高中物理 -共点力平衡 一般平衡等 知识点与例题

（第一次） 资料 说明 本 导学用于学员在实际授课 之 前 ，了解授课方向及重难点。 同时 还 附上部分知识点 的详细解读。每个班型导学共由 4 次书面资料构成。此次发布的为第一次导学，后面的第二次导学 ， 将于 2013 年 12 月 5 日发布。在 2013 年 12 月 20 日，公司 还 会发布 相应班型的详细授课大纲，敬请关注。 2014 年寒假物理竞赛 集训二 导学 知识框架 . 3 重点难点 . 4 知识梳理 . 5 一、 运动学 . 5 1. 运动的合成与分解 . 5 2. 相对运动 . 5 3. 直线运动 . 5 4. 曲线运动 . 5 5. 刚体平动 . 7 6. 刚体绕定轴转动 . 7 7. 微元法 . 7 8. 等效法 . 7 二、 静力学 . 8 1. 力的种类与特性 . 8 2. 力的合成与分解 . 8 清北学堂集中 培训课程 导学资料 （ 2014 年寒假集中培训 课程 使用 ） 清北学堂 3. 共点力平衡 . 8 4. 一般平衡 . 8 5. 液体压强与浮力 . 9 6. 液体表面张力 . 9 7. 虚功原理 . 9 8. 摩擦角 . 9 例题选讲 . 10 巩固习题 运动学 . 14 巩固练习 静力学 . 16 参考答案 运动学 . 19 参考答案 静力学 . 21 清北学堂 知识框架 运动学 质点（组）运动学 运动的合成与分解 相对运动 直线运动 曲线运动 刚体运动学 刚体平动 刚体绕定轴转动 运动学经典方法 微元法 等效法 静力学 静力学基础 力的种类与特性 力的合成与分解 平衡 共点力平衡 一般平衡 流体静力学 液体压强与浮力 液体表面张力 静力学经典方法 虚功原理 摩擦角 清北学堂 重点难点 质点（组）运动学中理论部分内容多为高考物理考纲范围内容，在竞赛中非常基本，因此需要熟练掌握。虽然该部分难点较少，但需要灵活使用多种解题技巧。 对曲线运动的一般描述引入曲率半径概念，在解题中有时会用到，需要掌握。 刚体运动学部分在高考物理中涉及较少，接受上存在一定难度。 在求解运动学问题时常使用的几种方法在运动学部分应作为重点及难点掌握。 静力学中的平衡问题在竞赛中属重点，对物体的平衡分析也是竞赛中静力学的难点。 在求解静力学问题时常使用的几种方法在静力学部分也应作为重点及难点掌握。 清北学堂 知识梳理 一、 运动学 1. 运动的合成与分解 运动的合成包括位移、 速度 和 加速度 的合成，遵守矢量合成法则 平行四边形法则。 在进行速度分解时，应根据 实际的运动效果 选择将速度分解为何种方向的分量。 2. 相对运动 我们一般把质点对地或对地面上静止物体的运动称为绝对运动，质点对运动参照系的运动称相对运动，而运动参照系对地的运动称牵连运动。以速度为例这三种速度分别称 绝对速度 、 相对速度 、 牵连速度 ，且有 牵连相对绝对 vvv 。 3. 直线运动 （ 1） 匀速直线运动 vts 常数v 0a （ 2） 匀变速直线运动 1) 匀变速直线运动的一般规律 atvvt 0 20 21 attvs asvvt 2202 2) 自由落体运动 gtvt 221gts 3) 竖直抛体运动 1 竖直下抛运动的规律：规定 抛出点为原点 ，竖直 向下为正方向 ，公式为 gtvvt 0 20 21 gttvs 2 竖直上抛运动的规律：规定 抛出点为原点 ，竖直 向上为正方向 ，公式为 gtvvt 0 20 21 gttvs 4. 曲线运动 （ 1） 抛体运动 1) 平抛运动 分位移、位移公式： tvx 0 221gty )21()( 22022 gttvyxs 02arctan vgt ， s 为位移， 清北学堂 为位移 s 和 x 轴方向夹角。消去参数 t ，得轨迹方程： 2202 xvgy 分速度、速度公式： 0vvx gtvy 222022 tgvvvv yx 0arctan vgt ， 为速度 v 与 x 轴方向夹角。 加速度： 0xa gay 在 自然坐标系 中 ，加速度：2220 0c o s tgvgvga n 222022s intgv tgga r 2) 斜抛运动 分速度公式： cos0vvx gtvv y sin0 ， 斜上抛运动 ， 斜下抛运动 。 分位移公式： tvx cos0 20 21s in gttvy ， 斜上抛运动 ， 斜下抛运动 。消去参数 t ，得轨迹方程： 2220 c o s2ta n xvgxy ， 斜上抛运动 ， 斜下抛运动 。 斜上抛运动 的几个 特征量 ：飞行时间gvT sin2 0 射高gvH 2sin220 射程gvs 2sin20 （ 2） 圆周运动 1) 匀速圆周运动 线速度、角速度的公式和关系为： tsv t rv ， s 为弧长， 为圆心角 切向加速度 0ra ，法向加速度 rrvan 22 ， 指向圆心 。 2) 变速圆周运动 加速度 不指向圆心 ，加速度可分解为 向心 和 切向 两个分量，即 rn aaa 22 rn aaa nraatan （ 3） 一般曲线运动 每一光滑平面曲线中任何一个 无限小部分 均可属于某一 圆 ，此圆称为曲线在该部位的 曲率圆 ，其半径称为 曲率半径 ，常记为 ，运动速度 v 及向心加速度 na 与曲率半径 间有关清北学堂 系式： 2n va 5. 刚体平动 刚体上 任意一条直线 在各个时刻位置 彼此平行 称之为刚体的平动。其特点为：刚体上 任意两点的运动轨迹相似 。因此，刚体的平动可用其内任一质点的运动来代表。其公式同质点（组）运动公式。 6. 刚体绕定轴转动 刚体绕定轴转动特点是刚体上的 各点 都在 与转轴垂直的平面内做圆周运动 ，各点做圆周运动的 半径可以不相等 ，但各点的 转过的角度都相同 。 转动涉及的运动学变量为 角位移 、角速度 、 角加速度 ： 20 21 ttrs 0rv ra )(2 0202 7. 微元法 微元法本质上是 从部分 出发 求解整体 的思维方式。即将复杂问题分解为 无限小 的 “微元体” 或 “元过程” ，在这样的“微元体”或“元过程”上可使用较简单的物理规律，而每一“微元体”或“元过程”上 遵从 相同 的物理 规律 ，通过一定的数学或物理方法将“微元体”或“元过程” 叠加合成 为待求解问题的解。 由于 分解的微元无限小 ，因而在“微元体”或“元过程”中 变化的量可以视为常数 ，如匀加速直线运动中的“元过程”可视为匀速直线运动。 8. 等效法 若某物理过程中 一些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同 ，则前一些因素与后一些因素是 等效的 ，可以 互相代替并不影响最后结果 ，这种方法就是等效法。等效思维的实质是在效果相同的情况下，将 较为复杂的实际问题 变换为 简单的熟悉问题 。 清北学堂 二、 静力学 1. 力的种类与特性 （ 1） 重力 重力是由 地球引力 引起的，实际上 除了地球两极 ，万有引力有两个分量， 一个提供物体随地球自转的向心力 ， 另一个为重力 ，方向并不是竖直向下。但通常计算中认为重力方向竖直向下 ，作用在物体 重心 上。重力为 非接触力 。 （ 2） 弹力 弹力由 形变 引起，为 接触力 。产生必要条件为 相互接触且有形变 。 1) 轻绳、轻杆、轻弹簧 轻绳 受力， 只能产生 拉力 ，方向 沿绳子且指向绳子收缩的方向 。 轻杆 受力，有 拉伸 、 压缩 、 弯曲 、 扭转 形变，与之对应，杆的弹力 方向具有多向性 。 轻弹簧 受力，有 压缩 和 拉伸 形变，能产生 拉力 和 压力 ，方向 沿弹簧的轴线方向 。 2) 面与面、点与面接触 面与面、点与面接触时，弹力方向 垂直于面 （若是曲面则 垂直于切面 ）， 指向受力物体 。 判断形变的存在至关重要，对于不能明确是否产生形变的，可采用 假设法 判断物体间是否具有 相对运动趋势 或 相对运动 。它们的大小，可通过 牛顿定律 和 力平衡条件 来确定。 （ 3） 摩擦力 摩擦力由 相对运动趋势 或 相对运动 产生，为 接触力 。产生必要条件为 有相互作用弹力及相对运动趋势或相对运动 。 滑动摩擦力 Nf ， 为滑动摩擦系数。静摩擦力 sms ff 0 ， Nfsm 0 为最大静摩擦力， 0 为静摩擦系数。实际上 0 ，但一般认为 0 。 摩擦力可以通过判断相对运动或相对运动趋势确定存在，有时也需要通过 假设法 判断。 2. 力的合成与分解 力的合成与分解遵循平行四边形法则。 力的分解可根据其 作用效果 分解为两个或多个 效果单一 的力。 3. 共点力平衡 共点力平衡条件为 合力为零 ，即 0i iF ，分量形式为 0i ixF ， 0i iyF 。 物体受三个 不平行 的力作用平衡时，三力必为共点力。 4. 一般平衡 （ 1） 物体受力平衡的一般条件 物体一般的受力平衡条件为 合力为零且合力矩为零 ，即 0i iF ， 0i iM 。合力矩为零的含义是对 任意转轴（支点） 合力矩为零。 （ 2） 平衡分类 物体的平衡可分为 稳定平衡 、 不稳定平衡 和 随遇平衡 三类。 稳定平衡：当物体 稍稍偏离 平衡位置时，有力或力矩使其回到平衡位置。 不稳定平衡：当物体 稍稍偏离 平衡位置时，有力或力矩使其偏离继续增 大。 随遇平衡：当物体偏离平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，能在新的位置上再次平衡。 清北学堂 平衡类型的判断方法有 受力（力矩）分析法 、 重心升降法 和 支面判断法 。 受力（力矩）分析法：偏离平衡位置时，所受外力指向平衡位置，稳定平衡；外力背离平衡位置，不稳定平衡；外力为零，随遇平衡。 重心升降法：偏离平衡位置时，重心升高，稳定平衡；重心降低，不稳定平衡；重心高度不变，随遇平衡。 支面判断法：有支面物体平衡时 重力作用线过支面 。偏离平衡位置时，重力作用线仍过支面，稳定平衡；重力作用线不过支面，不稳定平衡。 5. 液体压强与浮力 静止液体的压强与 液体密度和深度成正比 ，即 ghP ， 为液体密度， h 为深度。 浸在静止液体中物体受到液体对它各个方向总压力的 合力 ，其大小就等于被物体所 排开的液体受的重力 。 gVF ，式中 V 为物体浸没在液体部分的体积， 为液体密度。浮力的方向是 竖直向上 的，浮力的大小 与物体的重量无关 ， 与物体在液体中 深度无关 。 6. 液体表面张力 液体与其他相物体 交界面 处会产生表面张力， LF ， 为表面张力系数， L 为交界面长度。表面张力 垂直于交界面 。 7. 虚功原理 假设平衡物体偏离平衡位置移动 无限小位移 ，该过程中物体所受作用力对其做功，虚功原理得到的结论是 外力做功代数和为零 ，即 0i ii sF。 8. 摩擦角 设静摩擦力因数为 s ，则摩擦角定义为 s arctan 。 摩擦角 几何意义 ：最大静摩擦力 smf 与支持力 N 的合力 mR 与接触面法线间的夹角。 全反力 ：物体受到的摩擦力 f 与支持力 N 的合力 R 叫 支持面对物体 的全反力。当 R 与法线夹角 时，静摩擦力不超过最大静摩擦力。因此在 的范围内斜向下推物体，无论力多大物体都不会滑动，这就是 “自锁现象” 。 清北学堂 例题选讲 例 1. 一只兔子沿直线以恒定速度sm5u 奔跑。某时一只狐狸发现了这只兔子，便以恒定的速度 sm4v 开始 追它。狐狸奔跑时速度方向始终对准兔子。开始时两者距离减小。 后又不断增大。已知最近距离为m30L ，求两者距离最近时，狐狸的加速度。 解： 当狐狸与兔子相距最近时，以兔子为参考系的狐狸相对速度 v 方向与二者连线垂直，由相对运动原理，有 uvv ，矢量关系如图所示。 当兔子经时间 t 从 AA 时，狐狸从 BB ，有 tuAA ，而 tvBB c o sc o sB B v vu l l u lAA 狐狸轨迹该处（与兔子最近距离）的曲率半径 lvv ，而 22 vuv ，所以狐狸此时的加速度 2222 sm4.0l vuvlvvva 。 简析： 本题使用“微元思想”结合曲线运动中“曲率半径”概念，取最近距离附近的微小运动进行分析，解决了难以整体计算运动过程的问题。此类解题思路及方法值得学习和借鉴。 例 2. 一只蚂蚁从蚂蚁洞沿直线爬出，已知爬出速度 v 的大小与距蚂蚁洞中心的距离 L成反比，当蚂蚁到达距蚂蚁洞中心的距离 m11L 的 A 点时，速度大小为 scm201 v ，问当蚂蚁到达距蚂蚁洞中心的距离 m22L 的 B 点时，其速度大小为 2v 是多少？ 蚂蚁从 A 点到达 B 点所用的时间 t 是多少？ 解： 由已知可得 蚂蚁在距离洞中心上 L 处的速度 v 为 Lkv 1 ，代入已知得： sm2.0sm12.0 22 vLk ，所以当 m22L 时，其速度 sm1.02 v 。 由速度的定义得：蚂蚁从 L 到 LL 所 需时间 t 为 LLkvLt 1 （ 1） 类比初速度为零的匀加速直线运动的两个基本公式 atv tvs 在 t 到 tt 时刻所经位移 s 为 ttas （ 2） 比较 （ 1） 、 （ 2） 两式可以看出两式的表述形式相同。 据此可得蚂蚁问题中的参量 t 和 L 分别类比为初速度为零的匀加速直线运动中的 s 和 t ，清北学堂 而 k1 相当于加速度 a 。 于是，类比 221ats 可得：在此蚂蚁问题中 2121 Lkt 令 1t 对应 1L ， 2t 对应 2L ，则所求时间为2222112121LktLkt 代入已知可得从 A 到 B 所用时间为： s75)(21 212212 LLkttt 。 简析： 本题实质上是一道微积分的计算题，如果掌握一定的微积分知识，本题求解会十分容易。在物理竞赛中有许多题目使用微积分方法进行计算能起到另辟蹊径的作用。 例 3. 炮弹从具有倾角为 的平斜顶的掩蔽所下向外发射，炮位与斜顶的顶点 A 相距为 d，炮弹发射的初速度为 0v ，求炮弹能发射的最远距离。 解： 以炮位为坐标原点，平行和垂直于斜顶分别为 x 和 y 轴 ， 炮 弹 运 动 的 加 速 度cosxag sinyag 。在此坐标系中，斜顶的 y 坐标 siny h d 。 若要 炮弹射程最远，则炮弹轨道要与斜顶相切，应满足 220 si n ( )si n2 c osvhd g ，即 220 s in ( ) s in 2v g d 若 20 sin 2v gd ，则轨道不可能与斜顶相切，最大射程只需取 4 ，最大射程 20max vL g。 若 20 sinv gd ，则轨道要与斜顶相切，应取 10sin 2sin gd v 。 （ i） 若 4 ，即 2020 sin 22vv gd ，此时最大射程只需应取 4 ，最大射程20max vL g。 （ ii） 若 4 ，即 2020 sin 22vv gd ，此时最大射程需使炮弹轨道与斜顶相切，即应取 10s in 2s in gd v ，此时最大射程为 清北学堂 22 100m a x 0sin 2sin 2 sin 2 ( sin )gdvvL g g v 简析： 本题需根据炮弹轨道特性建立合适的坐标系，使计算化简。若建立水平竖直坐标系则本题计算繁琐求解困难。 例 4. 两个质量分布均匀的球，半径为 r ，重为 P ，置于两端开口的圆筒内，圆筒半径为 R （ rRr 2 ） ， 并竖直放在水平面上（如图 1）。设所有接触面均光滑，为使圆筒不致于倾倒，圆筒的最小重量 Q 为多少 ？ 如果换成有底的圆筒，情况又如何？ 解： 球 2Q 受力如图 2，由共点力平衡条件得 22 )22()2(22c o t rRr rRPPN 球 1Q 受到向右的支持力 NN ，两力构成力偶， 对圆筒 有 22 )22()2( rRrNQR ，可得 PR rRQ )(2 若 换成 有底 的筒 ，则不会翻。 简析 ： 本题 受力分析中使用到了力偶的概念。 等大、反向不在一直线上的两个力 构成力偶 ，力偶矩 为力与力偶臂（两平行力之间的距离）的乘积，因而 力偶矩与转轴的具体位置无关 。 例 5. 如图所示，一个半径为 R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其 A 端固定在球面的顶点， B 端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为 .试求铁链 A 端受的拉力 T 。 解： 设 A 点受到水平拉力的作用下移动一小段距离为 l 则 拉力做功 lTW 。拉动的图 1 图 2 清北学堂 效果可看做 B 端 长为 l 的铁链被搬到了 A 端， 重力 做功 gRlW )( 。由虚功原理可知，外力做功代数和为零，即 ： gRllT )( ， 易得 gRT 。 简析： 本题使用虚功原理求解 A 点所受拉力，过程非常简洁，若使用其他方法则求解过程均十分繁琐。虚功原理在静力学求解受力时非常有用，需要熟练掌握。 清北学堂 巩固习题 运动学 1.有两个斜抛物体从地面抛出，他们的初速度大小相同，方向斜向上，与水平地面所成的角度分别为 45 和 45 ，在空气阻力可以忽略不计的情况下，他们的水平射程之比是（ ） A ( c o s sin ) : ( c o s sin ) B. ( c o s sin ) : ( c o s sin ) C 1: 1 D. sin2 :cos2 2.一块足够长的白板，位于水平桌面上，处于静止状态一石墨块（可视为质点）静止在白板上石墨块与白板间有摩擦，滑动摩擦系数为 突然，使白板以恒定的速度 v0 做匀速直线运动，石墨块将在板上划下黑色痕迹经过某一时间 t，令白板突然停下，以后不再运动在最后石墨块也不再运动时，白板上黑色痕迹的长度可能是（已知重力加速度为 g，不计石墨与板摩擦划痕过程中损失的质量）（ ） A B C D 3.若质点作直线运动的速度 v 随时间 t 变化的图线如图 2-31 所示，则该质点的位移 s（从 t=0 开始）随时间 t 变化的图线可能是图 2-32 中的哪一个？（ ） 4历史上有些科学家曾把在相等位移内速度变化相等的单向直线运动称为 “匀变速直线运动 ”（现称 “另类匀变速直线运动 ”）， “另类加速度 ”定义为 A（ vt v0） /s，其中 v0 和 vt 分别表示某段位移 s 内的初速和末速。 A 0 表示物体做加速运动， A 0 表示物体做减速运动。而现在物理学中加速度的定义式为 a（ vt v0） /t，下列说法正确的是（ ） A若 A 不变，则 a 也不变 B若 A 0 且保持不变，则 a 逐渐变大 C若 A 不变，则物体在中间位置处的速度为（ vt v0） /2 D若 A 不变，则物体在中间位置处的速度为 （ vt2 v02） /2 5第一次从高为 h 处水平抛出一个球 ,其水平射程为 s，第二次用跟第一次相同的速度从另一处水平抛出另一小球，水平射程比前一次多了 s，不计空气阻力，则第二次抛出点的高度为 _ 。 202vg 0vt 20 12v t gt 20vg图 2 图 3 清北学堂 6物体 A 以初速度 1v 竖直向上抛出，经过时间 T 后，物体 B 在同一地点以初速度 2v 竖直向上抛出 .若 21 vv ，则欲使两物体尽早相遇（从物体 A 抛出时算起）， T 的取值为 _，相遇点离地面的高度为 _。 7. 老鼠离开洞穴沿直线前进，它的速度与到洞穴的距离成反比 .当它进行到洞穴距离为 1d 的甲处时，速度为 1v ，则它进行到离洞穴距离为 2d 的乙处时的速度为 _，老鼠从甲到乙用去的时间为 _。 8以初速度 0v ，抛射角为 斜向上抛出一小球，小球将沿一抛物线运动。如有一小飞虫也沿此抛物线以恒定的速率 0v 匀速飞行，求当他飞到最大高度一半处时的加速度。 9. 一只蜗牛从地面开始沿竖直电杆上爬，它上爬的速度 v 与它离地面的高度 h 之间满足关系式 v hllv0 ，其中常数 l 20cm， 0v 2cm/s。求它上爬 20cm 所用的时间。 10.一飞机相对于空气以恒定速率 v 沿正方形轨道飞行，在无风天气其运动周期为 T若有恒定小风沿平行于正方形的一对边吹来，风速为 )1( kkV v 求飞机仍沿原正方形（对地）轨道飞行时周期要增加多少 11. 如图所示， M 是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴 匀速转动，以经过 O 水平向右的方向作为 x 轴的正方向。在圆心 O 正上方距盘面高为 h 处有一个正在间断滴水的容器，在 t 0 时刻开始随传送带沿与 x 轴平行的方向做匀速直线运动，速度大小为 v。已知容器在 t 0 时滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时再滴一滴水。问： （ 1）每一滴水经多长时间滴落到盘面上？ （ 2）要使每一滴水在盘面上的落点都位于一条直线上，圆盘转动的最小角速度 。 （ 3）第二滴水与第三滴水在盘面上的落点间的最大距离 s。 OOh O v x M O 清北学堂 巩固练习 静力学 1.如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上， O 为球心，一质量为 m 的小滑块，在水平力F 的作用下静止 P 点。设滑块所受支持力为 FN。 OF 与水平方向的夹角为 0。下列关系正确的是（ ） A tanmgF B. tanF mg C. tanN mgF D. tanNF mg 2.如图所示， 型均匀杆总长为 3L，在竖直平面内可绕水平轴 O 转动，若在杆的右端 A 点加一方向竖直向下的力 F，使杆顺时针缓慢转动，在 AB 杆由水平转过090的过程中，以下说法中正确的是（ ） A. 力 F 不变 B. 力 F 变大 C. 力 F 的力矩变小 D. 力 F 的力矩先变大后变小 3. 如图所示，均匀的直角三角板 ABC 重为 20N，在 C 点有固定的转动轴， A 点用竖直的线AD 拉住，当 BC 处于水平平衡位置时 AD 线上的拉力大小为 F。后将一块凹槽口朝下、重为 4N 的木块卡在斜边 AC 上，木块恰能沿斜边 AC 匀速下滑，当木块经过 AC 的中点时细线的拉力大小变为 F，则下述正确的是（ ） A F=10N B. F10N C. F=2N D. F=4N 4如图所示，质量不计的杆 O1B 和 O2A 长度均为 L， O1 和 O2 为光滑固定转轴， A 处有一凸起物搁在 O1B 的中点， B 处用绳系在 O2A 的中点，此时两短杆便组成一根长杆，今在 O1B杆的 C点（ C为 AB的中点）悬挂一重量为 G的物体，则 A处受到的支撑力大小为 _，B 处绳的拉力大小为 _. C A D B 清北学堂 5如图所示，质量为 m 的小球放在倾角为 的光滑斜面上，小球被与水平成 角的细线系住，斜面体位于光滑水平面上，用水平力 F 缓慢地向左推物体， 角将减小，当 =_时细线拉力最小，此时 F=_。 6、如图所示，把三条质量均为 M、长度均为 L 的均匀薄铁皮一端搁在碗口上的三等分的点，另一端搁在其他铁皮的中点，保持平衡 .此时，碗口对每条铁片的的弹力大小为 _，两铁皮间的相互作用的弹力大小为 _. 7.两根等长的细线，一端拴在同一悬点 O 上，另一端各系一个小球，两球的质量分别为 m1和 m2 ，已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为 45和30，如图所示。则 m1 : m2为多少？ 8.底边为 a ，高度为 b 的匀质长方体物块置于斜面上，斜面和物块之间的静摩擦因数为 ，斜面的倾角为 ，当 较小时，物块静止于斜面上，如果逐渐增大 ，当 达到某个临界值0 时，物块将开始滑动或翻倒。试分别求出发生滑动和翻倒时的 ，并说明在什么条件下出现的是滑动情况，在什么条件下出现的是翻倒情况。 a b F清北学堂 9.如图所示， 两本书 A 和 B，逐页交叉后叠放在一起，平放在光滑的水平桌面上。设书的每张纸质量为 5g，每本书均为 200 张纸，纸与纸之间的动摩擦因数 =0.3。问至少需用多大的水平力，才能将它命拉开？ （取 210 /g m s ） 10如图所示，整个装置处于静止状态， PQ 为水平放置的光滑细长杆，质量均为 m 的两小球 A、 B 穿于其上 .两球用长度均为 L 的轻线结于 O 点，A、 B 球间杆上有一劲度系数为 K 的被压缩的轻弹簧（在弹性限度内），这时弹簧的长度也为L.E 为质量不计的光滑定滑轮，质量为 m/2 的 C 球用轻绳跨过定滑轮与置于水平地面上质量为 2m 的 D 球相连，求弹簧的原长？ A B 清北学堂 参考答案 运动学 1.C 2.AC 3.B 4.BC 5. h(s+ s)2/s2 6. )2/(,/)( 22222121 gvgvvvv 7. 1212 vddv ， )11(2 1221 vvddt 8 解析：此抛物线的最大高度 2 2 2 200si n si n2 2 4vv HHhgg 小球在此高度（ h）处时， y 方向的速度 2200 2s in 2 s in2yv v g h v 此处轨道的切线方向与水平方向的夹角为 2ta n ta n2yxvv 小球的法向加速度 222 c o sc o s c o s 1 c o sn va 而 2 2 2 2 2 2 2 200 11c os si n 1 c os22xyv v v v v 轨道此处的曲率半径 33222 2222 1 1 c o s 1 c o s2c o s 2 c o s 2 2 c o so ov vvg gg 故小飞虫飞到此处的加速度为 2332 2222 2 c o s c o s11 c o s 1 s in2v g ga 9. 解：因蜗牛运动的时间是由每一小段时间 1hthvv 累加而成。即 1thv ，故可作出 1 hv 图象。利用图象面积可得时间 t 。由 0lvv lh ，得011(1 )hv v l，故 1 hv 图象为一条直线，图像与坐标轴围成的面积即为所求的时间，即hvlv hvhvvtt )1(121)11(210000 。 代入数据得 15ts 。 清北学堂 10.解：设正方形边长为 L，则无风时 4/TL v 。 在有风天气为使飞机仍在正方形轨道上飞行，飞机在每条边上的航行方向（相对于空气的速度方向）和飞行时间均须作相应调整，如图（图中风速从左向右） 令 L=(v+V ) t1=(v-V ) t2=v t3 其中 v 2+V 2 =v 2 则新的运动周期为 2232122 VvVvVv LLLtttT 222 211211 kkkkkLv 4/3 2