高等代数

第一章多项式,学时：28学时教学方法和手段由于多项式与整数在许多方面有相似之处，因此在建立多项式分解理论时要注意与整数理论作对比。基本内容和教学目的本章主要讨论一元多项式的概念和运算，建立多项式因式分解理论，并讨论与之有密切关系的求根问题。这是中学有关知识的加深和扩充。本章的重点和难点重点:一元多项式的因式分解理论.难点:最大公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别.,1.1数环和数域,研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围，学习数学也是如此。,比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。,例如,我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做这样的限制。,在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中,代数运算：设A是一个非空集合，定义在A上的一个代数运算是指存在一个法则，它使A中任意两个元素都有A中一个元素与之对应。,（即运算是否封闭）。,运算封闭：如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在这个集合中，则称该集合对这个运算封闭。,例如两个整数的和、差、积仍是整数，但两个整数的商就不一定是整数，这证明整数集对加、减、乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算都封闭。,根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类：数环和数域。,一、数环,设S是由一些复数组成的一个非空集合，,则称S是一个数环。,整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集,C都是数环。,例如：,1、除了Z、Q、R、C外是否还有其他数环？,问题：,2、有没有最小的数环？,例1：设a是一个确定的整数。令,定义1：,则S是一个数环。,特别，当a=2时，S是全体偶数组成的数环。,问题：,3、一个数环是否一定包含0元？,例2：证明,是一个数环。,问题：,定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充,要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。,二、数域,定义2：,设F是一个含有不等零的数的数集，如果F,则称F是一个数域。,有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域，,例如：,则称F是一个数域。,中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中，,且是三个最重要的数域。,问题：,7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？,例3：证明,是一个数域。,证明要点：,8、一个数域必包含哪两个元素？,问题：,9、最小的数域是什么？,定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。,证明：设F是一个数域，则,于是,对,故,10、在判断一个数集是不是数域时，实际上,问题：,要检验几种运算？,设F是一个含有非零数的数集，则F,定理1.1.3：,问题：,例：对任意素数P，,是一个数域。,在R与C之间不可能有别的数域。,设有数域F，使,，故,设x=a+bi，且,数不为零）仍属于F。,是一个数域的充要条件是F中任两个数的差与商（除,可见F=C。,问题：,两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。,1.2一元多项式的定义和运算,一、多项式的概念,中学多项式的定义：n个单项式（不含加法或减法运算的整式）的代数和叫多项式。,例：,4a+3b，,在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是形式表达式。,后来又把多项式定义为R上的函数：,但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中,并没有交代。,问题：,1、高等代数中采用什么观点定义多项式？,定义1：,设x是一个文字（或符号），n是一个非负整数,其中,，称为数域F上的一元多项式。,常数项或零次项,首项首项系数,称为i次项系数。,高等代数中采用形式观点定义多项式，它在两方面推广了中学的多项式定义：,这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。,系数可以是任意数域。,例1.2.1：,是Q上多项式；,是R上多项式；,是C上多项式。,都不是多项式。,定义2：,是两个多项式，,除系数为0的项之外，同次项的系数都相等。,多项式的表法唯一。,定义3：,设,最高次项，亦称为首项。,例1.2.2：,零次多项式：次数为0的多项式即非零常数。,零多项式：系数全为0的多项式。对零多项式不,个多项式不是零多项式。,首一多项式：首项系数为1的多项式。,二、多项式的运算,定义4：,设,是数域F上次数分别,定义次数，因此，在谈论多项式的次数时，意味着这,。当m0）次多项式在C上有n个根（重根按重数计算）。,定理1.8.2：,当n=1时结论显然成立。,证：,假设结论对n-1次多项式成立，则当,推论1：复数域上任一个次数大于1的多项式都是可约的，即C上不可约多项式只能是一次多项式。,推论2：,上都能分解成一次因式的乘积，即,的标准分解式是：,韦达定理：,C上多项式的根与系数关系：,是一个n（n0）次多项式，则它在C中有n个根，记,（2）,比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数，,得根与系数的关系为：,如果,根与系数的关系又如何？,例1.8.1：,它以1和4为单根，-2为2重根。,求一个首项系数为1的4次多项式，使,解：设,则,二、实数域上的多项式,定理1.8.3：,证：设,故有,则有,因此多项式：,唯一地分解为实系数一次和二次不可约多项式的,乘积。,假设对结论次数0）次实系数多项式,具有标准分解式：,不可约，即满足,在R上,例1.8.2：,的非零根，,解：,所求多项式是：,或,1.8有理系数多项式,一、整系数多项式的可约性,定义1（本原多项式）：,例如：,本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多项式，但相乘之后必是本原多项式。,是本原多项式。,引理（高斯定理）：,两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。,证：,设,都是本原多项式,现考虑,定理1.9.1：,证：充分性显然。,下证必要性。,于是,故p=1，从而rs是一个整数。,C上不可约多项式只能是一次，R上不可约多项式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式，Q上不可约多项式的特征是什么？下面的Eisenstein的判别法回答了这个问题。,问题：,定理1.9.2（Eisenstein判别法）：,若存在素数p，使,证（反证法）：,若,在Q上可约,在Z上可约，,即存在：,使,其中,但两者不能同时成立。,即,现考虑,但p能整除其它项，故,由Eisenstein判别法知，Q上存在任意次不可约多项式。,例1.9.1：,是Q上不可约多项式，p是素数。,在Q上是否可约？,解：分别取p=2,p=3即知。,解：取素数p即知。,Eisenstein是判别多项式在Q上不可约的充分条件，但不是必要条件。,注意：,例：,不可约，但找不到素数p。,也是本原的。,二、整系数多项式的有理根,定理1.9.3：,设,则,证：,有一次因式,即,（2）设,是整数。,的有理根只能是。,定理1.9.4：,证：由,1.10多元多项式,前面介绍了一元多项式的基本性质，但是除了一元多项式外；还有含多个文字的多项式，即多元多项式，如,下面简单介绍有关多元多项式的一些概念。,如果两个单项式中相同文字的幂全一样，那么它们就称为同类项。一些单项式的和,就称为n元多项式，简称多项式，,和一元多项式一样，n元多项式也可以定义相等，相加、相减、相乘。,相等：,如果F上两个n元多项式有完全相同的项（或者只差一些系数为零的项），则称这两个多项式是相等的。,相加：,例如：,设,则f与g的和是,相减：,设,把g的系数都换成各自的相反数，所得多项式叫做g的负多项式，记为,相乘：,例如,则,这样定义的多项式的加法和乘法与中学代数里多项式的运算一致，n元多项式的运算满足以下运算律：设,则,（加法结合律）,（加法交换律）,（乘法结合律）,（乘法交换律）,（乘法分配律）,的多项式环，记作,同一元多项式一样，也可以谈论n元多项式的次数。,设,对f来说其中系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式f的次数，记为,设f、g是F上两个不等于零的n元多项式，则f与g的和与积的次数与f、g的次数有如下关系：,1、,2、,结论1是显然的，但要证明结论2，还得先考虑多元多项式的排列顺序，在一元多项式中，我们看到多项式的升幂（或降幂）排列对许多问题的讨论是方便的。为此，对多元多项式也引入一种排列顺序的方法，这种方法是模仿字典排列的原则得出的，因而称为字典排列法。,每一类单项式（1）都对应一个n元数组,为了给单项式之间一个排列顺序的方法，我们只要对n元数但定义一个先后顺序就可以了。,考虑,而,记为,例如，对多项式,按字典排列法写出来就是：,应该注意的是，,把一个多项式按字典排列法书写后，次数较高的项并不一定排在次数较低的项的前面，例如上面的首项次数为4，第二项的次数为6，而,关于多项式的首项有以下定理，这个定理在下一节讨论对称多项式时将要用到,定理1.10.1：,证明：,的首项为,为了证明它们的积,为fg的首项，,只要证明数组,先于乘积中其他单项式所对应的有序数组就行了。,其中,于是,推论1.10.1：,推论1.10.2：,现在回到两个n元多项式的乘积的次数上来，,则称f是一个k次齐次多项式，简称k次齐次。,例如,就是一个4次齐次多项式。,两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式，它的次数就等于这两个多项式的次数之和。,任何一个m次多项式,都可以唯一地表成几组齐次多项式的和，即,是i次齐次多项式，,若,就是f的一个i次齐次成分。,数域F上两个不等于零的n元多项式的,乘积的次数等于这两个多项式次数的和。,定理1.10.2：,证明：,它们的次数分别为m和s，把f与g分别写成齐次多项式的和：,于是,由推论1.10.2：,且是一个m+s次齐式，,其余各项,或者等于零，或者是一个次数低于m+s的齐式。,因此,同一元多项式一样，F上n元多项式与多项式函数是相同的。,就得到数域F中一个确定的数，称为,如果,由此一个n元多项式就确定一个n元多项式函数。,对,作映射：,的值。,设,如果,则对,都有,这说明相等的多项式确定相同的多项式函数。,下面证明其反面也成立。,定理1.10.3：,设,如果对任意,证明思路：,这里,任意取定,代入得,已知对,有,取,则有,由于定理对一元多项式成立，故有,有,由归纳假设，故,从而,1.11对称多项式,对称多项式是多元多项式中常见的一种，也是一类比较重要的多元多项式，它的应用比较广泛，对称多项式的来源之一以及它应用的一个重要方面，是一元多项式根的研究，下面我们从一元多项式的根与系数的关系谈起。,（1）,所得n个n元多项式是对称地依赖于文字,下面给出对称多项式的概念。,例如：,是一个三元对称多项式，,是一个n元对称多项式。,并非每一个多项式都是对称多项式，,例如,这时,由定义可以推出：,下面不加证明给出一个引理。,定理1.11.1：,证明：,（2）,不然，设有某个i，使,而按字典排列法，（3）项应在（2）项之前，这与（2）项是首项矛盾。,2、令,它等于f的首项。因此令,如此继续作下去，这个过程一定在有限步后终止，即存在一个自然数m，使,另一方面，（4）项小于项（2），故,且,是有限数，满足这样的数组只能是有限多组。,因此经过有限步后，必有一,于是我们得一串等式,把这一串等式相加，即得,下证表方法是唯一的。,的多项式。,由引理1.11.1：,故,因此,基本定理的证明同时给出一个用初等对称多项式来表示对称多项式的方法。,例1：用初等对称多项式表示n元对称多项式,故取,于是,故,对于复杂的对称多项式，可以利用待定系数法来求。,（5）,表示这个单项式经过,的