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_函数求值域方法之值域换元法 求值域的方法有很多,在众多的方法中,换元法是比较常用且非常有效的求解值域的办法,这里,给大家总结五种常见的换元方法,欢迎大家补充。五种常见换元办法:一般换元法;三角换元法(难度较大);三角换常值换元法;双换元法;整体换元法类型一:一般换元法形如:y=ax+b方法:本形式下,部分函数在取值区间内,单调性确定,所以可以直接使用单调性判断,单调性无法确定的时候,本题可使用一般换元的思路,令t=,用t表示x,带入原函数得到一个关于t的二次函数,求解值域即可。例1:求函数的值域分析:本题,在取值区间内,x单调增,单调增,两个单调增的函数相减无法直接判断单调性,所以单调性无法确认,考虑使用一般换元。解:另(),则, 代入得()本题实求二次函数在指定区间内的范围当,所以变式:求函数的值域分析:本题,在取值区间内,x单调增,单调增,两个单调增的函数相加,所以整个函数在取值区间上单调递增所以即可答案:由于一般换元法相对来说比较简单,这里就不赘述,留一道练习练习:求的值域类型二:三角换元记住一句话:三角换元 一个大原则,三个常用公式A、 一个大原则:有界,换成 无界,换成B、三个常用公式:遇到,且前面系数为,常用 遇到,且前面系数为1,常用 巧用万能公式: 三角换元时,尤其注意确定好的取值范围,下面用具体的例题跟大家说明。 例2:求的值域分析:本题若使用一般换元法,则只能得到与之间的关系,操作起来比较麻烦,换元法本身的目的就是要使得题目变得更为简单便捷,所以一般换元法失灵,考虑使用三角换元,因为前面的系数是-1,所以使用公式换元解:令,另(原因:方便后面化出来的,不用讨论正负性了)代入,得=,辅助角公式,合一变形得:(),变式:求的值域分析:另即可 答案: 例3 :求 的值域分析:本题前面的系数是1,所以考虑使用公式解:另U U,U U变式: 求的值域分析: ,使用三角公式 具体过程问群主哟答案:例4:求的值域分析:本题是高次式求值域,通过常规的解法很难操作,因而我们通过转化,进行三角换元,再求解值域。解: 到这一步以后,自然而然想到我们的第三个三角公式万能公式 对f(x)再进行转化 令 类型三:三角换常值换元法本类型主要是三角函数求值域下的一类,由于涉及换元,所以在本专题下讲解,此类题目主要是针对分式形式的三角函数,用到的换元方法是万能公式的逆向应用。由于,可令,则就转化成了关于t的函数,再根据一般函数求解值域的办法求解(在另外专题中讲解)例5:求的值域分析:本题解法颇多,这里主要讲解两种方法。利用万能公式我们可以把正余弦转发为关于t的函数;当然本题也可用斜率的相关知识求解。解:方法一:万能公式法令,但是,当,分母是对勾函数,应用对勾函数的相关性质,可得值域方法二:斜率法(联系 群主 要哦)类型四:双换元法例6:求的值域分析:本题含有两个根号,使用一次换元,无法把根号去掉。有根号的题目,要么换元,要么平方,要么分子分母有理化。本题介绍两种解法。解:方法一:平方法本题实求在时,的取值范围,二次函数求范围,方法二:双换
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