（无线电物理专业论文）高介电常数物质微波特性的测量.pdf

华东师范大学硕士学位论文 摘要 摘要 微波在通讯、雷达监测领域都有重要的作用，而微波系统中所使用的材料的 特性对其性能有着决定性的作用。随着现代通讯的迅猛发展，微波器件正在向 在小型化发展。要达到这目的，除了通过改善器件的结构外，也可使用具有较 高介电常数的材料。b a s m 。t i 0 3 是一种新型的铁电材料，有很高的介电常数， 并且具有电压调控特性( 介电常数随加在器件上的电压变化) ，可以用在电控相 移器，以及天线小型化中。但是由于其介电常数较高，用传统方法较难测准，而 且损耗角的测量也是一个难点，阻碍了它的广泛使用。本文拟对其介电常数材料 在微波频段电特性( 复介电常数) 的精确测量进行研究，有比较高的实用价值。 本文主要提出了一种新的测量方案，使用有限元素法计算介质基板上介质谐 振器的最低轴对称模频率，然后比对测量值与计算值，设立误差函数，通过最优 化使误差函数最小，最终得到介电参数。与其他方法相比，该方法对介质样品的 形状要求比较低，只要是轴对称形即可，其次对测试设备要求也很低，只需要用 到网络分析仪，测量过程也比较简便。同时我们也对这种测试系统进行了误差分 析，指出了减小误差的方法，可以得到更精确的结果。 关键词：b s t o 高介电常数测量损耗角有限元方法 i i 华东师范大学硕士学位论文 a b m m “ a b s t r a c t m i c r o w a v ep l a y sa ni m p o r tr o l ei nt h ec o m m u n i c a t i o na n dr a d a rs y s t e m t h e m a t e r i a lu s e di nt h em i c r o w a v e s y s t e m w i l lc r u c i a l l yd e c i d ei t sp e r f o r m a n c e w i t ht h e d e v e l o p m e n to ft h ec o m m u n i c a t i o n ，t h em i c r o w a v ed e v i c e sa r e a s k e dt ob e c o m e s m a l l e r b e s i d e sc h a n g i n gt h es t r u c t u r eo ft h e s ed e v i c e s ，w ec a na l s ou s et h em a t e r i a l w i t hh i 曲d i e l e c t r i cc o n s t a n tt oa c h i e v et h i so b j e c t b a x s r l x t i 0 3 ( b s t o ) i sak i n do f f e r r o e l e c t r i cm a t e r i a lw i t h h i g hd i e l e c t r i cc o n s t a n tc o n t r o l l e db y t h ed ev o l t a g e b s t o c a l lb e w i d e l y u s e di ne l e c t r i c c o n t r o l p h a s e s h i f t e ra n dm i n i a t u r i z a t i o no ft h e a n t e n n a s b u tw i t ht h et r a d i t i o n a lm e t h o d ，t h ed i e l e c t r i cc o n s t a n tm e a s u r e m e n t o f h i g h d i e l e c t r i cc o n s t a n tm a t e r i a li sd i f f i c u l t i ti sh a r dt og e ta na c c u r a t er e s u l t i nt h i sp a p e r , an e wm e t h o db a s e do nd i e l e c t r i cr e s o n a t o ri s p r e s e n t e d b o t hr e l a t i v e d i e l e c t r i c c o n s t a n ta n dt 9 6c a l lb em e a s u r e da c c u r a t e l y t h i sp a p e ri n c l u d e sf i v ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r , t h ef e r r o e l e c t r i cm a t e r i a l b s t o sp r o p e r t i e sa n da p p l i c a t i o n sa r ei n t r o d u c e d t r a d i t i o n a lm e t h o d s l i m i ti n m e a s u r i n gh i g hd i e l e c t r i c c o n s t a n tm a t e r i a li sa l s oi n t r o d u c e d a n di ti sh a r dt o m e a s u r ea c c u r a t e l yf o rt h et r a d i t i o n a lm e t h o d s t h en e wm e t h o db a s e do nd i e l e c t r i c r e s o n a t o r r ) i sp r e s e n t e d ，a n dt h e nt h ed i e l e c t r i cm e a s u r e m e n tc a nb et r a n s l a t e dt o ad r p r o b l e m b o t ha p p r o x i m a t em e t h o da n da n a l y s i sm e t h o di ns o l v i n gt h ed r p r o b l e ma r ei n t r o d u c e di nt h es e c o n dc h a p t e r i nt h et h i r dc h a p t e gt h ef e m i su s e dt o s o l v et h ed rp r o b l e m t h ef o r m u l a so fr e l a t i v ed i e l e c t r i cc o n s t a n ta n d t 9 8 a r e d e d u c e d t h ef u l lm e a s u r e m e n ts y s t e mi sd e s c r i b e di nt h ef o u r t h c h a p t e r e r r o r a n a l y s i ss h o w st h a tt h en e w m e t h o di sc r e d i t a b l e t h es h o r t c o m i n go ft h em e a s u r e m e t h o di sd i s c u s s e di nt h el a s tc h a p t e r a n dw i t hs o m e i m p r o v e m e n t s ，t h em e t h o dc a n a c h i e v eah i g h e ra c c u r a t e n e s s k e y w o r d s ：b s t o d i e l e c t r i cc o n s t a n t t 9 6 m e a s u r e m e n tf e m 硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期：丛生7 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定 学位论文作者签名：，岛，认导师签名：罗积专乙 日期：。寸t 。i 、7 、 日期：矽吩占- 6 鞋 华东师范大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 铁电钛酸锶钡( b s t o ) 材料的性能与用途 铁电钛酸锶钡( b a x s n 一。t i 0 3 ) ( b s t - x ) r 1 d i d m t 材料有非常优良的铁电，介电性 能，是近年来科学家们大量研究的功能材料之一，对于这种材料的性质、制备方 法和应用的研究已成为当前的热门前沿课题b a s r 的比例对b s t x 薄膜的性能影 响很大，特别是当x 近于0 5 时，这种材料具有极高的介电常数、较低的介电损 耗以及室温下有很好的可调性( 在外加一定直流偏压下，介电常数能发生很大的 变化) 因此，其薄膜型材料被选用于高频率敏感微波器件，例如：谐振腔、移相器、 延迟线、天线和可调性滤波器等。另外，铁电钛酸锶钡作为一种新型铁电材料， 在动态随机存储器( d r 砧上拥有非常好的应用前景，原因在于通过合理选择 b a s r 比，能使材料在室温下处于顺电相，避免了铁电畴开关效应引发的疲劳现 象；而同时具备相对较低的漏电流和高的介电常数，这正好满足了d r a m 对电容 器介电材料的要求，综合效应比p z t 、s r t i 0 3 等铁电材料以及传统的s i 0 2 介 电材料有其自身明显的优势。b s t 己被认为是开发下一代超大规模集成电路动态 随机存储器( u i s id r a m ) 的重要材料。正因为其优越的介电铁电性能，对钛酸 锶钡材料的研究与应用开发现己成为大家竞相角逐的热点问题之一。因而充分了 解其介电特性有着较高的现实意义。 1 2b s t o 材料的结构 铁电钛酸锶钡( b a ；s r l 。t i 0 3 ) 是钛酸钡0 3 a t i 0 3 ) 与钛酸锶( s r t i 0 3 ) 的固溶体，并 且钛酸钡和钛酸锶能够完全混合、相溶，而不产生任何相凝聚，通过调节材料中 的b a s r 成分比，可改变材料的居里相交温度t c ，以满足特定应用温度需要。 b a x s n 如0 3 属于位移型铁电体所谓位移型铁电体，对应的是位移型相变， 即由于原子的非谐振动，其平衡位置相对于顺电相可以发生偏移，从而导致白发 极化该材料体系是典型的钙钛矿结构( a b 0 3 ) ，较大的b a 、s r 离子占据顶角a 华东师范大学硕士学位论文 第一章绪论 位置，较小的t i 离子占据体心处的b 位，六个面心则由o 离子所占据这些氧离 子形成氧八面体，t i 离子处于其中心整个晶体可被看成是由氧八面体共顶点联 接而成，各氧八面体之间的空隙则由a 位离子b a s r 占据，所以a 位的b a s r 和b 位的t i 离子的配位数分别为1 2 和6 钛酸锶钡铁电体的自发极化主要来源 于b 位t i 离子偏离氧八面体中心的运动具体钙钛矿结构单元如图1 - 1 所示。 图1 - l 钙钛矿结构 1 3 传统介电常数的测量方法及测量高介电常数样品的困难 微波材料的特性参量是两个复数，即复介电常数s 和复磁导率口 5 】 8 ：2 岛2 5 。：i 7 s ”) 、 ( 1 一1 ) = 风以= 风( 7 - j , u “) 、7 式中6 0 = 0 8 8 5 4 1 0 - n 蓁是自由空间的介电黻p a = 4 ，r x 0 - 7 羹是自由 空间的导磁率； 和一分别为介质材料的复数相对介电常数和复数相对导磁 率， = = 一一声”= p ( 1 一j t g s , ) 。( 1 2 ) 辟= 等= 一j 6 = 卢( 1 一j i g s , ) 肠 华东师范大学硕士学位论文 第一章绪论 其中辔疋= 专，培= , u f ，- - ；疋和气分别为介质材料的电损耗角和磁损耗 o“ 角。 测量微波介质材料特性参量的方法主要有三种 5 】【6 】 7 】 8 】 9 】：1 ) 自由空间法；2 ) 波导传输线法；3 ) 谐振腔徽扰法。每种方法都有各自的优点以及限制。 自由空间法要求样品的形状必须是较大的薄片，利用喇叭天线发射一束平面 波到样品上( 图1 2 ) ，用另一个喇叭天线来接受信号，根据光程差来计算介电常 数。这种方法比较简便，但精度较低，因为平面波的假设是近似的，而且由于样 品可能不是十分的大，平面波会在在样品周边的物体上产生反射，样品的边缘也 会发生散射，这样的信号进入接受天线会造成误差。通常可以用微波透镜来使微 波信号更好地聚焦在样品上，提高精度。所以这种方法一般适用于测量较大型样 品和毫米波波段测量介质板的特性参量。 圈i - 2 空问波法测介电常数 波导传输线法也称驻波法，是最常用的测量方法，是将填充着介质试样的波 导段或同轴线段作为传输系统的一部分来测量它的特性参量的。具体的测量方法 又可以分为传输法和反射法。传输法是测量介质试样段的传播系数来确定介质参 量的。由相位系数和衰减系数可以分别确定介质的介电常数和损耗角。采用传 华东师范大学硕士学位论文 第一章绪论 输线法时，介质试样段的反射系数对测量的误差较大，因而此法一般多用于测量 介电常数接近于1 的气体介质。反射法则是用的比较多的一种，介质试样段接到 传输系统的末端，并在它的输出端接短路器或开路器( 即丢短路器) 来产生全反 射，再根据介质试样段引起的驻波最小点偏移和驻波系数，确定介质的特性参量。 图1 - 3 波导短路线法测介电常数 谐振腔法需要有一个品质因数很高的谐振空腔，利用微扰理论来计算样品的 特性参量，它的基本假定包括：( 1 ) 介质试样的放入引起谐振频率的相对变化很 小，( 2 ) 除了在介质试样附近，试样的放入引起场结构的变化很小。所以该方法 要求样品体积较小，而且对场的原有结构影响不大，能够较准确地测量很小的损 耗角，并且仅需要较小的电源功率。目前已有应用谐振腔法测量介质特性参量的 定型仪表。 波长计 拜霎 探针 图1 - 4 谐振腔法测介电常数 综上所述，自由空间法虽然对设备要求比较少，但样品的形状，大小要求 比较高( 需要较大的薄片) ，且精度不高。波导传输线法与自由空间法有些类似， 把样品放在波导内测量，外界影响较小，可以得到比较高的测量精度。但是样品 必须是横截面与波导形状一样的柱体，试样的长度要求接近介质体中四分之一波 华东师范大学硕士学位论文 第一章绪论 导波长，对高介电常数样品来说，制各有一定困难，而且要用到测量线，不便于 使用。振腔法的理论依据是微扰理论，前提是样品放八谐振腔，但对腔内的场分 布影响不大。具有高介电常数的物体放入腔内时，会造成腔内谐振模式的极大改 变，所以不能使用。 1 4 一般对高介电常数物质的测量方法 由于上节的这些原因，高介电常数物质的测量一般不使用这些传统方法。 在低频段，高介电常数材料的介质参数测量基本上是采用平板电容法( 1 0 1 ， 即在平行金属板中填充介质薄膜( 如图1 5 ) ，通过测量电容来确定介质参数。在 这种测试方案中比较困难的是，由于加工精度的限制，样品与金属的交界面上难 免存在空气缝隙( 图1 5 中t o ) ，会造成测量的误差。 图i - 5 准静态电容法测介电常数 另外比较经典的是s b c o h n 1 0 1 等提出的圆波导法和径向波导法，利用了 结构的谐振特性，选用特定的场型( 通常是r e o 。) ，使金属与介质样品的交界面 上无法向电场，只有切向电场，且金属表面的切向电场很小，这样成功地排除了 原先难以克服的系统误差( 空气缝隙) ，通过测量介质样品的谐振频率来确定介 质参数。可以得到很好的精度。 q k 上 倪 白 咯 上下土苫 立1 立1 章 华东师范大学硕士学位论文 第一章绪论 要集中在介质样品中，满足定条件时，会发生谐振。当选择模式疆。，时，满足 ( ，一z t a n 际磷闩 m ， = ( ( 志) 2 t r 使用该系统，测得丁。模的谐振频率，然后代入方程1 3 ，就可以得到。可以 看出，这个方法使用起来比较直接，但是要注意区分强，t m o ，强t 。等模式。 图1 7 测试系统图 华东师范大学硕士学位论文 第一章绪论 国外也有文献报道【川，使用螺旋波导制成的x 波段h m ，单一模式谐振腔， 通过腔外耦合的方法测量过b a 。s r 。t i 0 3 这种材料的介电参量，虽然得到了较精 确的结果，但用到的谐振腔加工复杂、价格昂贵，测试过程相对麻烦。 固i - $ x 波段滤模谐振腔 1 5 本论文主要工作及创新 虽然测量高介电常数的方法已有不少，但有的对样品的制备要求较高，有的 测量系统比较庞大，造价昂贵，都不是很方便，快捷。本文提出了一种新的测量 方案， 使用有限元素法计算介质基板上介质谐振器的最低轴对称模频率，然后 比对测量值与计算值，设立误差函数，通过最优化使误差函数最小，最终取得介 电参数。与其他方法相比，该方法对介质样品的形状要求比较低，只要是轴对称 形即可，其次对测试设备要求也很低，只需要用到网络分析仪，测量过程也比较 简便。 华东师范大学硕士学位论文第二章介质谐振器的理论分析 2 1 介质谐振器 第二章介质谐振器的理论分析 早在1 9 3 9 年r i c h t m y e r 1 2 就提出用高、低损耗介质材料可以制成微波介 质谐振器。但当时由于缺乏这样的介质材料而未获得发展和应用。1 9 6 2 年，哥 伦比亚太学的o k a y a 和b a r a s h ，研制出了用t i 0 2 单晶制造的介质谐振器，但其 温度稳定度低，成为实用中的一大难点。直到1 9 7 1 年以后才研制出温度稳定特 性符合实用的介质材料，使介质谐振器的研究和应用得到很大的发展，由于它的 特点是体积小，重量轻，q 值高( 4 g h z 的典型值为1 0 0 0 0 ) ，在微波集成电路领 域受到了特别的关注。介质谐振器的形状通常为矩形、圆柱形和圆环形( 如图 2 】) 。 图2 1 介质谐振器 本文的主要研究对象是圆柱形介质谐振器的最低次模，在设计中，只要选取 形状比( 长值径) 小于0 7 ，就可阻保证谐振器的最低次模是t e 。 营东师范大学硕士学位论文第二章介质谐振器的理论分析 2 2 介质谐振器的几种近似分析方法【1 4 1 1 5 1 1 1 6 】【1 那8 】 2 2 1 开路壁近似求解( 磁壁法) 当介质的介电常数很高时，介质与空气的界面近似于开路面，电磁波在界面 上的反射系数接近于+ l 。由式( 2 1 ) 有： 1 7 ：7 o - 盟： 琉+ 叩 刽+ 1 ( 2 - 1 ) 这时可以近似地把介质谐振器的表面看成是开路壁，即磁壁。于是介质谐振 器成为具有齐次边界条件的封闭系统。即等效开路壁( 磁壁) 谐振腔( 如图2 2 ) 。 在由齐次边界条件包围的系统中，t e 模和t m 模可以单独满足边界条件。 z 图2 2 开路壁模型 以计算t e 模为例，先要解h z 的亥姆霍兹方程，求得h ：后，由麦克斯韦方 程求出其余各场分量为 易2 群嚣 易= 研- j c o p 可o h , 耳：南篆 q 2 吗= 研1 蕊0 2 h z 式中以是z 方向的传播常数，在图2 - 2 区域中亥姆霍兹方程的解为 9 叩 兰“ 卮万 犯 + 犯 p 一 + 冉 华东师范大学硕士学位论文 第二章介质谐振器的理论分析 皿= 4 l ( t r ) t ( c o s 删m o s i i lj c 。s ( 吒z + 讫) ( 2 - 3 ) t脚， 式中屯为横向波数，故据波数守恒关系，：f f k z 2 = e , k 0 2 一k v 2 ，将( 2 3 ) 代 入( 2 2 ) 即可得到其余场分量为 点；= 女j 。m + l a 以。m a 1 。( 、k ，尸) f i , c s i o n s ，m ”曰o ) c 。s ( t z + p ) 目= 研j w t o k l 以l ( 丸尸l s c i 。n s m 埘o 纠c 。s ( t z + 咖 蟛= 方以厶乜p ) l 。s i 。n 。m m o s i n ：+ ( 2 - 4 ) q 2 焘以讹p ) ( s i n 。m 0 1 n ( 啦纠 ( 峨1 ) 应用边界条件n 皿j 一= o ，p = 口的柱面上，是1 t i 阶第一类b e s s e l 函数 的第n 个零点，k 。是对应的截止波数。 乏高舞厶c 妒。k 刊咖- o ，u ，棚乩z 丑。陆s ， = = 士三2 的端面上有 s i n ( 一掣捌：“。岸刊：o s i n 掣+ 计：o 为使边界条件得到满足，可以有以下两种情况： 妒= o s i n 等= 。，t = 孚，p = 。 2 ，4 这是偶对称模； p = 号，c 。s 警= o ，t = 孚，p = 1 ，3 ，5 这是奇对称模。 由此可以求得t e 。，模的固有角频率 l o ( 2 - 6 ) 0 = = d 一u 7 k 7 卜 卜 卜 卜工e 呵 风 比 风 易 华东师范大学硕士学位论文 第二章介质谐振器的理论分析 以t m e = ( 2 7 ) t e 模中的最低模式是t e o 】o 模，n = 0 ，m = l ，p = o ，其固有角频率为 蠕2 赤警2 卷 8 ， t e o l o 模的场分量为 2 2 2 截止波导法近似求解 日= 学“( h ：= 4 j o ( 矗力 丸：2 4 0 5 ( 2 - 9 ) 上述开路壁法略去介质以外的场，误差较大。截止波导法则进行了一步，将 介质谐振器看成圆柱形波导，它由p = a 的开路圆柱面包围而成，圆柱面外场仍 ， 为零。在圆柱面内h 的区域，即介质谐振器内，n - - - i # 输型波导，场沿z 呈 z ， 驻波；在圆柱面内h 的区域，即端面以外的区域，是一截止型波导，场沿抛 z 呈渐消场，其衰减系数为口。这就相当于在一个半径为a ，由开路壁包围的无穷 大波导中长度为z 的一段充填了介质，其介电率为s 。如图2 3 图2 - 2 截止波导模型 1 1 华东师范大学硕士学位论文 第二章介质谐振器的理论分析 设介质谐振器内，i z l 吾，尸a 为l 区，介质谐振器两端面外，l z i 丢，p a 卜4 厶 ：别c o s ( 协纠h k 吃厶叫嬲p 曲h 吾 q j i 也2 = 2 一t 2 【o t z 2 = k 2 一2 将( 2 1 0 ) 代入( 2 - 2 ) 即可得谐振器内、外的其余分景 艺。 且， 凡- 以。 ( 吲 耻害警吃讹力l s i n m o 纠l e - = , 1 4 专 耻磐警叫c m 熙篇e 训十争 也z 也： ( 2 - 1 1 ) 佗- 1 2 ) 2 方等州( 如) ( s i n 。m 叫o 、1 e 刊专 2 谚m + k 丘= 。) b ，j 。( 屯p ) s i n m o e - ( 1 4 专 旧訇l 在尸。d 的磁壁边界上，耳和吼必须为零，故有 厶( 屯口) = 0 1 2 ( 2 - 1 4 ) 幔 魄 也 毗 删叫陋卜 、，、j，二，9口柑柑柑棚枷跏胁 t|；咖?锄；、忙b鼢鼢龆翎 力 力 、删 咖 啡 饥 m 钒 “ 钒 盟州隘吖诎w一州 华东师范大学硕士学位论文 第二章介质谐振器的理论分析 解此方程可得本征值k 。为 k 一2 口 ( 2 一1 5 ) ( = 0 ，l ，2 ，；”= 1 ，2 ，3 ，) 式中h 。是m 阶第一类b e s s e l 函数的第r 1 个零点，k 。是对应的截止波数。 在h = 告的界面上，切向场必须连续，即e p 。= e 矿q 。= 日妒或 见。：也：，孕：_ 0 h , 2 ，由此得出 位o z 枷s c t 一 以哎s i n ( 也昙+ = 吼吃 从上式消去a m 和b 。得 ， k , t g ( k ：圭+ 妒) = 口；( 2 - 1 7 ) 式中妒是初相角，由于结构的对称性，场分量h z 是偶对称或奇对称，对于 偶模伊2 一詈( s 为偶数) ，对于奇模伊= 一詈( s 为奇数) ，故式( 2 1 7 ) 可以改 写成 t 辔( 屯亡一s , r 2 ) = 吒0 = o ，1 ，2 ，) 或k ) = s ，r + 2 t g - 。( a t , ，1 ；( s + 占) z 2 _ 1 8 这是本问题的超越特性方程。式中勋啦“ 詈 厅，故有。 - ，而s 是谐振器沿z 方向场分布的半波数。当s = o 时，介质谐振器的内场沿：方向分布 小于半个波，模式指标为占；当s 0 时，场沿z 方向分布小于( s + 1 ) 个半波而 大于s 个半波，模式的指标为0 + 艿) ，标为嬲0 模，其最低次摸是7 瓦，。模。 设圆柱形介质谐振器的昏口、，为已知，其髓乙( 。) 模的谐振频率可由下式 求出 华东师范大学硕士学位论文 第二章介质谐振器的理论分析 厶( 毛n ) = 0 t ：，= s n 4 - 2 t g t 2 + n 0 2 = ( 一1 ) t 2 矗= 工2 赤腑 2 , 2 3 开波导法近似求解f 1 9 】口0 1 口1 1 2 2 1 1 2 3 】 ( 2 1 9 ) 截止波导法考虑谐振器端面以外的场，比开路壁法进了一步，但略去了柱面 以外的场。用开波导法求解圆柱形介质谐振器时，可把介质谐振器看成一段沿z 方向的圆柱波导，两端为阶梯突变，如图2 - 4 。 图2 - 3 开波导模型 图中i 区是介质谐振器的内域；i i 区是磁壁l z i 委间的谐振器外域；i i i 区是 磁壁户a 内谐振器上下端的外域；i v 区是不属于本模型的区域，即忽略了其中 的电磁场。与图2 - 3 相比，截止波导法忽略了区域i i 、i v 中的电磁场，而开波导 法仅忽略了区域i v 中的电磁场。故若截止波导法是一次近似，则开波导法将是 1 4 蔫 华东师范大学硕士学位论文 第二章介质谐振器的理论分析 二次近似。用开波导法求解t e 模时，可据h ：的亥姆霍兹方程的解和边界条件 图2 - 3 的区域i 、i i 、i i i 中的h z 为 式中 h z l ：以厶( t p ) l ( c o s r n 。o 、l c o s ( 也：+ 妒) h2 以厶( t p ) 【。i i i 柑j c 0 3 ( 也2 + 妒) ：bka 。p ) l ( c o s m 。0 、l c o s ( 屯= + 矿) ( 2 - 2 0 ) h z bk ( z2 “c p ) l 。i 。口j c 0 8 ( 屯2 + 矿) 也。= q 以( h 纠l 。c i o 。s 。m 曰o i e 吲一) k ? + k ? = s ? 埒 屯2 一哎2 = k 0 2 ( 2 2 1 ) t 2 一哎2 = k 0 2 式中k m ( a o p ) 为第二类m 阶变态b e s s e l 函数，它表示沿径向衰减的场( 消 散模) ，而j 已( 瓯p ) = 等( ，) “砩( ，吒p ) ( 当一；r a r g a 。 一詈时) 。实宗量的h a n k e l 函数h 。代表沿径向的传播波，虚宗量时变为变态b e s s e l 函数k 。，代表沿径向 的衰减波。将式( 2 2 0 ) 代入( 2 2 ) ，可得到其余的场分量。 在p = q i z i 告的边界上，切向场应连续，即以。= 皿：，易= 弓：，由此可得 美生竺2 + 圣。! 丝尘：0 佗。2 2 ) 气以( 屯d ) 吒 ，爪( a o a ) 。 这时确定本征值k v 的超越特征方程之一，为了求得另一特征方程，要用到 i z i = 寺，p a 的边界条件，即e 。= 易：，q 。= q ：，由此得到 k , l = j ，r + 2 t g 一1 ( 警) = ( s + j ) 口o = o ，1 ，2 ，) ( 2 2 3 ) 最后可得耦合特征方程组： 厶。鱼虫+ 墨! 亟堕：o 。( 吒口) 哝k 。( 吼d ) t ，= s 7 r + 2 t g 一1 ( 誓) = o + 口( 2 2 4 ) ： 氐2 = 2 一t 2 = 2 + 盘：2 o 【? = k ? 一k 华东师范大学硕士学位论文 第二章介质谐振器的理论分析 对于主模7 毛d 模，m = 0 ，n = 0 ，s = 0 ，h ：的分布如图2 - 5 a j 1 0 、 、 0 5 l 0 f 弋7 、_ 一正弦函数 。 五 i t 岛( 蚶) 下端面 图2 - 5h z 场分量分布图 2 3 屏蔽的圆柱介质谐振器的分析 2 3 1 近似方法分析【1 3 】【1 q 上面分析得是处于自由空间的孤立介质谐振器：但实际应用的介质谐振器都 是放在波导中或微带介质基片上( 如图2 6 ) 。在微带电路中的介质谐振器，上面 还有金属屏蔽板( 盒盖) ，基片下面还有接地板。如果金属板( 盖板和接地板) 与介质谐振器靠得很近，则谐振频率将产生偏移，谐振器的q 值将降低。 图2 - 6 微带线耦合的介质谐振器 华东师范大学硕士学位论文 第二章介质谐振器的理论分析 屏蔽介质谐振器可以使用上节介绍的几种方法进行分析。如果金属板离介质 谐振器比较远，其影响一般可以忽略。 下面我们以开波导模型法来讨论屏蔽柱圆柱介质谐振器t e 模式谐振频率的 求解方法。图2 7 表示微带电路中的圆柱形介质谐振器的截面分区图。图中 g r t z ，。，铴= 1 - 阴影区，中的场忽略不计，只讨论砜。帅模式。 其在各区域中的且分量为： 式中 卜一a 一 图2 7 屏蔽圆柱介质谐振器及其分区 j 皿l = 4 j o ( 强p ) s i n ( f l z + 0 ) l 皿：= 4 x o ( 氏p ) s i n ( f l z + 占) 1 皿，：4 ( 岛s i n h 呜( 日一z ) ( 2 - 2 5 ) l 皿。= 4 山( 民p ) s i n h 鸭0 + ) f 卢2 = 露。一k ，2 = 瑶+ k 2 f 霹：k 。2 一碍 1 ：一霹毛( 2 - 2 6 ) l 群= o ) 2 f l o c o 厶( k 户) 和x o ( k o 。尸) 分别为零阶贝塞尔函数和第二类变态贝塞尔函数 tiilllll。llih li盯川。 华东师范大学硕士学位论文第二章介质谐振器的理论分析 4 ，4 ，以，4 干口0 是待足常藏。已知月：后，各区中的横同场分量j 由式2 2 求得。 对于e 0 。帅模式，只有f t ，髟。和目三个场分量。 由p = a c ：l ，e 连续条件，可以得到 豢+ 怒- o ( 2 _ z ，) “，0 ( ”) w 瓦( w ) 、 式中，“= k d ，w = k d 。又由于z = ，处皿，乞的连续条件，可以得到 f l c t g ( f l l + 臼) = 吗c t h a 3 ( h d ( 2 2 8 ) 或者 n + o - 詈叩+ 删s 陪劬螂呐 c 删，啦， 由z = 0 处珥、e 连续条件可得 曰寺a 吨浯c m 吒 ) p 。 由式2 2 9 和式2 3 0 得到 f l l = p e r + a r c t g i 芳c t h a 3 ( h - 1 ) 卜c t g 吾- c t h n 弘。， 由式2 2 6 、2 2 7 和2 3 1 可求得k 、，于是谐振频率可由下式求得 氏= 杀亍r 可( 2 - 3 2 ) 五2 j 而幅+ 式中c 为光速。由式2 3 1 可以看出，谐振频率将于盒盖到介质谐振器的距离h 有关。调节此距离可调整屏蔽介质谐振器的谐振颇率。 2 3 2 严格方法分析【1 1 畔】口6 】i 注意到2 2 节介绍的这几种方法或是直接把一些区域的场置为零( 开路壁法、 截止波导法) ，不符合实际情况；或是人为地规定了一些区域的场形及其衰减速 度( 开波导法) ，得到的解不符合m a x w e l l 方程，场的切向分量在边界面上不连 华东师范大学硕士学位论文 第二章介质谐振器的理论分析 续，是非物理解。所以往往得不到精确的结果【“1 。通常在实际使用中，可以加 八一个变分过程，来得到更高精度的解。 要进行严格的计算就要从m a x w e l l 方程出发，比较有效的是轴向模式匹配 法。由于本文主要研究轴对称的最低模强，训所以可以简化问题。硒。，。仅有 日，日，e 分量，可以用一个赫兹矢量表示，并且这个赫兹矢量只有z 方向分量， 即可以用一个标量函数表示之。 z | a 十b + c |电 电金属 t a + b t + 一 介质谐振器 、 a + _ 图2 - 7 在介质基板上的夼质谐振器( 侧视图) 在上图中，上下导体板之间的空间被分成5 个区域。每个区域的标量函数可 表示为 q = j o ( k p p ) s i n f l ，( z 一( 口+ 6 + f ) ) ， 零：= 呜，j o ( k p ) s i n f l 2 ，o + 磊) ， g = 码，晦力s i n 屈，z ( 2 3 3 ) p = 吃风( p ) s i n 屈。( z 一( 口+ 6 + 呦 g 西；= q 风( p ) s i 峨户 p 其中4 ，4 ，4 ，日，q 和吒都是待求的系数，另外 华东师范犬学硕士学位论文第二章介质谐振器的理论分析 荨拳篆意：嚣咄_ 喝p 2 协s 。， 2 = 2 q 一屈。2 = 2 毛一层。2 j o 和h o 分别是零阶b e s s e l 函数，和零阶h a n k e l 函数。根据边界条件hg l e t g f l l p c + 型+ t g p 却a 圆p 反：反p ( a - 3 5 ) 一蕞啪t 川g 蚴1 9 瓯= q 芈+ 警= 。 回 p 4 q晷k ”一j 使用上式中的届，屈。，届，屈。，屈。，可以得到以下关系， 4 ，s i n p , ，d = 4 ps i n i f 2 p 0 + ) 4 ps i n , 6 t p c = 一4 ps i n f l 2 p ( 6 + 4 + 0 ) 乞= 万1 ( 象蝴，c _ 6 一a ( 2 _ 3 7 ) qs i n , 6 5 目口= 一岛s i n f l 4 9 0 + c ) 随后可以通过两个积分式来构建皿和e 在户= r 上的连续关系， 1 ) p ，s i n , 5 5 ，z d z + f 。& s i n 尼，口一o + 6 + c ) 】出 = 愀口一垫产 + 斗叫一墼等等叫吣固 = 町h o ( k , r ) x , 其中 华东师范大学硕士学位论文第二章介质谐振器的理论分析 其中 ，：=-aqsin849(c+b)cos,8,q(c+b) 一 2 p , 口s i nf 1 5 pc o s , 8 5 f 口 卜学 十 牡，一型半 2 ) j 吐h c , s i n 孱。z 出+ j 。：岛s i n 反，【z o + 6 + c ) 出 + j i 或s i i l 屈，p 一0 + 6 + c ) 出 = b j o ( k ，r ) j 2 瓦_ , 8 羽2 p 2 - - 佤i 岛l p i 2 研 r 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) 艮 c o s 8 2 p ( a + 8 a s i n , 8 4 9 ( 6 + c ) 一c o s , 8 2 p ( a + b + f i p ) s i n , 8 4 4 叫 ( 2 - 4 1 ) + 屈口 s i n p 2 p ( 口十乞) c o s 鼠g ( 6 + c ) 一s i n , 8 2 p ( 口+ 6 + ) c o s 屈g c ) 上两式的运算过程中用到了式( 2 - 2 9 ) ，应用皿和e 在p = r 上的连续关系， 可以得到 岛k p 2 j o ( k p r ) j m = 坟k 2 h o ( k , r ) i 4 ，砟以( r ) ：岛风( r ) ( 2 - 4 2 ) 其中0 和w 分别代表 和风的导数，从式( 2 - 3 4 ) 中消去见得到 等巧卜糕一吒糕o ( k , r ) j k = 。 陋。， 其中 巧= 锄k p k q ( 2 4 4 ) 可以简化表示为 华东师范大学硕士学位论文 第二章介质谐振器的理论分析 x 曩。= q ( 2 4 5 ) 其中 = 卜糕一器卜 p 。s ， 由于2 - 2 2 中展开的傅立叶序列有无限项，所以必须在某一项n 截断这个序 列，因为函数的主要部分集中在序列的最初几项，所以截断误差往往可以忽略不 计。于是可以得到 卫，h 。= o p = l r 2 4 7 ) 式( 2 - 3 9 ) 有解的必要条件是d e t ( h v j ) = 0 ，解出x p 的值，然后可以把x p 代入式( 2 - 2 9 ) 和式( 2 - 3 4 ) ，就可以得到4 ，4 ，4 ，岛，c q 和 届，屈，屈，屈，屈，可以从式( 2 - 2 6 ) 得到。于是可以求出各个区域的场分景的 级数解。 2 4 几种方法的比划1 7 】 一般的工程上问题是，使用特定的材料，设计制作工作在一定振荡频率的谐 振器。也就是说给定介电常数，谐振频率( 通常是最低模) ，来求谐振腔的尺寸。 对它的逆问题，比如说给定尺寸，谐振频率，要求求出介电常数。只要把上述公 式适当改变一下，就可以给出答案。 毋容置疑，使用2 3 节方法得到的解比2 2 节近似方法得到解的精确度高很 多，但也复杂了很多。这些方法本质上都是在一定坐标系下，把空间分成若干区 域，在各个区域中进行场分量展开，并在每个区域的边界面上匹配这些场分量。 只不过每种方法的假设不同，引入的误差大小不同而已。2 2 节的方法适合工程 估算，而2 3 节的方法提供精确值。 但注意到由于场分量展开必须是在特定的坐标系下，而只有1 1 种坐标系下 能进行分离变量，这就对样品的形状有要求，且除了一般较熟悉的直角坐标系， 圆柱坐标系，和球坐标系，在其他的坐标系中进行分离变量会引入更多的特殊函 数，使用起来颇不方便。本文拟提出用有限元法来处理这个问题。 华东师范大学硕士学位论文 第三章有限元法计算介质谐振器问题 第三章有限元法计算介质谐振器问题 3 1 有限元法简介1 2 9 】【3 0 3 1 】【3 2 】 有限元方法是近似求解数理边值问题的一种数值技术。这种方法大约有4 0 年的历史。它首先在本世纪4 0 年代被提出，在5 0 年代开始用于飞机设计。但是 这个方法的开创性工作公认是r ，w c l o u g h 在1 9 6 0 年发表的著作中奠定的。此后 该法得到发展并且广泛应用于结构分析、流体力学、热传递等物理和工程问题中。 6 0 年代末至7 0 年代初，有限元法被移植到电磁场工程领域。 有限元法是以变分法原理和剖分插值为基础的一种数值计算方法。在早期， 应用瑞利里兹方法的有限元法以变分原理为基础，广泛用于拉普拉斯方程和泊 松方程所描述的各类物理场，称之为里兹有限元法。此后证明，应用加权余量法 中的迦略金法或最小二乘法等同样可以得到有限元方程。因此，有限元法可以用 在任何微分方程描述的各类物理场，它同样适用于时变场、非线性场以及复杂介 质中的电磁场求解。 有限元法之所以有这非常强大的生命力和广阔的应用前景，主要在于方法本 身的优点： 有限元法采用的离散基的形状与插值函数可以多种多样，因此具有对材料、 边界、激励的广泛适应性。 有限元法基于变分原理，将数理方程求解变成代数方程组的求解，因此非常 简易。 有限元法的各个环节易于标准化，程序通用性强，且有较高的计算精度，便 于编程和维护，适宜于制作商业软件。 国际学术界对有限元法的理论、计算技术以及各方面的应用作了大量的工 作，许多问题均有现成的程序，可用的商业软件资源比较多。如比较通用的 a n s y s ，电磁仿真类的h f s s ( a n s o f t ) 等等。 华东师范大学硕士学位论文第三章有限元法计算介质谐撮器问题 3 2 有限元法处理轴对称问题1 1 9 】 2 0 1 3 , 2 1 轴对称问题的泛函 先考虑在己知谐振器结构，尺寸，介质材料介电常数等条件下，求最低模 珏j 。的谐振频率的问题。 从上一章可以得知，在轴对称的屏蔽介质谐振器中的最低模一般是与无关 的t e o ，。模，由于只有b ，以，皿分量，根据m a x w e l l 方程可以容易地写出 彬= 去鲁 ，) 和 皿：一_ l 鸳型 j c a l z o p g o ( 3 2 ) 吉岳( 喙) 卜o 矿z e 等埘