（概率论与数理统计专业论文）住房抵押贷款保证险的定价研究.pdf

摘要 住房抵押贷款作为解决个人住房问题，启动住房消费的有效途径之一，近 年来有了较大发展，但其风险也暴露无疑这些风险已成为开展住房抵押贷 款业务的重要障碍发展住房抵押贷款保险已势在必行 本文研究两类住房抵押贷款保证险( 金额担保和部分担保) 的定价问题，对 两类保证险探讨了多种模型本文将两类保证险的定价引入期权定价理论， 对六种模型给出了精确的定价公式而且，在前面两种模型中，给出了鞅方 法定价公式和保险精算方法定价公式两者之间的关系 本文主要得到了如下结果： l - 假设未偿付额为常数且房产价格服从一般的，过程得到了两类保证 险的鞅定价公式和保险精算定价公式；并证明了两种定价结果是完全一致的 2 假设未偿付额为常数且房产价格服从指数0 u 过程得到了两类保证 险的鞅定价公式和保险精算定价公式；并证明了两种定价结果是不一致的， 保险精算定价是有套利定价 3 在v a s i 洗k 利率模型下，假设未偿付额为常数且房产价格服从一般的 过程得到了两类保证险的鞅定价公式 4 假设未偿付额为常数，且房产价格为对数正态随机波动率过程和一个 复合p o i s s o n 过程相结合的随机过程利用特殊的鞅方法得到了两类保证险的 定价公式 5 假设两资产分别服从两个相关的i t 6 过程得到了两类保证险的鞅定价 公式 6 假设未偿付额服从般的j 坫过程，且房产价格服从非时齐p o l s s o n 跳一 扩散过程得到了两类保证险的保险精算定价公式 关键词；住房抵押贷款，保证险，期权，鞅定价，保险精算定 价，p o i s s o n 跳扩散 a b s t r a c t m o r t g a g ei s a ne f f e c t i v ew a yt os e t t l et h eq u e s t i o no fi n d i v i d u a lh o u s i n ga n ds t a r tu p h o u s i n gc o n s u m p t i o n i th a sag r e a tp r o g r e s si nr e c e n ty e a r s ，b u tt h e r i s kh a sb e e ne x p o s u r e d i t i sn e c e s s a r yt od e v e l o pm o r t g a g ei n s u r a n c en o w i nt h i s p a p e r ，w er e s e a r c ht h ep r i c i n go ft w ok i n d so fm o r t g a g ei n s u r a n c e ，a n dd i s c u s s t h e mu n d e rs e v e r a lm o d e l s i n t r o d u c i n gt h ep r i n c i p l eo fo p t i o np r i c i n g ，w eo b t a i nt h ea c c u r a t e p r i c i n gf o r m u l a st ot w ok i n d so fm o r t g a g ei n s u r a n c eu n d e rs i xm o d e l s n l r t h e rm o r e ，i nf i r s t t w om o d e l s l w eo b t a i nt h er e l a t i o nb e t w e e nt h em a r t i n g a l ep r i c i n gf o r m u l a sa n dt h ei n s u r a n c e a c t u a r yp r i c i n gf o r m u l a s i nd e t a i lw eh a v em a i nc o n c l u s i o n si nt h i sp a p e ra sf o l l o w s ： 1 o b t a i nt h em a r t i n g a l ep r i c i n gf o r m u l a sa n dt h ei n s u r a n c ea c t u a r yp r i c i n gf o r m u l a st o t w ok i n d so fm o r t g a g ei n s u r a n c e a n da l s op r o v et h a tt h e yg oa l lt h ew a yw h e nt h eu n p a i dm o n e y i sac o n s t a n ta n dt h eh o u s ep r i c ei sd r i v e nb yag e n e g a li t 5p r o c e s s 2 o b t a i nt h em a r t i n g a l ep r i c i n gf o r m u l a sa n dt h ei n s u r a n c ea c t u a r yp r i c i n gf o r m u l a st o t w ok i n d so fm o r t g a g ei n s u r a n c e ，a n da l s op r o v et h a tt h ei n s u r a n c ea c t u a r yp r i c i n ga r ea r b i t r a g e w h e nt h eu n p a i dm o n e yi sac o n s t a n ta n dt h eh o u s ep r i c ei sd r i v e nb y0 一up r o c e s s 3 o b t a i nt h em a r t i n g a l ep r i c i n gf o r m u l a st ot w ok i n d so fm o r t g a g ei n s u r a n c eu n d e rt h e v a s i s e km o d e lw h e nt h eu n p a i dm o n e yi sac o n s t a n ta n dt h eh o u s ep r i c ei sd r i v e nb yag e n e g a l i t 5p r o c e s s 。 4 o b t a i nt h es p e c i a lm a r t i n g a l ep r i c i n gf o r m u l a st ot w ok i n d so fm o r t g a g ei n s u r a n c ew h e n t h eu n p a i dm o n e yi sac o n s t a n ta n dt h eh o u s ep r i c ei sg i v e nb yt h ec o m b i n a t i o no fal o g - n o r m a l s t o c h a s t i cv o l a t i l i t yp r o c e s sa n da nc o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s 5 o b t a i nt h em a r t i n g a l ep r i c i n gf o r m u l a st ot w ok i n d so fm o r t g a g ei n s u r a n c ew h e nt h e u n p a i dm o n e ya n dt h eh o u s ep r i c ea r e d r i v e nb yt w oc o r r e l a t i v ei t ap r o c e s s e sr e s p e c t i v e l y 6 o b t a i nt h ei n s u r a n c ea c t u a r yp r i c i n gf o r m u l a st ot w ok i n d so fm o r t g a g ei n s u r a n c ew h e n t h eu n p a i dm o n e yi sd r i v e nb yg e n e g a li t 5p r o c e s sa n dt h eh o u s ep r i c ei sd r i v e nb yn o n h o m o - g e n e o u sp o i s e o nj u m p - d i f f n s s i o np r o c e k e yw o r d s ：m o r t g a g e ，i n s u r a n c e ，o p t i o n ，m a r t i n g a l ep r i n g ， i n s u r a n c ea c t u a r yp r i n g p o i s s o nj u m p - d i f f u s i o np r o c e s s i i 第一章引言 1 1 研究背景 住房抵押贷款( 即按揭) 是近年来各专业银行推出的一个新的金融服务项 目，是解决个人住房问题，启动住房消费的一个有效途径，经过近几年的实 践，已初具成效然而，住房抵押贷款作为房改的一项配套金融业务，涉及到 银行信贷、住房抵押、房地产购销等众多复杂的问题，故其间存在着许多难 以预测和控制的风险，如住房毁损风险、债务人信用风险、贷款条件风险、抵 押物处理风险等各种风险因素，因此银行在推行该项业务时忧心仲忡，从而 直接制约了住房抵押贷款的全面发展 有风险就有保险的必要风险愈大，保险开发和发展的可能性就越大住 房抵押贷款上述风险的存在，客观上要求必须建立与其相应的保险机制，通 过具有理赔减灾功能的保险业来为其保驾护航；而住房抵押贷款保证险这一 险种正具有转移风险，分散风险，实施补偿等防灾减损的功效，它能够充分 化解住房抵押贷款中所出现的各种风险损失 现阶段我国住房抵押贷款保险尚处予萌芽时期由于风险分析和管理手 段的落后，避险工具和市场的缺乏，我国保险公司曾经开办过一段时期的住 房抵押贷款保证险曾被暂停办理然而，随着我国资本市场的不断发展和完 善，此项业务具有广阔的发展前景 可见，发展和完善住房抵押贷款保险已势在必行，刻不容缓 住房抵押贷款保证险是发放贷款的银行( 贷款人) 要求借款购房者( 借款 人) 向保险公司( 承保人) 投保的险种借款人向保险公司交纳一定数额的保 费，保险公司作偿还贷款的保证，贷款人则相应地给予借款人贷款，并在利 息和借款期限等方面给借款人一定的优惠在借款期限内，若借款人违约， 不能如期偿还借款，则由保险公司赔付贷款人的损失 住房抵押贷款保证险( 以下简称保证险) 包括两种类型t 全额担保和部分 担保将抵押贷款期限t 划分为n 段承保区间，t = n a t 本文研究n = 1 的 保单 ( 一) 全额担保 若借款人在t = t 时刻违约，保险公司可采取两种方式履赔： 1 保险公司向贷款人支付全部未偿贷款余额，并取得房产权由自己实现 抵押权 2 贷款人保留房屋产权，实现抵押权后，不足以补偿贷款余额的部分由保 险公司赔付 无论那种方式，保险公诳应赔付金额均为：m a x ( m ( t ) 一a l l ( t ) ，o ) 其中m ( t ) 为t 时刻的未偿付金额，h ( t ) 为t 时刻的房产价格，a 为实现抵押权后所得 住房价值比例，n 为常数贷款人持有的全额担保保单到期收益为： v t f = m a x ( m ( t ) 一。日( t ) ，o ) ( 1 1 ) ( 二) 部分担保 保险公司为减少承担的信用风险，只对抵押贷款余额的一定比例实施担 保若借款人在t = t 时刻违约，保险公司可采取两种方式履赔： 1 保险公司向贷款人支付全部未偿贷款余额，并取得房产权由自己实现 抵押权赔付额为m a x ( m ( t ) 一a l l ( t ) ，o ) 2 向贷款人赌付所担保比例的贷款额，银行仍保留房屋产权赔付额为： 7 m ( t ) ，7 代表承保比例 当m a x ( m ( t ) 一。日( t ) ，o ) ( 7 m ( t ) 时，即日( t ) ( 1 7 ) m ( t ) a 时，选择方式 1 对保险公司有利； 当m “( m ( 即一n 日( t ) ，o ) ”f ( 功h 寸，即h ( 功s ( 1 一了) m ( 功肛时，选择方式 2 对保险公司有利 因此，贷款人持有的部分担保保单到期收益为t 枷 篱砷矾巩，h 删( t ) ( 1 ( 1 一- 7 倒) m ( t 犰) a , 0 2 ) 1 3 保险定价的发展及研究方法 保险商品的定价方法是与保险经营的特点相联系和相适应的在早期的 保险经营中，国外保险企业根据银行利率水平来规定预定的利率，以银行存 2 款作为保险资金的主要运用途径，保险标的的承保风险是保险企业面临的主 要风险六十年代后，西方资本市场日渐发达，为保险资金的运用开辟了广阔 的空间，保险企业为了提升自身的竞争能力，纷纷寻求更好的资金价值增值 的途径由于资本市场的不确定性，在为保险企业创造较高收益的同时，也 带来了较大的投资风险因此，七十年代以后，国际保险经营的一个显著特点 是保险企业为了减少风险，增加效益，日益注重投资职能的发挥，期货、期权 等金融衍生工具交易成为保险投资的一项重要内容保险定价的研究不断融 合金融资产定价的基本思想和方法，两种重要的金融定价模型资本资 产定价模型( c a p m ，c a p i t a la s s e tp r i c i n gm o d e l ) 和期权定价模型( o p t i o np r i c i n e m o d e l ) 在保险定价研究中得到了广泛的应用 保险定价技术是伴随着险种的不断创新而发展的随着金融衍生商品在金 融市场的不断涌现，融投资与保险为一体的新的保险商品也应运而生如具 有最低保证收益并给付死亡保险金的变额年金保险等等这些商品的定价是 近年来国际寿险定价学术界研究的一个热点问题b a c i n e l l o 等( 文献 1 5 1 ) 以期 权定价模型为基础讨论了一次支付保费和分期等额支付保费的投资联结生死 两全保单的价格确定m i l e v s k y 等( 文献 1 6 ) 比较各种人寿保险定价的研究， 并以期权定价理论为基础讨论具有保证收益率的死亡保险金给付的变额年金 保险的定价 所谓期权，简单地说，是一项选择权，期权的一方( 多头) 向另一方( 空 头) 支付一定数额的货币( 期权费) 后，在事先约定的时间内，多头拥有以事 先约定的价格，向空头买进或卖出一定数量的某种商品或有价证券的权利， 而不负必须买进或卖出的义务期权交易实质上是一种权利的买卖按分类 的标准不同，期权可以分为很多类如按照期权中包括的选择的权利不同， 期权可以分为买权和卖权；按照期权可以执行的时间的不同，期权可分为欧 式期权和美式期权等等 传统的期权定价方法有3 种；解偏微分方程；离散模型逼近法；鞅方法 传统的鞅定价方法通常假设金融市场是无套利的完备市场在鞅方法下，一 种证券( 或衍生证券) 现在的价格，可以将该证券未来期望现金流量折现而 得到，且期望值折现可在风险中性下进行如果市场是有套利的( 如风险资 产的价格遵循几何分式b r o w n 运动) 不完备的( 如风险资产的价格过程为指数 l e v y 过程) ，这时等价鞅测度不存在或存在而不唯一，用传统的鞅定价方法就 有一定的困难1 9 9 8 年b l a d t 和r y d b e r g 7 1 首次提出了期权定价的保险精算方 法( 在下一章详细介绍) 保险精算方法将期权定价问题转化为等价的公平保 费确定问题，由于无任何经济假设，所以它不仅对无套利、均衡、完备的市场 有效，而且对有套利、非均衡、不完备的市场也有效 3 侯新华等( 文献引入期权定价思想，利用著名的b l a c k s c h o l e s 公式对住 房抵押贷款保证险的定价进行了简单的分析本文在文献【1 】的基础上，主要 利用传统的鞅定价方法和保险精算定价方法，在六种金融模型下，探讨了两 类保证险的定价问题，给出了精确的定价公式；并且，在前两种模型中，对比 两种定价方法，给出了两种方法的定价结果之间的关系；为实践者提供了理 论上的参考 4 第二章必备的数学知识 2 1 保险精算方法 考虑只有两种资产的连续时间金融市场，一种是无风险资产( 债券) ，在 t 时刻的价格p ( t ) 满足d p ( t ) = p ( t ) r ( t ) d t ，p ( o ) = 1 ，其中r ( t ) 为t 时刻的无风险 利率，假设r ( t ) 是 o ，t 上的实值可积函数；另一种是风险资产( 如股票) ， 时刻的价格为日( t ) ， 日( t ) ，t o 是定义在给定的完备概率空间( n ，) ，p ) 上的随机过程， 五，t o 是由风险资产的价格过程 h ( t ) ，t 三o ) 生成的自然 a 一代数，h ( 0 ) 为大于零的常数考虑的时间区间为f 0 ，t 1 ，0 表示现在，t 表 示到期日有关期权保险精算定价的概念沿袭文献 7 】 定义2 1 价格过程h ( f ) 在【o ，卅产生的期望收益率口卢( t ) m 定义为： e f 口( 0 d t ：e h ( t ) 丑 其中，p ( t ) 称为t 时刻日( t ) 的连续复利收益率假设卢( t ) 是【o ，t i 上的实值可 积函数 设g t ) 和p ( k ，t ) 分别表示标的风险资产价格为日( t ) ，执行价格为k ， 到期日为t 的欧式买权和卖权在现在时刻的价值 定义2 2 欧式期权在现在时刻江0 的价值定义如下 g ( k t ) = e 【( “一z 名o ) d t h ( t ) 一e x p 一z o ( ) 出) 耳) 眈p 卜伽( 。) 。 h ( ，) ，。卜序( t ) 。，埘 i t ，t p ( ，t ) 趔【( 唧 一五7 ( t ) d t ) k - e x p 一上卢( t ) a t ) 口( t ) ) 酬一廓( 岫州水e x p 一序( f ) 郴 这一定价方法称为期权的保险精算定价方法 注( 1 ) 定义2 2 没有对金融市场做任何经济假设，计算潜在损失时仅用了 风险资产按期望收益率折现，无风险资产按无风险利率折现的思想，其结果 对无套利，完全的市场和有套利，不完全的市场都有效 ( 2 ) 定义2 2 给出的欧式期权定价与传统的期权定价是不同的：传统的 欧式卖权执行条件为h ( t ) k ，而不是e - 石口( 冲日( t ) e - j i ( 肚k ( 3 ) 定义2 1 对价格过程饵( t ) ，t o ) 没有任何限制，只须利用怛( ) ，t o ) 的实际概率分布就能确定以h ( t ) 为标的资产的欧式期权价格 2 2 几个常用的基本定理 ，毒理2 1 ( g i r s a n o v 定理) 设( n ，p ) 为一概率空间， 9 o s 丁) 是该 概率空间上的布朗运动，五= o t w p ( s ) ，0 ss 1 ，o s t r ，。：佃( ，j ： f 口五 令 缈即) = 叭z 2 咐) 龇。蔓f 丁 z ( f ) 。e x p f z 口( “) d 9 ( f ) 一_ 2 if p 2 0 j o d “ ，。r jz 一一 q ( 舢= j a z ( t ) d p ，v a ， 喜e p f e x p ；詹萨( 帕d “) 】 m ，则在新的概率测度q 下，随机过程 q ( z ) ，o s t s q 是( n ，q ) 上的一个布朗运动，且 d w q ( t ) = d w 9 ( t ) + o ( t ) d t ， e p f z ( t ) 厶 = e q i “j 以上e p e 。【分别表示在p 和q 测度下的数学期望，厶是a 的示性函数 摩璎2 2 ( 参见文献 1 9 j ) 设啊一( o ，1 ) ，一( o ，1 ) ，c o y ( 啊，) ：“则对 任意的实数qb ，c ，d ，有下式成立 e e c w , + 4 。m 舢h 】= e ( 一+ 护+ 2 删( 推论2 1 设阢一( o ，1 ) ，一( o ，1 ) ，c o v ( w , ，) = p ，则对任意的实数 n ，b ，c ，d ，m 1 ，m 2 有下式成立 e 【e c 吼+ 册。_ m l ( n 桃+ b w 2 m 2 ) 】 = e e 。惭“ 。肌+ m i 。l 】一e f e c w + 。厶。l + 6 。2 “ = 翻“冉2 删i n ( 譬等等竿嘉) - ( a c + 丽b d + p 两( a d + 菰b c ) - m 2 6 第三章未偿付额为常数、房产价格为随机过程的保证险定价 3 1 1 市场模型 3 1房产价格服从一般的i t 6 过程的保证险定价 考虑连续时间的金融市场，时间区间i o ，卅，0 表示现在，丁表示到期日 给定某完备概率空间( n ，p ) 设r 时刻的未偿付额m ( t ) ；m 为常数( 可由 风险信用评估得到) ，t 时刻的无风险利率为r ( f ) ，t 时刻的房产价格日( t ) 满 足如下随机微分方程： i d h 丙c t ) = m ( t ) d t + o 1 4 ( t ) d b h ( t ) ，日( o ) = h ( 3 1 ) 、。， 其中b m ( ) 是一维标准布朗运动，蛐( ) ，一h ( t ) ，r ( ) 均为时间t 的确定性函数 3 1 2 两类保证险的鞅定价 设市场完备无套利，则由g i r s a n o v 定理知，存在唯一的风险中性概率测度 p 。p 令吲t ) 垒丝喘产，嘞= d b h ( o u ( 她 z ( t ) 垒雠p 卜j ( o t on(t)dbn(t)一互1t啊2。)dtdoo ) ， zj 则 5 ( a ) = z ( t ) d p , v a 厅 由g i r s a n o v 定理，p 是( n ，一上的风险中性概率测度，西( ) 是( n ，p ) 下 的标准布朗运动在p 下，房产价格日( t ) 满足 帮训m + 酬呦咄即) = h 日( t ) = e 砷( f p ( t ) 一互1 a 备( 啪d t + r 。h ( t ) d 豆嚣( t ) ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 定理3 1 1 设市场完备、无套利，承保期为【o ，卅，到期现金流为( 1 1 j ， 无风险利率为r o ) ，未偿付额m ( 0 ；m 为常数，房产价格h ( q 满足( 3 1 ) ，则 7 全额担保的鞅定价( 保费) 为 其中 证 f ：m e f r ( ) “( d 1 ) 一a 日( 如) ，( 3 4 ) ，= e 卢f e j ：r r o ) 小( m n 日( t ) ) + ：e 一小( 。) “m e p i 。( t ) “一一伊( t ) 出e p h ( t ) i 村 。h ( t ) 】 ( 3 5 ) ( m a h ( t ) ，一 f a h ( t ) d 直“( 亡) q h ( t ) ，* 上a h ( t ) d 直h ( 亡) l n 五百) + a 备( t ) 一r ( t ) ) d t - 矾i 州 = p ( 乒踯) d 鼬( f ) o h ( r ) ，a l l ( t ) ( 1 1 ) 彳) ，b 3 1 垒 a l l ( t ) 兰( 1 一吖) m ) 如一t 屿笋 一j 知( t 皿h ( 即) ： y a e j 扣( # ) 出日( t ) ，q h ( t ) ( 1 - - y ) u = a 3 1 r t ，r t t 喻= e 【( “p 一五7 ( t ) d t ) m n e x p 一上p ( t ) d t h ( t ) ) “d a 订+ e 【e 印卜五( t ) d 。h m i b s ) t tt t r t = “p ( 一五r ( t ) m m e 【厶 3 t l d h e x p o 一互1 a 抒2o ) d q e e x p y i 上。备( t ) d ) t h + “p _ 1 0 r ( t ) d t 7 m e 1 b s - 】 = e x “一上( t ) d t m n ( d 1 ) 一( d 3 ) 】一a h n ( d 2 ) 一n ( d 4 ) + c x p 一j c ( t ) d t t m n ( d 3 ) = p 综i 二可知。定理得证 3 1 4 鞅定价与保险精算定价一两种定价结果的比较 鞅定价方法与保险精算定价方法是有明显区别的，但是本节证明了当未 偿付额为常数，房产价格服从一般扩散过程时，住房抵押贷款两类保证险 的保险精算方法定价公式与传统的鞅方法无套利定价公式是完全一致的 很自然的问题是：当房产价格服从一般的随机过程时，保险精算方法给出 的保证险定价公式与传统鞅方法给出的定价( 无套利定价) 公式是否一致? 保 险精算定价是否是无套利定价? 下一节将继续进行探讨 1 0 3 2 房产价格服从指数o r n s t e i n - u h l e n b a c k 过程的保证险定价 3 2 1 市场模型 考虑连续时间的金融市场，时间区间【o ，卅，0 表示现在，t 表示到期日 给定某完备概率空间( n ，p ) 设t 时刻的未偿付额m 口) ；m 为常数( 可由 风险信用评估得到) ，无风险利率为常数r ，房产价格日( ) 满足如下随机微 分方程： 等等= 似一l n ( 日( 洲出4 - a d b ( t ) ，日( o ) = h ( 3 1 3 ) 1 、o ， 其中，b = 口( t ) ，t o 是定义在完备概率空间( n ，p ) 上的标准布朗运动 ) 唧! r 为相应的自然信息流，y - t ；f 其中，p ，n ，qr 为常数，且口 0 ，a 0 注( 1 ) 常数n 的作用在于当房价上升到一定高度后，它使h ( t ) 有下降的 趋势该模型的预期收益率依赖于房产价格当n ，0 + 时，预期收益率就与 房产价格无关 ( 2 ) 当模型中的漂移项p 和扩散项一是时间t 的连续函数时，称该模型 为广义指数o u 过程模型 引理3 2 1 ( 参见文献) 设房产价格满足( 3 1 3 ) ，则有 日( ) = h e - o e x p ( p i 1 矿) j ( o t e - a s d 8 + v - e - a t t e a s d b ( s ) e m ) 】= h e - o r e x p ( p i l a 2 ) f o t e - “d s + j l a 2 f o t e - 2 a 5 d s ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 3 2 2 两类保证险的骤定价 设市场完备、无套利，则可用鞅方法获得保证险的无套利定价 令o ( 0 = 型生粤鲤啦，e ( o 是一适应过程并定义 豆( t ) 垒，p ( t ) d u + b ( t ) ，z c 0 - - a e x p 一j ( 。口( u ) d b ) 一；，。( 口“) ) 2 d u j ood o ) jz 同时定义一个新的概率测度q ，q ( a ) = 厶z ( t ) d pv a f 在p 的等价鞅 测度q 下，过程亩= 佃( ) ) 蜓t t 是标准布朗运动 在q 下 丽d h ( 0 = r d 抖口拍( t ) 即 即) = e x p f o ( 一1 c 2 ) d s z 列茸) h ( t ) =( r s 一上列茸( t ) 定理3 2 1 设市场完备、无套利，承保期为【o ，t 】，到期现金流为( 1 1 ) ，无 风险利率为常数r ，未偿 - t 额m ( 0 ；m 为常数，房产价格h ( 0 满足( 3 t 3 ) ，则 全额担保的鞅定价( 保费) 为 其中 f = 5 = m e _ r 7 n ( d s ) 一c * n n ( d 5 一口、，两，( 3 z 6 ) ! ! ( 笠l ! 三i ! ：! 口沂 证为简便起见，定义也2 垒( t ) n 日( t ) ) ，则 a 3 2 = r 一嘲s ) l n ( 丽m ) 一r r + 荟1 衍 f = e - r t e q ( m ( t ) 一。日( ? ) ) + 】 = e - r t m e 。 i a 。1 1 一n e 一7 e q 日( t ) & a n l l ( 3 1 7 ) 不妨令f 2 糍小( 0 ，1 圳崤 吣如) 】_ q ( f 学) ，岛z 垒( 7 1 ) 里专业) ，d 3 2 垒 里 巡 l ( 与竽) 十l a 2 t - 旧) 一鼢蜷毪字塑) 盯、， 岛。一骼蜷毪# ， d 3 。一 蜷毪茅坐 “i n ( 盏7 ) - r t + l a 2 t v o p = e - r t e q v t p l = e - r t e q ( f a l l ( t ) ) + - 日幻 】+ e 一汀e q i t m v = m e 一”e q i d 3 。) 】一一7 e q 阻( t ) _ d 。，“+ 7 m e 一”e q f - 岛， 】 ( 3 2 1 ) 下面分别计算e q i d s ：) ，e o 日( 功l d 诒) 】，e 。【山仍。) 】 e q i d 3 2 = e q i 蛙, t 盐塑球盥盘等坦 】 口 口w 一，v ( 1 n ( a 髻) - 洲r t + a 2 t ) _ ( 蜷毪掣)o q i 、 0 t ： = n ( d 5 1 一n ( d 6 ) 1 3 e 。j _ 职 日“p ( n 护1 ) e f 丙 屿吐监篇掣! ：嗍( 型型) _ ( 型赳o , 型t 控) 】 、 盯t 。 、“ = h e ”【p 厅一( d 6 ) ) 一g ( o v 币一( 如) ) 】( 3 2 3 ) e q 1 = e 嘶怄蜷学) 1 = n ( d 6 ) ( 3 2 4 ) 综上可知，定理得证 无论市场是否完备，是否无套利，我们都可以得到该模型下保证险的保险 精算定价在这里为了便于比较，不妨也设市场完备无套利 定理3 2 3 设承保期为【0 j 卅，到期现金流为( 1 1 ) ，无风险利率为常数r ， 未偿付额m ( ) = m ，0 s t t 为常数，房产价格日( t ) 满足( 3 1 3 ) ，则全额担保的 保险精算定价( 保费) 为 其中 缸= 胁一目( 西) - a h n ( 由一a 1 上7 e 一。d s ) ，( 3 2 5 ) 由一盟蔫鬟( 1 8 垫 盯，拓e 一9 证 ；e ( e 一厅m e x p 一j ( r p ( t ) d t ) n 日( t ) ) 。一，m ，e x p 一j 手口( 。耻 。日( t ) ) 1 唧 - r 即m ) = 竺坚铲= “。e x p 似一i 1 2 ) j ( o t e - a s d sa - 2 1 - o 2 f 0 t e - d s o 0 j 4 f 雕) 出= ( e - a t - 1 ) l 日帕一；矿) f e l + l 。o 2 ， 。t e 扭 所以 e x p ( 一，7f t ( t ) d t 胡( ) e 一一) j 0 e ； 一f 卢( t ) m + l l l + e - a t z n 日+ 似一j l a 2 ) j ( 气d s + 一e 一“上7 酽8 d 言( s ) 一盯+ l n m ) 一0 n ( n 日) + a e - a t z 7 一嘲s ) 一j 1 20 t e - 2 a a d 8 - r t + l n # 。e n te 曲( 8 ) a t e a d o仉l n ( 差) + j 1 2 j ( t e - 2 a s d 8 注意到屠e 2 n s d s = e 一口e _ 2 ”d s ，于是有 竖型墅! 与竽 ，垒似哪譬半) 一“7 唧似一i 1 一) f o ：l e - a s d s + 一1 7 上乙”埘讲茎坠竽) 错 e - 口t l n 日仲可12 ) f o t e - a d s + a e - a tp 顺啦l n ( 譬竽) 错 一e - o t pln(竽)-e-atin日嘶7102 ) j ，o o d s ) j“ 茸t 锷e 2 a 。d s 蝗鳖崭豢e - d s 丝吐，、 谜o n 穗“ 骥如) 、l 话印a a s 一 易知耻 d 8 锷( d 7 ，对为锷州( 0 1 ) ，删 e i 呓。 】= ( d 7 ) 一n ( d s ) ( 3 3 0 ) p = e ( e - r t m 一唧 一上名( t ) d t ) 胡( t ) ) - 岛 l + e m 一厅m 曩b 函 】 = e m e i ( 屹，卜e i e x p ( 一t ) d m h ( t ) l ( a h l l + 1 e - r t m e i ( 日必( 3 3 1 ) e 【唧 一序( t ) d t ) a 日( ? ) k 】 = n h e 去麟p ( c ，z 一也一i x 2 ) 血 1 6 型登 群 ：o 日- o l 一1 e 一害d j d s c 1j 2 1 r = 。日f c a ，一一 z = = = ，一c 如一一 z = = i ， 综上可知，定理得证 e 陬b 圳= n ( d a ) 3 2 4 传统的鞅定价与保险精算定价一两种定价结果的比较 ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 将定理3 2 1 与定理3 2 3 、定理3 2 2 与定理3 2 4 进行对比，可以看出：在 市场模型3 2 1 下，保险精算定价和传统的鞅定价( 又称无套利定价) 有明显 区别当房产价格服从指数o - u 过程时，保险精算定价与房产预期收益率非 线性漂移系数a 和波动率一有关；无套利定价仅与波动率一有关，而与预期收 益率无关若市场完备无套利，则等价鞅测度存在且唯一，保证险有唯一的 无套利定价，所以此时的保险精算定价是有套利定价 可见，当房产价格服从一般的随机过程时，保险精算方法给出的保证险定 价公式与传统的鞅方法给出的定价( 无套利定价) 公式可能是不一致的虽 然用保险精算方法也能证明b - s 公式，但对一般的风险资产价格模型，其定价 可能是有套利的 因此，在以下各章节中，将适当地选择其中一种方法对保证险定价 3 3v a s i z e k 利率模型下房产价格服从一般的i t 8 过程的保证险的鞅定价 3 3 1 市场模型