二对坐标的曲线积分的计算法.ppt

二、对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分间的联系,一、对坐标曲线积分的概念,第四节对坐标的曲线积分,第五模块二重积分与曲线积分,一、对坐标曲线积分的概念,引例变力沿曲线所作的功.,设一质点,在力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用下，,在xy平面上沿曲线L,从点A移动到点B，,求变力F(x,y)所作的功.,将有向弧段L任分为n个有向子弧段，,即用点A=M0(x0,y0)，M1(x1,y1)，Mn(xn,yn)=B,把有向曲线L分成n个有向小段，,它相应的有向弦段为,B=Mn,Mi,Mi-1,M2,M1,A=M0,xi,yi,O,x,y,其中xi=xi-xi-1，yi=yi-yi-1是有向小弧段Mi-1Mi分别在x轴和y轴上的投影.,如果函数P(x,y)、Q(x,y)在L上连续，,则在每段小弧段上，,它们的变化就不会太大，,F(xi,hi)=P(xi,hi)i+Q(xi,hi)j，,=P(xi,hi)xi+Q(xi,hi)yi.,于是变力F(x,y)在有向曲线弧MoMn上所作功的近似值为,令表示n个小弧段的最大弧长，,当0时，,上式的右端极限如果存在，,则这个极限就是W的精确值，,即,上述和式的极限，就是如下两个和式的极限,与,定义设L为xy平面上由点A到点B的有向光滑曲线，,即xi=xixi-1(yi=yiyi-1).,作和式,记为n个小弧段的最大弧长.,且函数P(x,y)、Q(x,y)在L上有定义.,由点A到点B把L任意地分成n个有向小弧段，记分点为,如果,存在，则称此极限值为函数P(x,y)、(Q(x,y),在有向曲线上对坐标x(对坐标y)的曲线积分.,记作,对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分.在应用上常把上述两个曲线积分结合在一起，即,简记为,称之为组合曲线积分.,设是有向曲线弧，记-是与方向相反的有向曲线弧，则对坐标的曲线积分有如下的性质：,或,若=1+2，,则,二、对坐标曲线积分的计算法,设有向曲线L的参数式方程为,x=x(t),y=y(t).,又设t=a对应于L的起点，,t=b对应于L的终点,(这里a不一定小于b),当t由a变到b时，,点M(x,y)描出有向曲线L，,如果x(t)、y(t)在以a、b为端点的闭区间上具有一阶连续的导数，,函数P(x,y)、Q(x,y)在L上连续，,则,(11.2.1),(11.2.2),证明从略.,对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算，其要点是：,(1)因为P(x,y)、Q(x,y)定义在曲线L上，所以x、y应分别换为x(t)、y(t)；,(2)dx、dy是有向小曲线段在坐标轴上的投影，dx=x(t)dt、dy=y(t)dt；,(3)起点A对应的参数t=a是对t积分的下限，终点B对应的参数t=是对t积分的上限.,如果有向曲线L的方程为y=y(x)，则,这里a是曲线L的起点的横坐标，b是曲线L的终点的横坐标，a不一定小于b.,如果L的方程为x=x(y)，则有,其中c是曲线L的起点的纵坐标，d是曲线L的终点的纵坐标，c不一定小于d.,上式右端的第二个曲线积分化为定积分时，,例1试计算曲线积分,其中L为沿着抛物线y=x2,从点O(0,0)到点A(2,4),再沿直线由点A(2,4),到点B(2,0),解由于曲线积分对路径具有可加性，因此,L2为直线段AB.,因为dx=0，,所以它的值为零.,又L1的方程为y=x2，故,A(2,4),B(2,0),x=2,y=x2,L1,L2,O,例2试计算曲线积分其中积分路径为,(1)在椭圆，,从点A(a,0)经第一、二、三象限到点B(0,-b).,(2)在直线上，,从点A(a,0)到点B(0,-b).,y,x,A,O,B,解(1)因为所给椭圆的参数方程为,且起点A对应的参数t=0.,所以有,终点B对应的参数，,当t由0增