（数学专业论文）随机复动力系统与分形集的hausdorff测度.pdf

中文摘要 分形几何中由迭代函数系构造分形集的方法推动了由多个理函数生成的 动力系统即随机复动力系统的产生而对由有限多个有理函数生成的随机复动 力系统的f a t o u 集上的动力学性质的认识则为研究随机复动力系统的主要任 务之一为研究随机复动力系统的f a t o u 集上的动力学性质，在第一章我们首 先引入了f a t o u 分支上的极限函数并对其性质，特别是这些极限函数与临界 轨道的关系，作了深入讨论然后，借助所得结果研究了一类没有游荡域的随 机复动力系统一双曲随机复动力系统最后，讨论了由有限多个有理函数生 成的随机复动力系统的j u l i a 集的连续性 为解决f a t o u 提出的关于有理函数的j u l i a 集的l e b e s g u e 测度的一个猜 想，计算与估计j u l i a 集的h a u s d o r f f 测度具有非常基本而重要的意义，同时， 在分形几何研究中计算与估计分形集的h a u s d o r f f 测度是一个十分重要的课 题然而这也是一项十分困难的工作，即使对于看上去很简单的分形集，要 得到它的h a u s d o r f f 测度的精确值往往也都具有很大的难度事实上，迄今为 止，也只有少量的维数不大于1 的自相似集的h a u s d o r f f 测度的准确值被计算 出来在第二章为了计算s i e r p i n s k i 垫片的h a u s d o r f f 测度，考察了其上的一 类自相似测度及它的( 凸) 密度，回答了该自相似该测度的最大密度的存在性 问题 似集 关键词：j u l i a 集；f a t o u 集；正规族；h a u s d o r f f 维数；h a u s d o r f f 测度；自相 第i 页 a b s t r a c t t h ei d e af o rw h i c hg e n e r a t e sf r a e t a ls e t sb yaf a m i l yo fm a p p i n g sl e a d s t ot h ed e v e l o p m e n to far a n d o mi t e r a t i o ns y s t e mf o r m e db yas e to fr a t i o n a l f u n c t i o n s o n eo ft h em a i nt a s k st os t u d yi st h eu n d e r s t a n d i n go fd y n a m i c so n t h ef a t o us e to ft h er a n d o mi t e r a t i o ns y s t e mf o r m e db yaf i n i t es e to fr a t i o n a l f u n c t i o n s t od oi t ，i nc h a p t e r1w ef i r s ti n t r o d u c el i m i tf u n c t i o n so nt h e f a t o uc o m p o n e n t sa n di n v e s t i g a t ep r o p e r t i e so fl i m i tf u n c t i o n s ，e s p e c i a lf o rt h e r e l a t i o n s h i po ft h el i m i t sf u n c t i o n sa n dc r i t i c a lo r b i t s a n dt h e nw ea p p l yt h e s e r e s u l t st oh y p e r b o l i cr a n d o mi t e r a t i o n sa n ds h o wt h a tt h e r ei sn o n w a n d e r i n g d o m a i no nh y p e r b o l i ci t e r a t i o ns y s t e m s f i n a l l yt h ec o n t i n u i t yo ft h ej u l i as e t o ft h er a n d o mi t e r a t i o ns y s t e mf o r m e db yaf i n i t es e to fr a t i o n a lf u n c t i o n si s s t u d i e d t os o l v eaf a t o uc o n j e c t u r eo nt h el e b e s g u em e a s u r eo ft h ej u l i as e to f ar a t i o n a lf u n c t i o n i ti sv e r yi m p o r t a n tf o ru st oc a l c u l a t ea n de s t i m a t et h e h a u s d o r f fm e a s u r eo ft h ej u l i as e to far a t i o n a lf u n c t i o n m e a n w h i l e 、o n eo fk e y t a s k si nf r a c t a lg e o m e t r yi sc a l c u l a t i o na n de s t i m a t i o nt h eh a u s d o r f fm e a s u r e o faf r a c t a ls e t b u tt h i ss u b j e c ti sd i f f i c u l tt ot a c k l ee v e na st os e e m i n g l y s i m p l e rs e t i nf a c t ，t h ea c c u r a t ev a l u eo fh a u s d o r f fm e a s u r eo fs e l f - s i m i l a r s e t sw i t hh a u s d o r f fd i m e n s i o nn 0m o r et h a n1i so b t a i n e ds of a ri nc h a p t e r 2w ei n v e s t i g a t ea ( c o n v e x ) d e n s i t yo nas e l f - s i m i l a rm e a s u r eo nt h es i e r p i n s k i g a s k e ta n di t s ( c o n v e x ) d e n s i t yi no r d e rt oc a l c u l a t et h eh a u s d o r f fm e a s u r eo f t h es i e r p i n s k ig a s k e t i ti ss h o w e dt h a tt h em a x i m u md e n s i t yf o rt h es e l f - s i m i l a r m e a s u r ei sa t t a i n e d k e yw o r d s ： j u l i as e t ；f a t o us e t ；n o r m a lf a m i l y ；h a u s d o r f fd i m e n s i o n h a u s d o r f fm e a s u r e ；s e l f - s i m i l a rs e t 部分符号说明 砒 k 一维欧式空间 d kk - 维空间的欧式度量 m k 一维勒贝格测度 i e i集合e 的直径 b r ( x )以。为中心，以r 为半径的球 c ( 剩)r o 中所有紧集构成的集合 川。集合a 的e 平行体 d i m h h a u s d o r f f 维数 w s ( e ) 集合e 的8 维h a u s d o r f f 测度 d hh a u s d o r f f 度量 c 有限复平面 砭 扩充复平面或复球面 j ( r )有理函数r 的j u l i a 集 f ( r ) 有理函数r 的f a t o u 集 第i v 页 第一章复动力系统 1 1 前言 复动力系统的研究初创于第一次世界大战期间，f a t o u 和j u l i a 受n e w t o n 迭代法的启发，产生了r i e m a n n 球面上的复动力系统的研究思想，两人独立 发表了一些研究工作在上世纪2 0 年代，他们用新的正规族理论( 如m o n t e l 定理等) 于复动力系统，得到了一系列非凡的结果，完成了复动力系统的奠 基工作，形成了经典的f a t o u j u l i a 理论 在其后的五六十年间，这方面的研究却没什么突出的进展上世纪八十年 代以来，这一领域又受到广泛的关注，己成为复分析的主要研究方向之一国 际上许多数学家如d o u a d y ，h u b b a r d ，m c m u l l e n ，m i l n o r ，t h u r s t o n ，y o c c o z 等 均为复动力系统的发展作出了杰出的贡献目前这一领域的突出特点是与拓扑 学、代数学理论以及和现代分析理论的广泛结合，特别是，近年来计算机科 学和技术的快速发展，为该研究工作提供了有效的实验工具人们借助于先进 快速的计算和模拟手段验证和提出了许多假设，也为该学科的发展提供了原始 的素材值得一提的是，复动力系统和分形几何是紧密相关的事实上，复动力 系统理论中的主要研究对象j u l i a 集一般具有分形结构 设，是定义在区域d 上的解析自映射，这里d 可以是复平面c 内的一 个区域，复平面c ，复球面e = c u 或一般的r i e m a n n 曲面对于初值 z 0 d ，考虑迭代 z 1 = f ( z o ) ，z 2 = ，( z i ) ，= ，( 一1 ) ， 我们称 。o ，z l ，矗，) 为点z o 在，作用下的轨道，有时简称为点z o 的轨道， 记为o ( z o ) 对于函数，如果定义，o 为恒等映射， f 1 = | 1 | = | 0 | 。，? ，| “= j0 n 一1 。 那么对于初值z o d ，= ，) ，礼= 1 ，2 ，复动力系统主要研究下列问题： 对于给定的解析自映射，和初值加，其轨道的极限状态； 第l 页 第一章复动力系统 对于给定的解析自映射，关于初值z 0 的稳定性； 关于解析自映射，的稳定性 如果，和9 是区域d 上的解析自映射，h ：d _ d 是一共形映射，且满足 ，= h o g 。h “ 则称，和g 是共形共轭的，h 称为共轭变换当，和g 是共形共轭时，则广也 共轭于g “，因而，和g 的动力系统可以看作是相同的 经典复分析的一个重要结论是下面的单值化定理： 单值化定理：任何单连通的r i e m a n n 曲面共形等价于三种标准的 r i e m a n n 之一： 1 ) r i e m a n n 球面e ， 2 ) 复平面c ， 3 ) 单位圆盘a = z c ：h 1 ) 对于一般的r i e m a n n 曲面d ，其万有覆盖曲面d 是单连通的r i e m a n n 曲 面如果记：d _ d 是覆盖映射，则它是局部共形映射 1 2 有理函数的动力学 我们考虑r i e m a n n 球面砭上的亚纯映射冗( 有理函数) 的动力系统其一 般形式为： 砟) = 貉 这里p ( z ) 和q ( z ) 为互质的多项式我们称多项式p ( z ) 和q ( z ) 中的最大次 数为有理函数的度，记为d e g ( n ) 事实上，对于任何a 砭，冗( z ) 一a 的零点个 数等于r 的度 为了说明我们的结果，有必要对有理函数的动力系统中的一些基本而重要 的事实作一些简单的总结，这样也有益对后面的结论有更好的理解首先注意 到：给定一初值钿e ，= r “) ，n = 1 ，2 ，如果收敛到 t o ，则 ”2 土怒z n + l2 墨恐r ( ) = 冗( w ) ， 第2 页出站报告 第一章复动力系统 所以， t o 是冗的一不动点现在来讨论更一般的情形一冗的周期点如果 z o e 且r p ( z o ) = z o ，点。o 为r 的周期点使上式成立的最小正整数p 称 为其周期这时z o 的轨道是一条有限轨道o ( z o ) = z 0 ，z - = 兄( 铂) ，勺一t = r p 。( 如) ) 而周期点及其临近的性质与导数有密切联系因此，如果如为冗的周期 点z o 的轨道为o ( z o ) = z 0 ，z 1 = r ( z 0 ) ，白一1 = r p _ 1 ( 知) ) ，我们定义z 0 的 乘子f 或特征值) 为 a = ) ( 劲) = n ( ) ( 知) j = o 因此，在o ( z o ) 内的每一点都有相同的乘子，故a 也称为周期轨道的乘子下面 给出周期点的分类： 定义1 2 1 如果z o 为r 的周期点，周期为p ，在z o 点的乘子为a ，那么 1 ) 当0 0 ，f ( 舻) = f ( r ) ，( r k ) = ，( r ) 4 如果u 是r 一个f a t o u 分支，则r ( d ) 也是一个f a t o u 分支，冗_ ( d ) 的每个连通分支也是f a t o u 分支 5 ，j ( r ) 是完全集如果j ( r ) 包含有内点，则j ( r ) = e 6 r 的排斥周期点在它的j u l i a 集中是稠密的 上世纪八十年代，s u l l i v a n 借助于拟共形映射理论证明了游荡域定理，这是 复动力系统的一个核心问题，也是上世纪复分析的重要成果之一设咒是一度 大于1 的有理函数，d 是它的一个f a t o u 分支，如果存在整数n 1 使得 钟( d ) = d 第4 页出站报告 第一章复动力系统 称d 是周期的，n 是其周期如果存在整数n ，k 1 使得 冗”+ ( d ) = r d 称d 是最终周期的如果对于任意住，m 1 ，且他m 都有 兄“( d ) a r ”( d ) = d ， 称d 是游荡的s u l l i v a n 得到 定理1 2 2 ( s u l l i v a n 定理) 对于度大于1 的有理函数的f a t o u 分支都是最 终周期的，即不存在游荡域 由s u l l i v a n 定理，我们需要研究周期的f a t o u 分支，但是周期为n 的f a t o u 分支是r t l 的不变分支，即r n ( d ) = d 因此，我们仅讨论不变分支得到： 命题1 2 2 如果冗是度大于1 的有理函数，d 是不变的f a t o u 分支，那么， d 必为下列五种情形之一 吸引的存在r 的吸引不动点z o d ，r “在d 内局部一致地收敛到z o ； 超吸引的存在_ r 的超吸引不动点劫d ，r n 在d 内局部一致地收敛 到劫； 抛物的存在兄的有理中性不动点z o o d ，r n 在d 内局部一致地收敛 到铂； s i e g e l 盘d 共形等价于单位圆盘，r 共形共轭于上的无理旋转 z 卜e x p ( 2 r i o ) z ，z a ，0 为无理数； h e r m a n 环d 共形等价于圆环a ( r ，1 ) = 。：0 r c a ”，n 1 ，这里导数刷表示球面导数； 冗的所有l 临界轨道的闭包与j ( r ) 的交是空的； i l 缶界点的轨道收敛到它的某个吸引( 或超吸引) 周期轨道 从上面的命题1 2 4 知道：如果兄是双曲的有理函数，则f ( r ) 是非空的 再由命题1 2 1 ，j ( r ) 是扩充复平面上的一个没有内点的完全集并且已经得 到：这时的，( r ) 的二维l e b e s g u e 侧度为零，它的h a u s d o r f f 维数也小于2 ( 如 文献【9 ，1 2 d 上世纪二十年代，f a t o u 就猜测： 第6 页出站报告 第一章复动力系统 如果咒是度大于1 的有理函数，则j ( n ) 的二维l e b e s g u e 侧度为零 但是，到现在为止人们还没能解决该问题 下面讨论j u l i a 集的连续性w 是一连通的复流形，设兄。z ) = r ( w ，z ) ： w 一c 卜一c 为一有理函数解析族，即对固定的w 彬( z ) 是一有理函 数，且对固定z e ，r ( 叫，z ) 是关于叫解析的特别地，风，( z ) 可以是全体 度为七 l 有理函数或多项式组成的空间如果w 彬皿。( z ) 的j u l i a 集为 ，( 风，) 我们已经知道：，( 风，) 是非空的完全集，而在西所有紧子集所组成的集 合族上，可以定义一完备的度量- - h a u s d o r f f 度量( 如定义2 2 3 ) 文献2 1 ，2 4 得到： 命题1 2 5 如果对于任意的加眠( z ) 是度为k 的有理函数，且 w o w ，则j ( 兄。) 在风处连续的充要条件是凰，。没有抛物周期点和s i e g e l 周期点，且也没有h e r m a n 环 1 3 随机复动力系统 前面讨论了单个有理函数的迭代，以后我们称它为经典的复动力系统受 分形几何学中构造分形集的迭代函数系的方法的启发，1 9 9 0 年，周维民和任福 尧研究了多个理函数生成的动力系统，称之为随机复动力系统( 见【2 3 】) 在文献 【6 】中，h i n k k a n e n 和m a r t i n 引入了由多个有理函数生成的有理半群( r a t i o n a l s e m i g r o u p ) 实际上，这两个系统有许多相似的结果和研究方法 佗= r l ，r 2 ，r m ) 表示由n 个度大于1 的有理函数组成的集合，y = 1 ，2 ，m 和 z m = n y = ，j 2 ，j ) i 五y ) 对于每一个轨道一= 0 l ，j 2 ，矗，) e m ，我们定义 孵( z ) = z ，咿( z ) = 蜀。o 一。o or j 。( z ) ， 和孵( 。) 的逆w “( z ) ， 盱“( z ) = ( 叼) 。1 ( z ) = 啄1o 壤1 。吲( z ) n = 1 2 我们给出冗的j u l i a 集和f a t o u 集的定义： 第7 页 出站报告 第一章复动力系统 定义1 3 1z 0 记，如果存在z o 的一个邻域u ，使得对任意的g = ( j l , j z ，j 。，) m ， 叼( z ) ) 在u 上是正规的，则称z 0 是冗的正规点 冗的所有正规点组成的集合称为死的f a t o u 集，记为f ( 完) ，而f ( 冗) 的余集 e f ( 冗) 称为7 z 的j u l i a 集，记为j ( 冗) 显然，f a t o u 集是开集，而j u l i a 集闭 集f a t o u 集f ( r e l 的连通分支称为f a t o u 分支 与定义1 2 2 比较：如冗仅包含一个元素r ，上面的定义与经典的f a t o u 集f ( r ) 和经典的j u l i a 集j ( r ) 是一致的下面给出冗排斥不动点定义 定义l 3 。2z 砭叫做咒的排斥不动点，如果存在轨道盯e 材和正整数 k 使得w ( 。) = z 且l ( w ) ( z ) | 1 与定义1 2 1 比较，这里我们仅定义了冗的排斥不动点，没有对应的给出 其它类型的不动点的定义到现在为止还没有一个好的方式来定义其它类型的 不动点( 见文献 1 3 】) 当冗至少包含两个元素时，在经典动力系统中f a t o u 集和j u l i a 集所具 有的性质( 如命题1 2 1 ) ，现在不一定都成立 例1 3 1 取冗= r l ，岛) ，这里r l = 2 2 ，岛= z 2 2 ，首先，注意到r l 和 岛都是 2 上的自映射因而 v ( r e ) d z c ：吲 1 u z c ：h 1 ) 其次， j ( z 2 ) = z ：l z i = 1 ) ，了( z 2 2 ) = 0 ：吲= 2 ) 由于y ( r e ) 是向后不变的，故0 ：i z i = 、，互 cj ( 冗) ( 这是 。：= 2 ) 在 岛下的逆像) 利用归纳方法，我们不难得到：，( 冗) 包含所有圆心在原点 半径为2 的圆周，这里k = j 2 ”，j = 1 ，2 ，2 “n 为正整数，丽这些圆周在 z c ：1sh12 ) 上是稠密的，再由j ( 7 是闭集所以 j ( r e ) = 。c ：1s 52 ) 和 f i f e ) = z c ： 1 ) u z c ：吲 o 第l o 页出站报告 第一章复动力系统 车 尸( 佗) = u 巧两 ( 1 1 ) a e e m 在经典的动力系统中，每一个常值的极限函数都要吸引一个临界轨道， 对于随机复动力系统死，我们得到： 定理1 4 1 如果在f a t o u 集f ( n ) 的某一连通分支u 上存在常值的极限函 数( ，则属于p ( 冗) 证明：假设结论不成立，则存在r 0 ，使得d = j z 一( 1 o 和所有的z ，y ，有 1 w 2 。( 。) 一妒( z ) i 时，有叼t ( u ) cv 因而，我们现在可 假定有一正整数的子数列 m ) 和轨道口满足- 叼( cu 和在f a t o u 分支u 上，当i - 4o o 时，有w 局部一致地收敛到妒 驳 啦) 的一子数列并进行重排，我们可以假设m i = n i 一7 2 i 一- _ o o ，( 当 i - - + o o 时1 令 g 。；( z ) = 嚷- l ( ，1 ( z ) 一岛。；o o 砜。+ 。( z ) 因为g 。( u ) cu ，故在u 上g 。是正规的，也存在正整数的一子集和 函数妒，当i _ 0 0 且i n 时，有g 。；在u 上局部一致地收敛到妒这时我们 得到：当i _ 0 0 且i n 时， 妒l p ( z ) = t i m g m ，( - 叼”1 晤) ) = l i r a w 留( z ) = 妒( z ) ，z u 因为妒是非常值的极限函数，所以妒一定是恒等映射 因为冗是有限多个有理函数组成的集合，我们可以找到g 。；，不妨任记成 g m 。，使得嵋。；( ，) ( z ) = 马。+ l 是同一个有理函数，记为f 下面我们将证明， 在u 上是单射实际上，如果y ( a ) = ，( 6 ) ，则 g 。( n ) = 儡叫。、( o ) = w ，m i - 1 + ( ，) ( ，( o ) ) = w 5 m ，i - 一1 + - f 。) ( ，( 6 ) ) = 嘿_ l f ，1 ( b ) = g 。( b ) 第1 2 页出站报告 第一章复动力系统 因为当i _ o o 且i n ，有g 。；在u 上局部一致地收敛到恒等映射，故对 上式取极限，我们得到d = b 所有结论证完 上述定理表明：如果在f a t o u 集f ( 冗) 的某一分支u 上存在一非常值的 极限函数，则在有理函数族冗中一定有一个函数马，使得局有s i e g e l 盘或 h e r i i l a n 环 1 5 双曲随机复动力系统 在经典的复动力系统中，我们研究了一类有理函数一双曲的有理函数f 如 命题1 2 4 ) 现在我们引入双曲的随机复动力系统系统如下 定义1 5 1 函数系统冗是双曲的，如果有尸( 冗) cf ( 冗) ，这里p ( 冗) 如 f 1 - 1 ) 式所定义 很清楚：如果冗= r ，即是说，冗中仅含有一个有理函数r ，按现在的定 义，冗是双曲也蕴涵着在通常意义下的r 也是双曲的( 见命题1 2 4 ) 我门知道：如粟有理函数r 是双曲的，则它的f a t o u 集f ( r ) 是非空的，所 以它的j u l i a 集j ( r ) 没有内点但是，如果冗包含至少两个元素且是双曲的， 它的, j u l i a 集j ( n ) 也可能有内点如例1 3 1 ：r 1 = z 2 ，r 2 = ( 1 2 ) z 2 是有理函 数，它们的临界点为0 和o o ，这也是它们的不动点因而 r 1 ，r 2 ) 是双曲的，但 是它们的j u l i a 集为j = z c1 2 ) 对于任一足冗，它不一定将f a t o u 集f ( n ) 的每一分支映射成f a t o u 集 f ( n ) 的一个分支( 如例1 3 1 ) ，因而我们必须谨慎定义佗的游荡域的定义如 果u 是f ( n ) 的一个分支，我们用l 学表示包含w ? ( 的f a t o u 分支，现在我 们给出 定义1 5 2f a t o u 集f ( n ) 的一连通分支u 是游荡的，如果存在一轨道 o - e m 和正整数的子数列 码) 使得 u n u = 硒，j k 由上面游荡域的定义可知：如果佗= 埘，即是说，冗中仅含有一个有理 函数咒，冗有一游荡域u ，则在在通常意义下，u 也是一游荡域实际上，如果 第1 3 页出站报告 第一章复动力系统 u 是有理函数r 的f a t o u 集的一个分支，且存在一正整数的予数列 n 女 使得 钟t ( u ) r “，( ，k j ，则对于正整数m ，f 且m f ，一定有 兄”( u ) r ( u ) 我们知道：有理函数的f a t o u 集的每个分支都是最终周期的但是，对于 随机复动力系统冗，还不清楚它的f a t o u 集的每个分支是否是最终周期的现 在当冗是双曲的，我们得到如下的结果 定理1 5 1 如果冗是双曲的，则f a t o u 集f ( 冗) 的任何分支都不是游荡 的 证明：假设有理函数族咒的f a t o u 集f ( n ) 的分支u 是游荡的，则存在 轨道盯p m 和正整数的予数列 啦) 使得当j i 时，有u 2 。【臀t 注意到 w 2 ( z ) 在u 上是正规的，所以有 m ) 的一个子数列，不妨任记为 m ，使得 w 2 t ( z ) 在u 上局部一致地收敛到某一函数9 ( z ) 则9 ( z ) 是u 上的一常值函 数因为如果g ( z ) 不是u 上的常值函数由上面的讨论知道，9 ( v ) 将在f a t o u 集的某个分支内，记为y ，又由于叼t ( z ) 在u 是局部一致收敛的，所以对充 分大的啦，- 叼t ( u ) 都应包含在y 中，这与u 是游荡的矛盾如果9 ( z ) 是一常 值函数，由定理14 1 我们知道：g ( z ) 属于p ( n ) ，由定理的假设，p ( 冗) 包含 在f ( n ) 中，所以g ( 。) 取值在f ( t 4 ) ，但是这仍与c ，是游荡的矛盾定理证毕 对于双曲随机复动力系统，它的极限函数具有下列性质， 定理1 5 2 如果1 4 是双曲迭代系统，则所有极限函数都为取值为f ( n ) 内 的常值函数 证明：由定理1 4 2 我们知道：如果有一个极限函数是非常值的，则一 定有一个有理函数r 佗使得r 在f ( n ) 的某一分支上是单射由经典的 f a t o u 一j u l i a 理论，我们知道r 必有s i e g e l 盘或h e r m a n 环而届的临界点的 前向轨道要和它的j u l i a 集j ( 最) 相交，由于r 的临界点的轨道包含在p ( t 4 ) 中，并且j ( 皿) cj ( t 4 ) 所以j ( n ) f lp ( 冗) o 这与他是双曲的矛盾因此 所有极限函数都为常值函数定理1 4 1 告诉我们，每个常值极限函数都要吸 第1 4 页出站报告 第一章复动力系统 引到p ( 冗) 中，再由假设冗是双曲的，所以每个极限函数的取值不能在j ( n ) 上，则所有极限函数都为取值为f ( n ) 内的常值函数，定理证毕 1 6j u l i a 集的连续性 假设m ，i = 1 ，2 ，m ，是复流形，且对每一个i ，设吼。( z ) = r ( 毗，z ) ： 毗一ch c 是一全纯映射和对于每一个 t o i 嗽，风。z ) = 冗( 毗，z ) 是有理 函数进一步，我们假定凰，( z ) 的度至少是2 则冗。竺n ( w l ，”。，训。) 竺 凰，：，凡。) ，训兀筌。m 为有理函数的全纯族 如果冗是一有理函数，关于j ( n ) 在e 的所有紧子集族中的h a u s d o r f f 度 量下的连续性已经进行了讨论( 如命题1 ，2 5 】这里我们将研究随机复动力系 统的j u l i a 集的连续性并且得到 定理1 6 1 用l = ，l ，w 2 ，w ，) 表示随机复动力系统冗。的j u l i a 集 如果冗。= 冗( a 1 ，g 2 ，a , m ) ，n 丝1m ，是双曲的，则j u l i a 集在口是连续的 在这一部分，对于盯= ( j - ，如，矗，) e m 我们定义w ；( 冗。，z ) 为 0 ( ，z ) = z ， 睇( 佗”，z ) = 。o 。o ，( z ) ，n = l ，2 ， 为了得到我们的主要结果，我们需要下列引理 引理1 6 1 假设u 是f a t o u 集f ( 冗) 的一个分支连通，且g ( z ) 为u 上的一 极限函数如果对某一叩u ，有9 ( q ) ，( 冗) ，则g ( z ) 必是u 上的一常值函数 证明：我们假定结论不真，则极限函数g ( z ) 是u 上的非常值函数，且有 g ( u ) cf ( 冗) 和9 ( 町) f ( 冗) ，这样与假设矛盾因而所证命题成立 引理1 6 2 设冗是双曲的，则存在f ( 冗) 中的一紧子集和正整数p 使得 对任意的g f ( n ) 和盯e m ，当n p 时，我们有w ( z ) k 证明：假定所证命题不成立，则存在b f ( n ) 和轨道口o m 及满足条 件m nm = + o 。正整数的子数列 m ，使得 ；当蚴( 6 ) = 卢j ( 冗) 第1 5 页出站报告 第一章复动力系统 因为b f ( 冗) ，则我们有 。1 + i m 。哚( z ) = 妒( z ) ( 如果需要我们可取的一个子列使得上式成立) 上面的收敛理解为在f ( 冗) 中包含b 的连通分支u 上局部一致收敛的又因1 】f ( 6 ) = 卢，引理1 6 1 告诉我 们：在u 上有妒( z ) 三卢同时定理1 4 1 也蕴涵着卢p ) ，这与冗是双曲的 矛盾故所证命题成立 现在我们给出 定理5 的证明：因为五是一完全集( 如【23 】或命题1 3 1 ) ，再由命题1 3 1 ， 我们知道：对任意的 0 ，可以找到厶中的有限点集，设为a = 6 ，b 2 ，巩) ， 使得a 中每个元素都是冗。的排斥性不动点，并且 。2 j o 这里n = ( a l ，a 2 ，a 。) 和【a k 表示a 的e 一平行体由隐函数定理，对每一 个i = 1 ，2 ，m ，存在o i 的一个一开邻域0 cm ，使得当 i o i 时，有 冗- ，”z ，w 。) = 风。，凡。，凡。) 的排斥不动点珥满足 i 以一噬f 吾， 现在设a = m ，6 ：) 则 a m 2 a 又假定b = ( w 1 ，伽2 ，w 。) 兀，0 f 因此 以】。2 a 和 【 】。 以 ( 1 - 2 ) 利用引理1 6 2 容易得到：对佗。的f a t o u 集咒( 即是五的余集) 中的任 何紧子集凰，我们可以找到。的一个邻域弱和最中的一个子集k 满足 k o3k 使得对任意的b 凰和某一整数n o 0 ，当n n o ，时，有 w ：( n b ，k o ) ck ，口m 现在取厶的e 一平行体 五 。则 0 - = c 【厶k 是咒的一紧子集因而，有a 的一邻域x - 和f n 中的一紧子集髓使得对某 第1 6 页 出站报告 第一章复动力系统 一整数飓，当豫 n 1 和b x l 对，有 w ? ( 冗6 ，q i ) ck l ，盯e m 由m o n t e l 正规族定理( 定理1 2 ，1 ) ，q 1 包含在蜀中，即有 f j o l 。3 以( 1 - 3 ) 将( 1 - 2 ) 和( 】- 3 ) 结合，我们得到屯关于h a u s d o r f f 度量在n 是连续的， 现在让我们回到前面的f a t o u 猜想我们已经知道，在一定条件下该猜想 是真的，例如利用偏差定理和l e b e s g u e 密度定理可以得到：当有理函数是双 越的，它的j u l i a 集的l e b e s g u e 测度为o ( 如f 1 0 ，1 2 1 ) 但也存在有理函数显， 它的j u l i a 集j ( r ) 的h a u s d o r f f 维数为2 ( 如 1 6 ) 丽j u l i a 集一般又具有分 形结构，且2 一维e u t i d 空闯r 2 中任何b o r e l 子集的2 维h a u s d o r f f 测度7 - 1 2 与2 一维l e b e s g u e 测度m 2 相差常数更具体地说：若e 为b o r e l 子集，则 及2 e ) = 霄m 2 e ) 。因此，如果我们l 诗算或估计j u l i a 集曩玛的h a u s d o r f f 测 度九2 ( j ( r ) ) ，有利于该猜想的解决同时，在分形几何研究中计算与估计分形 集的测度是一个重要课题然两这也是一项十分困难的工作。即使对于看上去 很简单的分形集，要得到它的h a u s d o r f f 测度的精确值往往也都具有很大的难 度所以接下来我们希望能发展一些方法来计算与估计分形集的h a u s d o r f f 测 度 第1 7 页出站报告 第二章分形几何 2 1 前言 现实中有许多诸如云彩的边界、海岸线、雪花、大山的轮廓等“不规则” 的几何形体，难以用经典几何中的光滑曲线，光滑曲面来描述同时，许多不同 类型的不规则的几何形体也常常出现在自然科学的各个领域，如数学中解决非 线性问题时出现的吸引子，复动力系统中的j u l i a 集，流体力学中的湍流等长 期以来，人们试图将它们纳入经典几何的范畴来研究，但是，发现由此思想导出 的模型即使在近似的情形下，无论在理论上还是在实验中，都不能很好地处理 所研究的实际问题并且人们注意到不规则的集合往往更能提供许多自然现象 好的描述 分形几何是研究不规整的图形和是描述自然界物体形态结构的一门新的 几何学，是上世纪八十年代初期由数学家m a n d e l b r o t 创立( 如文献【8 】) 分形 几何的创立标志着人类对形的认识由规则的形态进入了不规则的形态，为研究 不规则点集或非线性现象提供了一种重要的思想、方法和技巧它以不规则的 几何图形为研究对象，借助于各种数学工具来刻域这种不规则性由于这种不 规则对象在许多不同领域中大量出现因此，它越来越多的和物理、化学、生 物、医学、地质和计算机等不同学科发生联系，也正因此，这一新兴学科在上 述领域中获得了巨大成功同时，不同学科中提出的大量问题又刺激了分形几 何的深入发展 过去，数学己广泛涉及到那些可以用经典的微积分进行研究的集类和函数 类，而那些不够光滑和不够规则的集和函数却被认为是“病态”的，不值得研究 而不被理睬近几年来，这种态度发生了变化，人们已经意识到，对“不光滑集” 可以而且必须进行详细的数学描述不规则集比经典的几何图形能更好的反应 许多自然现象，分形几何恰好为研究这样的不规则集提供了一个总的框架 分形几何以不规则的几何图形为研究对象，一方面，这些对象不能用经典 几何来处理，另一方面，这这些对象又应有莱些“较好”的性质一般来说，它 第1 8 页 第二章分形几何 们具有下列特征 ( i ) 具有精细的结构，即它们有对应任意小尺度下的细节这样它们的复杂性 不随尺度的减小而消失 ( 1 1 ) 它们是如此的不规则从整体上看，它们既不是满足某砦简单的几何条件 的点的轨迹，也不能作为任一简单方程的解集从局部上来看，不能用切 线来描述 ( i i i ) 它们的“分形维数”( 以某种方式定义) 通常严格大于它的拓扑维数 ( i v ) 通常它们具有某种自相似或者自仿射性质等 ( v ) 他们的定义非常直接常常可由迭代产生 上述( i ) ，( i i ) 和( i i i ) 反映了它们的“不规则性”，而( i v ) 和( v ) 则反映了它们的 某些“规则性”下面我们首先来研究一类重要的测度和维数 2 2h a u s d o r f f 测度与h a u s d o