o ) 是马氏链x 一 z o ) ；f 土o ) 的标准转移函数，如果存在 概率分布m - ，；i c e ) 使得 荟m 幽( f ) 叱，j o e f 地 成立，则称m 为p 的不变分布 不变分布也称为平稳分布，从下面的观察可以看出，对不变分布的讨论具有特 别重要的意义 设( q ，f ，p ) 是一概率空间，( z ( f ) ；f 之0 ) 是定义在( q ，f ，p ) 上的连续时间时齐马氏 链，具有不可约( 即对任意f ，e 和某个( 等价于对所有) t ，o ，都有功( f ) 0 ) 诚实转移函数既( f ) - p x ( t ) - j 1 r ( 0 ) 一n 和初始分布a p x ( o ) f ) ，则这个过程 在时刻t 的分布是 p ，( ) 二尸( z ( f ) - 加荟只既 假设存在尸一瓴( f ) ；f ，j e , t o ) 的不变分布埘一。；i c e ) ， 不依赖于i ，即 憋丹( f ) - m i ， v i c e ， 由( 1 2 ) 和控制收敛定理，在( 1 1 ) 中令t 一得 墼p x q ) 一，) 一m ， j o e ， 2 ( 1 1 ) ， 周知，下面极限存在且 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 第一章绪论 所以，m 一，；f e ) 可以看作是过程在“长时间”后的分布另一方面，如果过程 ( x ( f ) ；fz 0 ) 以不变分布n i - ；l e e ) 作为初始分布，即p x ( 0 ) = i ) = m ，l e e ，则 由( 1 1 ) ，我们有 p x ( f ) - f ) 一m l ，i e ，t 0 ( 1 4 ) 这就是“不变”或“平稳”分布的由来进步，设0 墨t 。c t ：( c t n 是聆个“时间” 及h ，0 ，则由马氏性和时齐性容易得到 p x 瓴+ 一i l , x ( t 2 + 彬一f 2 ，x ( t 。+ 国一i 。iz ) 一i ) 一p 0 1 ) p 蚺( f ：一f 1 ) p i , _ a ( t 。一t n _ 1 ) 一p x ( ) 一，x ( t 2 ) 一j 2 ，x ( t 。) 一l x ( o ) 一i ) 这样，如果 x ( f ) ；f 芑0 ) 以不变分布作为初始分布，则我们有 p x ( t 1 + ) 一i 1 , x ( t 2 + = f 2 ，x ( t 。+ 功一i 。) - 荟p z ) - i ) p z ( + ) - i l ，z o z + ) i 2 _ 一，x o 一+ ) _ 7 n l 并( ) = 7 ) 一p z ( o ) 一i p x ( t 。) 一，z ( f ：) 一f ：，x ( t 。) 一f 。ix ( o ) ，f ) 您 一p x ( t 。) 一，x ( t 2 ) 一f ：，x ( t 。) - ) 所以( z q ) ；f o 是一个平稳过程，即对所有这样的0 t 。t ：t c t n 和h ，0 ，随机 变量x ( t 。+ ) ，x ( t ：+ ，x ( t 。+ ) 与随机变t x ( t ) ，x ( t ：) ，x ( t 。) 有相同的联合分 布 既然不变分布有着这么重要的性质，有大量的文献对它进行讨论，见c h e n m f ( 1 9 9 2 ) 嘲，k e l l y ( 1 9 8 3 ) “1 ，p o l l e t t ( 1 9 9 1 a ，1 9 9 1 b ，1 9 9 4 ) t “”- 何j ，r o g e r s 和h l i i a m s ( 1 9 8 6 ) 1 ，v a n d r o o n ( 1 9 8 0 b ) t ”】，w i l l i a m s ( 1 9 7 9 ) t 蚓等对几乎所有感兴趣的问题， 特别是在应用中，我们一般所知道的不是转移函数，而是q 一矩阵q ，这样，无论 是在理论上还是在应用中，回答下面的基本问题都是非常有意义的，因此，英国皇 家学会会员d g w t l l i a r a s ( 1 9 7 9 ) t ”l 将它作为一个开问题提出 d g w il li a m s 开问题设e 为一个可数集，q - ( ；，d 为e e 上的矩阵， 满足 第一章绪论 q q o o ，) ， q m 。一g ds ，v ? e ， 埘为e 上严格正的概率分布，满足 m 钆一一m j q j ，v j e e l _ j 问何时存在q 一函数p ，使得m 是p 的不变分布? 当q 全稳定，并且q 一函数唯一时，即q 正则时，k e n d a l l ( 1 9 5 9 ) t “1 和k e l l y ( 1 9 8 3 ) 解决了上述问题当q 全稳定，q 一函数不唯一且q 为单流出( 定义见p o l l e t t ( 1 9 9 1 a ，1 9 9 1 b ) m 删) 时，p o l l e t t ( 1 9 9 1 a ，1 9 9 1 b ) t 7 4 , 7 5 解决了上述闯题对于其它情况， 尤其是当q 含有瞬时态时，由于q 一函数的构造较为繁琐，还没有出现过这方面的 研究若把状态空间e 进行推广，设e 为连续状态空间，则q 一函数成为跳过程 设( g ( 力，g o ，4 ) ) e e ，a ) 为一g 对，丁【是一概率测度，若有 兀( 吼) 一0 ， a ， ( 1 5 ) 则称兀是口对的不变分布 设p ( t ) 一( p ( t ，x ，4 ) ；f 0 ，x e a 蜀是一跳过程，兀是一概率测度，若有 p c ( p ( f ，4 ) i 兀( 4 ) ， a z ，t 苫0 ， ( 1 6 ) 则称兀是跳过程，( o 的不变分布 问( 1 5 ) 与( 1 6 ) 之间有什么关系? c h e n , m f ( 1 9 9 2 ) 1 1 6 对跳过程的不变分布 进行了研究，但只限于最小过程 除了不变分布外，还有队一不变分布 设q 一( q u ；i , j e e ) ) 3 - - o 一矩阵，m 一( 鸭；i e e ) 为一概率分布，若有 荟m t 的一咿，w e ， 则称i r a 为a 的一不变分布 设p q f ( f ) ；f ，_ ，e ，t 土o ) 是马氏链x - x ( f ) ；f o ) 的标准转移函数， 概率分布m 一，；f e ) 使得 荟胁，p f ( f ) - p 一埘，j e ，f o ， 4 ( 1 7 ) 如果存在 ( 1 8 ) 第一章绪论 成立，则称研为p 的不变分布 也有许多文献对一不变分布进行研究，见k e l l y ( 1 9 8 3 ) ，k i n g m a n ( 1 9 6 3 b ) 柏1 ，n a i r 和p o l l e t t ( 1 9 9 3 ) 6 6 1 ，p o l l e t t ( 1 9 8 6 ，1 9 8 8 ，1 9 9 9 ) t 7 2 7 3 ，7 7 】，v a rd o o r n ( 1 9 9 1 ) t 9 0 j w a l k e r ( 1 9 9 8 ) ”j 等对最小q 一函数f u f ( f ) ；f ，e ，t 苫0 ) ，k e l l y ( 1 9 8 3 ) 1 4 2 1 和 p o l l e t t ( 1 9 8 6 ) 倒完整的解决了( 1 7 ) 和( 1 8 ) 之间的关系由于一不变测度( 分布) 跟拟平稳分布紧密相关，所以对u 一不变测度( 分布) 的研究，无论在理论上，还 是在应用上，都十分重要，而且般我们所知道的不是转移函数，而是q 一矩阵q ， 因而回答下面的基本问题是非常有意义的 问题：设e 为一个可数集，q 一( q g ；i ，e ) 为e x e 上的矩阵，满足 q uz o o ，) ， - - g 庐m ，v i e e ， m 一。；f d 为e 上严格正的概率分布，满足 荟m i q # p m ，w e 问何时存在q 一函数p ，使得m 是p 的一不变分布? p o l l e t t 对这个问题进行了讨论，见p o l l e t t ( 1 9 8 6 ，1 9 9 9 ) t 7 z , l ，但都局限于过程唯 一或过程含有一吸收态0 的情况，对于其它情况，象q 含有瞬时态情形，还没有讨 论过，而这些又是致关重要的若把状态空间e 推广到连续状态空间，则有下面的 定义 设( g ( 功，q ( x ，4 ) ) e ，4 z ) 为一g 对，兀是一概率测度，若有 托( 讲j ) - 岍似) ， a ， ( 1 9 ) 则称兀是g 对的弘一不变分布 设p ( f ) 一 ( f ，墨4 ) ：f o ，x e a 劲是跳过程，兀是一概率测度，若有 印( d x ) p ( t ，爿) 一兀( 4 弘一一， 4 ，t 0 ， ( 1 1 0 ) 则称巧是跳过程户( ，) 的弘一不变分布 跳过程的p 一不变分布具有什么性质，( 1 9 ) 和( 1 1 0 ) 之间有何种关系? 这些 都是跳过程中的重要问题 设p p h ( f ) ；f ，e ，t o ) 为一标准转移函数，如果存在一个概率分布 第一章绪论 兀一 ，；f e ) ，使得对每一个j e e ，都有 哩p , j ( 0 。兀， 0 ， v i e e ， 则称p 是遍历( 或正常返) 的，“i m 。；i e 田称为过程的平稳分布( 不变分布) 当 岛( r ) 遍历时，问它以多快的速度收敛于平稳分布托，? 这就是随机过程中的收敛速 度问题 我们先给出以下四种收敛速度； 1 、强遍历： 磐荟i p 脚娟产叽h 或存在常数c ，0 ，p ，0 使得 s u p i p # ( f ) 一兀，l c e 一一，f ) o ，j e e 目 。 2 、多项式一致收敛：存在常数c ，0 , c t ) o 使得 s 目u p 8 i p 湖一“小c + 。， o ，歹e 3 、r 一指数收敛：存在常数a 0 ，使得 l l p ( t ) y 一兀u ) 忙e “0 ，一氕u ) f r 缸) ，t 0 ， 其中p ( ) 。荟丹o ) 乃丁c 。荟托，z ，r ) _ ，：i l f l l i c ) ，i i f l l 2 - 薹“，z 2 4 、指数遍历：存在常数b ，o 和q ，o ，使得 l p g ( t ) 一兀jk c g e ，t ) o , i , j e 找出上述四种收敛速度之间的关系，收敛速度与过程的其它性质，象f e l l e r 性、 随机单调等之间的关系，以及对各种过程给出其收敛性的条件，无论在理论上，如 可以对过程有着更深刻的认识，还是在应用上，如一排队系统何时收敛于一平稳分 布，以多快的速度收敛于平稳分布等，都是十分重要的尤其是两类非常重要的连 续时间马氏链，生灭过程和分支过程，给出过程四种收敛性的条件，是十分重要的 目前，有大量的文章对收敛速度进行研究，尤其是对收敛速度中各参数的估计，成 为了目前随机过程的一大研究热点，这方面的文献有a n d e r s o n ( 1 9 9 1 ) ，t w e e d i e 第一章绪论 ( 1 9 7 4 ，1 9 8 1 ) “，i s a a c s o n 和t w e e d i e ( 1 9 7 8 ) t “，c h e n ，m f ( 1 9 9 1 b ，1 9 9 2 ，1 9 9 6 ，1 9 9 9 ， 2 0 0 0 a ，2 0 0 0 b ，2 0 0 0 e ) 6 川8 1 9 ”2 ”，d o w n ，m e y n 和t w e e d i e ( 1 9 9 5 ) t “1 ，k i n g m a n ( 1 9 6 3 a , 1 9 6 3 b ) ”删，v a rd r o o n ( 1 9 8 5 ) ，z h a n g ，y h ( 2 0 0 1 ) t 1 ”1 等由于般来说，我们知 道的都是q 一矩阵，而不是过程的转移函数，因此，如何直接利用q 一矩阵来判定过 程的收敛性是十分重要的 第二节研究目的和论文结构 本论文主要是讨论不变分布和收敛速度，目的是得到q 一函数的不变分布的构 造，以及容易验证的收敛速度的判定准则第一部分是讨论不变分布，首先回答 d g w i l l i a m s ( 1 9 7 9 ) m 1 开问题，对于此闯题，本文对当q 一矩阵为全稳定或单瞬时， 给出了构造性证明，也就是说，不仅证明了g 一函数的存在性，而且还把具体的q 一 函数构造出来了，后对状态空间e 进行了推广，绘出了当e 为连续状态空间，即跳 过程的不变分布的存在性；然后研究了一不变分布，对q 一矩阵为全稳定或单瞬时， 以及跳过程中，当g 对为全稳定时，完整的解决了该问题第二部分是讨论收敛速度， 找出了收敛速度与f e l l e r 性，以及随机单调性之间的关系，作为其应用，重点研究 了两类重要的连续时间马氏链：生灭过程和分支过程，给出了这两类过程收敛速度 的判定准则 本文的第二章主要介绍一些基本概念，首先是连续时间马氏链中的标准转移函 数、q 一矩阵和q 一预解式的基本定义、性质以及它们之间的关系；然后是连续时间 马尔可夫过程中的跳过程、g 对和g 一预解式的基本定义、性质以及它们之问的关系 这一章是下面研究的基础 第三章回答d g w i l l i a m s ( 1 9 7 9 ) t ”j 开问题，我们得到：( 1 ) 当q - 矩阵正则时， 最小q 一预解式圣一( 中d g ) ；，e ，九，o ) 为满足条件的q 一预解式；( 2 ) 当q 一矩阵为 全稳定时，满足条件的q 一预解式v 一邸# q ) ；f ，e ，九，o ) 为： 呻，( 九) 一中，( 九) + j ；鬻，e 九，。， 其中 7 第一章绪论 毛( 九) - 1 - x x 巾( 九) ， i e , x 0 ， 露 嘭( 九) _ 埘，一九荟m t ( 九) ， _ ，e b o ( 3 ) 当a 一矩阵为单瞬时时，满足条件的q - n n 式r ( x ) 一以( 九) ；f ，_ ，e ，九，o ) 为： 其中 式 r c 九，。( ：西a o 。九，) + ，c 九，g & ，) ( 1 q c 九，) m 6 ( 九) 一 ；( 九) ；f ，_ ，e ，九) - o ) 为q 一矩阵q 6 一( q u ；i ，瓦) 对应的最小q 一预解 碣( 九) - m j - x 荟m t 巾：( 九) ，7 e 6 ，九 o ， 1 1 。( 九) 4 ( x _ 2 ， i e e b ，九，o ， 埘b ，( 九) 一丽1 ， 孙) 1 1 矗( m 炬如 ( 4 ) 对连续时间马尔可夫过程，即跳过程，当g 对全稳定时，满足条件的q 一预 解式p q ) 一q ，墨4 ) ；x e 4 墨九 o ) 为： p(kt爿)。p施(九，t4)+_；=石_=j巧凳：，xe，爿墨九，。， 其中一 p “d ) 1 “q ，x ，a ) ；x ee 0 z ，九 o ) 为最小q 一预解式 z x ( 功1 1 一枷“( 九，墨固，x e 九 0 ， t l x 口) - 兀( 4 ) 一九卜p 叫( 九，墨彳) ， a ，九) 1 0 第四章致力于一不变分布的研究，我们得到若埘是q 一矩阵q 的 l 一不变分布， 则一定存在a 一函数p ，使得m 是p 的斗一不变分布，且( 1 ) 当q 一矩阵为全稳定时， 第一章绪论 其q 一预解式掣一钟# ( 九) ；j ，j e e , x ，o ) 为： 叩f ( 九) 一十f ( 九) + i ( j j z i , c i x j ) ；a 丽j ( x ) ，f ，j e ，九，。， 触 其中 。一姊# ( 九) ；f ，j e e ，九，o ) 为最小a 一预解式 毛q ) 。1 。九荟) ， ，b o ， 嘭( 九) i m ，一( 九+ ) 荟( 九) ， ，e 九 o ( 2 ) 当q 一矩阵为单瞬时时，其q 一预解式r n ) 一以( 九) ；f ，e 九) - o ) 为： 其中 解式 r ，。( ：掣& ，) + c 九，g & ，) ( 1 q c u ) v g ) 一种f q ) ；j ，玩，九，o ) 为a 一矩阵q 6 一( ；f ，_ ，e ) 对应的最小o 一预 吐( 九) 一扰。一( 九+ ) 罗柳砷h ( 九) ， i e 巨，九 0 ， 魁 t l ，( 九) 型，f e ，b 0 ， i t , 岛小九岔( 九) 7 e 小o ，k ( 九) _ ( _ 型l + 九+ 沁n ( 九) 1 ) 一 卅6 ( 3 ) 对连续时间马尔可夫过程，即跳过程，当g 对全稳定时，其q 一预解式 p g ) 一q ，墨彳) ；x e ，a x , x 0 ) 为： 其中 p ( 九，墨彳) 。p 曲( 九，五彳) + i i ：i 5 石二j z 弓x ( i x ；y i q 五x i ( a ；) 二诵，x e 一鼍九 。， 第一章绪论 尸“( 九) 一q “( 九，x , a ) ；x e e ，a f - , ，九 0 ) 为最小g 一预解式 z x ( 功一1 一九p “( 九，x ，e ) ，x e ，九 0 ， t 1 九( 4 ) - 兀( 4 ) 一( 九+ ) 肛( 西0 p m “( 九，墨4 ) ， a ，九 0 _ 第五章致力于收敛速度的研究，首先证明了若标准转移函数强遍历，则它一定 不是f e l l e r 转移函数；然后得到最小随机单调转移函数是强遍历的充要条件是它不 是f e l l e r 转移函数；最后还证明了非最小随机单调转移函数强遍历当且仅当它是遍 历的 第六章对生灭过程中的收敛速度进行了研究，得到对保守生灭q 一矩阵，最小 q 一函数强遍历的充要条件是r 0 0 ，s c0 0 ，且当r m ，s t0 0 时，存在唯一的可配称 诚实q 一函数是强遍历的 第七章对分支过程中的收敛速度进行了研究，首先对二次分支q 一矩阵，给出 了过程收敛性、鞅性和大偏差上下界估计成立的条件；然后对两种推广的分支q 一矩 阵，给出了过程收敛性的条件在证明中主要应用了几种不同的比较方法，从本章 的结果可以看出，这种方法是有效的，因而在其它情形中也是非常有意义的 1 0 第二章基本概念 第二章基本概念 摘要： 本章主要介绍一些重要的基本概念首先是标准转移函数、预解式和q 一矩阵的 定义、基本性质和它们之间的相互关系；然后是跳过程、g 一预解式和g 对的定义、基本性质 和它们之间的相互关系 关键词：标准转移函数，q 一预解式，q 一函数，q 一矩阵，向后方程，向前方程，跳过 程，g 一函数，g 一预解式，g 对 第一节 标准转移函数及q 一矩阵 这一节主要介绍标准转移函数的分析性质、概率性质及预解式 定义1 1 设e 是一可数集，一族定义在 o ，m ) 上的实值函数 p 一( 勖( f ) ；i ，- ，e ，t o ) 称为e 上的标准转移函数，如果有 p g ( t ) 2 0 ， f ，_ ，e ，f 0 ， ( 1 1 ) 荟既( 牡1 ，i e e , t o , 1 2 既。+ ) 。荟既o ) 珊( 7 ) ， 7 ，_ ，e r o ， 1 3 ) 乃( o ) 6 # 。r “o i m 乃 ， f ，e ， ( 1 4 ) 其中6 f - lo ，1 , i f - - j ，( 1 3 ) 式也称为c h a p m a n - - k o l m o g o r o v 方程，日k - - c 方程如果 对所有f e 和t 之0 ，( 1 2 ) 中等号成立，则称p 为诚实的( 不中断的) ，否则称p 为 不诚实的( 中断的) ；此时，在下列意义下，p 可以看成是一个时齐马氏链 z ( f ) ；f 苫0 ) 的转移概率，即 p f ( d p ( x ( s + f ) 一j l z ( 曲一i ) ，f ，e s , t 0 条件( 1 4 ) 保证对所有f ，e ，p 。( f ) 在 o m ) 上是一致连续的，而且也保证下列极 限存在 第二章基本概念 的一p ；( 0 ) 一船丛竽，“甑 ( 1 5 ) 且它具有性质： o q f ，f - 歹，i ，j e e ， ( 1 6 ) g # s 一吼t * ，i e e ， ( 1 7 ) 此时， q 一( 鼋# , i , j e e ) 称为q 一矩阵满足( 1 5 ) 的标准转移函数 p o 口( f ) i f ，j e , t 之0 ) 称为q 一函数，对应的连续时间时齐马氏链 x ( f ) ；f 0 ) 称为 q 一过程有时，在不引起混淆的情况下，我们也把q 一函数p 称为q 一过程 记吼一- q 。i e e 若呸一m ，则称i 为瞬时态；若9 1 ( 。，则称i 为稳定态；若 吼一0 ，则称f 为吸收态如果对一切f e ，都有q tt m ，则称q 一矩阵为全稳定的； 若进一步还有 幻。吼* ， i e ， ( 1 8 ) 则称q 保守下面我们来看看q 一矩阵中元素的概率意义，设连续时间时齐马氏链 x ( f ) ；f = o ) 有转移函数( p f o ) ) 和全稳定、保守a 一矩阵q ，且假设过程的样本轨道是 右连续阶梯函数，设f e ，z ( 0 ) 一i ，定义 正一篇邵卜。凳不空i + ， 头匕 即正为在状态f 停留的时间若吼一0 ，则对所有t 0 ，有既( f ) 一1 ，因此f 为吸收态 且正一+ * 设吼 0 ，则有 p ( 互 t i 彳( o ) - f ) 一p 咄，t 0 ， 即在f 停留的时间服从一负指数分布 、 p x ( 互) j i x ( o ) i ) 。垒，砖f ， 即从f 跳到，的概率为生 若q 保守，则任一q 一函数都满足如- r ：l 向后微分方程组； 第二章基本概念 p ；( f ) 。荟g * p 每( 7 ) ，j e ，f 0 ， (