（概率论与数理统计专业论文）bernoulli随机变量的随机比较.pdf

摘要 设i = ( 1 1 ，厶) 和1 7 = ( q ，) 是各分量相互独立的b e r n o u l l i 随 机向量，且满足p ( 厶= 1 ) = 肌，p ( 乓= 1 ) = p ：，i = 1 ，2 ，n ，再设 x l ，墨：是独立于i 和i 的非负可交换随机变量本文证明了，当弼，瓦) 超优于( p 1 ，p 。) 时，( 耳x l ，最j 矗) 在对称s u p e r m o d u l a r 序意义下小于 m x l ，厶x ；) ，并且：兰l _ 在期望剩余寿命序意义下小于墨1 文中还 研究了在通常的对称随机序意义下( 巧x 1 ，最蜀) 和( x 1 ，厶x 。) 的随 机比较，给出了b e r n o u l l i 随机变量之和的一些概率不等式 关键词： 似然比序 失效率序 反向失效率序 一般随机序 p d l y a 二型函数 失效率单调递增 超优 a b s t r a c t l e t i = m ，厶) a n d l 7 = ( 墨，) b e t w or a n d o m v e c t o r s o f i n d e p e n d e n t b e r n o u l l ir a n d o mv a r i a b l e sw i t hp ( 厶= 1 ) = p ta n dp ( 一= i ) = p ：f o re a c h 2 a n dl e tx i ，b en o n n e g a t i v ee x c h a n g e a b l er a n d o mv a r i a b l e s l w h i c h a r e i n d e p e n d e n to fia n di ，i t i ss h o w nt h a t i f ( p l ，p n ) i si l l a j o r i z e d b y 螨，蠊) ，t h e n ( h x ，) i ss m a l l e rt h a n ( a x l ，k 矗) i n t h es y m m e t r i cs u p e r m o d u l a ro r d e r ，a n d 坠l i ss m a l l e rt h a n 墨1 磊i n t h ei n e a l nr e s m u mi i f eo r d e r t h ec o m p a r i s o nb e t w e e n ( 正x ”，最x r ) a n d ( 4 x h ，厶) i n t h em u l t i v a r i a t eu s u a ls y m m e t r i cs t o c h a s t i co r d e ri sa l s o s t u d i e d s e v e r a li n t e r e s t i n gp r o b a b i l i t yi n e q u a l i t i e sa r ep r e s e n t e d k e y w o r d s ： l i k e l i h o o dr a t i oo r d e r h a z a r dr a t eo r d e r r e v e r s e dh a z a r dr a t eo r d e r u s u a 】s t o c h a s t i co r d e r p f 2 i f r m a j o r i z a t i o n 第一章综述 概率论与数理统计中经常会遇到对两个随机变量进行比较的问题，最常见的是比较二 者的均值和方差。但是在某些情况下，随机变量的均值和方差是不存在的，而且这种仪建 立在两个数字基础上的大小比较带给我们的信息实在太少在实际应用中，我们常常拥有 足够多的信息量而希望髓对两个随机变量的大小程度和变动程度进行更精细的比较，由此 导致了一系列随机序的产生这些随机序可以分为两大类，一类是用以比较隧机变量的大 小程度，如一般随机序( 。t ) ，失效率序( 0 时，n 0 被理鳃为是o 。；所有出现的积分和期望均假设是存在的 1 1 常用的随机序 设x 为一个随机变量，其分布函数和生存函数分别为f 和f ，记 坟= i n f z ：乃f ( 。) o ) ，衄= s u p z ：f x ( x ) 1 ) 我们称5i ( k ，u x ) 为x 的支撑y 是另一个随机变量，其分布函数和生存函数分别 为g 和百，支撵区间为( i v ，r ) ，其中l x ，0 可以取有限值或一o 。，而“x ，”y 可以取有 限值或o 。如果x 和y 的概率密度函数存在，则分别记为，和g 2 0 0 4 生 中国科学技术大学硕士学位论文第2 页 第一章综述 定义1 1 1 ( s h a k e d8 s h a n t h i k u m a r , 1 9 9 4 以，称x 在一般随机序意义下比y 随机小位为x 。ty ，如果 f ( t ) 兰虿( t ) ，v t ( 一，。o ) r 纠称x 在失效率序意义下比l 厂随机一1 、r 记为x j ，t m i n u x ，“y ) 下图给出了这上述几种一维随机序之间的关系 ( 1 ，1 1 ) 上述序有多种等价命题例如，xs 。ty 等价于e 陋( x jj e 陋( y ) 】对任意单调增 函数成立这第二个等价定义非常容易将。t 序推广到随机向量 定义1 1 2 设x = ( x l ，x 2 ，矗) 和y = ( y l ，m ，碥) 为两个随机向量 心，称x 在通常的多维随机序意义下比y 小倪。为x 。ty ，如果e m ( x ) 】 b i h ( y ) 对一切单调增函数h ：乳”一瞬成立 y 眦 一 xt ry y 编u x x 下r 茸 y y 鱼u 刍 x y 2 0 0 4 年中国科学技术大学硕士学位论文 第3 页 第一章综述 p j 称x 在通常的多维对称随机序意义下比y 小一。为xs s 。ty j ，如果e m ( x ) 】s e 限( y ) 】对一切单调增对称函数h ：g p 一瓣成立 失效率，反向失效率和期望剩余寿命是可靠性理论中常用的三个重要的函数如果x 具有概率密度，则失效率和反向失效率函数分别定义为 = 器， k 利用失效率和反向失效率可以给出上述 胡= ：；萨，v t u x ， 可_ 以证明 璐一群器矧( _ i n 州煳增 ( 1 地) 定义i 1 t e p 的5 个随机序是用来比较随机变量的大小关系的，下面定义中的随机序是 用来比较随机变量取值的变动程度，因而是属于变异序范畴 定义1 1 3 设x 和y 为两个随机变量 r 叫如果对任意凸函数以有皿睁( x ) jse 睁( y ) j 成立，则称x 在凸序意义下小于y ， 记为x 墨“yr 见s h a k e d8s h a n t h i k u m a r , j 9 到，s e c t 兽a ， ( b ) 如果砖任意阜礓8 翟i 函歉审；南 e 睁( x ) 1 e 渺( y ) 】， 则称x 在单增凸曲序的意义下小于y ，记为x 一i 。v 】y 阻s h a k e dd s h a n t h i k u m a g1 9 9 4 s e c t 3a ) 2 0 0 4 盔 中国科学技术大学硕士学位论文第4 页 第一章缩述 序! 。有以下的最基本性质： 若x s c ) 【y ，则i e x = 正y 因此，如果要比较均值不同的两个随机变量的波动程度，就不能用c x 序人们已有两种 办法来克服。的这缺点第一种办法是当x 和y 皆是非负随机变量且e x 和i e y 存在有限，定义一种新序x 茎l 。e n 。y ，若 x ， y 正夏。面歹 另一种办法就是在凸序意义下比较x i e x 和y - 一e y ( 注意此时两变量均值为0 ) 我们列出。x ，- i 。和i 。序的最基本性质( 见s h a k e d s h a n t h i k u m a r ，1 9 9 4 ) 命题1 1 1 设随机变量x 和y 满足e x = e y ，则 x c x y 锚x - i c x y 命题1 1 2 设随机变量x 和y 满足e x = e ，卵 命题1 1 3 命题1 1 4 x 。y 错f ( u ) d u 茎u ( u ) d u ，比瓣， j zj ? 筒f ( u ) d u g ( u ) d u ，v x 报 ，。 r 。 x 茎。y 仁 t ( u ) d us 百( u ) 如， j zjz r zr z x i 。y 错f ( u ) d u a ( u ) d u ， j 一。一 v x 豫 v z 验 x 。【- i c y 】y 一x i 。 i 。】一y 命题1 1 5 设x 和y 为非负随机变量，则 x m r l y = x - n 。j ，其中驰i ，。) 给定，1 是集合a 的示性函数 ( x ) 。1 忙i ! a ! 。 ，其中( a l ，口。) 给定 ( x ) = ，( 墨1 z t ) ，其中f ：蹰一瓣是单调增凸函数( c o n v e x l ， 妒( x ) = ，( m 积器1 警1 x i ) ，其中，：巩一驼是单调增凸函数 。( x ) = h ( 。l ，z 1 + x 2 ， z 1 + z 2 + - + x r a ) ，其中h ：豫m ，腑是s u p e r m o d u l a r 且关于每个变元具有凸性 定义1 1 4 阻s h a k e d 日s h a n t h i k u m a r , 1 9 9 7 ) 设x 和y 为两个随机向量，称x 在 ( b ) 在s u p e r m o d u l a r 序意义下小于y ，记作xs 。y ，若崛眵( x ) 】匠弦( y ) j 对于 任意的s u p e r m o d u l a r 函敷成立； ( c ) 在对称5 u p e v m 。札f 口r 序意义下小于y ，记作x s s 。y ，若e 曲( x ) 】e 【咖( y ) 】 对于任意的对称s u p e r m o d u i a r 函数西成立 2 0 0 4 年 中国科学技术大学硕士学位论文第6 页 第一章综述 近来， ( 对称) s u p e r m o d u l a x 序越来越多地运用于应用概率的很多领域，具体可参 见m e e s t e r & s h a n t h i k u m a r ( 1 9 9 3 ) ，b ；i u e r l e ( 1 9 9 7 ) ，s h a k e d & s h a n t h i k u m a r ( 1 9 9 7 ) ， b i i u e r l e & m i i l l e r ( 1 9 9 8 ) ，g o o v a e r t s d h a e n e ( 1 9 9 9 ) 由定义易知( 见m f i l l e r ，1 9 9 7 ) 以及 x s m y 哥置= s t k ，i = 1 ，n n x s s t 【s m ，n m y = = 辛。磁s t c x ，c 。】 = 1 1 。2 超优概念 ( 1 13 ) ( 1 1 4 ) 超优序的引入，使得我们能够比较两个实向量之间各分量的分散程度的差异( 见m a r s h a l l & o l k i n ，1 9 7 9 ，c h a p t e r1 ) 定义1 2 1 称实向量b = ( 6 i ，b 。) 超优于另一个实向量a = ( 6 1 ，a n ) ，记为a - 4 。、 b 若 a l = b i ， i = it = 1 且 = i n 其中a 1 l a 2 l 2 。m ，b l l b e 2 三6 【n 1 分别表示向量a 和b 的各分量按由 大到小的一个降序排列 以下是几个具体的例子，其中每个向量都是n 维的： ( 赫11 ，i 1 ) 。( 士，由，击，0 ) _ 。 。( ， ，0 ，o ) _ m ( 1 ，0 ，o ) ( 元1 ，瓦1 ，j ) m ( a 1 ，0 2 ，a 。) m ( 1 0 ，o ) ，其中o ，o ，各1 啦= 1 ( 5 ，5 ，5 ) _ 。( b l ，b 2 ，6 。) ，其中5 = i 1e 釜lb i ，且魄为任意的 y 。汹 唯 。 一 n 。鲥 2 0 0 4 年中国科学技术大学硕士学位论文 第7 页 叁三兰竺兰 若m2 l 且l c = m 血c ，则 ( 巴：竺姆o ) _ m 岵，o ，o ) m 下面的这两条性质后面将要用到，它将简化我们有关涉及向量超优理论方面的证孵 命题1 2 1 设a ，b 舻满足a _ mb ，则必存在向量e l ，i = 0 ，l ，k + 1 ，使得 a = c o me l m 。 m 。 mc k + l = b 且相邻两个c i 之间只有两个分量是不同的 命题1 2 2 设a ，b 敬“满足a mb ，则对任意凸函数曲：瓣一乳我们有 nn 咖( o t ) 曼庐( 6 t ) 4 = 1t = 1 1 3 本文的主要结果 取值0 或1 的随机变量我们称之为b e r n o u l l i 随机变量b e r n o u l l i 随机变量在应 用概率、统计、可靠性理论以及运筹学等中都有很广泛的应用例如，在个体风险模型( 或 非齐次的保单组合) 中，考虑n 个保单，在一个保单年度内，第i 个保单是否发生理赔用 b e r n o u l l i 变量五来表示，一旦发生理赔则理赔额大小为置，于是该保单组合在一个保 单年度内总的理赔额为墨1 五置，此处假设所涉及的变量相互独立( 见b o w e r se t a 1 ， 1 9 8 6 ) 设i = ( 1 1 ，厶) 和1 7 = ( 正，) 为各分量相互独立的b e r n o u l l i 随机向量， 且p ( 五= i j = a ，1 p ( 1 - ；= 1 ) = 硝，v i 记 p = ( p 1 ，肌) ，p 7 = ，菇) ( 1 3 1 ) k a r l i n & n o v i k o f f ( 1 9 6 3 ) ( 也可参见m a r s h a l l o l k i n ，1 9 7 9 ，c h a p t e r1 5 ，s e c t i o ne ) 给出了如下的在凸序意义下，墨1 厶和銎。的随机比较结果 2 0 0 4 年中国1 科学技术大学硕士学位论文第8 页 第一章综述 命题1 3 1 设i 和1 7 定义同上若p - k mp 7 ，则有 m a ( 2 0 0 0 ) 考虑了上述的非齐次的保单组合，给出了如下关于两个非齐次的保单组合 的一维随机比较 命题1 ，3 2 设i 和1 7 分别是各分量相互独立的n 维b e r n o u l l i 随机向量，x 1 ， 为非负可交换的随机变量，且独立于i 和1 7 若 ( g ( p 1 ) ，g ( p 2 ) ，k p n ) 。( 9 ( 最) ，9 ( 西) ，g ：) ) ( 1 3 2 ) 对于g ( x ) = 一l o g x 或g ( x ) = ( 1 一z ) 肛成立，则有 特别地，有 玛“巧玛 j = ij ；1 易。t 0 = ij = l 本文的主要工作包括三个方面：( i ) 把命题1 3 1 和命题1 3 2 中的一维随机比较结果 推广到多维随机比较情形；( i i ) 把命题1 3 i 中的。序加强为- - m r l ；( i i i ) 基于b e r n o u l l i 随机变量的性质而导出的一些概率不等式具体地，关于前两个方面，我们有如下结果： 定理1 3 1 设i 和1 7 分别是各分量相互独立的n 维b e r n o u l l i 随机向量，x i ， 为非负可交换的随机变量，且独立于i 和i 若p 。p 7 ，则有 特别地 ( 矗x 1 ，矗) s 。( i i x i ，厶) ( 1 3 3 ) ( 矗，) s s s 。( i i ，h ) ( 1 3 4 ) 。 娃 一 巧 。汹 2 0 0 4 盔 中国科学技术大学硕士学位论文第9 页 第一章综述 定理1 3 2 设i 和i 分别是各分量相互独立的n 维b e r n o u l l i 随机向量，x 1 ，x 。 为非负可交换的随机变量，且独立于i 和i 若f 3 剀对于g ( z ) = 一l o g 。或g ( z ) = ( 1 一z ) 屈成立，则有 特别地 ( 1 1 x i ，k 而) 兰。t ( 爿噩，鼍弱) ( j l ，矗) 兰。t ( 兀，矗) ( 1 , 3 5 ) ( 1 3 6 ) 定理1 3 3 设i 和i 分别是各分量相互独立的n 维b e r n o u l l i 随机向量若p e 卜( 酬 rn、1 e l 晤巧川 = e 眇( 矗噩，矗墨。) 由定理1 3 1 ，可以得到如下三个推论首先，利用( 芦，芦) 叫。( p l ，p 。) ，其中 f = i 1 翟1 a ，我们有 推论2 1 1 ( f r o s t i g ，2 0 0 1 叫设j l ，厶为独立的b e r n o u l l i 随机变量，满足e 五= 鼽 h ，矗为另一组独立同分布的b e r n o u l l i 随机变量，满足叫= n - 1 銎1 p i 则 ( ，厶) 疆m ( e xf 母 有 e ，、【 m e 翟0 4 ，。 中国科学技术大学硕士学位论文 第1 2 页 第二章主要结果的证明与有关推论 。 = ；= = = = = = 一 再注意到对任意凸函数，( z ) ，函数庐( x ) = ，( z l + 。2 + + z 。) 具有s u p e r m 。d u l a r 性质，由凸序的定义可得 推论2 1 2 抑地e o a o ) 设i ，i 和x 同定理j 。只1 若p _ mp ，a l z r nn 弓玛。玛 j = l j = 】 推论2 1 3 设i 和x 同定理只，令历，磊为取值于f o ，l ! 上的独立随机变量 满足e 历= ，v i ，且独立于x 和i 若 ( p 1 ，p 2 ，p 。) - 1 。，p ： 证明：令1 7 。( 正，最) ，其各分量为相互独立的b e r n o u l l i 随机变量，满足p ( 彰= 1 ) = p ：，且i ，独立于x 由s h a k e d & s h a a t h i k u m a r ( 1 9 9 4 ) 中的定理2 a 9 或l e 6 n & p e r r o n ( a 0 0 3 ) 中的命题3 ，可知五c x ，协，进而五蜀。0 五由凸序在卷积运 算下封闭的性质，得i 五置。墨l0 五因此由推论2 12 即得欲证之结果 1 l e 6 na n d p e r r o a ( 2 0 0 3 ) 中的推论4 和推论6 是推论2 1 _ 2 当x 1 = k ：1 和p i = p 。= 1 n 时对应的特殊情形 根据推论2 1 1 和以下的引理2 1 ，1 ，我们可以进一步得到如下的推论，该推论建立 了均值相同的二项分布与p o i s s o n 分布之间的凸序比较 引理2 1 - 1 ( m i i t l e r 目s t o y a n ，2 0 0 2 , 定理五彰设随机变量序列 ) 和 碥 满足 墨s i c xk ，v n n 如果卫x ，k 二y 且e m a x o ，羁) j b 【m “ o ，x 纠， e f m a x o ，l 么) 1 一e 【m a x o ，r l ，则x 兰i 。y 推论2 1 4 设x 服从二项分布b ( 礼，p ) ，y 服从均值n p 的p o i s s 帆分布，则x s c x y 黾 f 。 x垒x互 。甜 2 0 0 4 年 中国科学技术大学硕士学位论文 第1 3 页 第二章主要结果的证明与有关推论 证明固定n ，设，磊为服从占( m ，n p m ) 的随机变量，其中m n 现考虑两个各 分量相互独立的m 维b e r n o u l l i 随机向量i = m ，) 和i = ( 墨，) ，其中随 机向量i 和1 7 对应的参数向量分别为 p 。( 必，o ，。，o ) 注意到p 7 。p 根据推论2 1 1 得 p l = ( 署i n p ) o o ) 、_ - - 、，- - 一 这里= s t 表示同分布类似，我们有。，+ 1 ，m n 再注意到圮 】= n p = 琚 y j 且y moy 于是由引理2 1 1 得x yi 定理1 3 2 的证明： 仅证( 1 3 5 ) 证明类似于定理1 31 的证明对于任意对称的增函数舻，按( 2 1 2 ) 和 ( 2 13 ) 定义矿和西由于置为非负可交换的，知砂( 6 ) 关于6 为对称且递增的， 于是，由( 21 4 ) 知p ) 关于r 单调增因此，由命题1 3 ，2 得到 皿眇c x ”，厶，= e ( 砉弓) 证毕i 为证定理1 3 3 ，我们需要以下两个引理第一个引理是定理1 3 3 当n = 2 时的特 殊情形。 引理2 1 2 设( ，蜀) 和( 正，马) 分别是各分量相互独立的b e r n o u l l i 随机向量，满足 p ( 0 = 1 ) = p j ，p ( 弓= 1 ) = p ；，j = l ，2 若p - g m p 7 ，则有 正+ es m ，1 十如，( 2 i 5 ) 些一 誓 m n 叱且 记啦2l a ，= 1 一q i 注意到m ( t ) + t 和m 心) + t 于区间【i ，i + 1 ) 取值为常数， 所以欲证( 2 1 5 ) ，我们仅需证明： ( 1 ) 当t = 一1 时 而( t ) 兰m ( t ) ，t = 一l ，o ，1 佩0 ) = e 正4 - e + 1 】= p i + p ；十l = p l + p 2 十l = m ( t j ( 2 ) 当t = 1 时，疣( ) = 1 = m ( t ) ( 3 ) 当t = 0 时。 m ( 。) = 匠m + 屯l + 厶 0 = i p l 五q 2 了+ 干q 百l i p 2 _ + 干2 i p 面i p 2 ：1 + 兰! 些 p l + p 2 一p l p 2 类似地， 州o ) 1 + 蕊 因此，赢( o ) m ( 0 ) 等价于 l111 五+ 云两+ 瓦 注意到p 。p ，所以上不等式由命题1 2 2 立得 1 定义2 1 1 设x 为一个随机变量。其分布函数为f ， p ，x 称为是p f 2 ( p d l y a 二型函数j ，如果x 的概率密度或概率函数f ( x ) 存在，且 l o g f ( x 1 关于。为凹函数； 矽x 称为是i f r 佚效率单调递增，如果l o g f ( z ) 关于z 为凹函数， p f 2 和i f r 是两类寿命分布类的性质，相互之间的包含关系为 p f 2 争i f r( 2 ，l ，6 ) 2 0 0 4 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 5 页 第二章主要结果的证明与有关推论 引理2 1 3 ( s h a k e d 日s h a n t h i k u m a r ，1 9 9 4 ，引理j d 副设x 和y 满足x m ，【y 若z 是另一个i f r 随机变量且独立于x 和y ，则x + z - - m 。l y + z 定理1 33 的证明：当n = 2 时，本定理即为引理2 12 以下假设n 3 且i 与i 7 相互 独立根据命题1 21 知：存在向量p ( ”，z = 0 ，1 ，女+ 1 ，使得 p = p ( o ) mp ( 1 ) _ m mp ( k ) mp ( k + 1 ) = p 且相邻两个p 。) 之间只有两个分量是不同的再注意到序s 。“具有传递性，所以不妨假 设p 和p 仅有两个分量是不同的，这两个分量也不妨设为第一和第二分量记 p = ( p l , p 2 ，p 3 ，p 。) ，p = ( 一，p ；，p a ，p n ) 由p 。p 知( p l ，p 2 ) 。i ，砖) 于是根据引理2 1 2 得 矗+ 疋 。“l + 如 另一方面，b e r n o u l l i 随机变量为p f 2 的，而p f 2 性质在卷积运算下是封闭的( 见 d h a r m a d h i k a r i & j o a g - d e v ，1 9 8 8 ，p 1 7 ) ，于是翟3 厶也为p f 2 ，因而为i f r 应用引 理2 1 3 得 nr忱 皇( 墨+ 玛) + 与5 m 。l ( ，+ 丘) + o i = 1j = 3j = 3 证毕 i 最后，我们要提及f r o s t i g ( 2 0 0 1 b ) 中的一个结果设i 和1 7 为两个对称的n 维 b e r n o u l l i 随机向量，令x 为非负随机向量( 各分量不必独立) ，独立于i 和1 7 f r o s t i g 证 明了，如果警1 五s c x 墨l ，则有 x 1 ，厶五，) s 。( 正x 1 ) ，疋五t ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 7 ) 的证明依赖于下面将要提到的命题2 1 1 在f r o s t i g ( 2 0 0 1 b ) 中，命题2 1 l 的证 法很繁琐，这里，我们提出一种新的十分简单的证明方法，这种证法类似于定理13 、1 的 证明。 2 0 0 4 年中国科学技术大学硕士学位论文匏1 6 页 兰三兰圭兰兰墨! ! 兰兰皇童兰竺兰 命题2 1 1 ( f r o s t i g ，2 0 0 i b ) 设x = ( x i ，墨。) 为非负随机向量，且妒：瓣华一驼为 一个s u p e r r n o d u l a r 函数定义 其中 ( r ) = 击e 渺( 6 1 x ”，如墨) 】) r = o ，1 ， k r jj ， ，= s = c a ，如，：盈t 。，- ，i = - ，n ，且耋蠡= r ) 则曲在 o ，l ，n ) 上为凸的 和 证明：设a 由( 2 。1 1 ) 所定义对于任意的s u p e r m o d u l a r 函数砂，定义 妒4 ( 6 1 ，如) = e 渺( 6 l x l ，h ) 扩( d l ，d ，矗) = 丽1 妒( 卵i ，) ，6 q p ( 6 ) 其中p ( 6 ) 为6 = ( 6 1 ，如) 的所有置换组成的集合可见妒+ ( 因此+ ) 在 0 ，1 ) “是 s u p e r m o d u l a r 函数，并且矿也是对称的注意到 ( r ) = + ( 1 ，0 。一，) 利用的s u p e r m o d u l a r 性质，我们有 咖p 一1 ) + 妒p + 1 )= 曲+ ( 1 ，一1 ，0 , t - - r + 1 ) + ( 1 r + 1 ，0 , z - - r - - 1 ) 即妒在 o ，1 2 曲+ ( 1 ，0 。一，) = 2 咖( r ) ，r = l ，n 一1 n ) 上是凸的 i 第三章b e r n o u l l i 随机变量和的概率不等式 本章利用b e r n o u l l i 随机变量的随机眈较结果给出一些b e r n o u l l i 随机变量之和的概 率不等式 设，1 ，而，厶为独立的b e r n o u l l i 随机变量，满足p ( 弓= 1 ) = 所，j = 1 ，n i 墨，玛，霸为另一组独立的b e r n o u l l i 随机变量，满足p ( 巧= 1 ) = 码，j = 1 ，n 根据定义可以直接验证：对任意i = 1 ，n ， 鼽p ：葺五 - 1 。_ 特别0 1 r 厶兰l r1 再注意到每个b e r n o u l l i 随机变量都是p f 2 的，以及p f 2 性质在卷 积运算下具有封闭性( 见d h a r m a d h i k a r i & j o a g - d e v ，1 9 8 8 ，p i1 7 ) ，于是根据s h a k e d s h a n t h i k u m a r ( 1 9 9 4 ) 中定理1 - c 5 可得以下结论 定理3 1 1 设五，厶；正，最如上定义 倒叁i 厶具有p f 2 性质； 阳j 如果鼽冬p ：，i = 1 ，n ，则翟1 厶l 。坠l i 俐墨。五k 坌 五； 例墨l 厶l r1 + 薹? 五 利用定理3 1 1 ，我们可以如下的两个定理( 定理3 1 2 和定理3 1 3 ) 引进记号： n 晶= 厶， 踏= s 锋一厶，女= 1 ，n ( 3 1 ，1 ) = l 儡= 1 一鼽，i = 1 ，n ( u o 1 2 ) 当我们强调岛的分布依赖于参数p = ( p l ，p 。) 时，使用记号s n ( p ) 定理3 1 2 设j l ，厶如上定义则 俐锚和箍甍 俐箍甍删， 关千k 单调递增( s a m u e l s ，1 9 6 5 ) = 0 ，l ，n 1 7 2 0 0 4 年 中国科学技术大学硕士学位论文 第1 8 页 第三章b e r n o u l l i 随机变量和的概率不等式 ( 3 ) u ( 5 ) 1 6 ) ( 7 1 p ( 品= ) 、 取丽 p ( 品= k ) 、 菽莎 p ( s n 一1 = 一1 ) 妒( 又一1 = l 一1 ) 驴( 晶一1 = k 一1 ) p ( 又一1 f 一1 ) 其中 f 其中 2 里攀掌尊关于单调递增； p ( 晶) “一“ p ( 硝= k 1 ) 、驴( i ：l = k 一1 ) 妒( )一p ( & 十1 兰k ) p ( 硝】= k ) 、驴( s 拦1 = k 一1 ) p ( s n + 1 ) 。p ( s i 一1 k ) k = 1 ，2 ，n 2 = l 女= l ，2 ，n i ，i = l 1 2 1 证明：( 1 ) 由定理3 ，1 1 ( a ) 知岛为p f 2 ，因而为i f r ，即】o g p ( 岛七) 为凹函数 于是立即得到( 1 ) ( 2 ) 似然序强于失效率序，由定理3 1 1 ( c ) 得& o 其中最后不等式利用了( 4 ) 蕴涵的以下不等式 和 定理证毕， _ p ( 硝) = ) 、p ( s 墨1 = 一1 ) p ( 鲻) 2p ( s 坦1 a 1 ) p ( 爵) = ) 、i w s ( 0 1 = 一1 ) ) ( s 1 5 ：f ) 七+ 1 ) 一p ( s 坦l 砷 定理3 1 ，3 设j 1 ，厶如上定义则 p ，里菩丧觜和嚣渊关于p 单调递减p 。m “创岛，s 印 俐奄措关于p 单调撼其中，m 这里k 的选取使得表达式有意义 证明：( 1 ) 根据定理3 1 1 ( b ) 以及序s l r 蕴涵 b 。，可得蚕暑篆端关于p 单调递增 2 0 0 4 年中国科学技术大学硕士学位论文第2 0 页 第三章b e r n o u l l i 随机变量和的概率不等式 ( 9 ) 固定k 和i 记 佃，= 措 显然，7 ( p ) 关于p 单调递减f 证明7 ( p ) 关于p j 也是递减的，v j 。 不妨设i = n ，对易取条件得 巾，= 雩器象并瓣 于是， 面0r ( p ) 磐 p ( 螋= 一2 ) 一p ( 鼎，= 一1 ) i 耶p ( 磷一1 ) + 钉p ( 船2 ) i b p ( j s 芝1 = k 一2 ) 。i p , s c 7 ) 1 = k 一1 ) l i p ( 船k 一1 ) 一p ( 孵2 ) l = p ( s 罂l = 是一2 ) p ( s g 后) 一l p ( | s _ 罂1 = 惫一1 ) p ( s g 壳一1 ) 磐糍一篱如p ( s 挈惫一1 )p ( s 爿k ) 其中最后一步不等式利用了定理3 1 2 ( 5 ) k - e 毕 i i 参考文献 f l jb u e r l e ，n ( 1 9 9 7 ) 、i n e q u a l i t i e sf o rs t o c h a s t i cm o d e l sv i as u p e r n l o d u l a ro r d e r - i n g s c o m m u n i c a t i o n si ns t a t i s t i c s s t o c h a s t i cm o d e l s1 3 ，1 8 1 2 0 1 f 2 7b u e r l e ，n a n dm e r ta ( 1 9 9 8 ) m o d e l i n ga n dc o m p a r i n gd e p e n d e n c i e si n m u l t i v a r i a t er i s kp o r t f o l i o s a s t i nb u l l e t i n2 8 ，5 9 7 6 f 3 7b o w e r s ，n l ，g e r b e r ，h u ，h i & m a n ，j c ，j o n e s ，d a a n dn e s b i t t ，c j f 1 9 s 6 ) a c t u a r i a lm a t h e m a t i c s t h es o c i e t yo fa c t u a r i e s ，i t a s c a ，i l f 4 7d h a r m a d h i k a r i ，s a n dj o a g - d e v ，k ( 1 9 8 s ) u n i m a d a l i t y ，c o n v e x i t ya n da p p l i c a t i o n s a c a d e m i c ，n e wy o r k ( 5 jf r o s t i g ，e ( 2 0 0 1 a ) ac o m p a r i s o nb e t w e e nh o m o g e n e o u sa n dh e t e r o g e n e o u s p o r t 岛l i o s n s u r a n e e ：m a t h e m a t i c s 日e c o n o m i c s2 95 9 7 1 f 6 jf t o s t i g ，e ( 2 0 0 1 b ) c o m p a r i s o no fp o r t f o l i o sw h i c hd e p e n do nm u l t i v a r i a t e b e r n o u l l ir a n d o mv a r i a b l e sw i t hf i x e d m a r g i n a l s ，i n s u r a n c e jm a t h e m a t i c sd e c o n o m i c s2 9 ，3 1 9 3 3 1 7 jk a r l i n ，s a n dn o v i k o f f ，a ( 1 9 6 3 ) g e n e r a l i z e dc o n v e xi n e q u a l i t i e s p a c i f i c j o u r n a l0 m a t h e m a t i c s1 3 1 2 5 1 1 2 7 9 同8g o o v a e r t s ，m j a n dd h a e n e ，j ，( 1 9 9 9 ) s u p e r m o d u l a ro r d e r i n ga n ds t o c h a s t i c a n n u i t i e s i n s u r a n c e m a t h e m a t i c sde c o n o m i c s2 4 ，2 8 1 2 9 0 【9 j l e d n ，c a a n dp e r r o n ，f ( 2 0 0 3 ) e x t r e m a lp r o p e r t i e so fs u m so fb e r n o u l l i r a n d o mv a r i a b l e s s t a t i s t i c sg p r o b a b i l i 移l e t t e r s6 2 ，3 4 5 3 5 4 1 0 】m a ，c ( 2 0 0 0 ) c o n v e xo r d e r s f o rl i n e a rc o m b i n a t i o n so fr a n d o mv a r i a b l e s j o u r - h a l6 s t a t i s t i c a lp l a n n i n ga n di n f e r e n c e8 4 ，1 1 2 5 1 1 1m a r s h a l l ，a w a n d k i n ，i ( 1 9 7 9 ) i n e q u a l i t i e s