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硕士学位论文期权c a l l 复制方法与b o n d 复制方法的比较研究 期权c ai i 复制方法与b o n d 复制方法的比较研究 专业：概率论与数理统计 硕士生：肖小勇 指导教师：区景祺 摘要 关于欧式期权定价的著名的b 1 a c k s c h o l e s 公式到目前为止有两类推导方 法，即c a l l 复制方法和b o n d 复制方法。b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 首创了b o n d 复制方法，后来m e r t o n ( 1 9 7 7 ) 独创了c a l l 复制方法。我首先详细阐述了以上 两类方法的操作过程，稍作比较后，我们会发现c a l l 复制方法推理上更严格易 懂，而b o n d 复制方法普遍存在一个问题，即其对冲投资组合是否一定存在。本 文就这一问题，以r o s u 和s t r o o c k ( 2 0 0 4 ) 的思想为核心，将上述难题分解为四 个小问题，并设法解决它们使得b o n d 复制方法更加严密并且容易理解。 本文的创新点体现在以下几个方面：第一，将上述方法推广到随机利率和波 动率为股票价格的随机函数的情形：第二，我引入了m e r t o n ( 1 9 7 6 ) 跳跃扩散模 型，并研究了该模型股票价格的“狭峰厚尾性”，股票的瞬时收益率和瞬时方差 率等性质：第三，通过与b l a c k s c h o l e s 模型相对比，探讨是否可以采用上述两 类方法找到对冲投资组合，继而求得期权价格满足的方程，然而我证明了完全对 冲方法是行不通的。最后我简单阐述了该模型期权方程的部分性质。 关键词：c a l l 复制方法，b o n d 复制方法，对冲投资组合，b l a c k s c h o l e s 公式，m e r t o n ( 1 9 7 6 ) 跳跃扩散模型。 第1 页 硕士学位论文期权c a l l 复制方法与b o n d 复制方法的比较研究 as t u d yo fc o m p a r is o nb e t w e e nt h ec a llr e p li c a ti o nm e t h o d a n dt h eb o n dr e p l i c a t i o nm e t h o do fo p t i o n - p r i c i n g m a j o r ：p r o b a b i l i t ya n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s n a m e ：x i a o y o n gx i a o s u p e r v i s o r ：j i n g q io u a b s t i 认c t s of a r ，t h e r ea r et w od e r i v a t i o nm e t h o d so ft h ef a m o u sb l a c k s c h o l e s f o r m u l aa b o u te u r o p e a no p t i o n p r i c i n g ，n a m e l yt h ec a l lr e p l i c a t i o nm e t h o d a n dt h eb o n dr e p l i c a t i o nm e t h o d b l a c ka n ds c h o l e s ( 1 9 7 3 ) i n i t i a t e dt h e b o n dr e p l i c a t i o nm e t h o d ，a n dm e r t o n ( 1 9 7 7 ) o r i g i n a l l yc r e a t e dt h ec a l l r e p l i c a t i o nm e t h o dl a t e ro n ie x p l a i nt h er e a s o n i n gp r o c e s so ft h ea b o v e t w om e t h o d si nd e t a i la tf i r s t ，t h e na f t e ras l i g h tc o m p a r i s o n ，w ew i l l f i n d t h a tt h ec a l lr e p l i c a t i o nm e t h o di sl o g i c a l l ym o r er e a s o n a b l et o u n d e r s t a n da n dt h a tap r o b l e mg e n e r a l l ye x i s t si nt h eb o n dr e p l i c a t i o n m e t h o d ，t h a ti sw h e t h e rah e d g i n gp o r t f o l i ow i l lc e r t a i n l ye x i s t i nt h e t e x tir e g a r dt h et h o u g h to fr o s ua n ds t r o o c k ( 2 0 0 4 ) a st h ec o r e ，r e s o l v e a b o v e m e n t i o n e dd i f f i c u l t yi n t of o u r1 i t t l e e a s i e rp r o b l e m s ，a n dt h e n s o l v et h e mt a c t i c a l l yi no r d e rt om a k et h eb o n d e p l i c a t i o nm e t h o dm o r e t i g h ta n de a s i e rt ou n d e r s t a n d t h eo r i g i n a l i t yo fm yt e x ti se x p r e s s e da tt h ef o l l o w i n ga s p e c t s ： f i r s t ，ip u tt h ea b o v e m e n t i o n e dm e t h o d si n t ou s ea tt h es i t u a t i o nt h a t t h ei n t e r e s tr a t ei sr a n d o ma n dt h ev o l a t i l i t yi st h er a n d o mf u n c t i o no f t h es t o c kp r i c e rs e c o n d ，il e a dt h em e r t o n ( 1 9 7 6 ) j u m p d i f f u s i o nm o d e li n t o t h et e x t ，a n ds t u d ys o m en a t u r eo ft h es t o c kp r i c e ，s u c ha st h e “n a r r o w p e a ka n dt h i c kt a i1 ”，t h ei n s t a n t a n e o u sr e t u r nr a t ea n dv a t l a n c e ；t h i r d ， t h r o u g hc o m p a r i n gw i t hb l a c k s c h o l e sm o d e l 。1w o n d e rw h e t h e ric a nf i n d ah e d g i n gp o r t f o l i ow i t ht h et w oa b o v e m e n t i o n e dm e t h o d s ，a n dt h e nt r y t og e ta ne q u a t i o nt h a tt h ep r i c eo fo p t i o nm e e t s ，h o w e v e r ，ih a v ep r o v e d t h a tt h ec o m p l e t eh e d g i n gm e t h o di su n a v a i l a b l e f i n a l l yib r i e f l ye x p l a i n s o m en a t u r eo fm e r t o n ( 1 9 7 6 ) m o d e l so p t i o ne q u a t i o n k e y w o r d ：t h ec a l lr e p l i c a t i o nm e t h o d ，t h eb o n dr e p l i c a t i o nm e t h o d ， h e d g i n gp o r t f o l i o ，b l a c k s c h o l e sf o r m u l a ，m e r t o n ( 1 9 7 6 ) j u m p d i f f u s i o n m o d e l 第1 i 页 硕士学位论文期权c a l l 复制方法与b o n d 复制方法的比较研究 第1 章c a l l 复制方法与b o n d 复制方法 1 1 引言 股票期权交易是上世纪七十年代发展起来的国际金融市场颇具特色的合同 交易，其最基本用途是为了转移股票价格变动风险，最大特点是在保留从有利价 格变动中获取收益可能性的同时，也防止了不利价格变动可能带来的更大损失。 现在，在世界各地的不同交易所中都有期权交易。银行和其它金融机构同时也进 行巨额的期权合约的场外交易。 期权按标的资产的买卖方式不同，可以分为看涨期权和看跌期权两种基本类 型。按执行时间的不同，可以分为欧式期权和美式期权两种基本类型。在交易所 中交易的大多数为美式期权。然而，欧式期权通常比美式期权更容易分析，并且 美式期权的一些性质总可以由欧式期权的性质推导出来。研究期权最重要的就 是研究它的定价，因此，怎样强调期权定价的重要性都不过分。 到目前为止，关于欧式看涨期权定价的著名的b l a c k s c h o l e s 方程已经有许 多推导方法。然而，所有这些推导方法实质上可以分为两类：c a l l 复制方法和 b o n d 复制方法。1 9 7 3 年b l a c k 和s c h o l e s 首次用b o n d 复制方法建立了欧式期 权的定价公式。随后，m e r t o n 在他1 9 7 3 年关于理性的期权定价理论( 再版于 m e r t o n ( 1 9 9 2 ) ) 中对该法进行了改编。再后来m e r t o n 在他1 9 7 7 年关于未定权 益和m o d i g l i a n i - m i l l e r 定理( 再版于m e r t o n ( 1 9 9 2 ) ) 的论文中首创了c a l l 复制方法。d u f f i e ( 2 0 0 1 ) 中对这种方法进行了详尽的描述。另外c a l l 复制方法 还有另一种版本即鞅方法，它是由h a r r i s o n 和k r e p s ( 1 9 7 9 ) 开创的( 对此法 的一个新近的描述，可以参看k a r a t z a s 和s h r e v e ( 1 9 9 8 ) ) 。1 9 9 7 年由于这个辉 煌的成就，以及由此产生的期权定价理论方面的一系列贡献，$ c h o l e s 和 m e r t o n ( b l a c k 已故) 获得该年度诺贝尔经济学奖。 。 c a l l 复制方法一直以来在大量文献中有严格而清楚的描述。然而，所有采 第1 页 硕十学位沦文 期权c a l l 复制 法与b o n d 复镥4 方法的比较研究 用b o n d 复制方法的证明都碰到同样的问题，例如，h o l l ( 1 9 9 7 ) ，i n g e r s o l l ( 1 9 8 7 ) 和w i l m o t t ( 1 9 9 5 ) 等等。我将在第一章中引进些相关的定义，分另崛女述c a l l 复制方法和b o n d 复制方法的具体操作方式，并比较这两种方法的异同，阐述b o n d 复制方法存在的问题。然后在第二章中，以r o s u 和s t r o o c k ( 2 0 0 4 ) 的思想为核 心，通过巧妙的分解完满解决上述问题使得b o n d 复制方法严密且容易理解，随 后将该法推广到波动率为股票价格的随机函数的情形，即股票价格过程为： 拈，；r ( t ) s ，d t + a ( s ，o s ，d 彬。随后在第三章中我引入了m e r t o n ( 1 9 7 6 ) 带跳金融 j f 模型，设股票价格过程为：；p 一2 p ) d t + a i w , + d ( 萝o 。一1 ) ) ，在研究该模型 j，一f玎 性质的基础上，探讨是否可以用上述两种方法求得期权价格满足的方程，然而我 得到了否定的答案。最后我简单阐述了该模型期权方程的部分性质。 1 2 对冲投资组合和套利 在对比两种复制方法之前，我们首先来回顾以下几个重要的概念。对于通常 的连续时间金融模型，也就是说，在一个金融市场中，其不确定性是通过一个带 有非降子o r 一代数流恒【o ，m ) ) 的概率空间( q ，f ，p ) 和一个取值于r 。的标准布 朗运动( 也就是w i e n e r 过程) ( 咿( f ) ，e ，p ) 来刻画的。在这个背景下，适应过程 t 卜f ( t ) 是一个使得f ( f ) 对每个t 苫0 都是，f 一可测的过程。适应过程t 卜x ( t ) 称 为 二过程，如果存在适应过程“：q 【0 ，t 】一r 和v ：q 【o ，r 】一r 。，而且几乎 必然有f l o ) l d tc 。和olv ( 0 1 2d t co o ，使得在肪积分的意义下有 d x ( t ) = u ( t ) d t + v ( t ) d w ( t ) 对于i = 0 ，令s 。( t ) 为标的资产i 的价格过程。本文中 s o ( t ) ；占( f ) = e x p 嗡，( o d f ) 为一份债券的价格，它确保资本总是以利率r ( f ) 获利。 考察投资组合f i ，其中q o ) 表示在时刻f 持有标的资产s 。的份数，也就是说，i 的 单位数量。假设s ，o ) 为定义在q x l o ，丁】上的i t 6 过程，而日i ( f ) 是q 【0 ，r ) 上的肺 第2 页 硕士学位论文 期权c a l l 复制方法与b o n d 复制方法的比较研究 过程( o a t ) 在t = t 时可能无定义，因为在r 时刻没有交易发生) 。那么投资组合 在t 时刻的价值是 n ( f ) = 口o ) s o ) 2 荟q ( f ) s o ) 定义1 1 一个投资组合n = o s 被认为是自融资的，如果棚= o d s 在e x o ，r ) 上 成立。更一般地，给定一个停时对n 和卢，0 口s 芦s t ，投资组合n ( t ) = 8 ( t ) s ( t ) 被称为局部自融资于垂直窗口 v ( a ，f 1 ) ； ( ，f ) q 【o ，t 】：a ( ) s ts f l ( 甸) 如果在y ，) 上在d ；o d s 的意义下它是自融资的，或者更准确地说 n ( t nf 1 ) 一r l ( t a ) = f o i 陋，f 】( r 妒o ) 正s o ) 如果在v ( a ，卢) 上是局部自融资的，并且口sa s 卢s 晟那么n 在 y ( 。，卢) 上也是局部自融资的，认识到这一点很重要。事实上，这只是d o o b 停 时定理的一个应用，它确保了n ( tn 卢) 一n ( t n ) = f o i 【。- ，口1 0 ) 棚p ) 几乎必然成 立。 我们现在来给无风险投资组合下一个定义。假定n 是上述的投资组合。通过 构造，是一个肋过程，所以d n = u d t + v d w 本文中，“称为漂移，i v 2 称为 方差。 定义1 2 我们说一个满足d 1 1a u d t + 记的投资组合是无风险的，如果v - 0 我们称n 在垂直窗i z l v ( a ，卢) 上是局部无风险的，如果vs 0 在v ( a ，卢) 上几乎必 然成立。 定义1 3 一个投资组合称为是对冲的，如果它是自融资和无风险的；我们称一 个投资组合在矿 ，) 上是局部对冲的，如果它在其上是局部自融资和局部无风 险的。 定义1 4 套利是一个定义于 0 ，t 上的自融资投资组合n ，使得 a ) ( o ) t 0 ： 第3 页 硕士学位论文期权c a l l 复制方法与b o n d 复制方法的比较研究 b ) 了m ，一m ，使得对每个t ，n ，t ) m 几乎必然成立； c ) n ( r ) 0 几乎必然成立，并j l e ( n ( r ) 0 ) 0 下面的命题表明，在无套利情况下，自融资投资组合最多只能以利率r ( t 1 盈 利。 命题1 5 假定市场承认无套利，并且资本按利率r o ) 盈利。那么，给定停时a 和 卢，o s as 芦s t ，不存在投资组合n 使得 一在v ( a ，卢) 上几乎必然有界并且是局部自融资的； 一 ，卢( ) ) 苫e x p ( e ： r p ) 如) n ，口( 埘) ) 几乎必然成立； j o j e ( n ( w ，卢( ) ) ，e x p ( e ：) ，( f ) d r ) 兀( ( c ，a ( ) ) ) ，0 。 j n l mj 同样地，也不存在投资组合n o ) 使得当上述不等式反向时它具有上述性质。 证明：假设n 是具有上述性质的投资组合。为了证明这是不可能的，我们按下面 的策略构造一个套利q ：在时刻口之前不做任何交易：在时刻a ，通过卖空债券 口借入资金从市场上买入1 1 ；在时刻口，卖掉兀用所得收益买入债券( 并持有 它到时刻t ) 。更确切地说，定义一个投资组合q ( f ) ；o o ( f 归( f ) + o ( t ) f l ( t ) 如下： 一对0 s t 0 ) 0 但是它意味着q ( t ) 0 并且有p ( q ( r p0 ) 0 ，因此q 违 背了无套利假设。 口 命题1 6 假设市场承认无套利并且资本以利率，o ) 获利。设为d i i ；u d t + v d w 第4 页 硕士学位论文 期权c a l l 复制方法与b o n d 复制方法的比较研究 给定的投资组合，这里“( m ，) 对几乎每个m 是连续的。而且，假设i i 在垂直窗口 v ( a ，f 1 ) 上几乎必然有界并且是局部对冲的。那么，对几乎每个c o ，对所有 t ( ) ，芦( 妫) ，有“( 鼽f ) = ，( f ) ( f ) 等价地况，n 在v ( a ，声) 期间必定确切地以 利率r ( f ) 增长，或者说， v ( a ，f 1 ) _ l = 有d n = r i i d t 证明：我们的目标是证明p ( r + ) = 0 一p ( r _ ) ，这里r ；枷：l l 和，t ) r ( t ) l i ( t o ，i ) 因此，我们只需证明对每个，0 ，有p ( r + 0 ) ) = 0 = p ( r - ( s ) ) ，这里 c ( ) a 扣：士“( 甜，f ) 苫r o ) n ( 甜，f ) + f ) 为这个目标，假定对某个，0 ，有 p ( r + 0 ) ) 0 那么我们可以定义停时d 。 ) 和芦 ) 如下：口。( 甜) 是第一个 r 【a ( ) 卢) 】使得“ ，r ) r ( t ) i i ( o ，f ) + ；f l , ( 甜) 是第一个t c t 。( 吐j ) f l ( o , ) l 使 得h ( 甜，f ) sr ( t ) i i ( ( o ，f ) ( 这里我们意味着如果要么8 = 卢，要么对所有f 陋，卢】有 “tr + e ，那么口。3 同样地，如果要么a = 卢，要么对所有f 陋，卢】有 “，r n + ，那么卢；卢) 那么v ( a ，芦) 是一个垂直窗口，在其上n 是一致有 界和局部对冲的。而且，对t o e l ( f ) ， n ( m ，卢。( m ) ) ，e x p ：o ) d r ) ( ，a ( m ) ) ， 由命题i 5 ，它违背了无套利假设，因此p ( r + ( ) ) ；0 。同理，对任意，0 ，有 p ( r _ ( ) ) = 0 。 口 1 。3c a l l 复制方法 有上一节的概念和命题作基础，接下来的两节，我将分别用两种复制方法来 推导b l a c k s c h o l e s 方程，并比较它们的异同。 在下列假设条件下，我们用c a l l 复制方法来推导关于单个股票s 的欧式看 涨期权c 所满足的偏微分方程： 7 1 股票价格遵循的随机过程为 第5 页 硕士学位沦文期权c a l l 复制方法与b o n d 复制方法的比较研究 拿：础+ a w , = d f + s 这里和o r 是关于时间t 的有界非随机函数，o r 非负并且在一个正常数的界之下 金融中和盯分别称为股票价格的期望收益率和股票价格的波动率。 2 允许使用全部所得卖空衍生证券。 3 没有交易费用或税收。 4 在衍生证券的有效期内没有红利支付。 5 不存在无风险套利机会且无风险利率为r ( t ) ( 非随机函数) 。 6 证券交易是连续的。 7 看涨期权价格c = c ( s ，t ) ，这罩c ：( o m ) 【o ，t 】一尺是一个处处连续，在 ( o ，。) 0 ，r ) 上关于s 和f 分别为二阶连续可微和一阶连续可微的函数。 在时刻f ，我们构造投资组合o ，= a ，s ，+ 卢，只( d ，和屈均为随机过程) ，使 得它在丁时刻与看涨期权有相同的收益即0 ( 丁) = c ( s ，t ) = ( s f f ) 一k ) + ，这里k 称为期权的执行价格。由下面的命题知，对任意( y ：j t ，有0 ，= c ( s ，f ) 在这种意义 下，o 复制了看涨期权c 命题1 7 若在【0 ，7 】内市场无套利，投资组合m ，与中：有 巾。口) = 中：仃) ， 那么对任意时刻f 【0 ，t 】，必有中，p ) = 中：( f ) ( 证明参姜礼尚p 1 2 ) # 因为0 ，= c ( s ，t ) ，即有 t b t = c q | s t 由于0 是自融资的，因此有 d o ，= 口。d s ，+ f i t d b t = 口，( u s f d t + o s ，d w , ) + f i t b t r d t = 【d ，u s ，+ r ( c c t ，s ，) d t + a ，o s ，d w , 由肋公式得 第6 页 硕士学位论文期权c a l l 复制方法与b o n d 复制方法的比较研究 犯= 堕出+ 箜订，+ ! 矛0 2 c o to s2 d 阶s ，】。 豁o ” 而 a s ，s 】= 盯2 s t 2 d t 令d e = d c 即有 ( 1 2 ) h 筇，+ ，( c - a , s , ) 胁+ a ，岱，d 彬= 【詈+ 心，嚣+ 丢0 2 s t 2 豢体+ 甜，詈d 彬 因此q ：要，进一步可得 a c + a - - 嬖s 2 驾+ 心堕一，c ：0 ( 1 3 ) 这就得到了b 1 a c k s c h o 】e s 方稗( 1 3 ) 。 1 4b o n d 复制方法 在第二节所列的假设条件下，我们用b o n d 复制方法柬推导关于单个股票s 的欧式看涨期权c 所满足的偏微分方程： 在时刻f ，我们构造对冲投资组合1 - 1 ，= a , s 。一b , c ( q 7 0 b , 均为随机过程) ， 使得它在无风险和自融资的意义下复制一份价值为h ，的债券e 由自融资条件 得 d l i ，= a t d s ，- b 。d c 由( 卜1 ) 、( 卜2 ) 得 d l l ，= ( n ，心，以詈一包面o c 心，一b t1 0 2 s t 2 面a 2 c 渺+ ( 口，岱，一b ，o 稻co s 彬 ( 卜4 ) 由无风险条件，再根据命题1 6 得 d l i ，= r i i 。d t = r ( a ，s ，- b t c ) d t 第7 页 ( 1 - 5 ) 硕十学位论文期权c a l l 复制，j 法与b o n d 复制方法的比较研究 因此 ，d c 4 r 2 包面 r l r = 6 ，( s ，西o c c ) ( 卜5 ) 式得 缸专弓s 2 豢+ 心署删一o ( 1 6 ) ( 卜7 ) 只要b o ，最终就可以得到b l a c k s c h o l e s 方程( 卜3 ) 。 从第二节c a l l 复制方法和本节b o n d 复制方法的具体论证过程，不难发现： 两种证法都是通过证明，假如c 不满足b l a c k s c h o l e s 方程( 卜3 ) ，那么可 以分别用0 ，或，构造一个套利。前者是通过构造自融资投资组合0 ，复制一张欧 式看涨期权，后者是通过构造对冲投资组合n 复制一份债券，并要求检验该投 资组合既是自融资的又是无风险的。 另外，b o n d 复制方法存在如下问题：即使得兀，= 包( 5 ，等一c ) 是自融资的 d j 非零项b ，是否存在；当然，如果这样的抚不存在，那么整个推导策略就会失败。 事实上，当c 满足b l a c k s c h o l e s 方程( 1 - 3 ) 时，非零项6 是存在的。我们将 在下一章来解决这一问题。 第8 页 硕士学位论文期权c a l l 复制方法与b o n d 复制方法的比较研究 第2 章b o n d 复制方法的完善 2 1b l a c k - s c h o le s 公式 在上一苹的结尾我们知道b o n d 复制方法所碰到的难题，因此，分解该问题 使它容易处理是本章的主要目标。也就是说，通过检验投资组合 n ，= 饥岱，警一c ) 是自融资的这一要求，沿着b l a c k 和s c h 0 1 e s 最初采用的方法， o , b 我们提供出b l a c k s c h o l e s 公式的一个严格推导。我们的分析有两个要素。第一 个是把上面概括的论证局部化，也就是说，只要s 告一c 一0 ，我t f j i e n 一个非 零的，无风险的，自融资的n 可以被构造出来；加上无套利条件，这推出在 s 0 ，c 。一c ，o 的情况下，c 必须满足b l a c k s c h 。l e s 方程的结论。我们论证的第 d 6 二个要素是，对于这里出现的终值条件c ( s ，r ) = p k ) + 来说，在s 詈一c o 的 区域满足b l a c k s c h o l e s 方程的任意光滑函数必须处处满足b l a c k s c h o l e s 方 程。事实上，我们会发现s 善一c 是处处大于零的。总之，我们证明的是，通过 d 5 足够的努力，b l a c k 和s c h o l e s 原始的b o n d 复制方法是行得通的。根据b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 的策略，我们将证明，c 作为( s , t ) 的函数，在某些关于它的 正则条件下，无套利意味着c ( s ，t ) 是由终值条件c ( s ，t ) 一( s k ) + 和 b l a c k s c h o l e s 方程( 卜3 ) 唯一确定的。 定理2 1 我们假定股票价格s = s o ，f ) 是一个肺过程，它满足 d s = s ( m t + 耐) ，s ( o ) 0 ， 这里：【o ，m ) 一r 和盯：【o ，。) 一( 0 , c o ) 是关于t 的有界非随机函数，并且仃在一个 正常数的界之下。而且，关于看涨期权价格c ；c ( 甜，f ) ，我们作出如下假设： 第9 页 硕士学位论文期权c a l l 复制方法与b o n d 复制方法的比较研究 ( i ) c ，f ) ；c ( s ( o ，f ) ，t ) ，这里c ：( 0 ，m ) 【o ，t 】一r 是一个处处连续，在 ( 0 ，m ) 【0 ，t ) 上光滑的函数； ( i i ) l i m m c ( s ，f ) = c ( s ，丁) s ( s k ) + 对所有s ( o ，o 。) 成立； ( i i i ) 埘，o 使得s u 叮】i c ( s ，r ) b m s - 如果市场上不存在套利机会，那么函数c ( s ，t ) 在( o ，m ) 【0 ，t ) 上必须满足 b l a c k s c h o l e s 方程( 1 3 ) 。并且，满足条件( i ) 一( i i i ) 的b l a c k s c h o l e s 方程 有唯一解。 由于直接证明上述定理存在较大的困难，下面我们首先给出证明的轮廓：从 满足条件( i ) 一( i i i ) 的价格过程c 丌始，我们想要证明无套利条件将会违背除非 c 满足方程( 卜3 ) 。我们想要采取的策略是m e r t o n 对b 1 a c k 和s c h o l e s 给i f , 的 论证的改编。也就是说，我们要构造一个投资组合n = d s 一6 c 使得n ( 0 1 0 并 且是埘冲的( 也就是晚，自融资和无风险的) 。如果这样的投资组合存在，我 们就可以采取第1 章1 3 节的方法得到想要的结论。并且知道，如果n 是对冲的， 无套利条件意味着d n = r l l d t 解出n ，我们得到 n ( o ) e x p ，( o a r ) = n ( f ) = 6 ( f ) p 面o g c ( f ) ) ， ( 2 一1 ) 因此b 不能为零。这样进一步得到c 满足b l a c k - s c h o l e s 方程( 卜3 ) 。 事实上，当我们真的试图构造对冲投资组合时，上面的策略会碰到问题。 特别地，如果存在a 和b 使得n = n s 一6 c 是自融资的，那么，就像我们刚才看 到的，( 2 1 ) 必定成立。但是，因为n ( o ) 0 ，只有当s 堕一c ，o 时这才可能。 、7 o s 也就是说，如果对某个( s ，f ) ( o ，m ) 【0 r ) ，5 等一c = o ，前而的论证就会失败。 由于这点，我们修改b l a c k s c h o l e s m e r t o n 策略如下。第一步，通过局部 化刚才概括的论证，我们能够证明，如果存在某个( s ，f ) ( 0 ，o 。) 【o r ) ，有 d ( s , t ) s s 堕孚一c ( s , t ) 。，那么c 在( 5 ，f ) 必定满足b l a c k s c h 。l e s 方程。第 二步，我们证明，如果当d ；0 和c ( s ，t ) = ( s k ) + 时，c 满足方程( 卜3 ) ，那 么c 在整个( 0 ，0 0 ) x 【o ，t ) 满足方程( 卜3 ) 。这样，我们得出，对所有tc t 有d ，0 第1 0 页 硕士学位论文期权c a l l 复制方法与b o n d 复制方法的比较研究 的结论。 2 2 定理2 1 的证明 从上一节的分村r 可以看出，只要我们证明了f 回的4 个引理，定理2 1 也就 得到证明。 引理2 2 存在唯的m 过程s ( f ) 满足础= p s d t + o s d w ，且初始条件s ( 0 ) 0 ， 其中s 由下式给出 s ( f ) ；5 ( 0 ) e x p ( p 一1 ，2 ) ( r ) 如+ j ：p ( o d w ( o ) ( 2 2 ) 因此对每个f ，s ( t ) o 几乎必然成立；而且，对任意非空区间( ，s ：) c ( o ，m ) 我 们有p ( s ( f ) o 。，j ：) ) ，o 引理2 3 满足定理2 1 中条件( i ) 一( i i i ) 的b l a c k s c h o l e s 方程( 卜3 ) 堕+ s ：堡+ 培堕一，c ：o o t2o s 於 存在唯一解。而且，对这个唯一解c ，在( 0 ，m ) 【0 ，r ) 上，我们处处有so c 豁一c ，o 引理2 4 如果c 满足定理2 1 中的条件( i ) 一( i i i ) ，并且市场上无套利机会，那 么当s 丝o s - c , , o 时，c 在( o ，o 。) “o r ) 的子集上满足b l a c k s c h 。l e s 方程( 卜3 ) 。 引理2 5 如果c 满足定理2 1 中的条件( i ) 一( i i i ) ，并且如果当s l 格_ c c - o 时， 在( 0 , o o ) x 【0 ，t ) 的子集上b l a c k s c h o l e s 方程( 卜3 ) 成立，那么在整个集合 ( 0 ，m ) 【o ，t ) 上，方程( 卜3 ) 成立。 下面对这四个引理的证明，是以r o s u 和s t r o o c k ( 2 0 0 4 ) 的思想为基础的。 引理2 2 的证明：按照随机微分方程的理论，第一个结论是很一般的。 然而，由( 2 2 ) ， s o ) 。s ( o ) e x p ( f o ( 。) 一- ) o ( 0 2 ) d r + 上口。) d 。) ) 再根据盯和，是非随机的，n l l t g s ( t 1 的分布- 与s ( o ) m ( t ) e 2 叩的分布相同，这里 第1 1 页 硕士学位论文 期权c a l l 复制方法与b o n d 复制方法的比较研究 ，( f ) = e x p “( 。) 一 。) 2 z ) ，o ) s 舷仃( r ) 2 d r ， 并且g 是标准正态分布随机变量。因为对任意非空开区f e i j ，我们有p ( g ，) 0 这样得到要证的结论。 口 引理2 3 的证明：为了简化要证的结论，首先来个变量替换并定义 “0 ，r ) = e - x c ( e 。，f ) ， ，t ) e r 1 0 ，丁1 用这个变换，我们能计算出： 塑“。一ocato t ，塑d x = p “( e 1 型0 s c f ) ) ， ， 并且豢玎v 鼍笋掣川吒啪 这样得出c 在( 。，m ) 【0 ，7 1 ) 上满足詈+ 譬52 害+ 心詈s - r c = 0 当且仅当“满 足 詈+ 譬窘+ p 罢扎这剐归十字 两个方程之间的联系为s = e 还有，注意到条件( i ) 和( i i i ) 转变为h ：r 【o ，t 】 是连续有界的，并且在r x 【0 ，7 1 ) 上是光滑的。最后，终值条件( i i ) 变为 “( z ，丁) = ( 1 一k e 一。) + 因此，存在和唯一性的证明转变为证明存在唯一的有界函数 “：r x o ，丁】一r ，它处处连续，在r x o ，r ) 上光滑，并且在r x 【o ，丁) 满足 詈+ 譬軎+ p 芸= 。，且“。刃；o 一。，+ c z s ， 为了证明存在和唯一性，现固定“【o ，丁) ，并定义 x , o o ，f ) = 上+ i p “+ r f + j ：a ( f 0 + r ) d 一) ( 2 - 4 ) 我们首先来证明下面的命题： 命题2 6 如果u 满足方程( 2 3 ) ，那么“( x ，。0 ，f ) ，t 。+ f ) 对f 【o ，r f 。】是一个鞅。 特别地，这意味着 第1 2 页 堡主兰堡堕兰 塑壑鱼! 堑! ! 塑望兰里竺生堑型堕型型生垡墅! 里 l ，t o ) = e u ( x b 0 ，t f o ) ，t ) i 证明：令毋= _ “0 ，f ) ，那么由l t 6 公式得， 叫删 删呻 ) ；+ 磅援川啦熹眠驰f ) 】 ：s ；旦竺! 型+ ! 兰鸳二! 尘皇：掣+ p ( f 。+ r ) 掣出 o d t20 0 。 d 萨 + 扣卅等产删d = 扣等删o ， 而掣；e 一8 ( e 口o c ( e r t o + t ) 一c ( e 口，f 。+ f ) ) o c 丁( e t o + t ) 一e - o c ( f r o , t o - i - i ) 因为c 为有界光滑函数，再加上条件( i i i ) 可知，掣有界。因此 “( x 0 ，f ) ，t 。+ t ) 为局部鞅。而盯连续有界，故“( z ，。x ，f ) ，r o + ) 为有界鞅。 # 由( 2 4 ) 式知，x b ( x ，r - t o ) 一x 为正态分布，其均值为p 。) s f _ p o ) 如， 方差y ( f 0 ) ；f 盯2 p ) d r 因此，我们现在可以说明，如果h 是2 3 的解，那么 u ( x ，r ) ：e 【“( 置g ，t f ) ，) 】一e ( 1 - k e x p ( - x ，o ，t f ) ”+ 】 其中 = 南f k ( i - 蚓一立蔫产溉( 2 - 5 ) ；u ( d i ) 一ke x p ( - x - m ( t ) ) n ( d 2 ) 小号铲，咖业铲吐一厕 第1 3 页 顶十学位论文 期权c a l l 复制方法与b o n d 复制方法的比较研究 帅) 。去丘。妣 这就得出了想要的唯一性。为了证明存在性，我们只需要说明( 2 5 ) 的右手边 具备所需的性质并且是( 2 3 ) 的解。这是微积分中的基本练习，在此不给出证明。 另外，由( 2 - 5 ) 我们能够计算出 罢2 高禹e 弋砸一立竽地 这意味着在r 【0 ，7 ) 上罢，o 但是我们知道 s 掣- c ( 即一。掣却。 f ) i a u ( x , t ) 这表明当c 是满足条件( i ) 一( j i i ) 的方程( 卜3 ) 的唯一解时，在( 0 ，m ) x 【o ，r ) 上 处处有s 塑一c ，0 。几 引理2 4 的证明：定义 d ( s ，f ) ：sa c ，( s 。, t ) 一c ( s ，f ) d o 还有，如果v ( a ，芦) 是如定义1 i 中的垂直窗口，现定义它的内部 i n t v ( a ，芦) = ，f ) ：a o ) t t p ) 我们需要证明只要d ；0 ，那么c 满足方程( 1 - 3 ) 。因此，假设在某点 p o ，“) ( 0 ，* ) 【0 ，) 有d ( s 。，t 。) ，0 为了证明c 在p 。，r 。) 满足( 卜3 ) ，我们用反 证法。假设 。( s o , t o ) 0 并且专+ 譬s2 豢+ 心詈- r c ) ( s o , t o ) o 浯e ， 基于这个假设，我们将构造一个投资组合n = a s b c 和一个垂直窗口v ( a ，卢) ， 使下述成立：n 是对冲的并且在矿 ，卢) 上一致有界；尸 cp ) 0 ；并且要么 对所有 ，t ) i n t v ( a ，) 有d i i 0 ，所以我们能选 取mcm 使得 p p ( ，t ) sm 并且p ，f ) ，t ) c r 对所有f 。s tst 。+ p ) ) 0 首先我们定义停时口和卢。第一步，令口；t 。第二步，如果b ( t ) s m 并且 ( s q ) ，t ) e i n t l 对所有f e t 。，t o + p 】成立，那么令卢；t o + p 否则定义 第1 6 页 硕士学位论文 期权c a l l 复制方法与b o n d 复制方法的比较研究 卢= i n f ( t t 。：b q ) 2 m - j 2 ：者( s ( t ) ，f ) 隹，) 那么容易得出p ( f l 口) 0 下面我们来应用命题1 5 ，首先，注意到nv ( a ，卢) 上是局部对冲的。其 次，看看b 的定义，会发现不等式( 2 7 ) 加上j i b 的定义确保了n 在v ( a ，卢) 上是一 致有界的。最后，由( 1 4 ) 、( 1 - 5 ) n = 6 等的事实，我们得到 d n r m = - b ( c ，+ 三凼2 c 。+ 心c ，一r c ) d t 不等式( 2 - 8 ) 意味着要么在i n t v ( a ，f 1 ) 上有d l i ，r i i d t ，要么在i n t v ( a ，f 1 ) 有 d l lcr l i d t i g 是p ( f 1 ) d b0 ，这意味着命题1 5 的最后两个假设条件满足，这 样我们得到矛盾。口 引理2 5 的证明：我们现在要证明的是，如果c 满足条件( i ) 一( i i i ) 并且当 5 詈一c 一。时在( 。，m ) 【o ，r ) 的子集上方程“- 3 ) 成立，那么在整个( o ，) 【0 ，丁) 上，( 卜3 ) 处处成立。那么我们得到一个定义在rx 【0 ，t 】上的函数 u ( x ，f ) ；e - x c ( e x