实对称矩阵的特征值和特征向量.ppt

4.3实对称矩阵的特征值和特征向量,定义4.5给定Rn中向量,实数,称为向量和的内积.,记为T.,则和的内积为,(一）向量的内积,2)T=,故向量和的内积记为,两个n维实向量的内积是一个实数.,3)只有维数相同的两个向量才有内积.,和的内积为,T,说明1),例,和的内积为,内积具有如下性质：,4）T0,T=0,（分配律）,（交换律）,（二）向量的长度,定义4.6对Rn中向量,非负实数,称为向量的长度,或向量的范数,记为,（k为实数）,向量的长度具有以下性质：,3）对任意向量和，有,对Rn中任意非零向量，,事实上，,用非零向量的长度去除向量,得到一个,通常称为把向量单位化。,单位向量,与同方向的,定义4.7如果向量和的内积等于零,(三)正交向量组,例如,即T=0,则称向量和互相正交(垂直).,例,零向量与任一向量垂直.,一般地,在Rn中,即Rn中的单位向量组1,2,n两两正交.,1,2,n称为Rn中的单位正交向量组.,一般地，,时,定义4.8如果Rn中非零向量组,则称向量组1,2,s,如向量组,是R3中的正交向量组.,注意：,两两正交,即,为正交向量组.,则1,2,s,都不是零向量。,若1,2,s为正交向量组，,定理4.7,证设,一般地，,1,2,s线性无关.,Rn中的正交向量组,是Rn中的正交向量组.,时，,线性无关.,施密特正交化方法：,设向量组,是正交向量组,且和向量组,线性无关，,令,等价.,例用施密特正交化方法,把向量组,变成单位正交的向量组.,解令,再将1,2,3,4单位化,两两正交，,等价.,与,且与1,2,3,4等价,1,2,3,4两两正交，,再将1，2，3,4单位化,1,2,3,4是,且与1,2,3,4等价,例用施密特正交化方法,把向量组,变成单位正交的向量组.,单位正交向量组，,(四)正交矩阵,定义4.9设n阶实矩阵Q满足,则称Q为正交矩阵.,说明1)正交矩阵必是实矩阵,例单位矩阵I为正交矩阵,例,QTQ=,Q是正交矩阵,即正交矩阵的元素都是实数.,2)由,Q可逆，,正交矩阵具有下列性质：,1）若Q是正交矩阵，,证,2）若Q为正交矩阵，,3）若P，Q都是n阶正交矩阵，,证,则Q的行列式的值等于1或1,则Q可逆，且,则PQ也是正交矩阵.,PQ是正交矩阵。,定理4.8设Q为n阶实矩阵,是单位正交向量组.,是单位正交向量组.,则Q为正交矩阵的充要条件是,Q的列(行)向量组是单位正交向量组.,两两正交,且,两两正交,且,（五）实对称矩阵的特征值和特征向量,定理4.9实对称矩阵的特征值,定理4.10实对称矩阵的,定理4.11设A是实对称矩阵,Q1AQ是对角矩阵.,定理4.11设A是实对称矩阵,QTAQ是对角矩阵.,都是实数.,对应于不同特征值的特征向量,是相互正交的.,A是n阶实对称矩阵,A的两个特征值,则,则存在正交矩阵Q,使得,则存在正交矩阵Q,使得,A是n阶实对称矩阵,A的两个特征值,则,是一个数，,A是n阶实对称矩阵，,而,设,互不相同,A的特征值,(2),(1),求的特征值,(3),即,将相同特征值对应的特征向量正交化，,(4),特征值:,特征值:,Q为正交矩阵.,例,特征值:,解:,基础解系分别为:,两两正交,将1,2,3单位化:,为单位正交向量组,为正交矩阵,令,求正交矩阵,使得,为对角矩阵。,例,Q-1AQ为对角矩阵.,求正交矩阵Q,使,