（概率论与数理统计专业论文）一类在边界上逗留后随机跳的扩散过程.pdf

摘要 对于在有限区间( ，) 上的扩散方程= u x x ，通常加上初始条 件u ( o ，x ) = 厂( x ) 和两个边界条件p , u ( t ，i ) + ( 一1 ) q ，“，( ，) = o ，i = o ，1 ，这样 得到有经典边界条件的扩散方程。然而，各种概率因素以及长期以来 在基因模型中出现的在边界上有概率质量聚集的现象使我们清晰地 认识到除了经典的边界条件外还存在一类新的边界条件。从物理的角 度说，存在这样的过程，它在边界上被吸收，然后在该点逗留一段有 限的时间后又渗入到区域内部。 为刻划这一现象，1 9 5 4 年f e l l e r 在边界上引入了有限的逗留 时间并且把这类过程称为一基本的返回过程”。这是一类重要的过 程，f e l l e r 指出通过把“基本返回过程 加上任意的“弹性边界过 程 我们可以得到与k o l m o l g r o v 向后方程相联系的所有扩散过程。 k a r l i n ( 1 9 8 1 ) 指出，对于一个扩散过程非零的逗留时间不可能在区 域内部点发生，也就是说指数逗留时间仅仅只在边界点上可能发生。 基于这些结果，本论文讨论按以下方式得到的在d cr d 中的过程： 在击中边界以前，过程与在d 中的扩散过程一致，当到达边界 f a d 时，过程在该点等待一段独立的服从指数分布的时间，然后 离开 0 ，我们有 协 北圳( y 叫2 刮x ) o 广j + f l m i m l re 只( x ，a y ) ( y x ) = 6 ( j c ) l i m l f ( p , ( x , 尺) 一1 ) = c ( x ) 对每个x r 存在。 从物理的角度说，极限a ( x ) 可以解释为在x 处瞬时速度的方差，极限 6 ( x ) 解释为均值。 进一步假设转移函数只关于l e b e s g u e 测度砂有密度p ( t ，x ，y ) 。 直观 上，密度p o ，z ，少) 表示从初始状态x 出发，时刻在状态少的概率。在一定 的正规性条件下，k o l m o g o r o v 证明了对固定的y ，密度p ( t ，x ，y ) 是c a u c h y 问 题的基本解： 害：盟窖+ 6 ( x ) 罢州咖， ，020 a t x 2 、瓠 、h 忉比z ，y ) = 万( x y ) ( 1 1 1 ) 对固定的x ，p ( ，x ，y ) 是下面c a u c h y 问题的基本解： 考= 等c 掣p 一扣肿毗m 舢 0 i l 骖 s+xs xrx 所 磐1一， 嘶 艮极d0 博士学位论文第一章绪论 l ! m p ( t ，x ，y ) = 8 ( y x ) ( 1 1 2 ) 4 0 这里万是d i r a c 测度，万( x y ) 表示在y 的单位质量。因为我们把末状态( 变量 y ) 看成是固定的而让初始状态( 变量x ) 变化，方程( 1 1 1 ) 称为k o l m o g o r o v 向后 方程。方程( 1 1 2 ) 称为k o l m o g o r o v 向前方程，这个方程也称为f o k k e r - p l a n c k 偏微分方程。在布朗运动情形下，方程( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 变成经典的扩散方程： 一o p ：一1 堡 r 0 8 p 1 1 a 2 p印 d 。 一= = 一一 a t 2 砂2 ， 0 相反地，k o l m o g r o v 提出了由解给定的f o k k e r p l a n c k 偏微分方程( 1 1 2 ) 去构造马尔可夫转移函数。 需要指出的是虽然向前方程( 1 1 2 ) 比向后方程( 1 1 1 ) 更直观，但关于 函数口和b 的规则条件比向后方程中的更严格。这表明，从分析的角度说，向 后方程比向前方程更方便。 1 9 3 6 年，w f e l l e r 用经典分析的方法解决了这个问题，他证明了在一定 的关于a m b ，c 的规则性条件下，方程 p ( t ，z ，y ) 并且这个解决定一个马氏过程。 的马氏过程具有连续的轨道。 ( 1 1 1 ) ( 或者( 1 1 2 ) ) 有唯一的解 1 9 4 3 年，r f o r t e t 证明了这些解对应 另一方面，s n b e r n s t e i n ( 1 9 3 8 ) 和p l e v y ( 1 9 4 8 ) 通过随机微分方程 用概率的方法解决了这个问题。 二十世纪五十年代，马氏过程理论研究进入了一个新的发展阶段。泛函分析 中关于半群的h i l l e - y o s i d a 理论使得马氏过程进一步发展成为可能。下面我们 用半群理论来表示k o l m o g o r o v 向前和向后方程。 令k 是一个局部紧可分的度 量空间，b ( k ) 是k 上的实值，有界的b o r e l 可测空间，b ( k ) 是一个b a n a c h 空 间，其范数为 l l 厂“= s u p l f ( x ) l j e r 我们用下面方式把k 上的马氏转移函数a 用一族b ( k ) 上的线性算子 z ) 脚联系起来： z 厂( x ) = n ( x ，d y ) f ( y ) 厂b ( k ) r 这样，算子z 是b ( k ) 上是非负的，收缩的： 2 博士学位论文第一章绪论 f 召( k ) ，0 f ( x ) 1 ，x kj0 r , f 1 并且，由c h a p m a n k o l m o g r o v 方程得到： z + ，= z if ，j 0 另外，有7 0 = ，= 单位算子。 h i l l e y o s i d a 定理要求半群 z 。卸是强连续的： l ，i j m 。i it , f f l l = 0 ， 厂召( k ) 即 l i ，m s ，u 。p k i p ( x ，d y ) f ( y ) 厂( x ) i = o ，厂b ( k ) 定义半群 丁， 的无穷小生成元： 么厂：l i m 型 。t l o ， 要求极限在b ( k ) 上存在。这样由h i l l e y o s i d a 定理知半群7 ：可以表示为： z = e 叫 由此可以看出， 无穷小生成元a 完全决定半群z 。与 z ) 有关的指数微 分方程 丢( 聊= 彳( t t f ) 是k o l m o g r o v 方程的推广。 另一方面， 令m ( k ) 是k 上的b o r e l 测度空间：m ( k ) 是有全变差范数的 b a n a c h 空间。若m ( k ) ，令 u ( e ) = ( 出) 只( x ，e ) ， e b k 算子u 也是m ( k ) 上的收缩半群。半群u 有以下概率解释：若是初始概率 分布， 则u 可以看成t 时刻的概率分布。 微分方程 丢( 眇( 蚶) 2p ( 邪) 是k o l m o g o r o v 向前方程的推广。 若t 7 , 是马氏过程x 的转移函数，则半群 z ) 的生成元称为过程石的生 博士学位论文第一章绪论 成元。 取z = 6 ，l b ( k ) ，我们有 l f i j m 。b ( x ，) = 1 x e k 注意到最重要和有趣的布朗运动的转移函数并不满足这个条件， 因此，我们转而考虑连续函数而不是可测函数。 令c ( k ) 是k 上实值有界的连续函数；c ( k ) 是一个b a n a c h 空间具有范数 i i 厂i | - s u p i 厂( x ) l j e k 令c o ( k ) 是c ( k ) 中所有满足l i m ，+ 。f ( x ) = 0 的连续函数构成的子空间； c o ( k ) 是c ( k ) 的闭子空间。注意到，若k 是紧的，则c 0 ( k ) 与c ( k ) 是一样的。 下面我们引入一条有用的规则：令f ( o ) = 0 ，则k 上任何一个实值函数可以 延拓到妫= kk 3 o ) 上。因而c o ( k ) 与c ( 巧) ( 所有满足f ( o ) = 0 的连续函数 构成) 是一样的。 下面我们把k 上的转移函数延拓到k o 上的转移函数仍： b ( x ，e ) = 仍( x ，e ) ， x k ，e b b ( x ， 0 1 ) = 1 一只( x ，k ) x k p ，( a ，k ) = 0( a ， 0 1 ) = 1 一个马氏转移函数n 被称为f e l l e r 函数若满足： t j ( x ) = i 仍( x ，d y ) f ( y ) ； 当厂有界时，t , f ( x ) 关于x k 是连续函数并且在k 上是连续的。也就是 说，f e l l e r 性等价于c ( k ) 关于z 是b ( k ) 的不变子空间。 以上从分析角度介绍了的转移函数，半群和无穷小生成元， 接下来我们结 合具体的扩散过程。 扩散过程是连续时间参数，并且其样本轨道也关于时间，连续的马氏过程。 扩散过程是一类很重要的马氏过程，研究扩散过程有很多理论和现实意义： 1 许多物理、生物、经济、以及社会现象可以合理地用扩散过程作为模型， 或者可以用扩散过程很好地逼进。例如大量相互作用的粒子的微观运动，完全市 场中价格的浮动，有噪音的交流系统，有干扰的神经系统的生理行为，人1 ：3 增长 4 博士学位论文第一章绪论 的变化，有竞争和种群之间其它相互关系的物种数量的变化以及在进化过程中基 因的替代等等。 2 对于一维扩散过程的许多泛函，诸如首中概率，平均吸收时间，逗留时分 布，边界行为的性质以及平稳分布等都能够明确地算出来。这些计算最终归结为 解一个有简单边界条件的二阶微分方程。原则上来说，这些公式和计算可以推广 到多维扩散过程，但这里涉及到偏微分方程，而这些偏微分方程的显示解通常难 以找到。 3 通过时间尺度变换和正则化状态变量，许多马氏过程都能够用扩散过程 逼近。 下面我们给出扩散过程以下几种等价的刻划： ( a ) 用无穷小系数定义扩散过程： 扩散过程由无穷小均值和方差决定，通常无穷小均值称为漂移系数，无穷小 方差称为扩散系数。 ( b ) 扩散过程的s t r o o c k v a r a d h a n 鞅n 戈l j ： x ( ，) ，t 之0 是一个无穷小系 数为( 石) 和仃2 ( x ) 的扩散过程的充要条件是对每个有界并r - 次连续可微的 函数厂( z ) ， 随机过程 z j ( f ) = 厂( x ( f ) ) 一厂( x ( o ) ) 一【扣2 ( x ( s ) ) 厂”( x ( s ) ) + 4 x ( s ) 厂( x ( 5 ) ) 】豳 是鞅。 ( c ) 随机微分方程： 在模拟物理，生物以及经济现象中一个有用的工具就是随机微分方程的概念 和随机微分方程的解，扩散过程是随机微分方程的解。 ( d ) 生成元：一个扩散过程可以用如下形式的生成元刻划： l f = 1 20 2 ( x 万d 2 厂州x ) 丢厂 其中，厂是有界并且二次连续可微的。 下面我们给出f e l l e r 半群的定义及其无穷小生成元的一些具体例子：令 k 是局部紧的可分的度量空间，g ( k ) 是k 上的在无穷远点a 消失的连续函 数，若b 是k 上的一致随机连续的g 转移函数，则其相应的定义为： 博士学位论文 第一章绪论 z ( x ) = i 易( x ，d y ) f ( y ) ，f c o ( k ) ； 的算子构成k 上的f e l l e r 半群。当有时不能把转移函数写出来时，用无穷小生 成元去刻划一个过程就很重要了。本文正是用生成元去刻划一类在边界上逗留后 随机跳的扩散过程。为了对无穷小生成元有清晰地认识，下面我们给出一些简单 的f e ll e r 半群的无穷小生成元： 一致运动k = r d ( a ) = f c o ( k ) ，f c o ( k ) ) a f = v f 泊松过程k = r d ( a ) = c o ( k ) a f ( x ) = 旯( 厂( x + 1 ) 一厂( x ) ) ， f d ( 彳) f d ( 彳) 注意到算子彳不是局部的，因为值( x ) 取决于值f ( x ) 和厂o + 1 ) ，这反 映了泊松过程通过跳改变状态。 布朗运动k = r d ( a ) = f c j ( k ) ，f c o ( k ) ，f ”c o ( k ) ) = 三广 厂d ( 彳) 注意到算子a 是局部的，即值 ) 由厂在x 的任意小的邻 域决定。这反映了布朗运动通过连续运动改变状态。 有常数漂移的布朗运动k = r d ( a ) = f c o ( k ) ：f c o ( k ) ，f ”c o ( k ) ) a f ：i 1 ”+ 彤- 柯西过程k = r 定义域d ( a ) 包含k 上的有紧支撑的c 2 函数，无穷小生 成元彳有形式： ( 加昙n m 圳川) _ 2 m ) 】軎 有反射壁的布朗运动 d ( a ) = 厂c o ( k ) ，f c o ( k ) ，f ”c o ( k ) ，f ( 0 ) = 0 ) 4 f = 三1 ” 厂d ( 彳) 6 博士学位论文第一章绪论 有粘性壁的布朗运动 d ( a ) = f c o ( k ) ，f c o ( k ) ，f ”c j ( k ) ，f ”( 0 ) = 0 ) 矽= 吾广 d ( 彳) 下面的两个例子说明，当我们很难找出过程的转移函数时，无穷小生成元是 刻划过程的基本工具： 有反射和粘性壁的布朗运动 k = o ，0 0 ) d ( a ) = f c o ( k ) ，f c o ( k ) ，f ”c o ( k ) ，厂( o ) 一c t f ”( 0 ) = 0 a f = 互1 厂” 厂d ( m 其中口是正常数。这个过程可以看成反射和粘性布朗运动的结合。反射 和粘性的情形可以由口专0 和口- 9 o o 得到。 带吸收壁的布朗运动 k = 【o ，0 0 ) ，其中边界点0 和无穷远点a 是一样的： d ( a ) = f c o ( k ) ，f c o ( k ) ，厂”c o ( k ) ，f ( o ) = o a f = 寺厂” f d ( a ) 二 这表示x = 0 是布朗运动的吸收壁：作布朗运动的粒子在一到达边界 x = 0 时就消失了。 应该指出的是，一个强马氏过程不可能在某一位置呆一段正的时间后连续地 离开那个位置，它要么跳走，要么马上离开那个位置。下面我们给出一个强马 氏过程，它的状态的改变不是因为连续的运动，而是因为过程到达边界后的跳引 起的，这类过程正是本文要讨论的在边界上逗留后随机跳的扩散过程。 令 k = 【o ，o o ) d ( 彳) = 厂c o ( k ) ，厂c o ( k ) ，f ”ec o ( k ) ，f ”( o ) = 2 c i ( f ( y ) - f ( x ) ) d f ( y ) o 4 厂= 三广 厂d ( 彳) 其中c 是正常数，是( o ，o o ) 上的分布函数。 我们这样来解释这个过程：当作布朗运动的例子到达边界x = 0 时，它在那 点逗留一个正常数的时间，然后跳回到( 0 ，0 0 ) 内的一个随机点，该点的分布为f ， 常数c 是在边界x = 0 等待时间分布的参数。我们注意到边界条件 7 博士学位论文第一章绪论 厂”( o ) = 2 c ，( 厂( y ) 一厂( x ) ) 卵( y ) o 依赖于厂在远离x = 0 处的值。 1 2 研究现况 扩散过程是概率理论中活跃而富有成果的分支之一，其研究相当深入，而且 还在蓬勃发展中。随着现代科学技术的发展，很多在应用中出现的扩散模型的研 究得到越来越多的重视。最近，很多国际的概率论学者研究从边界有随机跳的扩 散过程。b u r d z y ，h o l y s t 和m a r c h ( 2 0 0 0 ) 研究了以下的f l e m i n g v i o t 分枝过 程。考虑n 2 个粒子在一个有界的区域dcr j 中作独立的布朗运动，当其中 一个粒子碰到边界时，它随机地选择其它一1 个粒子中的一个并且马上跳到这 个粒子的位置，然后过程继续运动直到下一个粒子击中边界，这样的机制重复循 环。该文章的其中一个结果就是这个过程指数收敛到不变分布。b e n a r i 和 p i n s k y ( 2 0 0 8 ) 指出这个f l e m i n g v i o t 分枝过程其实是从边界有随机跳的扩散 过程的一个具体例子。他们用对偶方法和谱半径公式推广了b u r d z y 等的结果。 更多有关从边界有随机跳的文献可以参阅g r i g o r e s c u 和k a n g ( 2 0 0 2 ) ， k o s y g i n a ( 2 0 0 6 ) ，l e u n g ，l i 和r e k e s h ( 2 0 0 8 ) 等。 从边界上有随机跳的扩散过程是一类较为理想的模型，这类过程要求粒子一 到达边界就马上跳回区域内部，但在实际中我们观察到的更多的是在边界上有概 率质量的现象，因此有必要研究在边界上有概率质量的扩散过程。1 9 5 4 年f e l l e r 最先提“e 1 e m e n t a r yr e t u r np r o c e s s ，他注意到由于各种概率因素以及长期 以来在基因模型中出现的在边界上有概率质量聚集的这个现象，使得我们更清晰 地意识到除了经典的边界条件外，还存在一类新的边界条件，它对应于过程在边 界上有概率质量的模型。从物理意义上来说，有这样一类过程，粒子能够被吸收 并且在吸收点停留一段有限的时间，然后它渗入到内部，这种现象其实对应一类 新的边界条件粘性边界条件。受l i g g e t t ( 1 9 8 5 ) 接触过程的启发，我们可以 按以下方式把边界理解为“可以感染的 ：当粒子在区域内部做扩散运动时，我 们把它视为“健康的”，但当它击中边界时，这个粒子被“感染”了，并且在这 个边界点上停留一段指数长的时间后，它恢复“健康”且跳到区域内部的一个随 机点，然后从那里开始作扩散运动，每次到达边界后就“感染”，经过一段指数 时间后恢复“健康”马上跳到区域内部，这个过程重复循环。 下面我们把这种现象纳入数学模型中具体讨论： 考虑在( ，) 上的规则扩散过程，假定，是规则点。我们知道，决定样本轨 8 博士学位论文第一章绪论 道的无穷小刻划仅适用于在区域( ，) 内部的点，而在边界点，上的行为需要具 体地讨论。在边界上的一种可能的行为是下面的过程：当到达，时，过程在这点 等待一段服从指数分布的随机时间后跳到区域内部，而在到达边界以前，过程在 区域内部( ，) 的转移就由无穷小参数决定，这里在边界上的逗留和跳是独立的。 总之，过程由两部分决定：首先是在到达边界以前在区域内部连续的运动；第二 部分是每次到达边界时，过程在该点逗留一段指数时间，然后过程随机地跳到 u ，) 。 一个有趣的问题就是，与在边界上逗留和跳的现象相对照，我们自然会问这 种逗留和跳的现象在区域内部会发生吗? 我们知道，由扩散过程的定义，一个扩 散过程不可能有不连续的跳，但问题是是否在( ，r ) 中存在一个状态c 使得过程 每次到达状态c 时，一个独立的随机的逗留时间在这点发生，然后过程继续以 连续的方式运动。当然，为了保持马氏性，在每一点的逗留时间都是指数分布。 考虑从c 出发的过程，假定它在c 点等了一个指数时间，然后以连续轨道 离开。下面我们将说明，由于强马氏性，以及x ( f ) 是一扩散过程事实使得这种 状态c 不会出现。令刁是首次离开c 的时间，其中x ( o ) = c 。下面我们证明 r 是一个马氏时间，即 缈，仉( 国) t ) e 对每个t 成立。也就是说， 要知道事 件 仉 ，) 是否成立，我们只要知道过程在，时刻以前的所有值( j ) ，j ，。但 由于轨道的连续性， 仉 f 意味着存在某一有理数s f 使得x ( s ) c 。 显然， 事件 x ( s ) c ) 关于只cf 是可测的，因而刀是一个停时。 令a 是( ，) 的b o r e l 子集，我们证明 p x ( 仉+ ，) ax 0 7 。) ，x ( o ) = c ) p x ( f ) alx ( 7 7 f ) )( 1 2 1 ) 事实上，令p ( t ，口，x ) 表示过程x ( f ) 的转移函数，即 p ( t ，c ，x ) = e ( x x o ) x + 出lx ( o ) = c ) 由于轨道是连续的，我们得到x ( 仉) = c 。 由全概率公式和强马氏性得到 ( 1 2 1 ) 的左边为 pp l ip o f ，c ，y ) 砂) 他以7 d r ( 1 2 2 ) 0a 另一方面，( 1 2 1 ) 的右边等于 ，p ( t ，f ，y ) d y ( 1 2 3 ) 只有当允= 时，( 1 2 2 ) 与( 1 2 3 ) 相等，也就是说从c 跳出去是瞬时的。 ( 1 2 1 ) 的矛盾只有当e r l = 0 时，对所有c ( ，厂) 才成立，或者样本轨道是不 o 博士学位论文第一章绪论 连续的。特别地，对于一个扩散过程，非零的逗留时间不可能在状态空间内部的 点发生。 1 3 关于本文的工作 令dcr d 是一个有界开区域，d = d u 0 9 ，d r h 0 9 = o 。令 1 三= 兰v 口v + 6 v 是d 上的一个二阶椭圆算子。假定d 有c 2 口边界，a = q ，) 是 z 正定的并且口中的元素都在c 2 4 中，b = ( 岛，) 墨。并且b 中的元素都在 c l d ( r d ) 中，口( 0 ，l 】。我们考虑按以下方式得到的过程：过程在dc r d 中是 扩散过程，当它到达边界f a d 时，过程在这一点逗留一个参数为易的指数 时间，之后它离开边界f 按照分布n 跳到内部一个随机点，这个机制重复进 行。我们把这类过程称为在边界上逗留后随机跳的扩散过程。由于每次在边界上 停留一段指数时间，这个过程仍然是马氏过程，但是不可逆。 本文用更新理论得到在边界上逗留后随机跳的扩散过程的平稳分布，并且用 生成元和平稳分布的关系证明了所得到的平稳分布是正确的，这区别于 b e n - a r i ( 2 0 0 8 ) 研究在边界瞬时跳( 没有逗留) 的扩散过程的平稳分布时从定 义出发来验证所得到的平稳分布，因为对在边界上逗留后随机跳的扩散过程我们 很难从定义去验证平稳分布。我们用预解算子的方法得到无穷小生成元，其理 论基础就是f e l l e r 关于无穷小生成元与预解算子的值域关系的论述，即无穷 小生成元的定义域本质上就是预解算子的值域，知道这个值域和微分算子形式就 能唯一地决定无穷小生成元。 本论文主要研究在边界上逗留后随机跳的扩散过程的遍历性，通过预解算子 的方法，我们得到能唯一决定该过程的生成元。由d o e b li n 条件，我们证明该 过程存在唯一的平稳分布，并且根据更新理论给出了平稳分布的公式。由对偶方 法和谱半径公式，我们证明该过程指数收敛到平稳分布，并且收敛速度就是一个 与生成元有关的微分算子的谱隙。最后，我们指出在边界上逗留后随机跳的扩散 过程对应于偏微分方程中的非局部和粘性边界条件，从这个意义上说，这类过程 为偏微分方程提供了广阔的概率背景。 1 0 博士学位论文第一章绪论 本文得到下列三个主要定理： 定理1 3 1令 s = f e c 2 ( 酬川。 州弘0 1 ) ，。，鲰m ) 2 点m 比o ) 一( 鲫 三表示三在s 上的限制，则三是d 维在边界上逗留后随机跳的扩散过程的 生成元。 定理1 3 2d 维在边界上逗留后随机跳的扩散过程的平稳分布是 ( 砂) = 否1 其中b = ，1 咖( f ) + g ( ，z ) 出， m 是边界上的不变测度， g ( x ，y ) 表示 a dd p d ( ，x ，y ) 的格林函数，即 g ( 圳) = p 。( t , x , y ) d t 0 定理1 3 3d 维在边界上逗留后随机跳的扩散过程指数收敛到不变分布，并 且收敛速度是一个微分算子的谱隙： 1 1 i m l ns u pi le 厂( x ( f ) ) 一巳f 忆= 乃( 棚，0 ) o _ + 。f i l f l l 。s l 。 其中 乃= s u p r e 2 ：0 五o p ( 爿) ) 么是对偶半群的生成元。 博士学位论文第二章一维在边界上逗留后随机跳的布朗运动 第二章一维在边界上逗留后随机跳的布朗运动 2 1 介绍及基础知识 在这一章我们讨论一维在边界上逗留后随机跳的扩散过程的特例布朗运 动，因为从最简单的出发我们往往能看清问题的本质。我们用生成元刻划一维在 边界上逗留后随机跳的布朗运动，这类过程和格林函数有着很密切的联系。我们 知道格林函数在概率和物理上都是一类很重要的函数，下面我们从概率角度来理 解格林函数。首先介绍离散时间马氏链的格林函数：对于状态空间为 o ，l ，2 n ) 的离散时间马氏链，定义格林函数是方程( 尸一i ) g = 一，g ( o ) = g ( 2 n ) = 0 的解， 其中i j 是示性函数， 即当状态为，时，取1 ，当为其它状态时，取0 。g ( f ，歹) 是 从i 出发的马氏链在f = t o 互以前回到状态j 的平均次数并且 互( l ) = g ( i ，) 厂( ) 引理2 1 1 假定马氏链从0 ， f ) 的几何分布。引理得证。 在连续时间时，我们定义格林函数g ( f ，) 是方程劣= 一，的解。g ( i ，) 是从状 态i 出发的马氏链在状态，逗留的平均时间并且 巨r 厂( t ) 凼= g ( f ，) 厂( _ ，) j 引理2 1 2 假定从0 i f ) 的几何分布，并且每次访问持续的时间的均值为 1 q j 。得证。 当状态空间连续时，类似于前面两种情形，定义格林函数g ( x ，y ) 是方程 l g = 一的解，其中或是在j ，点的质量。然而，解这个方程要求用到对“广义函 数的计算。为使问题简单，我们将定义区间【“，1 ，】上的格林函数g ( x ，y ) 具有性 质： g ( 工) = ff ( y ) g ( x ，少) 砂满足l g = 一 对u 石 v 有g ( u ) = g ( ，) = 0 下面我们考虑一般的扩散算子： 五厂( x ) ：( x ) ，( x ) + 昙盯z ( x ) 厂”( x ) 口 x 0 ， x ，。 令 s ( x ) = e x p 一f 2 f f 考：) a 2 ( 善) 】d 孝) 7 x ， o 引入扩散过程中基本的尺度函数和速度密度： s ( x ) = cs ( r ) d r = re x p 一【2 ( 孝) 口2 ( f ) 】d f 矽刁 ， x ， ，刀( x ) = 1 a 2 ( x ) s ( x ) 】 ， x 厂 ( 2 1 1 ) 可以写成： 珈，= 三c 丽赢，丢c 志掣， 为得到三的一个更简洁更有意义的表达式，我们把j ( x ) = d s ( x ) d x 记成微分形式 d s = s ( x ) a x 类似地，把速度密度记成微分形式：d m = m ( x ) d x 。 用这些微分记 号，算子三可以简写成： 驰，毛杀t 警， 博士学位论文 第二章一维在边界上逗留后随机跳的布朗运动 上面的形式称为扩散过程的无穷小生成元的规范表示。 口，b 】上扩散过程的格林函数g ( x ，f ) ： 2 匦兰! 二坠坐盟二兰剑士口x f 6 s ( b ) - s ( a )盯2 ( 孝) s ( f ) 7 2 【兰! 垒! 二兰! 兰! ! 兰! 圭出塑1 l口f x 6 s ( b ) 一s ( a ) 盯2 ( f ) s ( 孝) 7 g ( x ，孝) d 孝表示从x 出发的扩散过程在击中边界前在区间【孝，孝+ 孝) 逗留的平均 时间。 一个重要的结论是： 引理2 1 3 若l ，= 瓦 l 是过程离开( “，1 ，) 的时间， 则 t l ，2j 。g ( x ，y ) d y 为研究过程在边界的行为，我们考虑最特殊的布朗运动： 令 x ( t ) ：，0 ) 是标准布朗运动，其无穷小参数为a ( x ) 兰0 ，仃2 ( z ) 三l 。 显然 ，j1 s ( x ) = e x p - 2 1 ( 孝) 盯2 ( f ) 】d 孝) = l s ( x ) = x 是尺度测度，从x 出发的过程在达到a 之前先到达b 的概率为 厶( x ) ：_ _ x - a ， 口x 6 d 一口 布朗运动的速度密度为 吣) = 去卅 区间【口，b 】上的格林函数g ( x ，善) 为 2 ( x - a ) ( b 一善) ( 6 一口) 2 ( 与x - a ) ( b x ) ( 6 一日) a x 善b 口f x b 直接计算可得到在区间【口，b 】的平均逗留时间为 e 【乃6i x ( o ) = z 】= ( x 一口) ( 6 一x ) 口x b 1 4 博士学位论文第二章一维在边界上逗留后随机跳的布朗运动 记m j = m c ，d 】im ( x ) d x ， j = c ，d 】c ( ，) 由于在边界上逗留后随机跳的马氏过程跟边界的性质有关，因此我们有必要 对边界进行分类，这里我们沿用k a r l i n 对边界的分类： ( a ) 规贝, g ( r e g u l a r ) 边界 扩散过程既能从规则边界进入某一区域，又能从该边界离开此区域。我们可 以把边界点本身给一个速度m ，) 】，根据m 例取值的不同，过程可以是吸收 扩散过程( m 【 ，) 】= o 。) ；可以是反射扩散过程( m ，) = 0 ) ；而介于吸收和反射之 间的行为0 m 【 例 是粘性( s t i c k y ) 边界现象，即在边界逗留一段正的时间，然 而，这个时间段并不是一个区间段，因而不能用初等的方法描述。 另一种可能就是在首次到达规则边界后让过程从状态空间内部从新开始，尽 管这样的过程仍然可能是马氏的，但由于样本轨道不是处处连续的，它并不是严 格意义上的扩散过程。然而，这样过程的转移密度将仍然满足向后方程，事实上， 当这样的过程在区域内部运动时，它与通常的扩散过程是没有区别的，因而研究 扩散过程的技巧可以用来研究这类过程。 一个边界点是规则的，我们只要验证：s ( i ，x 】 o o ，m ( i ，x 】 ， ( b ) 溜出( e x i t ) 边界 一个溜出边界必须满足： l ! m l ! m p t b 0 l ，v 该表达式的意思是：从1 ( 即初始位置x 接近1 ) 出发，不论 b 与1 多么靠近，过程都不可能到达内部的任何一状态b 。 通过下面方式，我们仍然可以得到一个马氏过程：当过程到达边界后，让它在该 边界上逗留一段服从指数分布的时间，然后然后过程随机跳到状态空间的区域内 部( ，) 。若这样的轨道不连续性不会发生，即若马氏过程是扩散，则溜出边界 1 必须是一个吸收点。 一个边界点1 是溜出边界，我们只要验证： 乏：( ，) = i ，m x ，孝】搬( 孝) ， m ( i ，x 】 o o ， ( c ) 溜入( e n t r a n c e ) 边界 由于在很多应用中，有可能考虑过程从边界点开始，因而一个e n t r a n c e 边 界意味着过程不可能从状态空间内部到达边界。这样的过程很快地进入状态空间 的内部，但永远都不能到达溜入边界。一个边界点l 是溜入边界， 我们要验证： s ( z ，x 】- ， ( z ) = f s 【x ，善】谢( 善) f 】西+ j p 一加 e 厂( 置) ，_ ， 斫 00 = g a f ( x ) + ，p 劫，f ( o ) t g o e - e 咿d m d p ，( r l j lx ( ) = o ) ( 1 - x ) a r t + 0 0i - s 了p m ，r ：厂( j ，) p ( t - s - 聊，y ) a y e o e - a o m d m d p ，( f 。s x ( 1 ) ：o ) ( 1 - x ) a t + j p 砌，f ( 1 ) o l e - 日, d m d p ，( r , s l x ( ) = o ) x 衍+ 00i - - $ i e - m i ，f ( y ) p ( t - j 一所，嵋，y ) d y o e - e , = d m d p x ( r i j i x ( r 1 ) = o ) x d t 0000 对于第三项，令r s = u ，交换积分次序后得到 ( 1 - x ) ，e - u ：厂( y ) p ( 甜一m 胍y ) d y o o e - 觑o d m d p ，( _ f 一甜ix ( r 。) = o ) d t ：( 1 - x ) j 鼽巾( u - m , w ) d y o o e - e ：了e - a 皿( 嘲圳m ) ：o ) d u d m d t _ ( 1 叫) 印川愀护。 r a f ( ) 熹 其中r a f ( ) = i r a 厂( x ) d v o ( x ) ； 第二项 i e - m i ，f ( o ) o o e - 日o d m d p x ( r i s i x ( r i ) = o ) ( i - x ) a t 1 7 博士学位论文第二章一维在边界上逗留后随机跳的布朗运动 _ ( 1 吖) 们) 六驰啸 ( 1 ) = 。】 因此 心m ) = g f ( 卅( 1 _ 彤( 。) 去驰啸 ( 栌。】 + ( 1 一x ) 万o o e ， p 咖ix ( 1 ) = 。 r a f ( ) + 矿( 1 ) 万啬e p - “ix ( _ ) - 1 】+ x 南e 旷奶i x ( _ ) = 。 r a f ( u ) 2 嗍卅乏( 器+ 寿i 坝删让嘲h 以讹h ) 由于 e 【e 一- 1x ( _ ) ) = f 】只( x ( 1 ) = f ) 关于力一1 2 调和，并且 ( 旯一三) 嘭厂；厂，因而 ( 五一丢) r a f = 对每个f c ( 【o ，1 】) 成立。 特别地，对f o d ，我们有 ( 五一三) 马厂( f ) = 厂( n f o d 另一方面， 对f o d ，q 厂( 告) = 0 ， 坝伊磊( 器+ 南坝删让嘲闳栌帜( m h ) 对固定的i = 0 ，1 ，有 驰嘲刮= 躲| ，删卅= 骺0 我们得到 w ) = 器+ 南m 吵删或1 0 令r ，f ：甜。则 1 8 博士学位论文第二章一维在边界上逗留后随机跳的布朗运动 阶器+ 南叱， ( 兄一寺) “( f )织 = 弓t 了一+ 者甜( k ) 8 ，+ 丸8 ，+ 丸、。 由代数运算得到 甜( f ) = 甜( 匕) 一万1i 1 甜( f ) ( 2 2 1 ) 这就是一维在边界上逗留后随机跳的布朗运动的生成元。 定理 2 2 1 一维在边界上逗留后随机跳的布朗运动的哦无穷小生成元是1 2 在s 上的限制： 3 = f e c 2 ( 0 1 】) 厂( f ) = ( 比) 一击三矽( 纠 2 3 平稳分布 推论( l i g g e t t ) 假定d 是生成元上的核， 过程相应的概率测度在s 上 是平稳的当且仅当 il f d i t = 0 对所有的f d 成立。 定理2 3 1一维在边界上逗留后随机跳的布朗运动的平稳分布的密度是 1 l ( y ) = 以 其中 靠。( 1 一铂) ，y = 0 o , - 1 m o ，y - 1 ( 1 一m i ) 6 ( v o ，y ) + m o g ( v l ，少) ，0 y 0 且c 0 。例如，公式： = a + b j l 能够写成( 3 1 1 ) 的形式， 如果我们选取： 啦) = 胁卜r 辫】方 d m ( 加去e x p f o 辫l a x 础( x ) = 0 边界点0 称为规则边界若满足：对任意，( o ，o o ) ，我们有 f s ( ，) 一s ( x ) 】 ( 办”( x ) + c 搋( x ) 】 o 有x d ，若x n = 0 ，有x o d 成立。这样， 每个函数u d ( a ) n c 2 ( 万) 都满足下面的边界条件： 州咖争去+ 鼽x 毒 + 7 ( x ) 甜( x f ) + ( x t ) - = d _ u ( x - ) 一万( x ) 彳甜( x i ) u x n = 0 其中矩阵位驴( x i ) ) 是半正定的，7 - ) 0 ，( x ) 0 ，8 ( x 9 0 。 边界条件甲被 称为v e n t c e l 边界条件。 下面我们从概率的角度解释上述结果：一个d 上的扩散过程x 由一个退化 的椭圆微分算子彳决定，这个算子在状态空间面的内部d 是二阶的，并且在 d 的边界0 1 ) 上服从边界条件甲。甲的这些项 酗x 去+ 孰x ) 扣， r ( x 3 u ( x 3 ( x ) - o n ) 8 ( x 3 a u ( x 3 u x n 分别对应于扩散过程沿边界运动，在边界上被吸收，在边界反射和粘性现象。 2 4 博士学位论文第三章d 维在边界上逗留后随机跳的扩散过程 分析上， 由半群的h i l l e y o s i d a 定理，可以这样解释：如果强马氏过程x 的轨道是连续的，则一个五上的f e l l e r 半群 z ) 脚由一个退化的二阶椭圆微分算 子彳和边界条件甲决定。这样我们只要研究偏微分方程中( a ，甲) 的椭圆边值 问题。 3 2 生成元 在这一节我们用分析的方法给出d 维在边界上逗留后随机跳的扩散过程的 生成元： 定理3 2 1令 s = f c 2 ( 驯川f 础，胁l 相i m m ) 5 弘叱廿( f 。) 三表示三在3 上的限制，则三是d 维在边界上逗留后随机跳的扩散过程的生成 元。 证明 令z o = 0 ，o ( 0 ) = w 加( o ) ， 令 _ = o i = i n f t 0 ：p ，o ( f ) o d ，0 0 ) = w p o ( q ) + l = i n f t 0 ：0 1 ) ， 0 ( 门+ 1 ) = w 一( 吒+ 1 ) + l = 乙+ 吒+ l 令h ( x ，j ，) = h ( v x ，y ) ，x ，y 0 1 9 。 o 的转移函数可以表示为： ；x ( o o ) 砂) = h ( x ，y ) a y ，只( 0 ( n + 1 ) d vio ( n ) = u ) = h ( u ，v ) a v 对，z n ，x d 和甜，y 0 1 9 成立。 对”，令万”表示。从时间0 开始的刀重转移概率。换句话说， 一h ”( x ，y ) d y = p ，( o ( n ) ed y ) 。所以一h 1 ( x ，夕) ：h ( x ，y ) ，对刀2 ，有 万”( x