（无线电物理专业论文）基于小波分析的椭圆标准件表面评定研究.pdf

摘要 摘要 本文旨在研究基于圆度数据的小波去噪算法，进一步拓宽小波的应用范围。 本文主要工作包括： 介绍了滤波的基本理论，模拟滤波器和数字滤波器及其频率特性，常用的滤 波器类型及其适应环境。介绍了圆度的定义，常见的四种评定方法及原理。介绍 了圆度仪的工作原理和圆度测量中滤波器选择要注意的问题。 详细讨论了小波分析的基本理论；介绍了连续小波变换、离散小波变换和二 进小波变换；给出离散二进小波变换的快速分解与重构算法；研究了小波基的数 学特性。 详细介绍了小波变换模极大值去噪的原理。讨论了小波阈值萎缩去噪方法， 提出一种组合去噪算法，并进行了仿真实验。讨论了基于g c v 准则的小波阈值 去噪方法，给出了自适应b a y e ss h r i n k 阈值信号去噪方法，并进行了仿真实验。 讨论了用小波对针对圆度数据进行去噪处理的方法。 关键词：小波变换圆度阈值滤波信号去噪 a b s t ra c t a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o na i m sa ts t u d y i n gd e - n o i s i n gm e t h o d sb a s e do nr o u n d n e s sd a t a , e x p a n d i n gt h ea p p l i c a t i o na r e ao fw a v e l e ta n a l y s i s m o s to ft h ew o r ki sd e s c r i b e da s f o l l o w s t h ef u n d a m e n t a lt h e o r i e so ff i l t e r i n ga g ed i s c u s s e d ，a sw e l la sa n a l o gf i l t e r , d i g i t a l f i l t e ra n dt h e i rf r e q u e n c yc h a r a c t e r i s t i c s ，c o m m o nt y p e so ff i l t e ra n dt h e i ra p p l i c a t i o n c o n d i t i o n s t h ed e f i n i t i o no fr o u n 血e s sa n di t sf o u rc o m m o ne v a l u a t i o nm e t h o d sa n d p r i n c i p l e sa g ei n t r o d u c e d t h ew o r k i n gp r i n c i p l eo fr o u n d n e s si n s t r u m e n ti sg i v e n ，a s w e l la st h ep r o b l e m st h a ts h o u l db ef o c u s e do ni nm e a s u r i n gr o u n d n e s s t h ef u n d a m e n t a lt h e o r i e so fw a v e l e ta n a l y s i sa g ed i s c u s s e di nd e t a i l c o n t i n u o u s w a v e l e tt r a n s f o r m ，d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r ma n dd y a d i cw a v e l e tt r a n s f o r ma r c i n t r o d u c e d t h ef a s ta l g o r i t h mo fd i s c r e t ed y a d i cw a v e l e tt r a n s f o r mi sg i v e n t h e m a t h e m a t i c a lp r o p e r t i e so fw a v e l e tb a s e sa r es t u d i e d t h ep r i n c i p l e so fw a v e l e tt r a n s f o r mm o d u l u sm a x i m ad e n o i s i n gm e t h o da l e i n t r o d u c e di nd e t a i l s o m ed e - n o i s i n gm e t h o d sb a s e do nw a v e l e ts h r i n k a g et h r e s h o l d a l ed i s c u s s e d ，ac o m b i n i n gd e - n o i s i n g a l g o r i t h mi sp r e s e n t e d , a n dt h es i m u l a t i o n t e s t i n gi sd o n e s h r i n k a g et h r e s h o l db a s e do ng e n e r a l i z e dc r o s sv a l i d a t i o n ( g c v ) i s d i s c u s s e da n da d a p tb a y e ss h r i n kt h r e s h o l di sp r e s e n t e d ，i t ss i m u l a t i o nw o r ki sd o n e t h em e t h o d sf o rd e n o i s i n go fr o u n d n e s sd a t ab a s e do nw a v e l e ta n a l y s i sa r ed i s c u s s e d k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m s i g n a ld e - n o i s i n g r o u n d n e s st h r e s h o l d i m a g ed e - n o i s i n g 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：物盔盔日期型旦五：z 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在一年解密后适用本授权书。 p i 自i i 丝堕堡z 日期圣盟墨：互：才 第一章绪论 第一章绪论 圆度误差是指回转体的同一正截面上实际轮廓对其理想圆的变动量，机械零 件回转表面轮廓的圆度误差对机器和仪器的功能有直接的影响，它是高精度回转 体零件的一项重要精度指标，也是检验回转体类零件加工质量的重要指标之一。 圆度误差是机械零部件的一项重要参数，对其测量是一个复杂、重要的工作。对 由圆度仪测得的数据进行处理就显得很重要，特别是对其进行科学的降噪处理。 圆度误差是滚动轴承工作表面一项重要的质量指标，其大小直接影响装配后 轴承的工作精度和动态性能，因此，为了提高产品质量，必须对其圆度的设计、制 造和检验过程加以控制。 小波分析是近年来国际上掀起新潮的一个前沿研究领域，是继f o u r i e r 分析的 一个突破性进展，它给许多相关领域带来了崭新的思想，提供了强有力的工具， 在科技界引起了广泛的关注和高度的重视。它既包含有丰富的数学理论，又是工 程应用中强有力的方法和工具。小波分析的发展推动着许多其他学科和领域的发 展，使得其本身具有了多学科相互结合、相互渗透的特点。探讨小波的新理论、 新方法以及新应用已经成为当前数学界和工程界的一个非常活跃和富有挑战性的 研究领域。 所i w , j , 波分析，从数学角度去看，它属于调和分析范畴，从事计算数学的工 作者把它认为是一种近似计算的方法，用于把某一函数在特定空间内按照小波基 展开和逼近，它是泛函分析、f o u r i e r 分析、样条分析、调和分析、数值分析的最 完美结晶；从工程角度去看，小波分析是一种信号与信息处理的工具，是继f o u r i e r 分析之后的又一有效的时频分析方法【1 。”。小波变换作为一种新的多分辨分析方法， 可同时进行时域和频域分析，具有时频局部化和多分辨特性，因此被誉为分析信 号的“数学显微镜”，它特别适合于处理非平稳信号。 小波分析是当前数学中的一个迅猛发展的新领域，也是由f o u r i e r 分析发展起 来的一个新的数学方法，因而它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。 它利用小波基取代传统的三角函数基，从而对函数进行分解与综合，由于这样的 基简单( 一维时它是由一个函数妒( 功经由平移与伸缩而得到的) ，性质好( 其中妒0 ) 充分光滑，快速衰减，具有振动，状如小波) ，它能为理论与应用的许多分支提供 对函数进行分析的更方便的工具。与f o u r i e r 变换、加窗f o u r i e r 变换( g a b o r 变换1 相比，它是一个时间和频率的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过 伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析f m u n i s c a l e a n a l y s i s ) ，解 决了f o u r i e r 变换不能解决的许多困难问题【1 8 】。 与f o u r i e r 分析类似，在小波分析中，也存在积分小波变换、小波级数和离散 2基于小波分析的椭圆标准件表面评定研究 小波变换。小波分析与f o u r i e r 分析的本质区别在于：f o u r i e r 分析只是考虑时域和 频域之间的一对一映射，它以单个变量( 时间或频率) 的函数表示信号；小波分析则 利用联合时间尺度函数分析非平稳信号，从根本上克服了f o u r i e r 分析只能以单 个变量描述信号的缺点。小波分析与时频分析的区别则在于：时频分析在时频平 面上表示非平稳信号，小波分析描述非平稳信号虽然也在二维平面上，但不是在 时频平面上，而是在所谓时间尺度平面上。在小波分析中，人们以不同的尺度( 或 分辨率) 来观察信号，信号分析的这种多尺度( 或多分辨率) 的观点是小波分析的基 本点【堋。 1 1 滤波理论 滤波器的设计对工程、应用数学及计算机科学都是非常重要的。对设计人员 来说，滤波器是控制、信号处理和通信领域的重要组成部分，广泛应用于各种系 统中，如化学处理设备、科学仪器、悬挂系统、调制解调器和数字蜂窝电话等。 滤波是一种处理观测数据的方法。利用它，从误差的数据( 或信号) 中提取所需 要的信息。它包括最小二乘滤波、维纳滤波、卡尔曼滤波等。 在电学中是指采用一定的电路，让需要频率的信号顺利通过，而将不需要频 率的信号消除掉的过程。这一名词引用到信息论中，是指对信道中噪声干扰的消 除，后来又引申推广为对信息去伪存真的处理。信息传输中的各个环节都可能使 信息失真，滤波就是要排除干扰和核实信息。 数字信号经过处理之后以数字形式输出，这种处理称为数字滤波，是指信号 通过一个滤波器，该滤波器允许信号中我们所感兴趣的频率分量通过，同时阻止 其它一些频率分量通过。根据滤波过程所采用的算法，分为递归和非递归滤波器。 它可以通过一定的计算机程序对采样信号进行平滑加工，提高其有用信号的比重， 消除和减少干扰及噪声。本文就是利用小波对数字信号进行滤波除噪处理。 1 2 圆度 圆度误差是指回转体的同一正截面上实际轮廓对其理想圆的变动量，机械零 件回转表面轮廓的圆度误差对机器和仪器的功能有直接的影响，它是高精度回转 体零件的一项重要精度指标，也是检验回转体类零件加工质量的重要指标之一。 圆度误差是机械零部件的一项重要参数，对其测量是一个复杂、重要的工作。目 前对其测量是应用圆度仪和进口的三坐标测量仪。本文所采用的圆度数据即是由 圆度仪采集。 1 1 圆度误差和圆柱度误差对机器零件的使用功能有很大的影响。例如圆柱表面 的形状误差，在间隙配合中会使间隙大小分布不均，造成局部磨损加快，从而减 第一章绪论 3 少零件的使用寿命。总之，零件的圆度误差和圆柱度误差对机器的工作精度和寿 命等性能都有直接的影响。 圆度误差是滚动轴承工作表面一项重要的质量指标，其大小直接影响装配后 轴承的工作精度和动态性能。因此，为了提高产品质量，必须对其圆度的设计、 制造和检验过程加以控制。 2 1 对机械零件的圆度误差进行测量是机械制造行业中保证产品质量的重要工艺 措施，一般是用圆度仪这种高精度测量仪器来完成。这些仪器价格昂贵，难以普 及。近年来微机得到了推广，现在有许多圆度仪是直接用微机进行数据处理。 因此，须采集圆度数据，对工件表面进行评定，并反馈到工件的设计与生产 环节中去，以改善和提高产品性能。 1 3 小波分析的发展回顾 小波分析的思想来源于伸缩与平移方法。它的起源可以追溯到上个世纪初。 1 9 1 0 年，h a a r 提出的规范正交小波基的思想，构造了紧支撑的正交函数系- h 柏r 函数系，这是最早的小波基，但是当时并没有出现“小波”这个词。1 9 3 6 年l i t t l e w o o d 和p a l e y 对f o u r i e r 级数建立了二进制频率分量分组理论，对频率按2 进行划分， 其f o u r i e r 变换的相位变化并不影响函数的大小，这是多尺度分析思想的最早来源。 1 9 4 6 年，g a b o r 提出的加窗f o u r i e r 变换( g a b o r 变换) ，使得对信号的表示具有时 频局部化性质，对弥补f o u r i e r 变换的不足起到了一定的作用，但并没有彻底解决 这个问题。后来，c a l d e r o n ，z y g m u n d ，s t e r n 和w e i s s 等人将l - p 理论推广到高维， 并建立了奇异积分算子理论。1 9 6 5 年c a l d e r o n 给出了再生公式。1 9 7 4 年。c o i f m a n n 对一维日9 空间和高维日空间给出了原予分解。1 9 7 5 年，c a l d e r o n 用他最先提出 的再生公式给出了抛物型日1 的原子分解，这一公式现在成为许多函数分解的出发 点，其离散形式已接近小波展开。此后许多数学家为着各种不同的目的，给出了 各自函数空间上的“原子分解”、“分子分解”、“拟正交分解”、“框架分解”等。1 9 7 6 年，p e e t r e 在用l - p 方法给出b e s o v 空间统一描述的同时，引入b e s o v 空间的一组 基，其展开系数的大小刻画了b e s o v 空间本身。这些工作为小波分析奠定了基础。 7 0 年代末，法国地质物理学家m o r l e t 试图改良加窗傅里叶变换( g a b o r 变换) 依赖于 窗位置和频率分量的分析方法，而用一种窗函数的收缩与平移构造基函数变换， 用于油气勘探的非稳定性地震信号分析。从8 0 年代开始，小波理论研究才真正有 了巨大进步。1 9 8 2 年，s t r 6 m b e r g 构造了一组具有指数衰减且有限次导数连续的小 波基1 1 9 1 ；1 9 8 4 年，m o r l e t 在分析地质数据时基于群论首先提出了小波( w a v e l e t ) 的 概硎，之后m o r l e t 和法国理论物理学家g r o s s m a n n 给出了按一个确定函数v 的 伸缩平移系展开的系统理论和进行信号表示的新思想；随后，m e y e r 证明了一维小 4 基于小波分析的椭圆标准件表面评定研究 波的存在性【2 1 1 ，并构造了具有一定衰减性质的光滑小波函数，统一了在此之前提 出的各种具体小波基的构造方法；到1 9 8 6 年，m e y e r 和m a l l a t 合作，将计算机视 觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中小波函数的构造，提出了多分辨 分析的理论框架【2 1 2 2 l ，为正交小波基的构造提供了一般的途径，多分辨分析的思 想是小波的核心，它是理论与应用的结晶，至此，小波分析才真正形成为一门学 科。之后，人们构造了大量的小波，其中包括b a t t l e 和l e m a r i 6 构造的具有指数衰 减的光滑小波b a t t l e l e m a r 6 小波和第一个双正交小波- - t c h a m i t c h i a n 小波等， 比较引入注目的是，1 9 8 8 年，年轻的女数学家d a u b e c h i e s 构造了一类具有紧支集 的有限光滑正交小波函数【2 3 1 ，该小波得到了非常广泛的应用。1 9 8 9 年，随着小波 理论的进一步发展，m a u a t 提出了实现小波变换的快速算法m a l l a t 算法l 笠捌，是 小波分析理论中突破性的成果，其作用和地位相当于f o u r i e r 分析中的快速 f o u r i e r 变换( f f d ，m a l l a t 算法的提出标志着小波分析由理论研究走向宽广的应 用领域。1 9 9 0 年，美国a & m 大学的c k c h u i ( 崔锦泰) 和王建中构造了基于样 条的单正交小波函数【2 5 趣2 7 1 ，并讨论了具有最好局部化性质的尺度函数和小波函 数，与此同时，r r c o f f m a i l 和m v w i c k e r h a u s e r 通过对母小波函数进行伸缩、平 移和调制，提出了小波包的概念【篮捌，并将m a l l a t 算法进一步深化，得到了小波 包算法。1 9 9 3 年，一份专门刊载小波理论和应用发展的国际刊物“a p p l i e da n d c o m p u t a t i o n a lh a r m o n i c a n a l y s i s ”，在美国正式创刊，标志着小波理论研究进入新 的阶段。 1 4 当前小波应用研究工作的几个主要方面 在小波理论发展的同时，小波应用的研究工作也在不断的开展，主要集中在 以下几个方面： ( 1 ) 小波在数学其它分支中的应用 3 0 - 3 4 1 ，如求微分方程、积分方程，函数逼近， 分形、混沌问题，概率小波，非线性分析等等。1 9 8 8 年，a r n e o d o 和g r a s s e a u 把 小波理论运用于混沌动力学及分形理论以研究湍流及分形生成现象；1 9 9 0 年， b e y l k i n 和c o i f m a n 把小波用于算子理论；1 9 9 1 年，j a f f a r d 与l a u r e n e o t 把小波变 换运用于偏微分方程的数值解。 ( 2 ) 小波在信号处理中的应用【1 7 , 2 ”, 3 7 1 ，包括信号的检测、识别以及去噪等，比 如语音信号、雷达信号、医学信号、天文信号、地震信号、机械故障信号等等。 ( 3 ) 小波在图像处理中的应用1 3 5 - 2 m ，其中包括图像数据压缩、去噪、融合，数 字水印，指纹鉴别，模式识别等。 ( 4 ) 小波在通信中的应用，如c d m a ，自适应均衡，扩频通信，分形调制等。 ( 5 ) 小波神经网络( w a v e l e tn e u t r a ln e t w o r k s ) 的研究及其应用1 3 9 - * 。 第一章绪论 5 ( 6 ) 小波理论在人类社会发展中的应用。 ( 7 ) 脊波理论及其在图像处理方面的应用是当前研究的热点。 小波应用之广泛，让许多科学家和工程研究人员感到惊诧。近年来有许多重 要的国内外期刊经常报道有关小波应用的动态、最新研究成果，有代表性的刊物 有i e e et r a n s o ns i g n a lp r o c e s s i n g ，i e e et r a n s o ni m a g ep r o c e s s i n g ，a p p l i e da n d c o m p u t a t i o n a l h a r m o n i c a n a l y s i s ，还有国内的电子学报，电子与信息学报，信号处 理等。另外，国际互联网上的小波资料也非常丰富。 1 5 小波去噪方法的研究概况 近年来，小波理论得到了进一步的发展，人们构造出同时具有多种优良性质 的小波，1 9 9 4 年，g o o d m a n 等人提出基于r 元的多分辨分析，建立了多小波的基 本理论框架 4 2 1 ；并给出了样条多小波的例子。同年，g e r o n i m o ，h a r d i n 和m a s s o p u s t 利用分形插值【4 3 1 ，成功地构造了具有短支撑集、正交、对称和二阶消失矩的两个 尺度的函数，例暑【仍( 力，妒2 0 ) r ；1 9 9 3 年，s t e f f e np - 和h e l l e rp n 等人构造了m 带小波；1 9 9 2 年，d o n o h o 给出了插值小波和小波变换等l 。除此之外，也从 另外一个角度放宽正交小波基的条件，去研究更一般的非正交向量族，如框架l 椎勰】 等，1 9 9 2 年，v a i d y a n a t h a np p 。v e t t e r l im ，h e r l e yc 以及s t r a n gg 等人发展了滤 波器组理论l 牡5 1 】，1 9 9 6 年，u n s e rm ，t h e r e n a zp 和a l d r o u b ia 从样条函数出发构 造了一组平移正交小波基【5 2 $ l 等，使得小波理论不断完善。另外，1 9 9 5 年，s w e l d e n s 提出一种基于空间域的小波构造方法一提升技术1 5 4 , 5 5 1 ，它是构造第二代小波( t h e s e c o n dg e n e r a t i o nw a v e l e t ) 的基本工具。1 9 9 8 - - 1 9 9 9 年，e j c a n d b s 和d l d o n o h o 建立了脊波( r i d g e l e t ) 变换，脊波在直线特征的表示和提取中非常有效， 为了进一步表示多维信号中更为普遍的曲线型奇异性，又发展出局部脊波变换和 曲波( c u r v e l e t ) ，用多个尺度的局部直线来近似表示整条曲线，从而解决了小波处 理高维奇异性带来的问题。脊波和曲波的研究还刚刚开始。但它在诸多领域显示 出的优良性质已经为越来越多的研究者所关注1 5 4 1 。 随着小波理论的日益完善，它的应用领域也越来越广泛，现在，它已经在科 技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的 一个领域，它的重要方面是信号和图象处理。现今，信号处理已经成为当代科学 技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确地分析、诊断、编码压缩和量 化、快速传递或存储、精确地重构( 或恢复) 。从数学的角度来看，信号和图像的 处理可以统一看作是信号处理( 图像可以看作是二维信号) ，在小波分析的许多应 用中，都可以归结为信号处理问题。现在，平稳信号处理的理想工具仍然是f o u r i e r 分析，但是在实际应用中的绝大多数信号是非平稳的，而特别适用于非平稳信号 6 基于小波分析的椭圆标准件表面评定研究 的工具就是小波分析。 m a l l a t 是最早从事小波在信号处理中的应用的研究者之一，它建立了小波变换 快速算法，运用于信号和图像的分解与重构【6 5 l ，之后又通过l i p s c h i t z 指数刻画信 号的奇异性，并给出用小波变换进行信号奇异性检测的基本原理1 6 6 j ，他的又一贡 献是利用信号和噪声经过小波变换之后在各尺度上的不同表现，提出了一种利用 小波变换模极大值原理进行信号去噪的方法【酷埘】，这是小波去噪的最经典的方法。 m a l l a t 通过对小波系数的模极大值处理之后，在小波变换域内去除了由噪声对应的 模极大值点，仅保留了由真实信号所对应的模极大值点，然而仅仅利用这有限的 模极大值点进行信号重构，误差是很大的。因此，基于模极大值原理进行信号去 噪时，存在一个由模极大值点重构小波系数的问题。m a l l a t 提出的交替投影 ( a l t e r n a t i v ep r o j e c t i o n s ，简记为a p ) 算法1 6 5 锻好地解决了这个问题。然而，a p 算法计算量很大，需要通过迭代实现，有时还不稳定。 x u 等人于1 9 9 4 年提出了一种基于空域相关性的噪声去除方法【鹤】，根据信号 与噪声的小波变换系数在相邻尺度之间的相关性进行滤波，该方法虽不够精确， 但很直接，易于实现。在该算法的实现过程中，噪声能量的估计非常关键。p a n 等 人推导出噪声能量阈值的理论计算公式，并给出了一种估计信号噪声方差的有效 方法旧7 0 1 ，使得空域相关滤波算法具有自适应性。 s t a n f o r d 大学以d o n o h o 为首的一个学术群体致力于信号去噪的研究，取得了 大量的成果。d o n o h o 和j o h n s t o n e 等人于1 9 9 5 年提出了信号去噪的软阈值方法和 硬阈值方法，推导出计算通用阈值的公式和基于s t e i n 无偏估计的s u r e 阙值公式， 并从理论上证明了该阈值是最优的【7 1 侧。同年，c o i f m a n 和d o n o h o 提出了平移不 变小波去噪1 7 4 1 。g a o 和b r a c e 把d o n o h o 的软阈值和硬阈值方法进行推广，提出了 s e m i s o f t 阈值方法，通过比较说明s e m i s o f t 阈值方法比硬阈值方法连续性好，比软 阈值方法有更小的偏差等优点1 7 5 - 7 7 1 。 j a n s e n 等人于1 9 9 7 年采用g c v ( g e n e r a l i z e dc r o s sv a l i d a t i o n ) 估计器来估计小 波阈值，从而对图像中的相关噪声进行去除 t s - s 1 i 。 1 9 9 8 年d o w i n e 和s i l v e r m a n 提出了多小波的通用阈值公式【趼，同年b u i 和 c h e n 把平移不变小波去噪推广到多小波的情形【8 3 l 。 h s u n g 等人1 9 9 9 年提出一种基于奇异性检测的去噪方法【8 4 l ，与m a l l a t 的模极 大值原理去噪方法类似，但它不进行模极大值检测与处理，因而避免了复杂的重 构，而是通过计算一个锥形影响域内小波系数模的和值来估计信号的局部正则性， 从而对小波系数进行滤波。该方法几乎不需要噪声的先验信息，并易于推广到二 维图像的去噪。 1 9 9 9 年e j c a n d e s 和d ld o n o h o 建立了脊波( r i d g e l e t ) 变换1 5 6 1 和曲波 ( c u r v e l e t ) 1 5 9 1 ，并将它们应用到图像去噪中，与相应的小波方法相比，脊波或曲 第一章绪论 7 波的去噪效果更好，特别是对噪声较为严重的信号，曲波方法可以得到非常好的 处理结果1 6 l l 。 2 0 0 0 年，在基于无噪图像小波系数服从广义高斯分布( g e n e r a l i z e dg a u s s i a n d i s t r i b u t i o n ，简记为g g d ) 的假设前提下，c h a n g 等人提出一种针对图像的b a y e s s h r i n k 阈值去噪方法【8 5 州，取得了很好的去噪效果。 总之，最近几年来有关小波去噪的文献非常多 s t o o l ，已经取得了不少好的结 果。本文在分析这些结果的基础上，进行了更加系统和深入的讨论，作了一定的 改进并提出一些新的算法，并与原有方法作了比较，说明各算法的优劣特性以及 适用范围。 1 6 本文的主要工作 小波理论在中国经过二十多年的发展，虽然取得了许多非常重要的成果，但 仍然有一些根本性的问题尚待解决，如小波的构造问题，构造出各种小波，并揭 示出它们之间的关系是研究和应用小波的基础。小波应用虽然在某些领域取得了 惊人的效果，但依然有许多局限性，小波并不是“放之四海而皆准”的工具和方 法，小波能否取得成功的应用，必须视实际问题而定。应用问题是否适合于小波 分析，这是小波研究者应该首先考虑的，另外针对问题的特殊性和不同的研究角 度，选择具有优良特性的小波基也是相当重要的，如何根据信号的特点和信号处 理的需要自适应地选取最优小波的问题一直是小波理论与应用研究领域的重要问 题之一，也一直是小波研究领域悬而未解的问题。另外，在小波应用的具体技术 和方法上也还有很多工作要做，譬如，如何建立高维小波变换和连续小波变换的 高效快速算法，并将其推向实际应用就是一个值得研究的重要课题。小波理论与 分形【9 l l 、神经网络1 3 9 m 】等一些非线性方法已有一定的结合，但在应用的过程中本 质上的突破并不多，甚至还出现了一些新的问题有待解决。如何开辟一些小波新 的应用研究领域也是一个非常富有挑战性的课题。 本文旨在研究小波的最新理论，进一步完善从小波理论到小波应用的桥梁， 在前人提出的有关小波去噪算法的基础上，展开更加系统和深入的讨论，力求探 索一些小波理论在信号与图像去噪中的一些新的方法。主要工作包括： 第一章是绪论部分，简要介绍了比较基本的滤波理论和圆度，回顾了小波分 析这一新兴学科的发展概况，介绍了有关小波理论和应用的国内外进展情况，前 人的研究成果以及本文研究工作的目的、范围和研究方法，并简要介绍了全文的 主要内容，对全文的各章节做了总体安排。 第二章介绍了滤波的基本理论，介绍模拟滤波器和数字滤波器及其频率特性， 并简要介绍了有限长单位冲激( f i r ) 滤波器和无限长单位冲激( i i r ) 滤波器。 8 基于小波分析的椭圆标准件表面评定研究 第三章是圆度及圆度评定方法，介绍了圆度的定义，常见的四种评定方法及 原理，介绍了圆度仪的工作原理和圆度测量中滤波器选择要注意的问题。 第四章主要讨论了小波分析的基本理论，首先介绍了多分辨分析及规范正交 小波基的一般构造方法；然后介绍了连续小波变换、离散小波变换和二进小波变 换，并给出离散二进小波变换的快速分解与重构算法；最后分析了小波基的数学 特性，包括正交性，正则性，消失矩，紧支性以及对称性等，讨论了这些性质之 间的相互联系和制约关系，给出了每一性质对实际应用所产生的影响，并从信号 处理的角度出发，给出选择小波基时应偏重的一些特性。 第五章比较系统地讨论了一维信号的三大类小波去噪方法：即基于小波变换 模极大值原理的去噪方法，小波阈值去噪方法以及基于小波变换尺度相关性的去 噪方法。在原有算法的基础上作了大量的改进，也提出一些新算法，取得显著的 去噪效果。详细介绍了小波变换模极大值去噪的原理，分析了去噪过程中几个参 数选取的问题，即尺度的选取，阈值的选取和传播邻域的选取，详细讨论了它们 与信号、噪声等的具体联系以及它们的选取依据，得出了以上参数的选取应根据 信号和噪声的具体特性尤其是s n r 的大小具有自调节功能的结论，最后给出了具 体算法和仿真实验，由于该算法计算量很大，程序复杂，因此速度较慢，而且其 计算过程可能不稳定，不便于实际应用，因此，寻求一种新的更加简洁、有效的 算法具有实际意义。针对小波阈值萎缩去噪方法的几个关键问题进行了详细讨论， 首先讨论了基小波和小波分解层数的选择与信号去噪之问的具体联系，并给出了 一些选择依据，其次讨论了阅值函数的选取问题，并针对硬阈值方法和软阈值方 法的固有缺点，提出了四种改进方案，然后对常用的四种阈值选择规则进行了详 细讨论，并给出了一些选择依据，最后通过仿真实验得出一些有用的结论。在传 统相关去噪方法的基础上进行了一定改进，并把相关去噪方法和阈值去噪方法结 合在一起，得到了一种组合方法，由该方法滤波之后得到的小波系数不仅连续性 好，准确率高，而且易于重构信号，该方法的去噪结果尤为显著，是一种实用有 效的算法。最后对上述三种方法进行了分析和比较，从不同的角度分析了这些算 法的性能，并指出现有算法存在的一些局限性。 第六章研究了小波变换在椭圆标准件表面圆度评定去噪中的应用，详细讨论 了基于g c v 准则的小波阈值去噪方法，该方法只利用输入数据就可以直接得到渐 近最优阈值，而不需要估计噪声的方差，从而克服了实际去噪问题中噪声方差估 计困难的缺点，并且由于用这种准则得到的最优阈值趋近于理想阈值，所以经常 能够获得较好的去噪效果，是一种实用有效的去噪方法，具有广阔的应用前景。 另外，深入研究了自适应b a y e ss h r i n k 阈值去噪方法，它是一种空域自适应小波阈 值去噪方法，自适应b a y e ss h r i n k 阚值方法可以自适应的在信号平滑区域去除噪声 而在高能量区域不带来太多干扰，这种方法是空域自适应去噪的典范，并且同时 第一章绪论 9 用到了层间和层内的相关信息，是目前小波去噪方法中能达到很小去噪误差的方 法，通过实验表明，该方法的去噪效果非常有效，其不足在于需要较为复杂的计 算。 第二章滤波的基本理论 第二章滤波的基本理论 模拟滤波器与数字滤波器的设计对工程，应用数学及计算机科学都是非常重 要的对设计人员来说，滤波器是控制，信号处理和通信领域的重要组成部分， 广泛应用于各种系统中，如化学处理设备科学仪器悬挂系统调制解调器和 数字蜂窝电话等 当设计人员应用常规技术和软件设计滤波器时。一般能得到满足一组指标的 其中一种滤波器，实际上可能存在无限多的设计方案1 1 “1 本章旨在为小波滤波理 论提供理论基础 2 1 模拟滤波器 具有频率选择性的典型的模拟滤波器，有已熟知的巴特沃思滤波器 ( b u t t c r w o r t hf i l t e r ) 、切比雪夫滤波器( c h e b y s h e vf i l t e r ) 以及椭圆滤波器等。如 从功能方面对模拟滤波器进行分类，可以分为低通滤波器、带通滤波器、高通滤 波器、带阻滤波器和全通滤波器等。其中采用无源元件就可以实现的滤波器称为 无源滤波器。使用有源器件的滤波器。目前，模拟滤波器仍被广泛使用着，并用 作为数学滤波器的基础，这也是一类非常重要的滤波器。 设模拟滤波器的频率传递函数为h ( j w ) ，则h ( ，) 可表示为 h ( j w ) 一i h ( j o ) ) iz - h ( j o ) ) 一i h ( j o ) l e p 徊 ( 2 - 1 ) 旧( j 奶i 表示滤波器的幅频特性，二日( ，) 和妒( 珊) 表示滤波器的相频特性。式中 ，- 一1 是虚数单位。另外，设，为频率，为角频率，则一幼厂。 如果根据频率选择性对模拟滤波器分类，可以分为低通滤波器、高通滤波器、 带通滤波器、带阻滤波器。当滤波器在全频带中满足旧( ，) i 一1 时，称为全通滤波 器，可用于改善滤波器的相频特性。 滤波器的频率特性可分为幅频特性和相频特性，它们都是表示滤波器特性的 重要特性。但在模拟滤波器的设计中，一般只考虑滤波器的幅频特性，而在数字 滤波器的设计中，有可能同时考虑幅频特性和相频特性。 2 2 数字滤波器 现在，更多地是利用数学滤波器代替模拟滤波器作为频率选择性滤波器。数 学滤波器是利用采样以及量化过的信号，但就幅频特性与相频特性的概念而言， 仍是以模拟滤波器为基础的。 2 2 1 数学滤波器与信号处理过程 数字信号处理的对象多为诸如语音信号等它们本身也是模拟信号，所以一般 基于小波分析的椭圆标准件表面评定研究 利用模数转换器( a - d 转换器) 将模拟信号转变为数字信号，再用数字滤波器处 理转换后的信号。迸一步利用数一模( d - a 转换器) 将数学滤波器处理过的结果转换 为模拟信号供使用。 模拟信号( 连续信号) 必须利用采样定理进行采样。也就是说，设模拟信号 所包含的最高频率为，艚，采样频率为正，则信号取样时必须满足正乏2 ，m 。其中当 采样周期为t 时，正- 1 t 。 一般在需要的频带之外，可能还含有相当的高频分量，所以需要经模拟低通 滤波器即抗折叠滤波器去掉输入信号中的高频分量。经过平滑化的模拟信号再用 于采样。另外，平滑滤波器是为了对d - a 转换后模拟信号进行平滑处理，这项工 作可以使用模拟低通滤波器来完成。 另外，数字通信中使用的数学均衡器也可视作是一种数字滤波器，但是用数 字均衡器直接进行数字信号处理时，就不再需要用a - d 转换器和d a 转换器。 这样看来，需要处理的信号不只是原来的模拟信号，即使是数字信号，也需 对信号作进一步处理，但不论哪种情况，用数字滤波器直接处理的信号都是数字 信号。 可以认为数字滤波器是用差分方程表示的离散时间系统。特别是可用线性议 程表示线性数字滤波器，并可能通过z 变换用传递函数表示。通常把线性数字滤波 器简单称为数字滤波器。而当数字滤波器的传递函数需要线性差分方程才能表示 时，特别称为非线性数字滤波器。由于非线性数字滤波器不适用传递函数的概念， 所以必须用差分方程的原型来处理。在用线性差分方程所表示的线性数字滤波器 中，考虑到计算结果的舍入误差等因素，严格讲所有的数字滤波器都是非线性数 字滤波器。但是，当这些误差极小，可以忽视时，都可以当作线性数字滤波器使 用。 2 2 2 数字滤波器的种类 设数字滤波器的传递函数为日( z ) ，可表示为 日(z)；一bo+b,z-+-+bz- ( 2 2 ) 、 1 + a l z 一+ + a m z 一“ 式中，z 是z 变换的变量，并取h ( z ) 的分子与分母的系数全部为实数。 设滤波器的输入信号为x ( z ) ，输入信号为y ( z ) ，则有 y ( z ) = h ( z ) x ( z )( 2 3 ) 设采样周期为t ，对式( 2 3 ) 作z 变换，则可得到 ) ，( 七z ) l 一酗y ( ( 川) 丁) + b j 工( ( 七一班) , k f f i o , 卜 2 4 第二章滤波的基本理论 1 3 式中，当k t 0 时令工( 七丁) t y ( k r ) ；0 。 现在，如将采样周期t 归一化为t = i ，则在f 曲r 处将，x ( k t ) 、y ( k t ) 分别 写成x ( f ) 、y ( f ) ，则y ( f ) 可表示为： y ( f ) 一一善q y ) + 善咿卜n f i o ，1 以后，在时域的差分方程中，原则上使用式( 2 - 5 ) 的表达式，但 示采样周期r 时，仍采用式( 2 - 4 ) 的形式。 在时域中，如果用z - i x ( t ) - x ( t 一1 ) ，z - 1 y ( t ) - y ( t - 1 ) ，( f - 1 , 2 ，) 迟算子z - 1 ，从式( 2 - 5 ) 可以得到 y ( t ) * h 乜弦( f ) ( 2 - 5 ) 需要明确表 定义单位延 ( 2 6 ) 式中h ( z ) 的意义与( 2 2 ) 相同。式( 2 3 ) 的日( z ) 是z 变换域的传递函数，而式 ( 2 6 ) 中的日( z ) 则是时域的单位延迟算子的表现形式。由于它们是用完全相同的 形式表示的，所以以后z 变换域和时域均可使用式( 2 2 ) 。 分析式( 2 - 2 ) 可知，只要分母多项式a j ( i = l ，2 ，硒中有一个不为o ，滤 波器的内部就存在反馈环。这种内部有反馈环的滤波器称为递归型滤波器。相反， 所有系数a i ( i = l ，2 ，m ) 都为0 的滤波器称为非递归型滤波器。由于非递归型 滤波器的内部没有反馈环，所以这种滤波器总是稳定的。 从滤波器的单位冲激响应来看，滤波器可以分为无限长单位冲激响应的i i r 滤 波器( i n f i n i t ei m p u l s er e s p o n s ef i l t e r ) 和有限长单位冲激响应的f i r 滤波器( f i n i t e i m p u l s er e s p o n s ef i l t e r ) 。由于i i r 滤波器的传递函数存在0 之外的极点，所以单位 冲激响应是无限持续的。因而i i r 滤波器与递归型滤波器是一致的。而f i r 滤波器 的传递函数不存在0 之外的极点，所以，本质上f i r 滤波器与非递归型滤波器是 一致的。但是，如果稳定的递归型滤波器与非递归型滤波器级联后，其极点与零 点相互抵消，使滤波器在0 之外不存在极点，这种滤波器也是f i r 滤波器。这种 情况下，由于滤波器内部存在反馈环，因而这种滤波器也就成为递归型滤波器。 频率采样滤波器就是这种结构的滤波器。i n 5 i 2 2 1 数字滤波器的频率特性 1 幅频特性 设采样周期为l 令z 一，n 玎，从z 变换理论即可得到( z ) 的频率特性，可表 示为 h ( e j r ) ；f 日0 7 ”) l 日。脚) 一p o 4 ) l e m ” ( 2 7 ) l h ( e 妒) l 表