高等数学下册总复习

高等数学下册总复习资料（工科）广东工业大学华立学院增城，2008-2-20目 录目录一内容提要2第八章 多元函数微分法及其应用2第九章 重积分5第十章 曲线积分与曲面积分9第十一章 无穷级数12第十二章 微分方程18二强化训练21（）04、05、06期末试卷2120042005学年第二学期期末考试试卷2120052006学年第二学期期末考试试卷2520062007学年期末考试试卷27（）自测训练30试卷一30附参考答案：33试卷二34附参考答案：37试卷三38附参考答案：4120052006学年第二学期期末考试试卷（2005级快班试卷）4320062007学年第二学期期末考试（2006级快班试卷）46试卷四49参考答案及提示53试卷五57参考答案及提示：61高等数学下册总复习资料高等数学下册总复习一内容提要第八章 多元函数微分法及其应用一、基本概念1多元函数（1）知道多元函数的定义元函数：（2）会求二元函数的定义域1：分母不为；2：真数大于；3：开偶次方数不小于；4：或中（3）会对二元函数作几何解释2二重极限这里动点是沿任意路线趋于定点的（1） 理解二重极限的定义（2） 一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限；（3） 会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）3多元函数的连续性（1）理解定义：（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论；（3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。二、偏导数与全微分1偏导数（1）理解偏导数的定义（二元函数）（2）知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系（3）求偏导数法则、公式同一元函数2高阶偏导数（1）理解高阶偏导数的定义（2）注意记号与求导顺序问题（3）二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：3全微分（1）知道全微分的定义若可表示成，则在点处可微；称为此函数在点处的全微分，记为（2）知道二元函数全微分存在的充分必要条件：函数可微，偏导数必存在；（，；）偏导数存在，不一定可微（是否为）偏导数连续，全微分必存在方向导数、梯度，只对快班要求三、多元复合函数与隐函数求导法则1多元复合函数的求导法则（1）（2）对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数（全导数）的求导法要熟练掌握（3）快班学生要掌握多元复合函数（主要是两个中间变量的二元函数）的二阶偏导数的求法2隐函数的求导公式（1）一个方程的情形若确定了，则；若确定了，则，（2）方程组的情形若能确定，则由可解出与；若确定了，象上边一样，可以求出，及，四、多元函数微分法的应用1几何应用（1）空间曲线的切线与法平面方程1：曲线：，时，上相应点处的切线方程：法平面方程：2：曲线：，则点处的切线方程：法平面方程：3：曲线：，则点处的切线方程为法平面方程：（2）空间曲面的切平面与法线方程1：曲面：，点处的切平面方程为：法线方程：2：曲面：，在点处的切平面方程为：法线方程为：2极值应用（1）求一个多元函数的极值（如）：先用必要条件，求出全部驻点，再用充分条件求出驻点处的，与；，时有极大值，时有极小值；时无极值（2）求最值1：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较；2：有实际意义的最值问题（3）条件极值求一个多元函数在一个或个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法如：在条件与下的极值时，取解方程组，求出，则就是可能的极值点；再依具体问题就可判定为极大（或极小）值点第九章 重积分一、 二重积分1 定义： 2 几何意义：当时，表示以曲面为顶，以为底的曲顶柱体体积物理意义：以为密度的平面薄片的质量3 性质1：2：3：若，则4：时，5：若在上，则6：若在闭区域上连续，且，则7：（中值定理）若在闭区域上连续，则必有点，使4 二重积分的计算法（1）在直角坐标系中1：若积分区域为型区域：则化为先后的二次积分：2：若积分区域为型区域：则化为先后的二次积分：（2）在极坐标系中,1：极点在外：则有2：极点在的边界上：则有3：极点在内：则有在计算二重积分时要注意：1：选系：是直角坐标系还是极坐标系；若积分区域是圆域、环域或它们的一部分；被积式含有或两个积分变量之比、时，一般可选择极坐标系2：选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，选错次序会出现复杂或根本积不出的情况（二次积分换次序）3：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合，如：关于轴（或轴）对称时，应配合被积函数对于（或）的奇偶性4：若，积分区域:,则二重积分可化为两个定积分的乘积二、 三重积分1 定义：2 物理意义：以为密度的空间体的质量3 性质（与二重积分类同）4 三重积分的计算法（1）在直角坐标系中1：若为：此处为在面上的投影，与分别为的下界面和上界面方程，则2：若为：此处为用平面截时所得的截面面积，则（2）在柱面坐标系下若为：，则（3）在球面坐标系中若为：，则注：1：柱面坐标、球面坐标对普通班不要求；2：三重积分的计算也有选系、选序的问题；3：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合；4：若是长方体：，而，则三重积分化为三个定积分的乘积三、 重积分的应用1 几何应用（1） 求面积：（2） 求体积：，（3） 求曲面面积：若：，在面上的投影为，则的面积为：2 物理应用（1） 求质量：；（2） 求重心：；在均匀情况下，重心公式可变形为：；同理，可得到空间体的重心坐标（3） 求转动惯量：；同理可有空间体对坐标面、坐标轴的转动惯量第十章 曲线积分与曲面积分一、曲线积分1定义：（1）第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：（）物理意义：曲线的质量（2）第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：物理意义：变力沿曲线所作的功2性质：（1）（）（2）第一类：第二类：（3）两类曲线积分的联系其中，是曲线上点处切线的方向余弦（）3计算法（化线积分为定积分）：，则注意：为时，取为，4格林公式及其应用（1）格林公式：注意：1：，在上具有一阶连续偏导数；2：是单连域的正向边界曲线；3：若为多连域，先引辅助线，后再用格林公式（2）平面上曲线积分与路径无关的条件设，在单连域内有一阶连续偏导数，为内任意两点，则以下四个命题等价：1：与路径无关；2：对于内任意闭曲线有；3：在内，为某函数的全微分；4：在内处处成立（3中有：）二、曲面积分1定义：（1）第一类曲面积分（对面积的曲面积分）物理意义：曲面的质量。时，（2）第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）2性质（1）（2）第一类：第二类：（3）两类曲面积分的联系其中：，是曲面上点处法线的方向余弦3计算法（化曲面积分为二重积分）第一类：若曲面：，在面上的投影为，则等等第二类：4高斯公式及其应用设空间区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数、在上具有一阶连续偏导数，则有注：1：是的边界曲面的外侧；2：非封闭曲面，必须添加辅助曲面，先封闭后再用公式5通量与散度、环流量与旋度（普通班不要求）通量：散度：环流量：旋度：第十一章 无穷级数一、 常数项级数1 基本概念（1） 定义：形如的无穷和式，其中每一项都是常数（2） 部分和：（3） 常数项级数收敛（发散）存在（不存在）（4） 和（存在时）注：发散级数无和（5） 余项：当时，称级数为原级数第项后的余项2 基本性质（1） 与敛散性相同，且若，则；（2） 若，则推论1：若收敛，发散，则必发散；推论2：若与都发散，则不一定发散（3） 在级数前面去掉或添加、或改变有限项后所得级数与原级数的敛散性相同（收敛级数的和改变）（4） 收敛级数加括号（按规则）所得级数仍收敛于原来的和；（收敛级数去括号不一定收敛）（5） 若级数收敛，则必有（若，则必发散）3 几个重要的常数项级数（1） 等比级数；（2） 调和级数发散；（3） 级数（），时收敛，时发散）；（4） 倒阶乘级数收敛 4 常数项级数的审敛法（1） 正项级数的审敛法设与均为正项级数1：收敛有界；2：比较法若收敛（发散），且，（），则收敛（发散）推论1：若，则与具有相同的敛散性推论2：若，则发散；若（），则收敛3：比值法若，则有4：根值法若，则当（2） 交错级数的审敛法莱布尼兹定理：若交错级数（）满足： 1：2：则收敛，且其和， （3） 任意项级数的审敛法1：若，则发散；2：若收敛，则绝对收敛；3：若发散， 收敛，则条件收敛二、 函数项级数1 基本概念（1） 定义：形如；（2） 收敛点、发散点、收敛域、发散域；（3） 部分和：；（4） 和函数：在收敛域上2 幂级数（1） 定义：，当时有：；（2） 性质1：若在处收敛，则当时，绝对收敛（发散）； 若在处发散，则当时，发散2：幂级数的收敛域，除端点外是关于对称的区间，两端点是否属于收敛域要分别检验3：在的收敛区间内，此级数的和函数连续（3） 收敛区间的求法1：不缺项时，先求，得收敛半径；再验证两端点，则收敛域收敛的端点2：缺项时，先求，解不等式得的所属区间，再验证端点，则收敛域收敛的端点3 幂级数的运算（1） 幂级数在它们收敛区间的公共部分可以进行加、减、乘、除运算（2） 幂级数在其收敛区间内可以进行逐项微分与逐项积分运算，即，则有：，；，4 函数展开为幂级数（1） 充要条件：若函数在点的某邻域内具有任意阶导数，则（2） 唯一性：若在某区间内能展开成幂级数，则其系数，（）（3） 展开法：1：直接法（见教材P218）2：间接法利用几个函数的展开式展开，或，5 傅立叶级数（此内容只适用于快班）（1） 定义：如果三角级数中的系数，是由尤拉傅立叶公式给出，即，；， 则称这样的三角级数为的傅立叶级数 （2） 收敛定理设是周期为的周期函数，如果它在一个周期内满足：连续或只有有限个第一类间断点；单调或只有有限个极值点，则的傅立叶级数（3） 函数展开为傅立叶级数的方法： 1：求的傅立叶系数；2：将1中的系数代入三角级数式；3：写出上式成立的区间（4） 正弦级数与余弦级数称（）为正弦级数；称（）为余弦级数若在上，为奇函数，则有，其正弦级数为，（）；若在上，为偶函数，则有，其余弦级数为，（）；若是定义在上的函数，要求其正弦（余弦）级数，可先对进行奇（偶）延拓；奇延拓：偶延拓：对于周期为的函数的展开情况与上边类似（略）二强化训练（）04、05、06期末试卷20042005学年第二学期期末考试试卷一、 单选题（每小题4分，共16分）1 下面结论错误的是（ ）（A） 若在内连续，则必存在（B） 若在上可积，则在上必有界（C） 若在上可积，则在上必可积（D） 若在上单调有界，则在上必可积2 若矢量，则的方向余弦，分别是（ ）（A）， （B）， （C）， （D），3 平行于轴的平面是（ ）（A） （B） （C） （D）4 设，在极坐标中，二重积分可表示为（ ）（A） （B）（C） （D）二、 填空题（每小题4分，共16分）1 2 设，则 3 设，则 4 设区域，则 三、 计算题（每题6分，共48分）1 计算2 求球心在点并与平面相切的球面方程3 计算，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域4 计算，其中是由直线，及所围成的闭区域5 应用格林公式计算曲线积分：，其中是由抛物线和所围成的区域的正向边界曲线6 求微分方程的通解7 将函数展开成的幂级数8 求幂级数的收敛域四、 综合题（共14分）1 设有关系式，将积分化为直角坐标系下的二次积分。（6分）2 设，其中为连续函数，求。（8分）五、 证明题（6分）20052006学年第二学期期末考试试卷一、 选择题（每题4分，共20分）1 的定义域（ ）A B C D且2 在处可微的充分条件是（ ）A，都存在B，在的某个邻域内都连续C在连续D，相等3 当（ ）时，（为常数）收敛A B C D4 当积分区域是由（ ）围成时，A轴、轴及 B，及，C， D，5 的通解是（ ）A BC D二、 填空题（每题4分，共24分）1 ，则 2 是一条分段光滑的闭曲线，则 3 的收敛域是 4 改变积分次序 5 为圆周：，（），则 三、 计算题（每题10分，共40分）1 ，：中心在原点半径为的圆周围成的闭区域2 ，半径为，圆心在原点，逆时针绕行的上半圆周3 ，：球面被平面（）截出的顶部4 已给，求满足之特解四、 （12分）把正数分成三个正数之和，使它们乘积最大，并由此结果证明（，）五、 （8分）计算，其中区域为，20062007学年期末考试试卷一、 填空题（每小题4分，共20分）1 设，则 2 设平面区域，则 3 设为平面上任意正向简单闭曲线，则 4 幂级数的收敛域是 5 微分方程的通解是 二、 选择题（每小题4分，共20分）1 设，则（ ）（A） （B）（C） （D）2 设是长方体：，则（ ）（A） （B） （C） （D）3 设是圆域的正向周界，则（ ）（A） （B） （C） （D）4 幂级数在处收敛，则该级数在处（ ）（A）发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）收敛性不能确定5 函数（为任意常数）是微分方程的（ ）（A）特解 （B）通解 （C）不是解 （D）是解，但既非特解，又非通解三、 计算下列各题（每小题6分，共30分）1 求极限2 设，求，3 计算二次积分4 判断级数的敛散性5 求微分方程的通解四、 求解下列各题（每小题8分，共16分）1 求幂级数的收敛域及其和函数，并求级数的和2 求微分方程在，下的特解五、 （本题满分6分）设，其中可微，且，证明：六、 （本题满分8分）设有均匀锥面（），其面密度，求该锥面的质量与质心（）自测训练试卷一一、 填空题（每小题4分，共20分）1 2 已知：，则 3 设（其中）是某二元函数的全微分，则 4 幂级数的和函数是 5 微分方程的通解是 二、 选择题（每小题4分，共20分）1 曲面上点处的法线方程为（ ）（A） （B）（C） （D）2 设是矩形域：，则（ ）（A） （B） （C） （D）3 设是以，及为顶点的三角形域的围界沿方向，则（ ）（A） （B） （C） （D）4 若幂级数在处收敛，则其在处是（ ）（A）发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）收敛性不能确定5 函数（为任意常数）是微分方程的（ ）（A）通解 （）特解 （C）不是解 （D）是解，但既非通解，又非特解三、 计算下列各题（每题5分，共25分）1 设由确定了，求2 ，其中积分区域3 ，其中为摆线，的一拱（）4 判断级数（）的敛散性5 求微分方程的通解四、 试解下列各题（每题7分，共21分）1 ，其中具有连续二阶偏导数，求2 将函数展开成的幂级数3 求微分方程满足，的特解五、 （本题满分8分）求锥面被柱面所割下部分的曲面面积六、 （本题满分6分）设（，），证明：附参考答案：一、二、三、1234时发散，时收敛5四、12，3五、六、证明略试卷二一、 填空题（每题4分，共20分）1 设是可微函数，且，曲面通过点，则过这点的法线方程是 2 已知在面上连续，且，则3 是平面上具有质量的光滑曲线，其线密度为，则关于过原点且垂直于面的直线的转动惯量可用曲线积分表示为 （其中为连续函数）4 级数的收敛区间是 5 微分方程的通解是 二、 选择题（每题4分，共20分）1 设，则（ ）（A） （B） （C） （D）2 变换二次积分的次序为（ ）（A） （B）（C） （D）3 设是从点沿折线至点的折线段，则曲线积分（ ）（A） （B） （C） （D）4 已知，则（ ）（A） （B） （C） （D）5 微分方程（为整数），则（ ）（A）当或时为贝努利方程 （B）当或时为线性微分方程（C）当或时为贝努利方程 （D）当时为可分离变量方程三、 计算下列各题（每题5分，共25分）1 设，求2 化为极坐标下的二次积分，其中3 判断级数的敛散性4 ，其中是从点沿至点的一段弧5 求微分方程的通解四、 试解下列各题（每题7分，共21分）1 求函数的极值2 求幂级数的和函数，并求级数的和3 设二阶可导函数满足，求五、 （本题满分8分）设有抛物面壳（），其面密度为，求该抛物面壳的质量与质心六、 （本题满分为6分）设由方程所确定，且具有连续偏导数，证明：.附参考答案：一、12345二、三、123收敛45四、1，2（其中），3五、，六、证明略试卷三一、 填空题（每题4分，共20分）12 设则 3 4 为圆周，则 5 设二阶线性非齐次微分方程的三个特解为，则此方程的通解为 二、 选择题（每题4分，共20分）1 曲线在点处的切线对轴的倾角为（ ）（A） （B） （C） （D）2 设，为连续函数，则有（ ）成立（A） （B）（C） （D）3 已知为某二元函数的全微分，则（ ）（A） （B） （C） （D）4 若在点收敛，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）5 具有特解，的三阶线性常系数齐次微分方程是（ ）（A） （B）（C） （D）三、 计算下列各题（每题5分，共25分）1 已知由确定了，求2 3 ，其中是以、为定点的三角形边界4 将函数展开为的幂级数5 求微分方程的通解四、 求解下列各题（每题7分，共21分）1 计算，其中为锥面被柱面所截得的部分2 设函数具有连续的二阶导数，并使曲线积分与路径无关，求函数3 求幂级数的和函数，并求的和五、 （本题满分共8分）在第一卦限内作球面的切平面，使切平面与坐标面所围四面体的体积最小，并求切点的坐标与最小四面体体积六、 （本题满分6分）设是上的正值连续函数，试证，其中为：，附参考答案：一、12345二、三、1234，5四、1提示：由对称性知，所以，所以2，3五、切点坐标为，体积单位六、提示：20052006学年第二学期期末考试试卷（2005级快班试卷）一、 填空体（每小题5分，共20分）1 2 ，具有一阶连续偏导数，则 3 已知平面区域为：，则 4 设是由光滑曲面所围成的空间区域，其体积为，则沿外侧的积分 二、 单项选择题（每小题5分，共25分）1 曲线在点处的法平面方程为（ ）（A） （B） （C） （D）2 设是由，及所围成的区域，是由，及，所围成的区域，则（ ）（A） （B） （C） （D）3 为：，则（ ）（A） （B） （C） （D）4 已知幂级数在处发散，在处收敛，则幂级数的收敛半径（ ）（A） （B） （C） （D）5 微分方程的通解为（ ）（A） （B）（C） （D）三、 计算下列各题（每小题8分，共32分）1 ，其中是及围成的平面区域2 设是以，及为顶点的三角形域的周界域的方向，求的值3 判断级数的敛散性4 已知，求四、 （本题满分8分）由方程所确定，具有连续偏导数，证明：五、 （本题满分8分）在直线上求一点，使该点到原点的距离最短，并求出最短距离六、 （本题满分7分）计算20062007学年第二学期期末考试（2006级快班试卷）一、 选择题（每小题4分，共20分）1 曲面在点处的切平面方程是（ ）（A） （B） （C） （D）2 设是长方体：，则（ ）（A） （B） （C） （D）3 是圆域的正向周界，则（ ）（A） （B） （C） （D）4 幂级数在处收敛，则该级数在处（ ）（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）收敛性不能确定5 微分方程的一个特解应具有形式（ ）（其中，为常数）（A） （B）（C） （D）二、 填空题（每小题4分，共20分）1 ，可微，则 2 设平面区域，则 3 为球面（）的外侧，则 4 幂级数的收敛域是 5 微分方程的通解是 三、 计算下列各题（每小题6分，共30分）1 求函数在闭域，上的最大最小值2 计算二次积分3 计算，其中是从点到点的任意平面曲线4 判断级数的敛散性5 求微分方程的通解四、 求解下列各题（每小题8分，共16分）1 已知具有二阶连续偏导数，求2 函数连续，二阶可导，且满足，求五、 （本题满分8分）设有均匀锥面（），其面密度，求该锥面的质量与质心六、 （本题满分6分）证明曲面的所有切平面都交于一点，其中为可微函数注：试卷四、试卷五可以选作。试卷四一、 填空题（每题3分，共18分）1 设，则 2 设连续，则曲线，在点处的切线方程为 3 设，交换积分次序后， 4 设为正向圆周，则曲线积分 5 设为半球面，则 6 设，则其以为周期的傅立叶级数在点处收敛于 二、 选择题（每题3分，共18分）1 二元函数在处可微的充分必要条件是（ ）（A）在处连续（B），在某邻域存在（C）当时，是无穷小量（D）当时，是无穷小量2 设函数在点不连续，则在点处（ ）（A）极限不存在 （B），不存在（C）不可微 （D）任一方向的方向导数不存在3 函数在点沿的方向导数（ ）（A） （B） （C） （D）4 设，是二阶线性非齐次微分方程的两个不同的特解，使也是该非齐次微分方程的一个特解，则常数，必须满足（ ）（A） （B） （C） （D），为任意实数5 已知级数的收敛域是，则级数的收敛域是（ ）（A） （B） （C） （D）6 设为闭曲线，逆时针方向为正，则（ ）（A） （B） （C） （D）三、 计算题（每题5分，共30分）1 设，其中具有二阶连续偏导数，求 2 在曲面上求垂直于平面的法线3 计算4 设为单位圆，计算5 判断级数的敛散性6 求解微分方程四、 综合计算（每题5分，共15分）1 求函数的极值2 计算曲面积分，其中为抛物面位于内部分的上侧3 将函数展开成的幂级数五、 计算下列各题（每题6分，共12分）1 由两条抛物线和所围成的平面薄片，其面密度，试求该薄板的质量2 设具有二阶连续导数，且与路径无关，试计算的值六、 （本题满分7分）设函数具有二阶连续导数，而满足方程，求参考答案及提示一、 填空题1. 。提示：，； 2. ，或者。提示：曲线为，可以将方程组中，中的任意一个变量看作参数，此处将看作参数，求，。由，知在曲线上，所以为切点。，然后将，代入上式，由，可知，所以切线的方向向量为3.4.5. 。提示：由对称性，所以，6.二、 选择题1234（提示：利用线性微分方程解的叠加性原理）56三、 计算题1，2，3 交换积分次序，然后再进行积分4。提示：设为：在轴上方部分，为：在第一象限部分。由对称性，然后利用参数方程，5绝对收敛。 6不显含的可降阶的高阶微分方程。令，则原方程化为，这是个一阶线性微分方程，解得。因此 ，所以原微分方程的通解为，其中是任意常数。四、 综合计算1驻点为，极小值2利用高斯公式，设：，（内部分）所以3由于，而。五、 计算下列各题1解2由积分与路径无关，得，解微分方程，得通解， 由，得特解。六、 由于，；，所以，所以，即，解微分方程，得。试卷五一、 填空题（每小题3分，共18分）1 设可微，若，则 2 当 时，平面与曲面相切3 设，交换积分次序后， 4 设为可微函数，且，则 5 通解为的微分方程是 6 设，则的傅立叶展开式中的 二、 选择题（每小题3分，共18分）1 若，则（ ）（A）存在（B）在点连续，在点连续（C）（D）在点沿任一方向的方向导数都为2 球面与柱面所围成的立体的体积为（ ）（A） （B）（C） （D）3 已知曲线经过原点，且在原点处的切线与直线平行，而满足微分方程，则曲线的方程（ ）（A） （B）