高中数学竞赛辅导材料--几何变换

北京清北学堂 1 高中数学竞赛辅导材料 几何变换 一、 平移变换 1定义 设 PQ 是一条给定的有向线段， T 是平面上的一个变换，它把平面图形 F上任一点 X 变到 X ，使得 PQXX ，则 T 叫做沿有向线段 PQ 的平移变换。记为)( XX PQT ，图形 )( FF PQT 。 2主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。 二、 轴对称变换 1定义 设 l 是一条给定的直线， S 是平面上的一个变换，它把平面图形 F 上任一点X 变到 X ，使得 X 与 X 关于直线 l 对称，则 S 叫做以 l 为对称轴的轴对称变换。记为 )( XX lS ，图形 )( FF lS 。 2主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。 三、 旋转变换 1定义 设 是一个定角， O 是一个定点， R 是平面上的一个变换，它把点 O 仍变到O（不动点），而把平面图形 F 上任一点 X 变到 X ，使得 OXOX ，且 XOX ，则 R 叫做绕中心 O，旋转角为 的旋转变换。记为 ),( XX OR ，图形),( FF OR 。 其中 0 时，表示 XOX 的始边 OX 到终边 XO 的旋转方向为顺时针方向； 0时，为逆时针方向。 2主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角 。 北京清北学堂 2 四、 位似变换 1定义 设 O 是一个定点， H 是平面上的一个变换，它把平面图形 F 上任一点 X 变到 X ，使得 OXkOX ，则 H 叫做以 O 为位似中心， k 为位似比的位似变换。记为 ),( XX kOH ，图形 ),( FF kOH 。 其中 0k 时， X 在射线 OX 上，此时的位似变换叫做外位似； 0k 时 , X 在射线OX 的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。 2主要性质 在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一 直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心。 例题讲解 1 P 是平行四边形 ABCD 内一点，且 PCBPAB 。 求证： PDAPBA 2 “风平三角形 ”中， 60,2 B O CA O BCCBBAA ，求证： 3 在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。 3 C O AB O CA O B SSS北京清北学堂 3 的周长最小；，使得 、上各求一点、及射线内一个定圆，试在圆是给定锐角圆 P Q RR QPCBCAoA C Bo :5 。；求证于交 ，连接于交，连接、的两弦点引圆的中点，过的弦圆 NPMPNABCF MABDEEFCDoPABoP :.4ADRPQRPQ P Q RDBCADAA B C 290.6 求证： ，是它的任一内接三角形，于，中，；.7 MQMPMQMP BCMA Q CA P BACABA B C ，的中点，求证： 是，、直角三角形为斜边分别向外作等腰、的边以)(； ,1 2 0.8 为费马点求证： 内任意一点，是内一点，是已知 OOCOBOAPCPBPA ABCPC O AB O CA O BABCO 三线也相交于一点；、求证：，三线交于一点、，设、垂线六个点分别作所在边的，过上述、分别交于点、的三边与圆212121212121212121.9cbaDcbaccbbaaCCBBAAABCABCABCO ONOMNMACABPO PBCODOA B CAD ，求证：、于、分别交 ，连接并延长于的切线交作圆的直径，过的外接圆是.10北京清北学堂 4 例题答案 【例 1】 P 是平行四边形 ABCD 内一点，且 PCBPAB 。 求证： PDAPBA 【例 2】 “ 风平三角形 ” 中， 60,2 B O CA O BCCBBAA 求证： 【例 3】在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。 4376；85,21；74,82,；63,51,)( ，即四点共圆。故、得由已知知都是平行四边形，、由则【分析】作变换CPDPCBPPA DP PBCADPPDC PABPDC PABP ADT3 C O AB O CA O B SSS三角形为等边共线，、共线，、共线，、记为重合，和，则【分析】作变换O P QPBOQAOQRPRRRRRPRBB O CA Q ROCA BBTAAT ；, )()(3 C O AB O CA O B SSS北京清北学堂 5 形时，周长最小；故当四边形为平行四边同理可得的中点；、分别为、，的中点且是；交于、平行四边形；延长是一个符合条件的，则，令、的中点、【分析】取DCBADCABBCDABCBCBGBCADCGAGCFECFCCCEFACEGCCAFDBCACAACFEBDAC EFT 2,/)( 【评注】当已知条件分散，尤其是相等的条件分散，而又不容易找出证明途径，或题目中有平行条件时，将图形的某一部分施行平移变换，常常十分凑效。 PMPNMPFPFNPENP D EMPFFDMPE D FEFFE D FFPNM D FPMFABFFGHABGHFFPFPFPMFFPNPBPAPFPFPFPFGHPoFFFPGHGHSGHSGHS 1 8 0/,)()()(四点共圆、；，又，；又圆显然的直径，为过【分析】设 )(,2|11|,22 曲线系知识解析法证明：利用二次则中点的距离为到，已知、于交、，连接、作两条相交弦，过上的一点内一弦的圆已知半径【评注】一般结论为：rRaPNPMaABPrOPNMABEDCFEFCDPPABoR 的周长最小；，使得 、上各求一点、及射线内一个定圆，试在圆是给定锐角】圆【例 P Q RR QPCBCAoA C Bo 5 。；求证于交 ，连接于交，连接、的两弦点引圆的中点，过的弦圆】【例 NPMPNABCF MABDEEFCDoPABoP :4北京清北学堂 6 顶点。为所求的三角形的三个、则、于、分别交，连接，令，交圆周于连接做法：的周长为最小，于是有为最小，从而取最小值时，当理，是该圆直径，由正弦定四点共圆，、，则于交，于交设角形；的情况下周长最小的三是在取定，显然、于、分别交，连接，令上任取一点【分析】在圆RQPRQCBCAPPPPPPPOCRQPEFCPE C FCPEFCPPFCEEFPPPRRQQPFCBPPECAPPPRQPRQCBCAPPPPPPPoCBSCASCBSCAS212)(1)(1100000210111102010011011212)(01)(00,；si n2, 【 评注 】 如果题设中有角平分线、垂线，或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形，可以将图形或其部分进行轴对称变换。此外，也可以适当选择对称轴将一些线段的位置变更，以便于比较它们之间的大小。 ADRPQRPQ P Q RDBCADAABC 2906 求证： ，是它的任一内接三角形，于，中，】【例AD RP QR PQ AD AP AP AP RP QR Q P RQP P P P A A AP P AP P A RP QR Q P RP QR PQ AP AP AP Q P PQ RP RP P P P P AC S AB S 2 2 2 , 180 2 , 90 , , , , ) ( ) ( 的内部； 上或在凸四边形 点在线段 又 则 【分析】设 北京清北学堂 7 ；7 MQMPMQMP BCMA Q CAPBACABABC ，的中点，求证： 是，、直角三角形为斜边分别向外作等腰、的边】以【例OCOBOAPCPBPACOOOAOACCPPPAPCOOAOBOB OCCBOB P CCBPB OCCBOPBPPOBOOB P PB OOPPOOPPOOCCBRBRBR 即：四点共线，、；由于，显然，都是正三角形、则；、连接【分析】将1 8 01 2 0,)60,()60,()60,( )(； ,1 2 08 为费马点求证： 内任意一点，是内一点，是】已知【例 OOCOBOAPCPBPA ABCPC O AB O CA O BABCO 三线也相交于一点；、求证：，三线交于一点、，设、垂线六个点分别作所在边的，过上述、分别交于点、的三边与】圆【例2121212121212121219cbaDcbaccbbaaCCBBAAABCABCA B CO ； 且 而 显然： 都是等腰三角形， 、 则 ， ，使 到 ，延长 ，使 到 【分析】延长 MQ MP MQ MP BF MQ EC PM BF EC BF EC F C B E CAF BAE CQ QF F CQ BP PE E BP A R A R , 2 1 / , 2 1 / ； , , , ) 90 , ( ) 90 , ( 北京清北学堂 8 三线也相交于一点、即：的公共点、也是像下的像在变换的公共点、，同理：成中心对称，关于圆心、【分析】2122121212)180,(12)180,(12)180,(121)1 8 0,0(cbacbaDRDcbaccbbaaOaaOROROR ONOMNOBOBNOBCGACGOA C BGBOA C BDBODBOGBOFDBOBGOODGBGOO