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高中数学开放型题难度计价研究 摘要 走进高考的高中数学开放型题越来越受到人们的重视本文利用s o l o 分类评价对学生 完成开放型题的情况进行分析，得出开放型题目的评价方案，并指出开放型题目的难度与 可用知识点的广度，所涉及到知识点的深度以及已知条件与所用知识或方法的联系程度有 关在此基础上，根据学生完成题目的情况把学生分为三类，分别侧重于发敖思维、收敛 思维、延拓能力三方面的训练，为后续研究做好准各 本文主要包含三大部分的内容：第一是对于数学开放题的基本理解；第二是通过实验 得出开放型题的难度评价方案和影响难度的因素；第三是学生解题策略初探及本实验对于 高中数学教学的重要价值 关键词开放型题难度评价解题策略 高中数学开放趔题难度详价耐f 究 r e s e a r c ho nt h e a s s 髂s m e to f t l i ed e g n eo f d i 伍c u n y 蚰“o p 皿- 蛐d e d 竹 q u e s 6 0 ni nm a t h e m a t i c s t h e 、p 蜘蛐d o d 忭平e s t i o ni nm a m 砌a 石璐j nc o n o 妒蛐虹a r i 蹭既啦w 撼p a i d 如。耳a n d 田。畴a t 蛔由伽 t h u g h 蛔t 啦d i m 删嚣a 缸伽，打芦l t f o r w a f ds c 矗c l w 3 叩t h e a 蝴柏a e n to f t h e 血簪o f 凼氆c u l l y o 1 h e p f d e n l na l d i v i d e d t h c 蛐l d 邮j n t o t l 鹏e k v e b f b r i h e n 戗t 珑a r 也 l h y w o 出：“o p c n d c d ”印坼s 妇；出e 舾s e 鼬m 舶to f 血c d e f 睇o f d 血伽t t y ；t h e 蛐锄e g y t o 蚰l v c 弘d ，l c m 高中数学开放j 璺题难度计价研究 首都师范大学位论文原刨性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不古任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 同静 蹶2 0 0 6 年1 1 月l 。日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文 并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利 目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据 库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本舰 定。 靴敝储戳隔卜盹：嘶钏舢只 崩中数学开敏型西难度许价研究 高中数学开放型题难度评价研究 第一章选题依据 l _ l 概念的界定 1 1 1 数学开放题概念的界定 “数学开放题”并非是业经审定的规范数学名词，关于开放题的概念，现在国内还没 有统一的认识，主要有下列几种：( 1 ) “凡是具有完备的条件和固定的答案的习题，我们 称为封闭题而答案不同定或者条件不完各的习题，我们称为开放题”：( 2 ) 。具有多种 不同的解法，或者有多种可能的解答”称之为“开放性”问题；( 3 ) 根据前苏联学者b a 奥加涅相的要素分析法，数学习题是一个系统： y o ，p z ) ，其中y 表示习题的条件，o 表示解题的依据，p 表示解题的方法，z 表示习题的结论，上述系统的四个要素中有三个 是未知的习题称为问题性题；有两个是未知的习题称为探索性题，数学开放题大多数属于 问题性题，也有的可能属于探索性题；( 4 ) 有多种正确答案结果是开放的问题，这类问题 给与学生以自己喜欢的方式解答问题的机会，在解题过程中，学生可以把自己的知识、技 能以各种方式组合，去发现新的思想方法 戴再平先生在开放题一数学教学的新模式一书中指出：数学开放题指那些答案 不唯一，并且在设问方式上要求进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题相对于传 统的封闭题而言，开放题题目的条件不充分，或者结论不确定，因此解题策略也往往多种 多样，被认为是最富有教育价值的一种题型随着考试制度的不断深入发展，开放性问题 已经被中考高考这类选拔性考试采用，充分说明了人们认识到开放题在测试能力水平，特 别是测试创造能力水平中的重要作用 1 1 0 数学开放题的分类 对于开放题的分类问题也有多种看法，按照不同的分类标准总结起来有如下几类： ( 1 ) 按数学命题中的未知要素分类，“数学命题一般可根据思维形式分成假设一推理一 一判断三个部分一个数学开放题，若其未知的要素是假设，则为条件丌放题；若其未知 的要素是推理，则为策略开放题；若其未知的要素是判断，则为结论开放题有的问题只 给出一定的情境，其条件、解题策略与结论都要求主体在情境中自行设定与寻找，这类题 i 高中数学开放型题雁度评价研究 目可称为综合开放题”( 2 ) 按题目的解答要求分类：发现关系和法则的问题；有关对象 的分类问题；实际背景数值化的问题；逆的问题；条件不足的问题；构成性问题( 3 ) 按 答案分类；可穷举型；有限混沌型；无限离散型；无限连续型 下面仅举几例说明： 釜佳珏越基 已知m i l 试写出一个一元二次不等式“t 岫x + c o ，使它的解集分别为 ( 1 ) ( - 曲m ) u 0 ，+ 砷；( 2 ) ( m 1 1 ) 筮监珏放厘 制作书架时需要块长1 0 0 ，宽2 0 c m 的木板，现在只有一块长8 0 c m ，宽3 0 m 的 木板，问怎样将木板锯开，可以拼接成所需尺寸的木板 莹途巡 考虑三棱锥o a b c 已知它的侧棱o a 0 b ，o c 两两垂直，请你尽可能的写出这个三 棱锥的性质 堡金珏放匿 试计算校园的小池塘内水的体积 直羞盟复曲盆耋回屡 用适当的方法说明下述几个概念的关系：正方体、正四棱锥、长方体、直四棱锥、平 行六面体 盘往丕星鳆闻题 一个简单零件图( 表面均为平面) 的主视图及俯视图如图所示，补上它的左视图 主视图俯视图 日目 商中数学开放掣题难崖计价吲f 究 塞匪煎基熬值毡 掷石子问题a b 。c 三人作掷石子游戏，结果如下图，这个游戏是以石子散落的距离小 者为优胜请想一想如何用数来表示这个“散度”? ( f 1 本一泽罔利夫) 围困圈 玉醒离越型 试尽可能多地画出各种不同形状的三角形，使三角形的三边长和面积均为整数 玉照连续型 “降水量”是指水平地面单位面积上的降雨深度如果用一圆柱形容器水平放置于露 天，一场降阿后，容器内的雨水高度就是该次降雨的“降水量”但是，普通降雨的降水量只 以毫米为单位，所以用圆柱形容器直接测量降水量的方法精确度不高试设计一种用于测 量降水量的量具形状，并研究其刻度的规律 笔者认为，数学开放题的教学意义也就在于激发学生对于数学学科的学习、研究兴趣， 最终达到提升数学素养的作用；同时。对于进入中高考试卷的开放型试题来讲，对比封闭 题目，学生的不同解答情况更容易反映出学生对于数学知识的不同理解和不同层次的处理 能力在试卷上出现的丌放型题目应该具备以下特征：( 1 ) 起点低，让所有的学生都能尝 试；( 2 ) 难度有坡度，有层次，能区分出学生思维和能力的差异：( 3 ) 有多种结论，让学 生有发现的余地；( 4 ) 有多种解法，能体现出综合题的功能所以，本实验研究以具备这 些特征的开放题目为主要题型 1 2 国内外研究概况 1 2 1 国外情况 1 9 7 1 年，以岛用茂为酋的一个只本学者群体，其中包括桥本吉彦、泽用利夫等共2 7 人，率先研究“开放式结尾( 叩n d 锄问题”，于1 9 7 7 年发表了名为算术、数学课的 开放式问题改善教学的新方案的报告文集这个报告文集于1 9 9 7 年被美国全国数 学教师理事会( n a n o n a lc o u n c i i o f l 钳i e n o f m a 帆m 吼t i c s ) 英译出版，是日本数学教育专著 首次被英译数学开放题于2 0 0 2 年正式进入了只本文部省颁布的算术、数学学习指导 3 矗中数学开放型题难度计价研究 要领，这被认为是r 本数学教育改革的一个重大事件 美国等国家也相继研究数学开放题美国加利福尼亚教育部指出了开放性问题的五 个功能；( 1 ) 开放性问题为学生提供了自己进行思考并用它们自己的数学观念来表达的机 会，这和他们在数学学习中的发展是一致的；( 2 ) 开放性的问题要求学生构建他们自己的 反映而不是选择一个简单的答案；( 3 ) 开放性问题允许学生表达他们对问题的深层次的理 解，这在多项选择中是无法做到的；( 4 ) 开放性问题是鼓励学生用不同的方法去解决问题， 反过柬要求教师用不同的方法解释数学概念；( 5 ) 开放性问题的模式是数学课章教学的基 本成分 1 2 2 国内情况 1 9 8 0 年第4 期外国教育杂志刊登了日本学者泽田利夫从“未完结问题”提出的 算术、数学课的教学方案一文，这是在我国首次介绍国际上研究数学开放题的文章，1 9 8 4 年戴再平以三个开放题和几个封闭题在浙江省镇海县三所学校( 学生来源有显著差异) ， 各取一个初三班级进行了一次测试，说明了知识和技能的堆砌与学生创造思维能力的发展 没有必然的联系 1 9 9 8 年1 1 月5 日，由全国教育科学“九五”规划重点课题。开放题一一数学教学的 新模式”课题组、华东师范大学数学教育研究室、上海市金汇学校联合主办了。数学开放 题及其教学”学术研讨会会议提出以下看法：( 1 ) 数学教育必须开放化。数学开放题及 其教学已经成为基础数学教育、培养中小学生创新能力的一个切入口数学丌放题及其教 学已经成为基础数学教育、教学改革及研究的一个热点( 2 ) 对数学开放题及其教学的研 究，要继续进行国际比较，学习外国的先进经验( 3 ) 希望通过大家的努力，特别是教材 编写部门、考试命题部门同志的共同努力， 域( 4 ) 数学开放题和封闭题应该是互补的， 种教学模式的综合运用中达到最优化 使数学开放题普遍进入中小学数学教学领 开放题作为数学的新教学模式的载体，在各 2 0 0 3 年1 1 月2 6 闩至2 9f 1 在上海举行了第二次“数学开放题及其教学”学术研讨会 这次研讨会的主题有以下几个方面： 1 ) 数学开放题进入课程和考试( 2 ) 数学开放题与 评价( 3 ) 数学丌放题教学的实施( 4 ) 数学开放题对培养学生创新精神与实践能力的价 值( 5 ) 数学开放题解题的心理过程特别指出我国数学开放题及其教学的研究工作的主 要任务是：( 1 ) 继续保持数学开放题与课程、考试密切结合的优良传统，大力开发与双基、 与实践相结合的原创性的好的题目( 2 ) 进一步推动数学开放题进入国家计划的课程，适 4 高中数学开放型题难度许价研究 当提高中考和高考数学试卷中数学开放题的比例；比较国家计划的课程、学校实施的课程 和学生学得的课程中数学丌放题的情况( 3 ) 研究数学开放题对培养学生的创新精神和实 践能力，转变学生的学习方式的作用；数学开放题与研究性学习( 4 ) 建立数学开放题的 评价体系，包括考试中数学开放题的评分标准的合理性( 5 ) 探讨数学开放题的心理机制 在相当长的时自j 里，国内对于开放题的教学墁计与教学纪实( 黄根初，2 0 0 3 ) 、开放 题的编制( 朱银坪，2 0 0 3 ) 、开放题与考试( 张继海，1 9 9 9 ) 以及国外的数学开放题( 汤 慧龙等，1 9 9 8 ) 都有了一定的研究，但是，对于开放题的难度评价以及学牛解题障碍的研 究还不多见 1 2 3 发展趋势 随着时代的发展，培养创新性的人才成为迫切的需求开放题由于其自身的开放性质， 不再是方法唯一，答案唯一，这样学生由知识的被动接受者转变为知识的主动发现者和探 索者，保障了学生的主体地位，从而有利于学生自我意识和独立人格的形成，为培养学生 的创新精神奠定了基础 数学开放题作为具有时代特征的新题型，它代表着一种新的教学模式。数学开放题教 学的加强，必定使数学课掌走向开放式的教学( 叩q d c dt c h i n g 枇a c h ) 学生完成开放题目过程中的高层次思维过程，对于开放题难度以及学生完成开放题目 的评价标准也会是一个继续探讨的问题 1 3 研究侧重点及意义 本研究把开放型题目的难度评价标准作为研究重点，希望通过对于难度评价和影响难 度的因素的研究，根据学生答题情况把学生分出不同类别，以便今后进一步更有针对性地 进行解题训练 下面从以下几个方面说明进行本实验研究的重要意义及价值 第一，提倡学生。积极主动，勇于探索”的学习糟神 普通高中数学课程标准倡导“积极主动，勇于探索的学习方式”以计算技能和 解决常规问题为重点的数学教育已经不能满足时代发展的需要了，数学教育的目标应该包 括培养学生高层次的数学思考能力、创新精神和解决实际问题的能力而试图解决某道开 放题并将其推广至更广泛的适用范围的过程中，正是学生充分利用已知领域的知识，向未 高中教学开放型题难度评价研究 知领域进行探索的过程，是学生主动参与学习的过程，也正是现代教育思想所提倡的 戴再平先生在一组丌放性题的试验与分析中说：“在数学教育发展过程中，出现 开放题这一新的题型，反映了人们数学教学观念的转变即人们认i 到数学教学不应建立 在。概念、定理例题练习的知识传授型模式之上，而应建立在对学生积极鼓励、 引导学生进行探索的以学生为中心的创造型模式之上，这是数学教育界普遍接受现代认知 心理学对数学学习过程的解释和指导的结果” 1 9 8 9 年，美国国家研究委员会( n r c 提出权威性报告( 人人关心数学教育的未来该 报告开宗明义地提出：“通讯已造成了巧干比仅仅苦干更为重要的世界经济为这个世界 经济作出贡献的工作都要求智力上能胜任的人员他们能吸收新的想法，能适应各种变 化，对付模棱两可的事件，能发觉模式并且能解决非常规的问题” 第二，对于开放题的独立探索能力能充分体现学生个体的数学素养 1 9 8 6 年国际数学教育委员会( i c m l ) 的一个文件指出，“培莽学生体验对数学的积极态 度是中小学数学的一个共同目的，帮助学生体验这种智力的欢乐是达到目的的一种手 段然而实际上任何学校这种欢乐都是有限的也许在数学课堂更多地进行没有固定答案 的研讨的趋势，将会使更多的学生首次体验到科学女皇赋予该学科的美感”同时，在解 决问题的过程中，也充分体现出学生个体的独立思考能力和创新精神 第三，学困生也可以做好开放题 1 9 9 7 年，我国上海也率先推出了进入2 1 世纪中小学数学教育行动纲领 ( 1 9 2 0 l o ) 这一纲领最终体现h 如下原则：( 1 ) 让所有学生学习更好的，但却是有 区别的数学，这种好与区别主要基于学生自己的需求和选择( 2 ) 让每个学生都用自己内 心的体验和主动去参与学习数学，这种体验和参与会不断增强学生的自信 数学学习水平较差的学生( 以下称学困生) 往往由于各种原因对于数学学科本身存在 一定的心理障碍，从而造成对数学丧失兴趣，对自己失去信心而合理的设计开放性问题， 由于答案不唯一，思维空阃大，给了学困生一个发言的机会，逐渐扩大他们想象的空白j ， 能够降低他们对于数学学科的恐惧心理。在此基础上建立一定程度的“成功感”，帮助他 们慢慢摆脱恶性循环的阴影，逐步改变学习数学的被动地位在这方面，国内有很好的研 究成果( 戴再平，2 0 0 2 ) 商中数学开放型题难度件价研，宄 第二章研究方案及实验结果 2 1 研究方案设计 本实验设计了六道开放题，涵盖高中所学的大部分重点知识( 三角和数列除外) 通 过学生对于六道题目的不同层次的答案，依据1 0 评价方法制定了评分标准( 从0 分至5 分) 希望根据学生答题情况以及后来的个人访谈统计分析出学生在做题过程中的思维过 程和难点疑点。从而得出开放题的难度评价， 的解答进行分析，找到不同学生的思维障碍， 分析出影响难度的相关因素，并且对于学生 将学生分成层次，便于后续研究 2 1 1 集体测试题目设计 一般题目设计应兼顾“覆盖性”与“区分度”，横向考虑范围，纵向考察其能力表现 ( 黄毅英，1 9 9 1 ) 本实验研究的集体测试部分所选择的六道开放题在设计原则上涵盏了 不等式、函数、解析几何、立体几何( 由于三角函数和数列知识本身涉及到的公式较多， 学生对公式的掌握情况会直接对答题造成影响，所以未选取相关题目) 等不同领域的知识， 各题目设雹了层次分明的“台阶”，起点低、入口宽、区分度大、问题解决背景明确，这 样可以多角度、多层次地测试出学生处理问题的真正水准，也从另一个侧面反映出各题目 的难度， 题目l 尽可能多的写出解为2 x a 的不同类别的不等式 选题说明：本题目的知识背景是高二代数解不等式，其开放性在于逆用解不等式的知 识，构造满足条件的各种类型的不等式从广度上讲。题目的答案可以涉及一次、二次、 高次不等式，简单的无理不等式，指数对数不等式等；从深度上讲，题目答案可以涉及不 等式组，各种类型的复合型不等式含参不等式等。甚至可以借助函数、方程等思想构造 出高于学生自身知识水平的结果 题目2 已知i 是一个分母不超过3 0 的不可约分教，且；一2 x 2 一j ，你能写出 多少这样的x ? 选题说明：本题目的知识背景是高二代数不等式性质，其开放性在于是否有分析判断 能力运用所学的不等式性质知识对于命题给予严格推理证明从广度上讲。题目的所有答 7 高中敖学开放犁题难度计价研究 案完全可以通过估算范围找最简单的一个特殊值一凑出所有可能结果一一计算验证而 得到；而从深度上讲，题目答案可以通过选择策略灵活运用不等式性质证明而得到 题目3 如图，试指出某些函数图象的共同点 选题说明：本题目的知识背景是高一代数函数图象，其开放性在于分析选取适当的函 数性质。对已知图象进行分类说明从广度上讲，学生可以借助所有学过的函数性质进行 分类讨论；从深度上讲学生可以把解析几何知识溶入到此题目当中，从解析几何的高度 分析函数图象 题目4 某曲线关于p l 对称，尽可能多地写出该曲线的方程 选题说明：本题目的知识背景是高二解析几何曲线的性质，其开放性在于对解析几何 思想的应用，可以考虑借助已经学过的曲线构造出新的曲线，也能够归纳出图形几何性质 所代表的代数等量关系从广度上讲，题目的答案可以从次函数、二次函数、三角函数、 一次分段函数、绝对值与对数的复合函数、一次曲线、二次曲线等各种具体的类别中举例 得到；从深度上讲，题目答案可以涉及各种含参数曲线方程，或者可以把已知图形性质直 接转化成代数等量关系写出方程的通式 题目s 尽可能多地写出过三点a ( 0 ，1 ) ，b ( - 2 ，0 ) ，c ( 2 o ) 的二次曲线的方程 选题说明：本题目的知识背景是高二解析几何曲线的方程，其开放性在于能否从数量 关系总结出规律并应用到具体图形中从广度上讲题目的答案可以利用待定系数法求出 圆、椭圆( 标准状况) 、抛物线、两条直线等多种具体曲线的方程；从深度上讲，可以利 用二次曲线的通式计算得出系数满足的条件，从而进一步得到高于学生自身知识水平的结 果 题目6 用一个平面去截一个正方体，截面可以是什么形状的图形? 不可能是什么形状 的图形? 尽可能多地表达出你认为可能的结果( 看得见的线用实线表示，被挡住的线用虚 线表示) s 高中教学开放型题难度计价研究 回画国画 选题照明：由于学生尚未接触过立体几何知识，所以本题目的知识背景是初中几何体， 其开放性在于运用空间想象能力对于截面多种情况的分析归纳总结从广度上讲，可以得 到的截面为七边型以内的多边形，不可能得到的是曲线形；从深度上讲，可以画出具有一 定立体感的五边形、六边形，并证明不可能出现直角三角形和钝角三角形，直角梯形 2 1 2 评价资讯的收集与整理 选择2 0 0 5 级高中学生作为研究对象，抽样选取3 0 名学生答题( 有效答卷2 8 份) 他 们处于高二年级。已经在高一年级学习过函数、三角函数，商二学过不等式、解析几何至 椭圆部分的相关知识由于测试题日本身特点。要求学生在二十分钟之内处理完一道测试 题目并在答卷上写清思考过程从而了解其思维背景及便于选取个案进行进一步深入访 谈 分析步骤如下： 第一，自己完成六道题目，确定各题目可能出现的答案情况： 第二，把答案按照s o l o 分类评价分成四五层，每个层次给予具体合理的解释： 第三，根据学生各个题目答题状况，修改五个评价层次，制定出评分标准； 第四，每个学生各题得分状况统计分析，得出六个题目难度系数并分成不同难度类别： 第五，根据学生解决问题的思路和个案深入访谈，对于不同难度类别的题目各自进行 难度解释 2 2 实验结果统计 b i g 铲教授认为，学习结构的复杂性主要包括两方面：一是量的方面，即学习要点的 数量；二是质的方面，即如何建构学习要点根据这两方面的要求，b i 铭s 教授把学习结 果分为s o l o 的五个层次： ( 1 ) 无建构层次( p r e s t n 】c t i m l ) 指学生并没有真j f 理解学 习内容，他们用一种不负责任的态度来应付任务，或他们被材料中的无关内容误导，因此 在他们的学习结果中未获得任何学习要点；( 2 ) 单一因素建构层次( u l l i s 幻ic t l 蚰1 ) 指 学生的学习结果中涉及了构成问题之众多要点的中的一个；( 3 ) 多因素建构层次 q 廓中数学开放型题难度件价研究 ( m 嘶3 咖c t u “) 指学习结果中涉及了构成问题的若干要点，但学生只是简单罗列这些 要点，而这些要点似乎是相互独立、并无关联的 ( 4 ) 关系建构层次( r e l 枷融) 指学 生的学习结果中涉及构成问题的若干要点，并且能够把这些要点组织成一个连贯一致的整 体这一层次表明学生真j 下理解了问题；( 5 ) 抽象建构层次( t e i l d e da b s 畹d ) 指在 关系建构层次的基础上抽象化、概念化，产生一个新的课题这一层次只有那些达到一定 年龄阶段并具有定抽象思维能力的学生才能达到它是教学目标预料之外的b i g 擎用 下面的图表清楚地表明了上述五个建构层次的递进关系 麓 方 田卸功分类系统的五个屡次 按照学生完成的各种可篚的答案形式，参照s o l o 数学问题解决评价体系，制定了以下 形成性评价标准参照系，评分时以学生达到的最高层次结构为其最后得分 0 圈黼一爵i 三磊l 日濂 卜| | 高中数学开放型趣难度评价硐f 究 2 2 1 各题目解答情况及评分标准解释 题目l 可能写出的结果的形式正确的学所占比举例说明评分 生人数例 煎一一次不等式组 2 27 8 6 o x 2 ll 结构： 二次不等式 2 69 2 9 x 5 x 州k o 基本 分式不等式 2 07 1 4 兰墨 o 型不 工一3 等式 27 1 4 x 一2 l 无理不等式 含绝对值不等 51 7 9 卜；k ；式 指数不等式组 1 0 3 5 7 4 2 k 8 对数不等式组 1 45 0 1 0 0 l 野 1 0 0 0 多元以上结果写出 2 38 2 1 ，2 结构 3 类 关联高次不等式 1 34 6 4 ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 1 ) ( 0 3 结构： 指数不等式 00 2 一- ，肿6 l 复合 对数不等式 o0 l g ( x 一2 ) o 等式 工2 4 算+ 3 o 分式二次不等 4 1 4 3 乓三+ 1 o 式 x 。j 与方程、函数知 62 1 4 ； x + t 等( 刚 识相关联构成2善3 、 7 的不等式 抽象 一元一次不等 31 0 7 2 础q 驴o ) 4 结构：式组 含参 一元二次不等 oo “2 - 5 “+ 6 a 0 ) 数不 式 等式 高次不等式 l3 ，5 7 ( x 2 ) 弋x - 3 ) a b 为奇 数1 指对不等式 3l o 7 t ，一5 n 6 1 ( 伊1 ) 从整体上讲，这道题目能够达到多元结构层次的学生占到的比例是六道题目中最大 的，达到了8 2 1 。说明对于各种类型的基本不等式的解法学生可以很顺利地进行逆向思 维，难度不大而能写出指数对数复台型不等式的学生几乎投有，说明对于指数函数对数 函数的理解仍旧是一个难点 对于个别学生的解答，例如编号l 的同学对于此题目的解答： l l 如中数学开破型题难度评价研究 i 尽可能多的写出解为2 】 国4 。8 。嬲 6 的多边形 o04 构不可能是直角三角形 l 3 5 7 不可能是钝角三角形 l3 5 7 高中数学开放型题难j 堑计价爵f 究 大多数学生能够明确认识到正方形、长方形、三角形都是可能出现的图形，也能认识 到圃、椭圆等曲线型的截面是不可能得到的但是极少数学生认为多边形可以超过五个边， 并且不能超过六个边，几乎没有学生可以证明不可能得到直角三角形和钝角三角形 域国画凰 由于学生对于立体几何知识还没有经过系统学习，所以能够读懂题意，并能比较有立 体感地面出可能出现的多边形就是不错的特别是这位同学，画出了五边形，而且相对位 置关系还算比较准确，说明他具备比较强的空问想象能力 2 2 2 各题目难度评价等级分类 根据学生得分情况计算得出平均分和难度系数如下表： 题号类别 满分 平均分难度系数难度评价 i解不等式42 8 9 2 8 5 70 7 2 3 2 1 4 3 i 级 2 证明不等式 41 7 1 4 2 8 60 4 2 8 5 7 1 4 级 3 函数图象 32 2 8 5 7 1 4o 7 6 1 9 0 4 8 i 级 4 解析几何( 形) 5 3 0 3 5 7 1 4o 6 0 7 1 4 2 9 i i 级 5 解析几何( 数) 4l - 4 6 4 2 8 6o 3 6 6 0 7 1 4 级 6立体几何42 2 5o 5 6 2 5级 根据难度系数区分出这六道题目的难度，其中题目l 和题目3 难度系数都在o 7 0 8 之蜘，属于难度较小的题目，难度等级定为1 级；题目4 和题目6 难度系数都在o 5 5 一o 6 l 之删，属于难度中等的题目，难度等级定为i i 级；题目2 和题同5 难度系数都在0 3 5 一o 4 5 之间，属于难度偏大的题目，难度等级定为i i i 级 1 8 商中数学开放型题难度评价日f 究 2 3 实验结果分析 2 3 1 开放型题难度评价 经过上述实验研究和对于题目的具体分析，得出了如下的结果：题目的难度与解决这 个问题可以利用的知识点的广度，所用到各个知识点所需要达到的深度，以及已知条件与 所用知识的联系紧密程度( 下面简称为流畅度) 有关如果用n 表示题目难度系数，用g 表示广度，s 表示深度，l 表示流畅度。t 表示对完成题目的时问限制，那么我们可以建 立下面的函数关系式： n 。q 詈+ 吒击+ ( 1 - q 一嘞) 去，其中z 满足o ( ： l ，即加权系数，反映 了题目对于可用知识点的“广度”、“深度”、“流畅度”的侧重程度 下面按照实验结果中的难度等级分类对于上面的关系式给予说明 第一，题目的难度系数与可用知识点的广度成正比 平均难度系数为o 7 4 的两道i 级难度题目中，达到单一结构层次的答案有 六七种之多，而且大多数( 6 2 ) 答案学生写出豹入数也在总人数的5 0 以上i 平均难度 系数为o 5 8 的两道l l 级难度题目中，达到单一结构层次的答案虽然也达到了六种，但其中 至少有一种答案只有极少数学生能够写出。有5 0 的答案学生写出的人数在总人数的4 0 以上，比上一个难度相应的指数都有所降低；平均难度系数为o 3 9 的两道l 级难度题目中， 达到单一结构层次的答案只有不到四种，而且学生回答的情况比较集中，只能想到其中的 一两种答案，可用知识点明显减少 从以上的数据看来，解决一道开放型题目可以用的知识点越多，学生会感觉到此题目 越容易入手，对于题目本身也认为相对容易些，这与后来与学生的个人访谈的结果是一致 的 第二，题目的难度系数与可用知识点的深度成反比 平均难度系数为o 7 4 的两道i 级难度题目中，到达关联结构甚至抽象结构 的答案也不过足构成不等式组或者直接把字母添加进去作为系数，从知识点本身来讲深度 并不大，而且各种类型的不等式都有学生涉及：平均难度系数为o 5 8 的两道级难度题目 巾，学生对于含参型二次函数和圆的参数方程相当熟悉，所以对于中等程度学生来讲深度 也不大：平均难度系数为o ，3 9 的两道i i i 级难度题目中，对于数值的估算学生接触不多，是 个难点，而对于二次曲线，学生仪仅熟悉抛物线( 还是仅限于初三对于二次函数的认识) 1 9 岛中教学开放型避难度评价研究 和圆，至于椭圆是新学内容，学生在头脑中根本没有非标准形式的椭圆方程 对于两道1 1 1 级难度的题目，学生在后面的个人访谈中也谈到。已经凑出了两个数了， 实在凑不出第三个了”，当我告诉学生可以利用待定系数法写出非标准状况下的椭圆方程 时，有学生的反应是。哦? 对! 这样也行啊? ! ”知识点的深度直接与题目的难度有关系， 这在我们平时的教学实践中也是显然被验证了的 第三，题目的难度系数与已知条件和可用知识点之间的流畅度成反比 平均难度系数为o 7 4 的两道i 缴难度题目中，由于学生对于二次函数包括 1 函数r j + 二( 学生戏称为“对勾”函数) 还是相当熟悉的，所以当构成已知解集的不等式 工 时，他们除了想到常规不等式之外，对于联想到通过观察函数图象而得到结果也是很顺利 的，同样由于函数与解析几何知识相似的地方很多，学生在题目3 中很容易用解析几何的 相关概念和性质去解释函数图象也是很自然的；平均难度系数为o 5 8 的两道i i 级难度题目 中，对于图象平移知识学生在学的时候掌握的就不是很好，对于立体几何的正明又是一窍 不通，所以联想到此解决问题的难度就相对大些；平均难度系数为o 3 9 的两道i i i 级难度韪 目中，有学生后来说；“我就没想过用不等式证明”一一其实所有同学都没有想到这一点， 题目5 也是如此，学生仅仅比较习惯于利用待定系数法求某些方程，但是根本想不到用这 种方法去求系数满足的等量关系 题目中的已知条件与可用到的相关知识点( 特别是一些难度较大的知识点) 之间的联 系越密切学生越容易想到，反之学生认为此题目的难度较大 从以上分析看来，根据实验数据的分类情况，题目的难度系数与“广度”、“深度”、“流 畅度”有很大的相关性当然，影响一道开放型题目的难度的因素还有许多，比如题目的 开放程度，严谨程度、创新程度、背景知识等等 2 3 2 学生解题策略分析 在创新问题x 中，解决x 的研究过程，是通过问题x 的必要条件，从x 的必要条件的 知识中提取x 的信息，并尝试猜测提出x 的假说x 的过程等到假说x 经过正式确立为定 律( 或数学事实) ，这时问题x 得以解决( 张国栋，1 9 9 6 ) 在解决一道开放型题目的过程中，学生根据题目要求把自身的相关知识和技能分类， 以形成解决目前问题的一种整体的技能；或者对原来的技能进行修正，以解决目前的问 2 0 高中数学开放型题难度评价研究 题学生通过对问题的观察，不断检验上述技能能否解决，不断地修正假设如果已有的 知识和技能并不能解决问题，就会对新的方法提出假设并进行尝试如果成功，学生会考 虑是否有类似的例子并发展新的理论戈利斯( c o l l i s ，k f ) 曾经描述了学生解决开放 题的心理模式，( c o n i s ，k f r 蛐b e 喀，t a ，1 9 9 1 ) 如图 问题 l 阅读命题并决定行动的路线 一一一，、- lr a 转换成具体模式 转换成“具体一符号”的模式 上 i b 宅4 造表象，直觉创造新系统中的命题、表征 ， c 根据与给定问题无关 用有关技术与数学 根据“具体符号” 的准则进行处理准则进行处理准则进行处理 ill d 得出与问题无关的解答案转换回原来的情境答案转换回原来的情境 从学生的答卷和个人访谈的情况来看，学生会兼顾上面l 和r 两方面的解决过程，他 们会更偏向于首先找到一个满足条件的特殊的例子。然后借这个例子的特征寻找不同类剐 的相似的答案( 包含抽象的和具体的) ，在这一步学生的发散思维水平就已经显示出了明 显的差异( 比如题目1 找到答案个数至少为6 个的学生有5 7 ，而个数少于4 个的仍旧有 1 4 ) ；下一步对于猜想的结论进行证明( 或者修正) 的过程中更加体现出学生逻辑分析 能力的差异( 比如题目5 ，虽然有高达8 2 的学生考虑了椭圆方程，但是其中把方程写正 确的只占4 3 ，尽管椭圆是刚刚接触的新概念，但是笔者认为完全可以把点的坐标代入方 程去检验结果的正确性，不少学生似乎还没有这种意识) ，而正如同徐利治先生指出的“数 学创造往往开始于不严格的发散思维，而继之以严格的逻辑分析思维，即收敛思维” ( 1 9 8 3 ) ，无论是发散思维还是收敛思维，都是学习过程中需要重点培养的：最后拓展到 其他相关知识的过程更加反映出学生延拓能力的差异 高中数学开放型题难度评价研究 鉴于上面描述的三种类型的差异( 发散思维的差异、收敛思维的差异、延拓能力的差 异) ，可以把学生分成三种类型，根据每种类型学生的弱点分层次进行开放型题的解题i l 练，从而进行更深一步的研究 商中数学开艘型题难度评价研究 第三章本研究对高中数学教学实践的意义 凡具有完备的条件和固定的答案的习题，我们称为封闭题，现行中学课本中的习题大 多数是封闭题封闭题定向性强，有利于在不同条件下重复思维操作，是巩固推力技能和 加深知识理解所必需相比较而言，开放题则可以在不同的经验和能力水平的基础上，通 过自己的观察，提出自己的解题思路，获得多种不同的解题方法封闭题多用于巩固基础 知识，起到了同化作用；开放题在解题过程中要建立新的认知结构，起到了顺应作用在 高中数学教学中，在不同的知识章节。设计出适当的开放题作为学酪思维预测，学中思维 发散，学后思维拓展都能够达到良好的教学效果 例如本次测试中的题目6 ，就是一个很好的学习立体几何之前的学前思维预测题目通 过学生对于这道题目的解答，教师在教授这部分知识之前首先可以从整体上对学生对于此 部分知识的了解程度有一个宏观的认识其次可以发现不同层次的学生的空间想象水平， 第三可以在学前就找到不同学生对于这门学科的思维弱点 从学生的角度来讲，正是由于丌放题的。开放性”的特征，使之成为大多数学生都可 以喜欢完成的数学题目的类型以岛田茂为首的一个日本数学教育学者小组，在1 9 7 1 年 以后曾经对开放题进行了颇有特色的研究，这个小组的成员之一日本筑波大学能用伸彦认 为，数学教育应向学生提供这样的开放题，它“能够让学生了解问题的主题材料，而问题 并没有唯一正确的解答，因此就像学生提供了用他们所最喜欢的解决问题的方法的机会” ( 1 9 8 4 ) 对学生进行开放题解题训练是提高学生高层次思维能力的很好的方法对于不同层次 的学生，其知识水平、智力因素和非智力因素都有一定差别，其解题能力相应也有一定差 别通过给予开放题适当的难度评价，对于不同层次的学生因材施教，最终会达到最有效 的教学效果 岛中数学开放墅题痱j 童评价研究 第四章本课题创新之处及不足分析 本课题的创新之处有以下几点：第一，将丌放型厨进行难度评价研究；第二，利用i o 分类评价对于学生完成题目情况进行分析；第三，根据学生完成情况对学生分层，指出培 训要点 本研究仍旧有些不足之处，比如对于学生做题状况进行难度评价在本研究中经历了很 多翻柬覆去的过程，从一开始集体测试，发现有些思维过程在试卷中无法体现，后来又采 取个人访谈的方式而且谈话内容相当具体才可以充分了解学生的思维状况从这一点来 看，这种量化评价和质性评价相结合的方式在实践中不是很容易操作 再比如说难度评价的客观性问题作为封闭题来讲，由于有确定的答案，很容易制定 出比较规范的评分标准，但是对于开放型题目由于本身不可预测的丌放性，仅仅用文中 谈到的五个层次来评价还是带有一定的主观因素的，特别是不同的评价者的看法也不尽相 同不过，通过后续研究工作的进一步深入，相信在这个方面一定还会有更完善的成果 参考文献 1 张国栋数学解题过程与解题教学北京：北京教育出版社，1 9 9 6 ( 1 0 8 ) 2 戴再平数学习题理论上海：上海教育出版社，1 9 9 6 ( 9 8 ) 3 徐利治数学方法论选讲华中工学院出版社，1 9 8 3 ( 5 7 ) 4 郑毓信问题解决和数学教育南京：江苏教育出版社，1 9 9 4 ( 1 0 3 ) 5 戴再平开放题一数学教学的新模式上海：上海教育出版社，2 0 0 2 ( 3 0 ) 6 刘学质问题解决在美国和日本数学教学，1 9 9 3 ，2 7 孙联荣、凌国华对一道常规题的开放性设计数学教学2 0 0 2 ，2 8 龚雷数学开放题的分类中学数学( 湖北) ，1 9 9 5 ，4 9 单庆国”正方体的截面形状。教学纪实数学通报，1 9 9 4 ，1 2 1 0 罗琦薇”充要条件”的”丌放性”教学模式设计数学教学，1 9 9 8 ，3 1 1 刘萍建构观下数学开放题的教学探索数学通讯，1 9 9 4 ，4 1 2 杨正浩。创设数学开放题形成学生攘究习惯的实例分析数学通报，