2014年五一高中自主招生集训班后端习题1答案

2014 年 五一 高中 自主招生集训班 后端习题 答案 （ 数学部分 ） 试卷说明 本测试与 2015 年自主招生真题难度相当。 其中理科班型使用数学物理部分，文科班型使用数学语文部分。 本习题用于学生对水平进行自我评估， 如有学员希望单独得到金牌助教们的阅卷及分析，请通过邮箱与我们取得联系。方式 1：将自测结果（推荐直接在原试卷上给出答案）以照片或扫描件的形式发送。方式 2：将自测答案单独以 excel 或 word 形式发送。我们会在收到答案的两周内进行评阅并进行个性化分析。 第二套后端习题将于 2014年 5月 15日 12:00发布。 清北学堂集中培训课程后端 习题答 案 （ 2014 年 五一 集中培训课程使用） QBXT/JY/HDXTDA2014/5-1-11 2014-5-15 发布 清北学堂教学研究部 清北学堂学科邮箱 自主招生邮箱 数学竞赛邮箱 物理竞赛邮箱 化学竞赛邮箱 生物竞赛邮箱 理科精英邮箱 清北学堂官方博客 /tsba 清北学堂微信订阅号 学习资料最新资讯 清北学堂集中培训课程后端巩固 北京清北学堂教育科技有限公司 第 2 页 2014 年 五一高中自主招生集训班后端习题 （数学部分） 一、 选择题（ 每题 6 分，共 48 分 ） 1、 设 ()是定义在 R 上的奇函数，且当 0时， () = 2，若对任意的 , +2，不等式 ( +) 2()恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A.2,+ B.2,10,2 C.2,+ D.(0,2 【清北解析】 本题用推演法求解，将参数的取值范围问题利用等价转化思想，转化为函数的单调性与最值问题。 设 0， () = ()2 = 2，又 ()为奇函数，故 () = 2( 45 B.18 4 +5 D.18 = 45 【清北解析】 本题用特例法求解。 依题，可取 1 = 1,2 = 2,8 = 8。 18 = 8,45 = 20，所以 18 45。故选 B。 3、若 (2 3)2 = 0 +1 +22 +33 +44 +55，则 1 +22 +33 +44 +55 =（ ） A.-10 B.-5 C.5 D.10 【清北解析】 本题用特殊函数法求解。 (2 3)5 = 10(2 3)4 = 1 +22 +332 +443 +554 ，令 = 1 得，1 +22 +33 +44 +55 = 10。故选 B。 4、 设函数 ()的定义域为 -2,4，则 (2)的定义域为（ ） A.-2,4 B.-2,2 C.-2,2 D.4,16 【清北解析】 本题考查函数的基本概念，并不困难，需要考生对基本概念有所掌握。 抽象函数求定义域指的是自变量的取值范围，且在同一对应法则 下括号内取值范围相同。 2 2 4 2 2。故选 C。 清北学堂集中培训课程后端巩固 北京清北学堂教育科技有限公司 第 3 页 5、 已知定义在 R 上的奇函数 ()满足 ( +2) = ()，则 (6)的值为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 【清北解析】 本题考查函数的周期性问题，此类题除零以外无法得到其它函数值，答案多为零。 ( +2) = () ( +4) = ( +2) () = ( +4) = 4。 又 对于奇函数，(0) = 0，所以 (6) = (2) = (0) = 0。故选 B。 6、 已知函数 = 1 + +3的最大值为 M，最小值为 m，则 的值为（ ） A.1/4 B.1/2 C.2/2 D.3/2 【清北解析】 本题考查函数的极值问题 。 确定函数的值域，首先应确定函数的定义域，为 3 1。将原函数平方处理的2 = 4+22 2 +3。令 () = 2 2 +3， 3 1时， ()单调递增，1 1， ()单调递减。 所以 ()的最大值和最小值可以确定为 4 和 0。因此， = 22， = 2。故选 C。 7、 （ 2013 北约） 复数 A 、 B 、 C 的模都等于 1，且 0A B C ，则复数 AB BC CAA B C的模等于 A.1/2 B.1 C.3 D.不确定 【清北解析】 1AA BB CC ， 则 +C C A B A A B C B B C A A B CABCA B C A B C ，模为 1。 8、 （ 2013 北约） 在 66 棋盘上放 3 个完全相同的红色的车和 3 个完全相同的黑色的车，若这 6 个车不在同一行也不在同一列上，则不同的放法有 种 A.720 B.518400 C.20 D.14400 【清北解析】 考虑 6 个棋子均不相同，则不同行且不同列的方法共有 2 2 2 2 2 26 5 4 3 2 1 ，考虑棋子有两种颜色，且相同颜色的棋子完全相同，则放法有 2 2 2 2 2 26 5 4 3 2 1 144003 ! 3 ! 。 清北学堂集中培训课程后端巩固 北京清北学堂教育科技有限公司 第 4 页 二、 解答题 8、 （ 17 分） 函数 f(x) 对任意 xR 都有 1( ) 1( 2)fx fx ， 若 (1 ) 5 1 ( 7 4 ) ( )nf , f n N 求 的 值。 【清北解析】 由 ()fx= 11( 2)fx 得 1( 2) 1 ( )fx fx， 1( 4)1 ( 2)fx fx= 111 1 ( )fx = 11()fx ， 1 1 ( ) 1( 8 ) 1 111 ( 4) ( ) 1 1 ( )1()fxfx f x f x f xfx ， ( 2) ( 8)f x f x ，故有 ( ) ( 6)f x f x， 这说明 ()fx是 R上的周期函数，且 6 是 ()fx的一个周期。 利用二项式定理可以证明 7 +4能被 6 除余 5， (7 4) (5)nff 而 1( 5 ) (1 4 ) 1 , (1 ) 5 1(1)f f ff ， 35(5)4f 。 清北学堂集中培训课程后端巩固 北京清北学堂教育科技有限公司 第 5 页 9、 （ 16 分） 设如图，是一人出差从 A 城到 B 城去，沿途可能经过的城市的示意图，通过两城市所需的时间标在两城市的连线上（单位：时）。试求此人从城 A 到城 B 所需时间的最小值。 【清北解析】 记各城市至 B 城所需时间最短的时数为 S(x),x 为城市记号，则 12( ) 12 , ( ) 18,S E S E 11( ) 17 ( ) 29,S D S E 2 1 2( ) m i n 1 0 ( ) , 5 ( ) 2 2 ,S D S E S E 32( ) 9 ( ) 27,S D S E 1 1 2( ) m i n 6 ( ) , 1 3 ( ) 3 5 ,S C S D S D 2 2 3( ) m i n 1 1 ( ) , 7 ( ) 3 3 ,S C S D S D 12( ) m i n 1 4 ( ) , 1 5 ( ) 4 8 .S A S C S C 所以最短路径为 2 2 1A C D E B, ，共需时间 48 小时。 AB2C151C1D3D2D2E1E146131175917121810清北学堂集中培训课程后端巩固 北京清北学堂教育科技有限公司 第 6 页 10、 （ 19 分） 设 0k ，在直线 y kx 与 y kx 上分别取点 ,AAAx y 与 ,BBB x y ，使0ABxx 且 21OA OB k ，其中 O 是坐标原点记 AB 中点 M 的轨迹为 C 求 C 的方程； 若抛物线 2 2x py （ 0p ）与 C 在两点相切，证明：两个切点分别在两条定直线上，并求在这两切点处的切线方程 【清北解析】 （ 1） M 为 AB 中点 ，设其坐标为 (, )xy ，则 222ABA B A Bxxxy y kx kxy 2 2 2 21 1 1 ( 1 )A B A BO A O B k k x k x k x x 由于 0ABxx ，可得 1ABxx 。 所以 2 2 2 22( 2 ) ( ) ( ) ( ) 4 4A B A B A Bx y x x x x x xk 整理得 C 的方程 为 222 1yx k，可知曲线 C 为双曲线。 （ 2） 联立方程组 22 2212yxkx py 得 22 2 1 0y pyk ， （ 0, 0kp） 由双曲线与抛物线