2014高考百天仿真冲刺卷（理科数学试卷一）

第 1 页 共 9 页 2014 高考百天仿真冲刺卷 数 学 (理 ) 试 卷 （一） 第 卷 （ 选择题 共 40分） 一、 选择题：本大题共 8 小题 ,每小题 5 分 ,共 40 分 .在每小题列出的四个选项中 ,选出符合题目要求的一项 . 1、已知集合 30 xxA R ， 42 xxB R ，则 BA A. 32 xx B. 32 xx C. 322 xxx 或 D. R 2已知数列 na为等差数列，nS是它的前 n 项和 .若 21a ， 123 S，则 4S A 10 B 16 C 20 D 24 3. 在极坐标系下，已知圆 C 的方程为 2cos ，则下列各点在圆 C 上的是 A1, 3 B 1,6 C 32,4 D 52,4 4执行如图所示的程序框图，若输出 x 的值为 23，则输入的 x 值为 A 0 B 1 C 2 D 11 5已知平面 l ， m 是 内不同于 l 的直线，那么下列命题中 错误 的是 A若 /m ，则 lm/ B若 lm/ ，则 /m C若 m ，则 lm D若 lm ，则 m 6. 已知非零向量 ,abc 满足 a b c ，向量 ,ab的夹角为 120 ，且| | 2| |ba，则向量 a 与 c 的夹角 为 A 60 B 90 C 120 D 150 7.如果存在正整数 和实数 使得函数 )(co s)( 2 xxf （ ， 为常数）的图象如图所示（图象经过点（ 1,0），那么 的值为 A 1 B 2 C 3 D. 4 8已知抛物线 M ： 2 4yx= ，圆 N ： 222)1( ryx （其中 r 为常数， 0r ） .过点（ 1， 0）的直线l 交圆 N 于 C 、 D两点，交抛物线 M 于 A 、 B 两点，且满足 BDAC 的直线 l 只有三条的必要条件是 A (0,1r B (1,2r C 3( , 4)2r D 3 , )2r 第 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题 :本大题共 6小题 ,每小题 5分 ,共 30分 .把答案填在题中横线上 . 21xx是否3n1nnx输 入开 始1nx输 出结 束112yO x第 2 页 共 9 页 9复数 3i1i . 10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查 .他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s，2s，3s ，则它们的大小关系为 . （用“ ”连接） 11如图， A， B， C 是 O 上的三点， BE 切 O 于点 B， D 是 CE 与 O 的 交点 .若 70BAC ，则 CBE _ ；若 2BE ， 4CE ，则CD . 12.已知平面区域 11,11|),( yxyxD ，在区域 D 内任取一 点，则取到的点位于直线 y kx （ kR ）下方的概率为 _ . 13.若直线 l 被圆 22:2C x y所截的弦长不小于 2，则在下列曲线中： 22 xy 22( 1) 1xy 2 2 12x y 221xy 与直线 l 一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确 的所有序号） 14如图，线段 AB =8，点 C 在线段 AB 上，且 AC =2， P 为线段 CB 上一动点，点 A 绕点 C 旋转后与点 B 绕点 P 旋转后重合于点 D .设 CP =x ， CPD 的面积为 ()fx.则 ()fx的定义域为 ； ()fx的零点是 . 三、解答题 : 本大题共 6小题 ,共 80分 .解答应写出文字说明 , 演算步骤或证明过程 . 15. （本小题 共 13分） 在 ABC 中，内角 A、 B、 C所 对 的 边分别为 ,abc， 已知 1tan2B ， 1tan3C ， 且 1c . ( )求 tanA ； ( )求 ABC 的面积 . 16. （本小题 共 14分） 在如图的多面体中， EF 平面 AEB ， AE EB , /AD EF ， /EF BC ， 24BC AD， 3EF ， 2AE BE， G 是 BC 的中点 ACBODEA C P BDO 元频 率组 距0.00020.00040.00080.0006乙100015002000250030003500 O 元频 率组 距0.00020.00040.00080.0006丙100015002000250030003500元频 率组 距0.00020.00040.00080.0006甲100015002000250030003500第 3 页 共 9 页 ( ) 求证： /AB 平面 DEG ； ( ) 求证： BD EG ； ( ) 求二面角 C DF E的余弦值 . 17. （本小题 共 13分） 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为 23.现有 10件产品，其中 6件是一等品， 4件是二等品 . ( ) 随机选取 1件产品，求能够通过检测的概率； ( ) 随机选取 3件产品，其中一等品的件数记为 X ，求 X 的分布列； ( ) 随机选取 3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率 . 18. （本小题 共 13分） 已知函数 ( ) lnf x x a x ， 1( ) , ( R ) .ag x ax （）若 1a ，求函数 ()fx的极值； （）设函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x，求函数 ()hx 的单调区间； （） 若在 1,e （ e 2.718. ）上存在一点0x，使得0()fx 0()gx成立，求 a 的取值范围 . A DFEB G C第 4 页 共 9 页 19. （本小题 共 14分） 已知椭圆 22:1xyCab ( 0)ab 经过点 3(1, ),2M其离心率为 12. （）求椭圆 C 的方程； ( )设直线 1: ( | | )2l y k x m k 与椭圆 C 相交于 A、 B两点，以线段 ,OAOB 为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点 P在椭圆 C 上， O 为坐标原点 .求 OP 的取值范围 . 20. （本小题 共 13分） 已知每项均是正整数的数列 A ：1 2 3, , , , na a a a，其中等于 i 的项有ik个 ( 1, 2, 3 )i ， 设jj kkkb 21 ( 1, 2,3 )j ，12() mg m b b b n m ( 1, 2, 3 )m . （）设数列 :1, 2,1, 4A ，求 (1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) , ( 5 )g g g g g； （）若数列 A 满足12 100na a a n ，求函数 )(mg 的最小值 . 2013 高考百天仿真冲刺卷 数学 (理 )试 卷（一）参考答案 一、 选择题（本大题共 8小题 ,每小题 5分 ,共 40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A C D B B D 二、填空题（本大题共 6小题 ,每小题 5分 . 共 30分 .有两空的题目，第一空 3分，第二空 2分） 9.12i 10. s1 s2 s3 11. 70 ； 3 12. 12 13. 14. (2,4)； 3 三、解答题 (本大题共 6小题 ,共 80分 ) 15.（共 13分） 第 5 页 共 9 页 解：（ I） 因为 1tan2B ， 1tan3C , t a n t a nt a n ( )1 t a n t a nBCBC BC , 1分 代入得到，1123t a n ( ) 111123BC . 3分 因为 180A B C , 4分 所以 t a n t a n ( 1 8 0 ( ) ) t a n ( ) 1A B C B C . 5分 （ II）因为 0 180A ，由 （ I） 结论可得： 135A . 7分 因为 11t a n t a n 023BC ， 所以 0 9 0CB . 8分 所以 5sin ,5B 10sin 10C . 9分 由sin sinacAC得 5a ， 11 分 所以 ABC 的面积为： 11sin22ac B . 13 分 16. （共 14 分） 解： ( )证明： / / , / /A D E F E F B C， /AD BC . 又 2BC AD ,G 是 BC 的中点， /AD BG ， 四边形 ADGB 是平行四边形， /AB DG . 2分 AB 平面 DEG ， DG 平面 DEG ， /AB 平面 DEG . 4分 ( ) 解法 1 证明： EF 平面 AEB ， AE 平面 AEB ， EF AE ， 又 ,A E E B E B E F E， ,B EF 平面 BCFE ， AE 平面 BCFE . 5分 过 D 作 /DH AE 交 EF 于 H ，则 DH 平面 BCFE . EG 平面 BCFE ， DH EG . 6分 / / , / /A D E F D H A E， 四边形 AEHD 平行四边形， 2EH AD， 2EH BG，又 / / ,E H B G E H B E， 四边形 BGHE 为正方形， BH EG ， 7分 又 ,B H D H H B H平面 BHD ， DH 平面 BHD , EG 平面 BHD . 8分 BD 平面 BHD , BD EG . 9分 解法 2 EF 平面 AEB ， AE 平面 AEB ， BE 平面 AEB ，EF AE ， EF BE ， 又 AE EB , ,EB EF EA 两两垂直 . 5分 以点 E为坐标原点， ,EB EF EA 分别为 ,xyz 轴建立如图的空间直HA DFEB G CxzyA DFEB G C第 6 页 共 9 页 角坐标系 . 由已知得， A （ 0， 0， 2）， B （ 2， 0， 0）， C （ 2， 4， 0）， F （ 0， 3， 0）， D （ 0， 2， 2）， G （ 2， 2， 0） . 6分 (2, 2, 0)EG ， ( 2, 2, 2 )BD ， 7分 2 2 2 2 0B D E G , 8分 BD EG . 9分 ( )由已知得 (2, 0, 0)EB 是平面 EFDA 的法向量 . 10分 设平面 DCF 的法向量为 ( , , )x y zn ， ( 0 , 1 , 2 ) , ( 2 , 1 , 0 )F D F C ， 00FD nFC n ，即 2020yzxy ，令 1z ,得 ( 1, 2,1)n . 12分 设二面角 C DF E的大小为 ， 则 26c o s c o s ,626EB n ， 13分 二面角 C DF E的余弦值 为 6.6 14 分 17. （共 13 分） 解： ( )设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为 A 1分 事件 A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” 2分 151332104106)( Ap 4分 ( ) 由题可知 X 可能取值为 0,1,2,3. 30463101( 0 )30CCPXC , 21463103( 1 )10CCPXC , 12463101( 2 )2CCPXC , 03463101( 3 )6CCPXC . 8分 9分 ( )设随机选取 3件产品都不能通过检测的事件为 B 10 分 事件 B 等于事件“随机选取 3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以， 31 1 1( ) ( )3 0 3 8 1 0PB . 13分 18. （共 13 分） 解：（） ()fx的定义域为 (0, ) ， 1分 当 1a 时， ( ) lnf x x x ， 11( ) 1 xfxxx ， 2分 3分 所以 ()fx在 1x 处取得极小值 1. 4分 X 0 1 2 3 P 301 103 21 61 x (0,1) 1 (1, ) ()fx 0 + ()fx 极小 第 7 页 共 9 页 （） 1( ) l nah x x a xx ， 22 2 21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 a a x a x a x x ahx x x x x 6分 当 10a 时，即 1a 时，在 (0,1 )a 上 ( ) 0hx ，在 (1 , )a 上 ( ) 0hx ， 所以 ()hx 在 (0,1 )a 上单调递减，在 (1 , )a 上单调递增； 7分 当 10a ，即 1a 时，在 (0, ) 上 ( ) 0hx ， 所以，函数 ()hx 在 (0, ) 上单调递增 . 8分 （ III）在 1,e 上存在一点0x，使得0()fx 0()gx成立，即 在 1,e 上存在一点0x，使得0( ) 0hx，即 函数 1( ) l nah x x a xx 在 1,e 上的最小值小于零 . 9分 由（）可知 即 1ea，即 e1a时， ()hx 在 1,e 上单调递减， 所以 ()hx 的最小值为 (e)h ，由 1( e ) e 0e aha 可得 2e1e1a ， 因为 2e1e1e1 ，所以 2e1e1a ； 10分 当 11a，即 0a 时， ()hx 在 1,e 上单调递增， 所以 ()hx 最小值为 (1)h ，由 (1) 1 1 0ha 可得 2a ； 11分 当 1 1 ea ，即 0 e 1a 时， 可得 ()hx 最小值为 (1 )ha ， 因为 0 ln (1 ) 1a ，所以， 0 ln (1 )a a a 故 (1 ) 2 l n (1 ) 2h a a a a 此时， (1 ) 0ha不成立 . 12分 综上讨论可得所求 a 的范围是： 2e1e1a 或 2a . 13 分 19. （共 14 分） 解：（）由已知可得 222214abe a，所以 2234ab 1分 又点 3(1, )2M在椭圆 C 上，所以221914ab 2分 由解之，得 224, 3ab. 故椭圆 C 的方程为 22143xy. 5分 ( ) 当 0k 时， (0,2 )Pm在椭圆 C 上，解得 32m，所以 | | 3OP . 6分 当 0k 时，则由22,1.43y kx mxy 消 y 化简整理得： 2 2 2( 3 4 ) 8 4 1 2 0k x k m x m ， 2 2 2 2 2 26 4 4 ( 3 4 ) ( 4 1 2 ) 4 8 ( 3 4 ) 0k m k m k m 8分 设 ,ABP 点的坐标分别为1 1 2 2 0 0( , ) ( , ) ( , )x y x y x y、 、，则 第 8 页 共 9 页 0 1 2 0 1 2 1 22286, ( ) 23 4 3 4k m mx x x y y y k x x mkk . 9分 由于点 P 在椭圆 C 上，所以 2200143xy. 10分 从而 2 2 22 2 2 21 6 1 2 1( 3 4 ) ( 3 4 )k m mkk，化简得 224 3 4mk ，经检验满足式 . 11分 又 2 2 22200 2 2 2 26 4 3 6|( 3 4 ) ( 3 4 )k m mO P x ykk 2 2 22 2 24 (1 6 9 ) 1 6 9( 3 4 ) 4 3m k kkk 234.43k 12分 因为 102k，得 23 4 3 4k ，有23314 4 3k ， 故 1332OP. 13 分 综上，所求 OP 的取值范围是 13 3, 2. 14分 ( )另解：设 ,ABP 点的坐标分别为1 1 2 2 0 0( , ) ( , ) ( , )x y x y x y、 、， 由 ,AB在椭圆上，可得 2211223 4 1 23 4 1 2xy 6分 整理得1 2 1 2 1 2 1 23 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 0x x x x y y y y 7分 由已知可得 O P O A O B，所以 1 2 01 2 0x x xy y y 8分 由已知当1212yyk xx ,即 1 2 1 2()y y k x x 9分 把 代入 整理得0034x ky 10分 与 22003 4 1 2xy联立消0x整理得 20 2943y k 11 分 由 22003 4 1 2xy得 220044 3xy， 所以 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 24 1 3| | 4 4 43 3 4 3O P x y y y y k 12分 因为 12k ，得 23 4 3 4k ，有23314 4 3k ， 故 1332OP. 13 分 所求 OP 的取值范围是 13 3, 2. 14 分 20. （共 13 分） 解：（ 1）根据题设中有关字母的定义， 1 2 3 42 , 1