人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义 第四章 指数函数与对数函数 章末重点题型大总结（教师版）

第第页第四章指数函数与对数函数章末题型大总结一、思维导图二、题型精讲题型01有关指数、对数的运算【典例1】（2023春·四川雅安·高二统考期末）计算：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典例2】（2022秋·四川成都·高一石室中学校考期中）求下列各式的值：(1)计算：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）（1）已知SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值；（2）SKIPIF1<0【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）计算(1)SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)2【详解】（1）SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=2题型02数的大小比较问题【典例1】（2023春·贵州六盘水·高一统考期末）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由对数函数的性质，可得SKIPIF1<0，又由指数函数的性质，可得SKIPIF1<0，由幂函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为单调递增函数，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：D.【典例2】（2021秋·广东汕尾·高一海丰县海城仁荣中学校考阶段练习）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0.故选：C.【变式1】（2023春·广西北海·高二统考期末）设SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】SKIPIF1<0故选：A.【变式2】（2023春·河南安阳·高二统考期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故选:C.题型03定义域问题【典例1】（云南省红河哈尼族彝族自治州2022-2023学年高一下学期期末学业质量监测数学试题）函数SKIPIF1<0的定义域为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.故选：A.【典例2】（2023春·重庆永川·高一重庆市永川北山中学校校考开学考试）已知函数SKIPIF1<0是定义在R上的增函数，则实数a的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】∵函数SKIPIF1<0在R上单调递增，∴SKIPIF1<0，即实数a的取值范围是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【变式1】（2023春·北京顺义·高二牛栏山一中校考期末）函数SKIPIF1<0的定义域为.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则实数m的取值范围是．【答案】SKIPIF1<0【详解】由函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，成立；当SKIPIF1<0时，需满足SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0．综上所述，m的取值范围是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.题型04值域问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为．【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【典例2】（2023春·陕西榆林·高一统考期末）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)判断函数SKIPIF1<0的奇偶性并予以证明；(2)若存在SKIPIF1<0使得不等式SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的最大值.【答案】(1)偶函数，证明见解析(2)1【详解】（1）函数SKIPIF1<0为偶函数，证明如下：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，关于原点对称，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶函数.（2）若存在SKIPIF1<0使得不等式SKIPIF1<0成立，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0实数SKIPIF1<0的最大值为1.【典例3】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求实数a的值，并用单调性定义证明SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；(2)若当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，求实数m的值．【答案】(1)a＝1，证明见解析(2)2【详解】（1）由SKIPIF1<0得a＝1．任取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．（2）由（1）知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得m＝2或SKIPIF1<0（舍去），所以m＝2．【典例4】（2023春·河南焦作·高一统考期末）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在零点，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)若a＞1，且对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求a的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0．【详解】（1）函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则由零点存在定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．（2）若对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．因为a＞1，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．当1＜a＜2时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不符合条件，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，符合条件，所以a的取值范围是SKIPIF1<0．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，因为对SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【变式2】（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的解集；(2)求函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.（2）易知SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0，则①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0.②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0综上SKIPIF1<0.【变式3】（2023春·河南新乡·高一统考期末）已知函数SKIPIF1<0．(1)求不等式SKIPIF1<0的解集；(2)若不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）令SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在定义域SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0在定义域SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0在定义域SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，即不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，可得SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.【变式4】（2023春·新疆昌吉·高二统考期末）已知SKIPIF1<0（实数b为常数）．(1)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的定义域D；(2)若不等式SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时恒成立，求实数b的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为单调递增函数，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即b的取值范围为SKIPIF1<0．题型05指数（型）函数的图象与性质【典例1】（2023秋·广西河池·高一统考期末）已知函数SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】作出SKIPIF1<0的图象，如图所示：

由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故选：D．【典例2】（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）已知函数SKIPIF1<0.(1)试判断函数的单调性，并加以证明；(2)若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)在SKIPIF1<0上单调递增，证明见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，证明如下：任取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.（2）由（1）可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0，所以m的取值范围是SKIPIF1<0.【典例3】（2023春·福建·高二统考学业考试）函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的定义域；(2)若SKIPIF1<0为奇函数，求m的值；(3)当SKIPIF1<0时，不等SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，求k的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【详解】（1）依题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.（2）若SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（3）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,所以不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0取等，所以SKIPIF1<0.故k的取值范围为SKIPIF1<0.【变式1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【详解】由图象可知，函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.对于A选项，SKIPIF1<0，A对；对于B选项，SKIPIF1<0，B对；对于C选项，SKIPIF1<0，C错；对于D选项，由题意可知，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，D对.故选：ABD.【变式2】（2023春·湖北荆州·高一校联考期中）已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0时，此时值域也是SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0为奇函数，并求不等式SKIPIF1<0的解集.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)证明见解析，SKIPIF1<0【详解】（1）当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递减，且SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递增，且SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.综上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为奇函数.则不等式SKIPIF1<0，可化为SKIPIF1<0.又函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.【变式3】（2023春·江苏南京·高二统考期末）已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，解不等式SKIPIF1<0；(2)当SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立时，求整数SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)4【详解】（1）当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0（2）因为SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,所以整数SKIPIF1<0的最小值为4.题型06对数（型）函数的图象与性质【典例1】（2023春·湖北荆门·高二统考期末）设函数SKIPIF1<0在定义域SKIPIF1<0上满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的奇函数，且SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.所以不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.故选:D.【典例2】（2023春·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数SKIPIF1<0的最小值为0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是．【答案】SKIPIF1<0【详解】函数SKIPIF1<0最小值为0，设SKIPIF1<0，所以只要满足SKIPIF1<0恒成立，函数对称轴为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，满足题意；②SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，需满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，此时实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.综上，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.【典例3】（2023春·浙江丽水·高二统考期末）已知函数SKIPIF1<0是偶函数．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】（1）由已知可得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0是偶函数，所以SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，根据对勾函数的单调性可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.又SKIPIF1<0单调递增，根据复合函数的单调性可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.又函数SKIPIF1<0单调递增，根据复合函数的单调性可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.又因为函数SKIPIF1<0为偶函数，所以有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以，由SKIPIF1<0即可得出SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.平方整理可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【典例4】（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）已知函数SKIPIF1<0为奇函数.(1)求实数SKIPIF1<0的值，判断函数SKIPIF1<0的单调性并用定义证明；(2)求关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集.【答案】(1)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，证明见解析(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【详解】（1）解：因为SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0是奇函数，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，证明如下：任取SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为增函数，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数.（2）解：由（1）知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以不等式的解集为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·广西北海·高二统考期末）设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，根据基本不等式有SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式2】（2023春·山东日照·高二统考期末）已知函数SKIPIF1<0是偶函数．(1)求k的值；(2)若方程SKIPIF1<0有解，求实数m的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由已知可得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0为R上的偶函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，经检验，SKIPIF1<0满足题意，故SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为方程SKIPIF1<0有解，即SKIPIF1<0有解，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【变式3】（2023·全国·高一假期作业）已知函数SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上的偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0．(1)求a的值：(2)求SKIPIF1<0的解析式；(3)求不等式SKIPIF1<0的解集．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【详解】（1）解：因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．

因为SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上的偶函数，则SKIPIF1<0．

综上所述，SKIPIF1<0（3）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0

解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．

故不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0．题型07函数与方程【典例1】（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考期末）已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的零点的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【详解】令SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，由于SKIPIF1<0，由零点存在定理可知，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．作出函数SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象如下图所示：

由图象可知，直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象有三个交点；直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象有两个交点；直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象有且只有一个交点．综上所述，函数SKIPIF1<0的零点个数为SKIPIF1<0．故选：D．【典例2】（多选）（2023春·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0有三个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．m的取值范围为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0最大值为1【答案】AC【详解】函数SKIPIF1<0图象如图所示：

由图可得SKIPIF1<0，A正确；当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，B错误；又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0，C正确又SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故等号不成立,即SKIPIF1<0，D错误,故选：AC.【典例3】（2023春·山东烟台·高二统考期末）已知函数SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为．【答案】SKIPIF1<0【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为方程SKIPIF1<0有两个不相等的实数根，如图，

所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时方程SKIPIF1<0有1个解，如图，

当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0有1个解需满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.综上所述，实数a的取值范围为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（多选）（2023春·山东德州·高二统考期末）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0是偶函数，则SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的单调减区间是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0有两个零点【答案】ABD【详解】对于A，若SKIPIF1<0是偶函数，定义域为SKIPIF1<0，对于任意的SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，A正确，对于B,SKIPIF1<0由SKIPIF1<0复合而成，由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，开口向上的二次函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，所以由复合函数单调性的判断可知SKIPIF1<0的单调减区间是SKIPIF1<0，B正确，对于C，由B可知，SKIPIF1<0的单调减区间是SKIPIF1<0，单调增区间为SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最大值，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0值域为SKIPIF1<0，故C错误，对于D，由C可知SKIPIF1<0值域为SKIPIF1<0，如图：当SKIPIF1<0时，此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0有两个交点，故D正确，

故选：ABD【变式2】（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.函数SKIPIF1<0(SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)，若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恰有20个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0【详解】函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恰有20个零点，则函数SKIPIF1<0图象与函数SKIPIF1<0图象在区间SKIPIF1<0上有20个交点，由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0是周期为2的函数，作函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的部分图象如下：

易知当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0图象与函数SKIPIF1<0图象有17个交点，故在SKIPIF1<0上有3个交点，显然SKIPIF1<0不满足题意，所以则需SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【变式3】（2023秋·山西运城·高一统考期末）已知函数SKIPIF1<0.(1)若函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的最小值；(2)设SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象有SKIPIF1<0个公共点，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）解：因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则二次函数SKIPIF1<0的对称轴方程为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，即当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，即当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.综上：SKIPIF1<0.（2）解：SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象有SKIPIF1<0个公共点，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以方程SKIPIF1<0有两个不等的正根，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此，实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.题型08函数模型及其应用【典例1】（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户，如果教师用户人数SKIPIF1<0与天数t之间满足关系式：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0是刚发布的时间，则教师用户超过30000名至少经过的天数为（

）（参考数据：SKIPIF1<0）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【详解】由题意得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以教师用户超过20000名至少经过SK