（概率论与数理统计专业论文）上证指数收益率的分形分析及fiegarchm模型的实证分析.pdf

中央民族大学硕上毕业论文( 设计) a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，f i n a n c i a lm a r k e t si ne c o n o m i cd e v e l o p m e n t o c c u p i e s a ni n c r e a s i n g l yi m p o r t a n t p o s i t i o n ，i np a r t i c u l a r , t h ef i n a n c i a lc r i s i sj u s tt o c a l mb r o u g h tah u g el o s st ot h eg l o b a le c o n o m y , s t i l ls o u n d e dt h ea l a r m t ot h eg l o b a le c o n o m i s t s ，p o l i t i c i a n sa n de v e no r d i n a r yp e o p l e t h er u l e s o ff i n a n c i a ld a t af l u c t u a t i o nb e c o m eah o tr e s e a r c ht o p i c a m o n gt h e s c h o l a r sf r o mv a r i o u sc o u n t r i e s t h i sa r t i c l ea i m st od e s c r i b et h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ed a t ai no u r c o u n t r y ss t o c km a r k e ti nr e c e n ty e a r s ，a n ds e a r c hf o ram o r ea p p r o p r i a t e m o d e lt of i tt h ef l u c t u a t i o nr u l e so fs t o c kp r i c e s i tm a k e sm u c hs e n s et o t h ef u r t h e ra n a l y s i so ft h es t o c kp r i c ef l u c t u a t i o n t h em a i ni d e ao ft h i sa r t i c l ei st oa n a l y z eo nt h es h a n g h a ic o m p o s i t e i n d e x ，a c c o r d i n gt ot h ee f f i c i e n tm a r k e tt h e o r ya n d f r a c t a lm a r k e tt h e o r y , t h e ni n t e g r a t et h e s et w ot h e o r i e s ，a n dp u tav a l i dm o d e lf o r w a r dn a m e d f i - e g a r c h - mw h i c hh a st h ea d v a n t a g e so fb o t ht h ee f f i c i e n tm a r k e t t h e o r ya n df r a c t a lm a r k e tt h e o r yf r a c t a lf i e g a r c h mm o d e l ，a n dm a k e a ne m p i r i c a la n a l y s i s 砀ed e t a i l sa r ea sf o l l o w e d ： 1 e x p o u n d i n gt h ee f f i c i e n tm a r k e tt h e o r ya n d f r a c t a lm a r k e tt h e o r 5 a n dv a l i d a t i n gl o n gm e m o r ya n ds e l f - s i m i l a r i t yo fs h a n g h a ic o m p o s i t e i n d e xs e r i e sw h i c hr e s u l t si st h a tt h ed a t as h o w sf r a c t a lc h a r a c t e r i s t i c s ； 2 中央民族大学硕士毕业论： 2 i n t r o d u c i n ge g a r c hm o d e l s ，a n dp r o p o s i n gf i e g a r c h - m m o d e l ； 3 b a s e do ne g a r c h ( 1 ，1 ) - m ，f i - e g a r c h ( 1 ，1 ) ，f i e g a r c h ( 1 ，1 ) 一mt y p e so fm o d e l s ，a p p l i c a t i n ge v i e w s 5 0 ，m a t l a ba n do t h e r s o f t w a r e st om o d e lt h er a t es e r i e so fr e t u r n so nt h es h a n g h a is t o c ki n d e x ， a n dc o m p a r i n gt h e mw i t hs t a t i s t i c a lm e t h o d s ，a n df i n a l l y , o b t a i nt h eb e s t m o d e l w h i c hi sm o s ts u i tf o rt h er a t es e r i e s ：f i e g a r c h ( 1 ，1 ) - m k e y w o r d s t h er a t e so fs h a n g h a ic o m p o s i t ei n d e xr e t u r n ，e f f i c i e n t m a r k e tt h e o r y , f r a c t a lm a r k e tt h e o r y , f i - e g a r c h - mm o d e l 3 中央民族大学硕士毕业论文( 设计) 目录 摘要1 a b s t r a c t ： 目录4 引言7 第一章金融市场概述9 第一节金融市场的特征9 第二节金融市场的研究变量9 第三节收益率的矩特征1 l 第二章金融时间序列的研究基础与方法1 3 第一节金融时间序列的研究背景1 3 第二节六类模型1 3 一、自回归模型( a r ) 1 3 二、移动平均模型( m a ) 1 4 三、混合自回归移动平均模型( a r m a ) 1 4 四、求和自回归移动平均模型( a r i m a ) 1 5 五、自回归条件异方差模型( a r c h ) 1 5 六、广义自回归条件异方差模型；1 6 第三节几种常用的检验1 6 一、j b 统计量1 6 二、a i c 和b c 检验1 7 三、拟合优度检验1 8 四、自相关检验1 8 五、a r c h 效应检验( 拉格朗日乘子检验、l m 检验) 1 9 第三章有效市场理论和分形市场理论2 1 第一节分形2 1 第二节分形市场理论2 1 一、有效市场理论2 1 二、分形市场理论2 3 三、有效市场理论与分形市场理论的关系2 4 4 中央民族大学硕士毕业论文( 设计) 第三节分形分析2 5 一、长记忆性2 5 二、自相似性3 0 第四章f i - e g a r c h - m 模型3 2 第一节e g a r c h m 模型简介3 2 一、e g a r c h 模型3 2 二、e g a r c h m 模型3 2 第二节f i - e g a r c h 模型3 3 第三节f i - e g a r c h - m 模型3 4 第五章上证指数的实证分析3 5 第一节收益的分布特性3 5 一、时序图和分布图3 5 二、简单统计量3 6 三、纯随机性检验3 7 第二节收益的分形特征3 8 一、长记忆性3 8 二、自相似性3 8 第三节各种模型的建立和分析3 9 一、e g a r c h ( 1 ，1 ) - i 的三个模型以及模型选择4 0 二、f i - e g a r c h ( 1 ，1 ) 模型4 3 三、f i e g a r c h ( 1 ，1 ) 一m 的三个模型以及模型选择4 4 第四节最终模型确定与说明4 8 一、最终模型确定4 8 二、模型说明4 8 第六章结论5 0 参考文献5 l 发表论文5 3 致谢5 4 中央民族大学研究生学位论文作者声明5 5 附录5 6 5 中央民族大学硕士毕业论文( 设计) 图表目录 表3 1 ：有效市场理论与分形市场理论的异同2 4 表3 - 1 ：参数h 与记忆性的关系2 7 图6 - 1 ：0 7 - 0 9 年日对数收益率时序图( 纵坐标为收益率，横坐标为时间) 3 6 图6 - 2 ：0 7 - 0 9 年日收益率分布柱状图( 纵坐标为频数，横坐标为收益率) 3 6 表6 1 ：0 7 0 9 年日收益率的简单统计量3 7 表6 2 ：娩矗检验统计量及p 一值表3 8 图6 3 ：0 7 0 9 年日、周( 变换后) 收益率分布图及密度图( 其中：红线为日收 益率，蓝线为变换后的周收益率；左侧为分布图，右侧为密度图) 3 9 表6 - 3 ：e g a r c h ( 1 ，1 ) - m ( s t d ) 模型参数及其检验结果4 0 表6 4 ：e g a r c h ( 1 ，1 ) 一m ( v a r ) 模型参数及其检验结果4 1 表6 - 5 ：e g a r c h ( 1 ，1 ) - m ( i n ( v a r ) ) 模型参数及其检验结果4 l 表6 - 6 ：e g a r c h ( 1 ，1 ) 一m 三模型检验比较4 2 表6 - 7 ：e g a r c h ( 1 ，1 ) - m 模型残差检验4 3 表6 8 ：f i - e g a r c h ( 1 ，1 ) 模型参数及其检验结果4 3 表6 - 9 ：f i e g a r c h ( 1 ，1 ) 模型残差检验4 4 表6 - 1 0 ：f i - e g a r c h ( 1 ，1 ) - m ( s t d ) 模型参数及其检验结果：4 5 表6 - 1 1 ：f i e g a r c h ( 1 ，1 ) - m ( v a r ) 模型参数及其检验结果4 5 表6 - 1 2 ：f i - e g a r c h ( 1 ，1 ) - m ( i n ( v a r ) ) 模型参数及其检验结果4 6 表6 1 3 ：e g a r c h ( 1 ，1 ) 一m 三模型检验比较4 7 表6 1 4 ：f i - e g a r c h ( 1 ，1 ) 一m 模型残差检验4 7 表6 - 1 5 ：e g a r c h ( 1 ，1 ) 一m 、f i - e g a r c h ( 1 ，1 ) 一m 模型检验统计量比较4 8 6 中央民族大学硕士毕业论文( 设计) 己i 言 ji 口 随着科技的发展，金融业在各国经济中的地位越来越高，刚刚平息的经 济危机也是有金融危机引起的。因此，金融的波动对全球经济的影响越来 越明显，甚至成为全球经济的重中之重。各国学者不断从各个角度研究和 分析金融的数据，以便能全面的了解金融波动。 本文主要基于各国学者在金融时间序列分析方面的成果和分形的相关 知识，提出了f i e g a r c h m 模型，该模型主要考虑了金融时间序列的异方 差性、不对称性、随机因素对均值的影响以及数据所体现出来的分形特性， 即长记忆性和自相似性。 本文总共有六章。 第一章、第二章、第三章主要是背景知识的介绍。第一章主要介绍了金 融市场的有关知识，并且重点介绍了本文实证分析中所用到的变量：对数 收益率，及其矩特征。第二章介绍了金融时间序列的发展过程、金融时间 序列的基本模型以及模型的各种检验，这些检验在第五章实证分析中称为 判断模型优劣的标准。第三章介绍的是分形和分形市场理论的相关知识， 并对有效市场理论和分形市场理论进行简要对比，并得出分形市场理论更 加适合描述金融数据波动。在这一部分，重点介绍了分形分析的方法，主 要有长记忆性的概念和判定、自相似性的原理等等。 第四章，通过对e g a r c h 、e g a r c h m 模型的介绍，综合分形的思想，提 出了一类新的模型：f i - e g a r c h m 类模型，该模型由。 第五章是实证分析部分，对象是由0 7 年一0 9 年的上证指数收盘价计算 得出的同对数收益率。在该部分中，首先对数据进行了初步的描述性分析， 得出数据是非正念、非对称、异方差的，然后进行分形特性的验证，得出 了h u r s t 指数为0 6 4 6 7 ，结果显示数据具有长记忆性，而从日收益率和变 换后的周收益率的分布图和密度图上可以看出，数据的自相似性明显。因 此得出数据存在分形特性。最后根据前面的结论，建立了e g a e c h - m 、 f i e g a r c h 、f i e g a r c h m 三类模型( 共7 个模型，其中e g a e c h m 类模型有 3 个、f i e g a r c h 模型1 个、f i e g a r c h - m 类模型共3 个) ，比较e g a e c h m 7 中央民族大学硕士毕业论文( 设计) 类模型的3 个模型、f i e g a r c h - m 类模型的3 个模型，分别得出每类的较优 模型，最后比较最后的各类的较优模型( f i e g a r c h 模型因残差检验部显著， 排除) ，得出最终的最优模型：f i e g a r c h ( 1 ，1 ) 一m 模型。 第六章是对全文的总结和展望。 8 中央民族人学硕士毕业论文( 设计) 第一章金融市场概述 第一节金融市场的特征 金融市场又称为资金市场，包括货币市场和资本市场，是资金融通市场。 所谓资金融通，是指在经济运行过程中，资金供求双方运用各种金融工具 调节资金盈余的活动，是所有金融交易活动的总称。在金融市场上交易的 是各种金融工具，如股票、债券、储蓄存单等。 金融市场体系是指金融市场的构成形式，具有自己的特性： 1 风险性( 不确定性) ：如，股票市场的风险、外汇市场的风险； 2 价格以价值为基础，供求关系的影响：股票价格的波动、债券价格的 波动，最终都反应其价值，受供求关系的影响： 3 影响债券流通价格、影响股票价格、汇率波动等的基本面分析既要考 虑宏观经济影响，也要考虑微观经济的影响等。 金融市场是统一市场体系的一个重要组成部分。它与消费品市场、生 产资料市场、劳动力市场、技术市场、信息市场、房地产市场、旅游服务 市场等各类市场相互联系，相互依存，共同形成统一市场的有机整体。在 整个市场体系中，金融市场是最基本的组成部分之一，是联系其他市场的 纽带。因为在现代市场经济中，无论是消费资料、生产资料的买卖，还是 技术和劳动力的流动等，各种市场的交易活动都要通过货币的流通和资金 的运动来实现，都离不开金融市场的密切配合。从这个意义上说，金融市 场的发展对整个市场体系的发展起着举足轻重的制约作用，市场体系中其 他各市场的发展则为金融市场的发展提供了条件和可能。 第二节金融市场的研究变量 本节主要介绍文献 1 中的相关内容。 9 中央民族大学硕士毕业论文( 设计) 在各种金融市场分析中，尤其是对股票的分析中，最常用到的是日收盘价、 股票价格、股票收益率、股票收益指数等变量。而本文主要研究的是由上海证券 交易的股票收益率所形成的时间序列。 之所以选择股票收益率作为分析对象，主要是因为对于普通投资者来说， 收益率比价格更能直接的描述收益的机会，对收益率分析的理解要相对简单，容 易操作。基于收益率所得到的结果，相对价格更加形象，对读者来说更加易懂。 收益率主要有三种表示法，记某段时间内的价格序列为亿) ， 1 单周期简单收益率饥) = 丢 从而推出 = 1 e t - _ e t - i 2 k 周期简单收益率饥 ) ) ( k 为正整数) 1 + r f ( 炉丢= 去i p t - 1 ”百p t - k + l 一( 1 + 厂f ) ( 1 + 5 - 1 ) ( 1 + r f 一七) = 兀f k 。- 0 1 ( 1 + 一f ) 所以，多周期简单收益率为 ) ；兀篙( 1 + 一；) 一1 3 对数收益率 r ) 对数收益率是对单位时间内的收益取对数，即 r ；l n ( 1 + ) = i n 只一l n c 一1 同样的，多周期的对数收益率为 r ， ) = l n ( 1 + ( 七) ) = i n p ；l n ( ( 1 + 厂r ) ( 1 + r ，一1 ) ( 1 + 一t ) ) = r t + 尺卜l + + 尺r 一女+ 1 1 0 中央民族大学硕上毕业论文( 设计) 可以看出对数收益率将简单收益率的积形式转变成为和形式，即将原来的高 次关系转变为一次线性关系，如此简化了数据处理的难度。因此对数收益率比简 单收益率更加容易分析处理。 本文采用上证指数的对数收益率进行实证分析。 第三节收益率的矩特征 在分析收益率的时候首先应该对数据的基本特征进行初步了解，本文主要是 计算了收益率的均值、方差、偏度、峰度等。 均值是体现数据平均程度的统计量，主要计算方法为： 瓦。；私 标准差是体现数据离散程度的统计量，计算方法为： s t d ( r ) = 妣吣) l 器。赫 研( r r ) 2 】2 ( 三v ( 兄一瓦) z ) 兄 中央民族大学硕上毕业论文( 设计) 酬驴器= 器 称k u r t ( r ，) 为峰度系数。 若k u r t ( r , ) = 3 说明其峰度与正态分布相同；k u r t ( r , ) 3 ，说明其峰度比 正态分布要陡峭。 1 2 中央民族大学硕士毕业论文( 设计) 第二章金融时间序列的研究基础与方法 本章主要参考文献 1 3 的相关内容。 第一节金融时间序列的研究背景 金融时间序列分析是时间序列分析在金融数据中的应用，由于金融对居民生 活的影响日益加深，金融市场波动带动经济的波动越来越明显，金融数据的分析 便显出其必要性，因此各种金融分析方法应运而生。 为了揭示金融波动的本质，各国经济学家、统计学家和数学家不断利用各种 分析方法和工具进行探索。其中现代金融时间序列分析是目前对金融波动分析较 为透彻的方法之一。 ， 金融时间序列分析主要是描述金融时间序列的变化，刻画其统计属性，揭示 其背后的变动规律，以及预测其未来走势。金融时间序列不同于普通时间序列的 一个重要特征在于：金融时间序列具有明显的不确定性，其波动是很难预测的。 一般的时间序列模型并不能直接用于对金融数据的分析。为此各国学者不断推出 各种模型，其中以诺贝尔经济学奖获得者e n g l e ( 1 9 8 2 ) 和b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 的a r c h 模型和g a r c h 模型最为著名。随后t a y l o r ( 1 9 8 6 ) 和h a r v e y 等( 1 9 9 4 ) 提出了随机波动模型( s v ) ，g r a n g e r 和e n g l e ( 1 9 8 6 ) 提出了协整理论和方法， 以及相继提出的a r c h 模型族和g a r c h 模型族。 另外，有效市场的检验、投资组合模型等在金融时间序列分析中也较为常用。 金融时间序列分析还使用随机模拟的方法和一些非参数方法，如神经网络技术、 小波信号分析、遗传算法等等。 第二节六类模型 一、自回归模型( a r ) 如果一个时l f i j 序列“) 可以用前p 个时刻时间序列值的线性关系来刻画，则 1 3 中央民族大学硕士毕业论文( 设计) 称这个线性过程是p 阶自回归过程，记为a r ( p ) ，表示为 x t 。办z f - 1 + 2 石卜2 + + 砟一p + “f 其中，识，f 一1 2 ，p 是模型参数， u t 是白噪声序列。 或者表示为 犯冷，；u ， 其中，l 为延迟算子，即工，= 石f - p ，仁) 一1 一唬工- # 2 l 2 一砟p 称为特 征多项式或p 阶自回归系数多项式。 二、移动平均模型( m a ) 如果一个时间序列似) 可以表示为 x r2 u r + 日1 比f l + + o q u f g 或者 x t 一0 ) h 。 其中，0 i ，f = 1 ，2 ，q 为模型参数，h 。是白噪声序列。则称托 为q 阶移动平 均模型，记为m a ( q ) 。 0 犯) = 1 + 口l l + 臼2 l 2 + + 6 q l 9 为q 阶移动平均系数多项式。 三、混合自回归移动平均模型( a r m a ) 由自回归和移动平均两部分共同构成的随机过程称为混合自回归移动平均 模型，用a r m a ( p ，q ) 表示，表达式为 x f = 办z 卜l + 矽2 x f 一2 + + 驴p x 卜p + 比f + p l “f 一1 + + o q u f g 或者 中( l ) x ，= o ( l ) u ， 其中，u t 是白噪声序歹l jf i _ e x 。“，= 0 ，v t o 。 一般称以= 口。十善口j 二r 为方差方程。 中央民族大学硕上毕业论文( 设计) 在a r c h 回归模型中，回归阶数q 决定了信息影响存留于后续误差项方差中 的时间长度，q 值越大，波动持续的时间也就越长。 广义自回归条件异方差模型 在a r c h 模型的基础上，波勒斯勒夫( b o l l e r s l e v ) 于1 9 8 6 年提出了广义a r c h 模型 一g a r c h ( g e n e r a l i z e d a u t o r e g r e s s i v e c o n d i t i o n a l h e t e r o s k e d a s t i c i t y ) ，对实际工作的开展具有重要意义。 g a r c h 模型是对a r c h 模型的扩展，它对条件方差的形式进行了拓展，其方差 方程具体表述如下： h t 2 a 。+ 善口r 占乙+ 薹， r 一， 为保证条件方差玩 0 ，要求 口o 0 口f 0 ，f = 1 ，q 声，苫0 ，j = 1 ，p 一般用g a r c h ( p ，q ) 来表示阶数为p 和q 的g a r c h 过程。 g a r c h 模型可以用较为简单的g a r c h 模型来代表一个高阶a r c h 模型，从而使 得模型的识别和估计都变得比较容易。在通常的金融分析中，一般采用g a r c h ( 1 ， 1 ) 模型。 即模型的方差方程为：h ，= 口o + 口l 三1 + l h “。 第三节几种常用的检验 假设检验是统计中的重要思想。通过假设检验可以验证模型的采用是否合 适，验证模型的参数是否有效。本部分中将重点介绍在实证分析中用到的几种假 设检验。 一、d - b 统计量 在序列分布的正态性检验中，最常用的足j b 统计量检验。j b 统计量是总 1 6 中央民族人学硕士毕业论文( 设计) 体考虑序列的偏度和峰度，并将其与正态序列的偏度、峰度相比较得到的差别来 检验的。其统计量表达式为： 姐一竿妒+ 三( 一) 2 】0斗 其中，n 为样本数量，k 为构造序列的参数个数，k 为峰度系数，s 为偏度系 数。 当k = 3 ，s = 0 时，序列为正态分布； 当s 0 时，分布偏向于正的收益一边，当s 3 时，分布图呈现高峰形状，这也是股票收益率常见的分布特性。 该检验的假设是序列是正态分布，在此条件下，j b 值服从自由度为2 的卡方 分布，即佃z 2 ( 2 ) 。 若p 值小于置信概率口( 一般为0 0 5 ) ，则拒绝正态分布的假设。即承认序 列是非正态的。 二、a lc 和b c 检验 a i c 准则，即最小信息量准则，是同本统计学家a k a i k e 在1 9 7 3 年提出的。 该准则的思想是认为一个你和模型的好坏可以从两方面考察，一是衡量拟合程度 的似然函数值，二是模型未知参数的个数。 通常似然函数值越大说明模型拟合的效果越好，模型中未知参数个数越多， 说明模型中包含的自变量越多，模型变化越灵活，模型拟合的准确度就越高。但 是我们又不能过多的引进未知参数，所以一个好的拟合模型，应该是拟合精度和 未知参数个数的综合最优配置。 a i c 准则是拟合精度和参数个数的加权函数： a i c = 一2 1 n ( 模型的极大似然函数值) + 2 ( 模型中的未知参数个数) 使a i c 函数达到最小的模型被认为是相对最优模型。 b c 是a k a i k e 在1 9 7 6 年提出的，他在a 】c 准则的基础上对函数作出了修正： b c ；一2 1 n ( 模型的极大似然函数值) + l n ) ( 模型中的未知参数个数) b c 准则将a i c 准则中对模型未知参数个数的权重由2 变成了i n ( n ) ，即样本 1 7 中央民族大学硕士毕业论文( 设计) 容量的对数函数。 同样的，使b c 函数达到最小的模型是相对最优模型。 三、拟合优度检验 拟合优度检验是指对样本回归曲线与样本观测值之间拟合程度的检验。其中 度量拟合优度的指标是判定系数( 可决系数) r 2 。 序列y 的观测值围绕其均值的总离差( t s s ) 可分解为两部分：一部分来自 回归线( e s s ) ，另一部分则来自随机势力( r s s ) 。 在给定样本中，t s s 不变，如果实际观测点离样本回归线越近，则e s s 在t s s 中占的比重越大。 记 r 2 ；墨堕；1 一一r s s t s st s s 称r2 为( 样本) 可决系数判定系数。 其中， t s s = y ；= 一歹) 2 称为总体平方和( t 。t a l s u mo fs q u a r e s ) ； e s s = 彭= 一刁2 称为回归平方和( e x p l a i n e ds u m 。f s q u a r e s ) ； r s s = = ( 一霉) 2 称为残差平方和( r e s i d u a ls u mo fs q u a r e s ) 。 可决系数r2 的取值范围： 0 ，1 。 r 2 越接近1 ，说明实际观测点离样本线越近，拟合优度越高，模型越可取。 四、自相关检验 纯随机性检验也称为白噪声检验，是专门用来检验序列是否为纯随机序列的 一种方法。对于纯随机序列。，它的序列值之间应该不存在任何相关关系，即 p ( g ，) = 0 ，v t s 。 常用的纯随机性检验主要是由b o x 和p i e r c e 推出的q 统计量检验。其原假 设为：延迟阶数小于或等于m 的序列值之f j u 互独立；被择假设：延迟阶数小于 1 8 中央民族人学硕士毕业论文( 设计) 或等于m 的序列值之间有相关性。即： 日o ：p k 一0 ，v i ；m ，m 1 何1 ：3 ksm ，s t p k 乒0 ，v ksm ，m 1 其检验统计量为q = 以荟p k 2 ， 其中，n 为序列观测期数，m 为延迟期数。 胪器。器蠹笋。 q 统计量近似服从自由度为m 的卡方分布，即q ；，l 群x 2 沏) 若统计量的p 值小于置信水平口，则可以以1 一口概率拒绝原假设，即认为该 序列不是白噪声序列，序列值之间存在相关性，否则接受原假设，认为该序列是 纯随机序列。 在实际应用中，由于上述的q 统计量在小样本场合不太精确，b o x 和l j u n g 又推出q l b 统计量，并称原统计量为q b ，统计量。 q u 嘶+ 2 ) 薹( 笔h 2 伽) 在各种检验场合普遍采用q 皿统计量。 五、a r c h 效应检验( 拉格朗日乘子检验、l m 检验) 1 9 8 2 年，e n g l e 为了确定a r c h ( q ) 模型的阶，提出来拉格朗日乘子检验 ( l a g r a n g em u lt i p li e rt e s t ) ，简记为l m 检验。通过拉格朗同乘子检验的实质 是进行异方差相关性检验。 假设条件：z ；孤p t 姚= o , v 豇i ，坛l 锦纠 即原假设为残差平方序列为纯随机的，被择假设为残差平方序列具有自相关 性。 检验统计量： l m ( q ) = 中央民族大学硕士毕业论文( 设计) 其中， = ( 拳，磐，簪，笋) = 砉( 币以一)0 0 o 0 0 。 1 p j = ，蚤( s ? 一子2 ) ( 乙一孑2 ) 了 罗( ? 一子2 ) 智 办翌 r l m ( q ) 统计量近似服从自由度为q - 1 的z 2 分布。 即：l m ( q ) z 2 ( 口一1 ) 当p 值 口，接受h 。， 认为残差平方序列为纯随机的。 中央民族大学硕士毕业论文( 设计) 第三章有效市场理论和分形市场理论 第一节分形 本节主要参考文献 1 7 一1 8 的相关内容。 一直以来，以欧氏几何和黎曼几何为基础建立的传统数学对规则的、具有光 滑形状的物体或自然现象做出了完美的诠释，但是对那些凹凸而不圆润、破碎而 不连续、粗糙而不光滑的形状或系统却无能为力。 1 9 7 5 年，美籍法国数学家m a n d e l b r o t 提出分形几何的概念。随着后来的研 究，人们发现，这种新生的数学语言可以用来较好的描述那些复杂的，无法用传 统数学描述的现象。这些现象的共同特点是具有无限精细的结构、不同尺度下自 相似、不具备特征尺度、处处不可微。 分形是二十世纪重大的数学发现之一，是一门描述许多不规则事物规律性的 科学。简单的说，分形具有如下特点： 1 图形是支离破碎的。用数学语言来说，它是处处不连续或者处处不可微 的。直观上，这些分形图形没有规则，呈现出斑痕、麻点、破碎、扭曲、缠绕、 纠结、折迭的特点。 2 具有自相似性。所谓自相似性，又称为标度不变性，即若不明确说明尺 度，我们从图象上得不到其原本的尺度，换言之，在改变尺度或标度时，图形时 相同或相似的。 3 具有分数维。欧几罩德图形的基本特点是具有整数维。如一维的直线， 二维的圆，三维的立体图形等等。但是，对于一个空心球，它既不是三维，也不 是二维，它的维数处于三维和二维之间。而分形也具有分数维。 第二节分形市场理论 一、有效市场理论乜儿川 英国统计学家k e n d a l1 在1 9 5 3 年对股市价格的研究中发现，股市价格没有 2 1 中央民族大学硕士毕业论文( 设计) 任何模式可寻，价格行为是一种随机的，并且服从独立分布的随机游走过程。 k e n d a l l 的发现暗示股票市场由一种反复无常的市场心理所驱使，没有任何逻辑 和理性。 然而随着经济学家的进一步研究，很快产生了新的观点：随机波动反应的是 一个功能良好、有效率的市场，这样的市场是理想的竞争市场的结果，是理性的 而不是非理性的。这种思想成为有效市场理论( e m t ) 最初的思想来源。 1 9 7 0 年，美国学者f a m a 发表的“有效资本市场：对理论和实证工作的评价 一问中提出了有效市场的定义：当价格完全反应了可供利用的信息时，市场是有 效的，或者说有效市场是这样一个市场：投资者利用可获得的信息力图获得更高 的报酬，股票价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，股票价格能完全的反 应全部的信息，而与新信息的价格变动相互独立，即今天的价格变动与昨天的价 格变动无关，是随机游走序列。有效价格定义的提出，标志着有效市场理论的基 本形成。 有效市场理论认为市场能够对信息做出及时、合理的反应，使所有信息都立 即反映到价格中去。因此它对投资的主体与价格行为做出了一下的假定： 1 理性投资者。 2 价格反应了所有公开的信息，价格的变化相互独立，未来的价格变化是 不可预测的。 3 价格收益率遵循随机游动，概率分布近似于正态或者对数工f 态。 可以看出，如果一个股票市场是一个有效市场，则股票价格完全反映了所有 可以获得利用的信息，每一种股票的价格都永远等于其投资价值，每一种股票都 是按照公平价格出售，任何谋求寻找被错误估值的股票的努力都是徒劳的，没有 人能持续获得超额利润。 实际上，随机游走模型并不能很好的反应市场状况，而完全否定e m t 也不可能， 所以在随后的研究中，出现了更多较为复杂的模型来对随机游走模型的不足进行 修正，例如在上一部分提到的自回归模型、移动平均模型、混合自回归移动平均 模型、a r i m a 模型、自回归条件异方差模型、广义自回归条件异方差模型等等。 在统计学上，一般利用具有一定客观性的价格数据来对市场有效性进行判断 和检验。主要的检验方法为正态性检验、高阶自相关检验等等。其中序列的f 态 中央民族大学硕士毕业论文( 设计) 性检验又包括偏度一峰度检验、j b 统计量检验。 二、分形市场理论”1 虽然随机模型似乎都抓到了市场的一些特征，但是从各种检验上可以发现， 模型似乎并不是让人很满意，有些问题例如股票价格序列的高峰厚尾性、异方差 性等等并没有在同一个模型中从根本上解决。所以近年来，一些研究人员尝试着 从问题的本质e t m 假设着手考虑，从分析方法上进行改进。分形市场理论便 在此背景下提出。 一般认为金融市场的波动也呈现出不规则的特性。 m a n d e l b r o t 最早在经济学领域考察了分形分布，他认为金融市场中股价分布 的厚尾特性可能显示了长记忆效应的存在，并提出用分数布朗运动来描述股价运 动。可惜他并没有在这个方向上作深入研究。 e d g a rp e t e r s 最早提出分形市场这一概念，并将r s 分析工具重新运用到金 融分析领域。他用r s 分析方法计算了美国股市有关数据的h u r s t 指数，以此验 证了分形市场理论。p e t e r s 还认为一个市场是由许多具有不同投资期限的投资 者构成的，对于不同的投资者而言，他们所获得的重要信息是不同的。只有当市 场保持其分形结构，没有特征时间标度，市场才会保持稳定。他在1 9 9 6 年发表 c h a o sa n do r d e ri nt h ec a p i t a lm a r k e t s 一书，建立了标准普尔5 0 0 家公 司股票的日、周、月、年之间的收益率曲线的“自相似性”，并分析了e m t 的理 论上和实践中的不足，在此基础上提到分形市场假说。其假设和主要内容是： ( 1 ) 市场是无序和有序的有机结合，是内在波动的。 ( 2 ) 健康的市场是稳定性与流动性的有机结合。 ( 3 ) 资本市场中的信息反馈是不同的，信息的重要性对于短期和长期投资 者是不同的，不同投资偏好的众多投资者对信息的评估是不同的。 ( 4 ) 资本市场中的价格是长期相关的，投资者的决策依赖于历史经验，这 就使得价格具有长期相关性。 ( 5 ) 收益正态分布和独立性的重新分析。 ( 6 ) 对理性人假设的否定，即具有不同投资偏好的众多投资者是同时存在 的。 中央民族大学硕士毕业论文( 设计) 很显然，分形市场理论的假设强调了流动性的影响以及基于投资者行为之上 的投资偏好。分形市场假说的目的是给研究者一个符合实际观察到的投资者行为 和市场价格运动的模型。 三、有效市场理论与分形市场理论的关系瞳1 有效市场是分形市场的一个特例，二者之间既有区别又有联系。下表比较概 括的说明二者的异同： 表3 - 1 ：有效市场理论与分形市场理论的异同 e m hf m h 市场特性线形、孤立系统非线性、开放、耗散系统 均衡状态均衡允许非均衡 系统复杂性简单系统具有分形、浑沌等特性的 复杂系统 反馈机制无反馈正反馈 对信息的反应线形因果关系非线性因果关系 收益序列白噪声、不相关分数噪声、长记忆( 对初 值条件敏感) 价格序列布朗运动分数布朗运动 可预测性不可预测提供了一个预测的新方 法 波动有序性无序有序 二者的关系有效市场是分形市场的一个特例 分形市场拓展了有效市场的含义 分形市场理论更广泛、准确地刻画了市场 金融市场是一个复杂系统，同时它也是一个非线性系统，e m t 以线性的假设 来刻画市场，未能准确反映市场的特性，分形市场理论的提出可以解决这一问题。 分形市场理论比有效市场理论更好的解释了市场的行为：市场中存在大量具 有不同的投资理念、投资经验的投资者，他们对市场的不同预期维持了市场的正 中央民族大学硕士毕业论文( 设计) 常运行，而一旦所有投资者都具有相同预期，则资金的流动便会相同，最终导致 整个金融市场的崩溃。 中央民族大学硕士毕业论文( 设计) 其中，c 为常数，d 为待定参数，表示收敛速度相同，则称托，t 一1 ，2 ，r ) 为长记忆时间序列。 分数维时间序列具有长记忆性，历史信息对于未来市场的波动具有长期的影 响。因此对于市场的研究既要考虑市场波动的短期相关性，又要考虑滞后的、长 期的影响。 ( 二) 两种长记忆时间序列模型 目前长记忆时间序列模型主要有分整差分噪声( f r a c t i o n a ld i f f e r e n c i n g n o i s e ，f d n ) 模型( g r a n g e r ，1 9 8 0 ) 和分整自回归移动平均( a u t o r e g r e s s i v e f r a c t i o n a li n t e g r a t e dm o v i n g a v e r a g e ，a r f i m a ) 模型( h o s k i n g ，1 9 8 1 ) 。f d n 模型只考虑了时间序列的长记忆性，忽视了时间序列的短记忆性，而a r f i m a 模 型由于可综合考虑到过程的长短记忆特征，吸取了a r m a 模型和f d n 模型的优点， 近来越来越到的应用于高频时间序列的建模中。 l 、分数布朗运动( f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ，f b m ) 和分整差分噪声序 列 ( 1 ) 分数布朗运动拍1 m a n d e l b r o t 给出了分数布朗运动的定义： 定义3 ( 分数布朗运动) 令h 满足0 日 0 ，( f ) 满足： 删2 志灿叫肌t ，肛，+ _ ，肌锄) 其中( o ) ；显然当日。委时，b 。o ) ；b o ) ，分数布朗运动退化成一般的 布朗运动。 同时可以得到： 研o ) 一b h ( o ) 】= 0 将( f ) 可以理解为随机变量x 在时间t 的观察值或所处的位置。 o ) 一( 0 ) 则可视为x 在t 时刻的