（管理科学与工程专业论文）极值统计与分位数回归理论及其应用.pdf

中文摘要 极值统计是专门研究很少发生，然而一旦发生却有巨大影响的随机变量极端 变异性的建模及统计分析方法。分位数回归是给定回归变量丘估计响应变量y 条件分位数的一个基本方法，不仅可以度量回归变量在分布中心的影响，而且还 可以度量在分布上尾和下尾的影响。本文主要对极值的基本理论、复合极值分布 参数的估计方法、风险价值v a r 的方差、分位数回归的理论、c o p u l a 分位数回 归以及极值统计模型和分位数回归在各个领域的应用进行了深入研究。论文的主 要工作如下： 1 论文介绍了极值的基本理论，并应用二元超阈值模型和二元点过程模型 讨论食物支出与家庭收入的相关性。结果表明：食物支出与家庭收入具有较强的 相关性，而且这两种模型都不失为一种很好的建模方法。 2 论文基于海洋工程中提出的复合极值分布，将变量赋予新的金融含义， 构建金融风险管理领域的p o i s s o n g u m b e l 复合极值分布模型，提出采用概率权 矩法进行参数估计，给出具体的计算结果，并通过蒙特卡洛模拟方法对概率权矩 法和复合矩泫进行了比较研究。结果表明：概率权矩法比复合矩法估计效果好而 且表现稳定。 3 论文研究了风险价值v a r 的方差，并给出p o i s s o n g u m b e l 复合极值分布 模型v a r 的方差和p o i s s o n g p 复合超阂值分布模型v a r 的方差。在此基础上， 用两个模型拟合1 9 9 0 年1 月2 日至2 0 0 6 年1 2 月2 9 日期间美元英镑的汇率数 据进行实证分析。 4 论文构建线性条件分位数回归模型，分析房屋贷款与家庭收入之间条件 分位数的线性变化趋势，并与经典的最d , - - 乘回归拟合进行比较。结果表明：在 不同分位数下房屋贷款与家庭收入之间所呈现的线性趋势是不同的，分位数回归 比经典的最d , z 乘回归能够提供更多的信息。 5 论文介绍了c o p u l a 分位数回归，并推导出几种常见c o p u l a 的分位数曲线。 在此基础上，通过对f r a n kc o p u l a 进行模拟研究，显示了分位数回归估计方法的 精确性。 关键词：极值理论，相关结构函数，复合极值分布，概率权矩估计，风险价值， 分位数回归 a b s t r a c t e x t r e m ev a l u et h e o r yi sab r a n c ho fs t a t i s t i c sd e a l i n gw i t ht h ee x t r e m ed e v i m i o n f r o mm e d i a no f p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n sf o rh i g h l yu n u s u a le v e n t s ，w h i c hw i l l r e s u l t a ne n o r m o u si m p a c to nr a n d o mv a r i a b l e sw h e nh a p p e n i n g q u a n t i l er e g r e s s i o ni sa s t a t i s t i cm e t h o dt h a te s t i m a t e st h ec o n d i t i o n a lq u a n t i l e so far e s p o n s ev a r i a b l ey g i v e n x 2 x i tc a nb eu s e dt om e a s u r et h ei n f l u e n c en o to n l yo nc e n t e rb u ta l s oo nu p p e ra n d l o w e rt a i lo fap r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o no fa ni n d e p e n d e n tv a r i a b l e t h i sd i s s e r t a t i o n s t u d i e di nd e p t he x t r e m ev a l u et h e o r y , p a r a m e t e re s t i m a t i o nm e t h o do fc o m p o u n d e x t r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o n ，v a r i a n c eo fv a l u ea tr i s k ( v a r ) ，q u a n t i l er e g r e s s i o nt h e o r y , c o p u l aq u a n t i l er e g r e s s i o n ，a n da p p l i c a t i o n so fe x t r e m ev a l u es t a t i s t i c sm o d e la n d q u a n t i l er e g r e s s i o ni nv a r i o u sf i e l d s t h em a j o rp a r t so ft h ed i s s e r t a t i o na r el i s t e d b e l o w 1 e x t r e m ev a l u et h e o r yi si n t r o d u c e di nt h ed i s s e r t a t i o n t h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nf o o de x p e n s ea n dh o u s e h o l di n c o m ei sd i s c u s s e db yu s i n gb i v a r i a t ep e a k s o v e rt h r e s h o l dm o d e la n db i v a r i a t ep o i n tp r o c e s sm o d e lo fe x t r e m ev a l u et h e o r y t h e r e s u l t si n d i c a t et h a tt h e r ee x i s t ss t r o n g e rr e l a t i o n s h i pb e t w e e nf o o de x p e n s ea n d h o u s e h o l di n c o m e b o t hm o d e l sc a nb eg o o da p p r o a c h e st os i m i l a rp r o b l e m s 2 b a s e do nt h ec o m p o u n de x t r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o np r o p o s e di no c e a n e n g i n e e r i n g ，ap o i s s o n g u m b e lc o m p o u n de x t r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o nm o d e lf o rt h e f i e l do ff i n a n c i a lr i s km a n a g e m e n ti sb u i l tb yg i v e nv a r i a b l e sn e wm e a n i n gi nt h e d i s s e r t a t i o n i ti sf u r t h e rp r o p o s e dt oe s t i m a t ep a r a m e t e ru s i n gp r o b a b i l i t y w e i g h t e d m o m e n tm e t h o d t h ee s t i m a t e dr e s u l t su s i n gm o n t ec a r l os i m u l a t i o nb a s e do n p r o b a b i l i t y - w e i g h t e dm o m e n tm e t h o da n dc o m p l e xm o m e n tm e t h o da r ec o m p a r e d b yc o m p a r i s o n ，t h ep r o b a b il i t y w e i g h t e dm o m e n tm e t h o di ss u p e r i o rt h a nc o m p l e x m o m e n tm e t h o di nt e r m so fa c c u r a c ya n dr o b u s t n e s so fe s t i m a t i o n s 3 t h ed i s s e r t a t i o ns t u d i e dv a r i a n c eo fv a rm o d e l sa n dd e t e r m i n e dt h ev a r i a n c e o fv a rf o rt h ep o i s s o n g u m b e lc o m p o u n de x t r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o na n dt h ev a r i a n c e o fv a rf o rt h ep o i s s o n - g pc o m p o u n dp e a k so v e rt h r e s h o l dd i s t r i b u t i o n c a s es t u d yi s c o n d u c t e du s i n gd a t ao fe x c h a n g er a t e sb e t w e e nu sd o l l a r sa n db r i t i s hp o u n d sf r o m j a n u a r y2 ，19 9 0t od e c e m b e r2 9 ，2 0 0 6 4 al i n e a rc o n d i t i o n a lq u a n t i l er e g r e s s i o nm o d e li sp r o p o s e di nt h ed i s s e r t a t i o n t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nm o r t g a g ep a y m e n ta n dh o u s e h o l di n c o m ef o rb o t hc h i n e s e h o u s e h o l d sa n da m e r i c a nh o u s e h o l d si sa n a l y z e da n dc o m p a r e db a s e do nl i n e a r c o n d i t i o n a lq u a n t i l er e g r e s s i o na sw e l la so r d i n a r yl i n e a rr e g r e s s i o n t h er e s u l t ss h o w t h a tt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nm o r t g a g ep a y m e n ta n dh o u s e h o l di n c o m ea r ed i f f e r e n t f o rd i f f e r e n ttv a l u e s c o m p a r e dt oo r d i n a r yl i n e a rr e g r e s s i o n ，q u a n t i l er e g r e s s i o nc a n r e v e a lm o r er e g i o n a li n f o r m a t i o n 5 c o p u l aq u a n t i l er e g r e s s i o ni si n t r o d u c e di nt h ed i s s e r t a t i o n s e v e r a lc o m m o n c o p u l aq u a n t i l ec u r v e sa r ed e d v e d s i m u l a t i o ns t u d yi sp e r f o r m e db a s e do nf r a n k c o p u l a t h er e s u l t si n d i c a t et h a te s t i m a t i o n su s i n gq u a n t i l er e g r e s sa r em o r ea c c u r a t e k e yw o r d s ：e x t r e m ev a l u et h e o r y , c o p u l a , c o m p o u n de x t r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o n ， p r o b a b i l i t y - w e i g h t e dm o m e n te s t i m a t i o n ，v a l u ea tr i s k ( v a r ) ，q u a n t i l er e g r e s s i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨垄盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：韩只丽 签字日期： 加7 年夕月f 夕日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨壹苤鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：磊 屠可 剧程名 文 签字日期：伽p 年j 月，j 。日 签字日期：印了年厂月f f 日 第一章绪论 1 1 论文研究的背景 1 1 1 极值统计理论的演进 第一章绪论 极值理论( e x t r e m ev a l u et h e o r y ) 是专门研究很少发生，然而一旦发生却具 有重大影响的随机变量极端变异性的建模及统计分析方法。极值理论的核心问题 是对极值事件的统计分析，它为我们提供了一个优良稳健的渐近模型，从而用来 对分布的尾部进行建模，其蕈要意义在于它能够评估极值事件的风险。极值理论 涉及极大值和极小值( 统称为极值) 的极限分布问题，它是概率论的一个重要分 支，主要研究随机样本以及随机过程中极端情况的统计规律性。在统计学的历史 发展中，统计学家们首先注意到的是随机变量分布的主体，没有过多地关注对于 极值事件的研究，因此极值理论的发展历史相对较短。 极值的近代理论开始于德国。1 9 2 2 年，德国统计学家l v o nb o r t k i e w i c z 首 次明确提出极值问题，研究了正态分布的样本极差，发现来自正态分布的样本最 大值是一个新的随机变量且具有新的分布。1 9 2 3 年，r y o nm i s e s 研究了样本最 大值的期望。同年，e l d o d d i l 】首先研究了一般分布的样本最大值问题。1 9 2 5 年，l h c t i p p e t l 2 】给出了正态总体各种样本量的最大值及相应概率表、样本平 均极差表。1 9 2 7 年，m f r 6 c h e t l 3 】发表了第一篇关于最大值的渐近分布的论文， 指出来自不同分布，但有某种共同性质的最大值可以有相同的渐近分布，并且提 出了最大值稳定原理。1 9 2 8 年，r a f i s h e r 与l h c t i p p e t l 4 j 明确提出了极值 分布的三种类型，即极值类型定理。1 9 3 6 年，r v o nm i s e s l 5 】提出了最大次序统 计量收敛于极值分布的充分条件，由此得知，统计学教科书中常出现的连续型分 布几乎都属于极值分布的吸引场。1 9 4 3 年，b g n e d e n k o 6 】给出了类型定理的严 格证明，建立了严格的极值理论，给出了极端次序统计量收敛的充分必要条件。 1 9 5 8 年，e 。j g u m b e l l 7 奠定了极值理论的基础，成为随机变量极端变异性的建 模工具。1 9 7 0 年，d eh a a n 【8 】【9 】进一步研究了g n e d e n k o 的工作，彻底解决了吸引 场问题。后来，仍然有许多学者对吸引场问题进行了深入研究i l 1 1 。 最初，极值理论只是研究独立同分布随机变量的最大值或最小值的渐近性 质。可是，从大量数据中仅选用最大值或最小值会舍弃其它数据所包含的有价值 信息。因此，在后来的研究中出现了不是仅仅使用极值而是选取某界限以上的数 据分析的方法，该方法被称为p o t ( p e a k so v e rt h r e s h o l d ) 法。2 0 世纪7 0 年代， 第一章绪论 p i c k a n d s ，b a l k e m a n 和h a a n 都证明了分布函数之所以属于广义极值分布的吸引 场，原因就在于分布的某界限值以上的数据可以用广义p a r e t o 分布来近似取得。 从此，基于极值理论的广义p a r e t o 分布成为了极值理论研究的主流，并得到了广 大学者的普遍认可。随着极值理论的发展，涌现出许多相关的文献，d a v i d l l 2 】和 a r n o l d l l 3 】讨论了次序统计量的渐近理论，l e a d b e t t e r 1 4 】发展了离散与连续随机过 程的极值理论，r e s n i c k l l 5 1 研究独立同分布随机变量的极端次序统计量的联合分 布，并且第一次提出多元极值分布，r e i s s i l 6 介绍了各种与极值及次序统计量有 关的收敛概念及收敛速度，g a l a m b o s t l 。7 】对极值理论的概率论方面进行了介绍。 2 0 世纪2 0 年代与3 0 年代中期，极值统计在气象、洪水、地震、雨量、人 类寿命、放射性等问题中得到了应用。英同棉业协会的f t p e i r c e 第一个将样本 强度与极值分布联系在一起。著名的瑞典物理学家和工程师w w e i b u l l 第一次强 调极值概念对描述材料强度的重要性。e j g u m b e l 首先用极值理论解释了工程 界的洪水统计分布，以后又将其应用于其它气象现象及异常观测值的统计问题。 近年来，极值理论的应用得到了飞速的发展，其应用领域也非常广泛，如工程、 水利、保险精算、社会环境、地震、干旱和洪水灾害预报等领域。因此，相关的 文献也比较多，如文献【1 8 】主要研究了极值理论在精算方面的应用；文献 1 9 综 合介绍了极值分布的有关理论及其应用研究；文献【2 0 】介绍了极值理论在各个方 面，特别是在工程领域的应用；文献【2 l 】、 2 2 】、【2 3 】、【2 4 1 讨论了极值概率模型 和极值的统计分析。 与国外相比，国内关于极值理论的研究还有一定的差距。潘家柱和程士宏【2 5 】 讨论了极值分布形状参数的矩估计( 标准化) 收敛到正态分布的精确速度。史道 济1 2 6 】分别在二元和多元的情况下考虑了极值分布参数的最大似然估计与分步估 计的渐近协方差，得到分步估计关于最大似然估计的渐近效率，结果表明分步估 计是一种实用的方法 2 7 】f 2 8 】。文献 2 9 】讨论了多元极值分布嵌套l o g i s t i c 模型，给 出分布参数的矩估计及其渐近协方差矩阵元素的显示表示与数值结果。此外，考 虑二元极值的相关结构，通过变量变换得到基本独立的变量，并给出了其随机表 示，文献【3 0 】算出了一些常用统计量的数字特征。目前，国内对极值统计应用的 研究主要集中在海洋工程、金融【3 l 】【3 2 】【3 3 】、水文观测【3 4 】、气象和地震预测、交通 工程、环境工程、空气污染、灾害性干旱、台风等领域。 1 1 2 分位数回归理论的演进与应用 回归分析具有悠久的历史，其中以经典的最小二乘回归应用最为广泛。最小 二乘回归的解释与人们的直观想象一致，并且该方法易于计算，特别当假设误差 是正态分布时，它具有无偏性、有效性等优良性质。但是在实际问题中，应用最 第一章绪论 小二乘同归需要满足较严格的条件，如等方差性，随机误差间两两不相关等条件； 当需要对回归系数的显著性进行推断时，通常还要假定随机误差的正态性等；当 数据分布是重尾或有异常值时，结果的稳健性较差。特别是对于大量的数据，应 用最小二乘回归法只能得到一条回归曲线，而一条曲线所能提供的信息毕竟是有 限的。因此，人们在使用经典的回归分析同时，也在不断地探索更新更好的方法。 1 9 7 8 年，k o e n k e r 和b a s s e t t 3 5 j 首次提出了分位数回归的概念，他们是在1 8 1 8 年l a p l a c e 提出的中位数回归( 最小绝对偏差估计) 理论的基础上，把中位数回 归推广到了一般的分位数回归。分位数回归相对于最小二乘回归应用的条件更为 宽松，挖掘的信息更丰富，它不仅可以度量回归变量在分布中心的影响，而且还 可以度量回归变量在分布上尾和下尾的影响，即捕捉整个条件分布的特征。特别 当误差为非正态分布时，分位数回归估计量比最小二乘估计量更有效，因此它弥 补了最小二乘回归的不足。 分位数回归理论在近二、三十年的发展过程中，k o e n k e r ，b a s s e t t ，p o w e l l ， c h e m o z h u k o v 等人都做出了巨大的贡献。k o e n k e r 和b a s s e t t l 3 6 】把响应变量看作是 其它变量的线性函数，推导出分位数回归系数的渐近分布，从而发展了线性分位 数回归理论；1 9 8 2 年，他们又研究了分位数回归的线性假设检验以及异方差的 稳健性检验，为分位数回归的应用提供了保证| 3 7 】【3 9 】：1 9 8 6 年，b a s s e t t 等【3 9 】研究 了回归分位数的强相合性等性质；同年，p o w e l l l 4 0 】基于删失模型提出了非线性分 位数回归；k i m 和w h i t e 4 l 】研究了非线性分位数回归估计量的一致性等性质；1 9 8 7 年，k o e n k e r 等【4 2 】提出了线性模型的l 估计法；同年，k o e n k e r 掣4 3 】提出了关于 分位数回归的有效算法；b u c h i n s k y i 删【4 5 】【4 6 】在1 9 9 5 年和1 9 9 8 年分别讨论了分位 数回归模型渐近协方差矩阵的估计方法，以及分位数回归最新的一些发展，并应 用它分析了美国女性薪水结构的变化情况；2 0 0 0 年，k o e n k e r 和z h i j i ex i a o 4 。7 】 解决分位数回归过程中存在的特定推断问题；同年，k i m 和m u l l e r l 4 8 j 关于两步分 位数回归的渐近特性进行了研究；2 0 0 1 年，t a s c h e l 4 9 】研究了分位数回归的无偏 性；2 0 0 2 年，k o e n k e r 等又讨论了线性异方差模型的l 估计法。 此外，c h e r n o z h u k o v 和h a nh o n 9 1 5 0 j 提出了研究删失分位数回归的三步评估 方法；吴建南和b r e t s c h n e i d e r 等1 5 l j 用蒙特卡罗( m o n t ec a r l o ) 方法产生1 0 0 个随 机数据集合来比较显著加权分析方法与分位数回归的优劣；k o t t a s 和k r n j a j i c l 5 2 j 提出分位数回归中的贝叶斯非参数模型：c h e m o z h u k o v l 5 3 1 5 4 提出了极端分位数的 概念，推导出极端分位数的渐近分布及其在经济领域的应用。至此，分位数回归 的理论体系基本建立起来。 随着分位数回归理论的完善，对于分位数回归新的、有效的算法也在不断地 发展中，现在应用最为广泛的有以下三种：( 1 ) 单纯形法1 5 5 】1 5 酬，即任选一个顶点， 第一章绪论 然后沿着可行解围成的多边形的边界搜索，直到找到最优点，这种算法的特点决 定其适合样本量不大和变量不多的情形：( 2 ) 预处理后内点法【5 7 】，即对回归系数 预处理后，再用内点法，它适合样本量大于l o 的情形：( 3 ) 内点法【5 7 1 ，即从可行 解围成的多边形一个内点出发，但不出边界，直到找到最优点，它对于处理大样 本问题时效率比较高。 分位数回归虽然计算方法相对复杂，但是随着计算技术的不断突破，以及r ， s p l u s ，s a s 等软件中关于分位数回归软件包的出现，使得分位数回归法逐渐成 为一种综合的方法，应用于计量经济学、政治学、医学以及其它领域的线性与非 线性模型的统计分析中。 国外关于分位数回归的研究以及应用的文章相对很多，主要有b a r n e s 和 w h u g h e s 5 8 】利用分位数回归对跨部f - 1 公债市场的回报率进行了分析；b u c h i n s k y 应用分位数回归研究了1 9 6 3 年至1 9 8 7 年美国工资结构的变化趋势：b o u y 6 和 s a l m o n t 5 9 j 应用非线性分位数回归研究了汇率市场中不同汇率之间尾部区域的风 险相关性；b u h a i l 6 0 1 在回顾分位数回归方法的基础上，研究了它的两个主要应用， 分别是持续时期模型和循环结构等式模型；l e g g e t t 和c r a i g h e a d 6z 利用分位数回 归确定了时间的分布和特定风险驱动的影响；w h i t t a k e r 等1 6 2 在信用贷款记账方 面应用该技术进行分析。文献【6 3 】、【6 4 、【6 5 1 、【6 6 等都是关于分位数回归在不 同领域的应用研究。 然而，国内关于分位数回归的研究较少，且大多数都停留在应用上。如曾昭 玲等f 67 】利用分位数回归模型探讨负债融资及权益融资在不同分位数时，受解释变 量影响的差异性，以期对于不同融资程度的公司受资本结构变量及众变量影响的 差异性进行深入了解；蔡明副6 8 j 利用分位数回归模型估计家务工作时问的变异分 配：苟鹏程等1 6 9 】对中位数回归模型进行了介绍，并将其应用于北京市s a r s 发病预 测中；季莘等对百分位数回归进行了介绍，并将其应用于制订正常人群血压参考 值的研究。此外，李育安【7 0 】介绍了分位数回归的概念、算法以及在经济领域的应 用；吴建南和马俐7 1 】把分位数回归技术与显著加权法通过估计极端行为参数的能 力进行了比较。总之，国内关于分位数回归理论及应用的研究在不断地发展和完 善。 1 2 研究问题的提出 1 2 1 极值分布模型研究 极值统计是一门用来分析和预测小概率事件风险的模型技术，其用途主要在 于评估极端事件的风险。由于极值分布模型主要研究极值数据的统计分析并且对 第一章绪论 观测样本的极值进行建模，所以极值理论的应用己经深入到许多领域，除了传统 的水文、气象、地震、交通、环境与工程，近年来在保险、金融以及网络通讯中 也得到了广泛的应用。 在人类社会的发展过程中，为了战胜自然、征服自然，人们开始研究与人类 息息相关的极端事件。2 0 世纪3 0 年代初，f r 6 c h e t ，f i s h e r 和t i p p e t t 开始对极值 理论进行研究，f i s h e r 和t i p p e t t l 4 】证明了极值的极限分布的三大类型定理，为极 值理论的发展研究奠定了基石。随后，如m i s e s l 5 j 及g n e d e n k o 对极值理论进行了 进一步研究，g n e d e n k o 6 j 给出了三大类型定理的严格证明及三类极限分布存在的 充要条件。g u m b e l 7 】的著作反映了极值概率模型的统计应用成果，系统地归纳了 一元极值理论。h a a n 8 j 1 9 1 针对吸引场问题给出了完整理论，w e i b u l l 最先强调了 极值概念在材料强度判断中的重要性。由于人们很难获得极值的精确分布，所以 通常利用经验数据拟合极值分布，对极值的渐近分布进行研究。结果表明：极值 分布可以对极大值或极小值分布进行很好的描述，可以用g u m b e l ，f r 6 c h e t 和 w e i b u l l 分布对此类随机变量进行拟台研究。随后，极值理论有了进一步发展， p i c k a n d s 证明了经典的极限定理，为8 0 年代、9 0 年代完善建模作出了巨大贡献。 另外，在8 0 年代，许多学者研究了时间序列的极值特性。8 0 年代中期，多元极 值理论的统计推断有了进一步发展，而且成为目前极值理论研究的热点问题。 近二十年来，对于一元和多元极值问题的研究出现了一些新的统计方法。一 元极值理论及其在各个领域的应用促进了多元极值理论的发展，也使多元极值理 论的研究成为目前较为热门的研究方向。同时，极值模型被不断地应用到各个领 域，如食品科学7 2 】；管理策略1 7 3 】；风力工程17 4 】；气象变化的评估【7 5 1 等。由于在 各个领域有关极大值和极小值的研究越来越引起了人们的重视，同时，人们也发 现了许多应用上存在的问题。从而，促使学者们对一元极值理论完善的同时，加 强了对多元极值理论的研究。尽管我们从文献上看到许多关于多元极值的讨论， 但是由于多元极值模型不能用有限个参数表示，使得多元极值的研究比起一元极 值来就显得更加复杂，因此多元极值理论有待于进一步的完善和扩展。本文在第 二章详细地介绍极值分布模型的有关性质和定理，作为以后各章研究的基础。 1 2 2 复合极值分布模型的参数估计 据统计，2 0 世纪9 0 年代以来，我国每年发生的海洋灾害造成的损失高达百亿 元人民币，是世界上海洋灾害最严重的国家之一。海洋灾害对海洋工程、海岸工 程及沿海城市的防护工程带来灾难性的破坏。然而每一场海洋灾害都可能同时伴 随出现一些动力环境因素，如台风、飓风、寒潮等等。正确认识海洋灾害发生的 频率，是制订防灾设防标准的决策依据。 第一章绪论 过去，国内外普遍采用对数正态分布、w e i b u l l 分布、p i i i 型分布等统计模型。 我国水文计算规范规定，水文频率曲线线型采用p i i l 型分布。在以往的研究中， 我们需要使用观测年份较长的实测资料来检验p i i i 型分布的适应性，然而我国水 文资料大多不长，尤其在拟建海洋工程的新海区，长期的数据资料更是难以获得。 此外，我们通常采用概率纸来判断p i i i 型分布的拟合效果，由于极端观测值少使 得曲线的尾部数据点非常少，所以对于曲线尾部拟合的效果无法准确判断。 实际上，极端海况频次本身具有一定的概率特征，可以看作是一个随机变量。 h e i d e m a n 对墨西哥湾飓风发生频次的规律性进行了统计研究，结果表明：墨西哥 湾飓风的发生频次可以用p o i s s o n 点过程来模拟。刘德辅对美国大西洋沿岸及墨西 哥湾的飓风次数也进行了概率统计分析，结果表明：几个海区每年的飓风次数均 很好地符合p o i s s o n 分布。f e l l e r 首先提出了复合极值概念。19 8 0 年，刘德辅和马 逢时在此基础之上推导了复合极值分布的显性表达式，并成功地应用于波高统计 分析中，随后，又研究了适用于美国墨西哥湾、大西洋沿岸飓风海域的 p o i s s o n w e i b u l l 复合极值分布，对飓风风速、波高、风暴增水、中心气压差等进 行长期极值预测。在一元的基础上，刘德辅等1 7 6 j 推导出二维复合极值分布模型： 泊松一混合冈贝尔复合极值分布，并应用于我国南海风速和波高的研究，结果显 示本模型具有结果可靠、使用方便的优点。 目前，复合极值分布模型在工程界得到了普遍重视和应用。l a n g l y 等对比了 包括复合极值分布模型在内的国际海洋工程界广泛应用的六种概率分布模式，并 认为复合极值分布模型具有与实测资料符合好、预测结果合理的优点。k i r b y 等 将该理论引入洪水频率分析中，认为此模型同样适用于洪水频率分析。在国内， 许多大型工程项目都使用复合极值分布理论推算各种重现期，并取得了令人满意 的结果。本文在第三章详细地介绍复合极值分布的定义、类型以及复合极值分布 的参数估计。 1 2 3v a r 的方差分析 2 0 世纪9 0 年代，金融衍生工具的种类和交易额迅速增加，投资组合构成逐 步复杂化以及后期亚洲经济危机的爆发，使得已有的风险度量方法越来越不能满 足投资者和金融监管机构的需要，全球金融界都迫切希望能够找到一种有效的风 险管理方法，这些客观因素促进了风险价值( v a l u ea tr i s k ；简称v a r ) 方法的产生 和发展。1 9 9 3 年，g 3 0 集团在题为衍生产品的实践和规则的报告中首次提 出采用风险价值v a r 方法度量市场金融风险。1 9 9 6 年，j o r i o n 给出了v a r 比较 权威的定义：v a r 表示在一定的置信水平下，某种金融资产或资产组合在未来一 段时期内的最大可能损失。从统计学角度来讲，v a r 是一个分位数，依赖于损失 第一章绪论 变量的概率分布和一定的置信水平。把v a r 作为金融市场风险度量具有很多优 点。第一，v a r 把各种资产组合、金融工具以及金融机构在市场上所面临的各 种风险具体化为一个数，较准确地测量了不同风险来源以及相互作用而产生的潜 在损失，适应金融市场发展的动态性；第二，通过置信水平的调节，可以得到不 同置信水平上的v a r ，为不同的监管部门提供监管依据；第三，v a r 的计算是建 立在概率统计理论之上，与其它主观性较强的风险管理方法相比较，能够更加科 学、准确的反映市场风险。 目前，v a r 已被全球各主要银行、投资公司、证券公司以及金融监管机构广 泛采用，并涌现出许多相关的研究成果。d o w dk 总结了自1 9 9 4 年至1 9 9 7 年具 有代表性的v a r 相关文献，并且对研究成果进行了比较分析。随着极值理论的 发展，运用极值模型对v a r 的研究越来越多【7 7 】【7 8 】，显示出模型更强的适用性和 优越性。同时，国内的许多学者在这一领域也做出了很多贡献，例如：姚刚介绍 了金融衍生产品的风险控制与防范；詹原瑞研究了极值理论在市场风险度量和汇 率风险价值计算中的应用，提出了估计v a r 的两次子样试算法；刘宇飞介绍了 v a r 模型在金融监管中的应用等。总之，对于v a r 方法及其应用的文献有很多， 但是有关v a r 方差的文献还很少。本文在第四章详细地介绍v a r 的方差，给出 p o i s s o n g u m b e l 复合极值分布模型v a r 的方差和p o i s s o n g p 复合超阈值分布模 型v a r 的方差，并进行实证分析。 1 2 4 分位数回归模型研究 最小二乘回归是描述当给定回归变量石时，响应变量】，的平均变化趋势， 这使得回归变量对于响应变量的作用平均化，隐藏了回归变量对响应变量可能存 在的一些极端影响。然而，分位数回归描述的是当给定回归变量x 时，响应变量 y 在不同分位数f 的变化趋势，它不仅可以度量回归变量在分布中心的影响，同 时还可以刻画在分布上尾和下尾的影响，突出了局部之间的相关关系。因此，对 于实际研究提供了大量而宝贵的信息。虽然分位数回归在统计界很早就被提出 来，但是对于分位数回归的大量应用还是近几年的事情。随着分位数回归理论的 发展，算法效率的不断提高，以及关于分位数回归各种软件包的出现，分位数回 归的应用领域越来越广泛。 r 是在s ，s p l u s 的基础上发展起来的，属于g n u 系统的一个自由、免费、 源代码开放的软件，专用于统计计算，具有强大的作图功能，比商业化软件更能 紧跟最新发展的形势。相关的r 程序和许多数据库都可以从 h t t p ：c r a n r - p r o j e c t o r g免费下载。r 中关于分位数的软件包有q u a n t r e g ， q u a n t r e g f o r e s t 等。 第一章绪论 由于分位数回归不需假定误差项的分布，因此，它在经济领域被广泛地应用。 特别是描述具有厚尾分布的金融数据时，分位数回归提供了非常好的统计方法。 但是，分位数回归在其它领域的应用还相对较少。因此，本文在第五章详细地介 绍分位数回归理论，并应用到研究房屋贷款与家庭收入的变化趋势中，结果发现： 分位数回归法较之最d , - 乘回归法突出了各局部的信息，并且与最d , - 乘回归得 到的结果有很大的不同。 1 2 5c o p u l a 分位数回归 1 9 5 9 年，s k l a r 提出相关结构函数c o p u l a 的概念，指出随机变量的联合分布由 边缘分布和变量之间的相关结构共同决定。由此可见，c o p u l a 包含了变量间所有 的相关性方面的信息。与其它相关性度量方法相比，c o p u l a 具有许多优点。在实 际应用中，我们可以构造各种类型的联合分布函数，对于边缘分布的选择不需要 加以限制。同时，在运用c o p u l a 建立联合分布模型时也可以将问题简化，把变量 的边缘分布和变量之间的相关结构分开来研究。在研究随机变量之间的相关关系 时，c o p u l a 弥补了线性相关系数刻画变量间相关关系的不足，尤其是对于具有厚 尾分布的金融数据，提供了一种有效的方法。因此，c o p u l a 相关函数以及由其导 出的相关性测度被广泛地应用于金融数据分析中。1 9 9 9 年，n e l s e n 系统总结了这 个领域的主要研究成果；e m b r e c h t s 掣7 9 j 用c o p u l a 函数研究了资产间的相关模型， 并在此基础上进行了相应的风险分析；p a u o n 8 0 j 利用c o p u l a 分析了股票市场的厚 尾、偏斜、非对称的相关结构；国内学者史道济等1 8 i j 用改进的c o p u l a 对沪深股市 的相关性进行了研究；史道济和关静【8 2 】应用l o g i s t i c 条件模型和g e v 条件模型对沪 深股市条件推断问题进行分析；关静掣8 3 模拟研究了混合相关结构c o p u l a 的相关 性，并构造条件分布分析了汇率风险的尾部相关性。同时，韦艳华和张世英 l s 4 1 1 8 5 1 8 6 1 【8 7 1 、朱国庆【8 8 】、张尧庭【8 9 等介绍t c o p u l a t 里论及其在相关性和金融风险 分析上的一些应用。本文在第六章详细地介绍基于c o p u l a 理论构建c o p u l a 分位数 回归，既保留了c o p u l a 刻画金融数据相关性的优点，又可以描述变量在不同分位 数之间的相关关系。因此，c o p u l a 分位数回归克服了非线性回归以及条件分布在 描述变量间相关关系的单一性问题。 1 3 论文的主要内容与创新点 1 3 1 论文的主要内容 论文的主要工作集中在第二、三、四、五、六章，分别对极值的基本理论、 第一章绪论 复合极值分布的参数估计、风险价值的方差分析、分位数回归理论和c o p u l a 分 位数回归进行了研究，并且把它们应用到实际研究中。 第二章首先介绍一元极值的基本理论，包括经典的极值分布类型定理，最大 值吸引场以及广义p a r e t o 分布；其次介绍了二元相关结构函数c o p u l a ，并给出 常见的c o p u l a 族，以及相关性度量；然后研究了二元极值分布的建模方法：最 后，通过实例说明二元超阈值模型和二元点过程模型描述尾部相关性的优良性。 第二章的基本理论及应用方法为第三、四、五、六章提供了理论基础。 第三章主要研究基于复合矩法和概率权矩法的复合极值分布参数估计问题。 首先介绍了复合极值分布定义、类型：通过分析p o i s s o n g u m b e l 复合极值分布 的现实意义，将变量赋予新的含义，建立p o i s s o n g u m b e l 复合极值分布模型； 然后分别利用复合矩法和概率权矩法对模型进行参数估计，并给出具体的计算结 果：最后，利用蒙特卡洛方法，对不同的样本容量进行模拟，以均方误差、偏差 和标准差为指标对两种参数估计方法进行优劣性比较，研究结果表明：两种方法 中概率权矩法较好，而且估计结果比较稳定。 第四章主要讨论风险价值v a r 的方差。首先介绍了风险价值v a r 方法的演 一进、定义和特点；其次介绍v a r 的方差；然后给出p o i s s o n g u m b e l 复合极值分 布模型v a r 的方差和p o i s s o n g p 复合超阂值分布模型v a r 的方差；最后，用两 个模型拟合1 9 9 0 年1 月2 日至2 0