数学专业本科毕业论文-美式看跌期权的惩罚方法.doc

苏州大学本科生毕业设计（论文）美式看跌期权的惩罚方法彭勃数学科学学院2013年5月摘要利用惩罚函数，将美式期权的变分不等式模型min-0v，v-K-S+=0,0S,0tTVs，T=K-S+，0S转换为：Vt-22s22Vs2-r-qsVs+rV+V-K-S=0再离散化为：vmn+1-vmnt-22ms22vm+1n+1-2vmn+1+vm-1n+1s2-r-q-22msvm+1n+1-vm-1n2s+rvmn+vmn+1-K-ms=0vmN=K-ms+v0n=Kv=0,s在本论文中将不做变换:x=lnSK,做差分的时候，网格会减小。当S1时，网格减小会较为明显，对于取值会较为准确。另外，美式看跌期权中每一个格点的地方都需要计算V与K-S的值，较为繁琐，本论文中的方法可以将这些并入一个微分方程中去，在观察变化的时候更为直观、便捷。关键字：美式看跌期权、有限差分方法、惩罚方法AbstractPunishment function is used to transform the variational inequality model of American optionsmin-0v，v-K-S+=0,0S,0tTVs，T=K-S+，0Sconverted toVt-22s22Vs2-r-qsVs+rV+V-K-S=0then the discrete intovmn+1-vmnt-22ms22vm+1n+1-2vmn+1+vm-1n+1s2-r-q-22msvm+1n+1-vm-1n2s+rvmn+vmn+1-K-ms=0vmN=K-ms+v0n=Kv=0,sWe dont do transform in this paper x=lnSK,the grid will decrease ，when do the difference.grid will be more significant, for values are relatively accurate，when S1.In addition, the American put option in each lattice place need to calculating the value of V and K - S, more complicated, in this paper, the methods which can be incorporated into a differential equation, when observing changes in a more intuitive and convenient.Key word：The American put option、Finite difference method、Punishment problem目 录第一章 选题的意义及模型 4第二章美式期权定价的二叉树方法 6第三章 惩罚方法的显式差分形式 7 3.1 变分不等式相应的惩罚问题 7 3.2 显式差分方法 83.3 隐式差分方法 9 3.4 惩罚问题的显式差分方法 11第四章 显式差分与隐式差分的比较 12第五章 结论 15第一章选题意义及模型 期权是最重要的会融衍生工具之一，它作为一种金融衍生工具，在防范和规避风险以及投机中起着非常重要的作用。期权的定价模型取决于原生资产价格的演化模型。在连续时间情形，原生资产价格演化可以通过一个随机微分方程来描述，从而在此基础上，作为它的衍生物期权价格适合的是一个偏微分方程的定解问题。因此把偏微分方程作为工具，利用偏微分方程的理论和方法，建立各种期权定价的数学模型，导出期权的定价公式，对期权的价格结构做深入的定性分析，以及利用偏微分方程数值分析方法给出求期权价格的算法等，这是一个合乎情理的学习和研究期权定价理论的思路。在现实世界中，交易所中交易的大多数期权为美式期权。由于美式期权具有提前实施功能，因此持有人拥有比欧式期权更多的获利机会，因此一般来说它比欧式期权更贵一些。持有人花了更多的期权金，能否获得相应回报，这取决于持有人能否抓住有利时机，适当的实施合约，以获得利益。这是每一个美式期权持有者都必须考虑的问题。从数学上来说，美式期权的定价问题是一个自由边界问题，在这里所谓的自由边界，它是这样一条需要确定的交界线，它把区域0S,0tT分成两个部分，一部分是继续持有区域，另一部分是终止持有区域，这条自由边界在金融上称为最佳实施边界。由于它是一个非线性问题，一般不可能得到解的明显表达式。因此人们通常使用适当的近似方法，如研究其数值解、近似解析解、解的渐近表达式等来给美式期权进行定价。正因如此,美式期权的定价问题在理论和实践上都有重要的意义。按金融意义，美式期权定价可以分解为两个部分，一部分是欧式期权定价，另一部分是由于合约增加提前实施条款而需要增付的期权金。欧式期权定价是Black-Scholes公式，增付的期权金显然与最佳实施边界的位置有关。论文中的基本假设有：1. 市场不存在套利机会，即t*0，T），使:当Vt*=0，有VT0=0.2. 证券交易不付交易费用（市场是无摩擦的）。3. 无风险利率r是常数。论文中的记号： St t时刻风险资产价格K 期权的敲定价格T 期权的到期日Vs，t t时刻，价格为s时的期权价格q 红利利率 波动率对于终止期为t=T的美式看跌期权，存在两个区域：一个是继续持有区域1，在这个区域内：Vs,tK-S+,一个是终止持有区域2，在这个区域内：Vs,t=K-S+。在这两个区域中间有一条最佳实施边界：s=st。在1中，利用-对冲原理以及Ito公式，可以推出，当s，t1时，期权价格V=Vs，t适合Black-Scholes方程：0v=Vt+22s22Vs2+r-qsVs-rV=0在上：Vst，t=K-stVsst，t=-1当s时，有V0，在t=T上，Vs，T=K-S+。这表明对于美式期权的定价，就是要在1中，寻求函数对Vs,t，st，使它适合定解问题：0v=0 Vst，t=K-stVsst，t=-1 由于：（1） 在1上，Vs,tK-S+，0v=0（2） 在2上，Vs,t=K-S+，0v=0K-S=-rK0（3） 在t=T时，Vs，T=K-S+（4） 当s时，有V0因此美式看跌期权定价的变分不等方程模型是，求Vs，T1，使：min-0v，v-K-S+=0 Vs，T=K-S+，0SV0 s本文研究的美式期权定价模型中，它的价格适合的是变分不等式方程式，对它不可以直接微商，为此我们引入惩罚函数，建立与变分不等方程对应的惩罚问题，再将变分不等方程离散化进行数值分析。在现在大多数的期权定价模型的差分中会对变分不等式做如下变换：x=lnSK=T-t。在本论文中将不做该变换，若做变换x=lnSK ,则会使做差分的时候，网格变大。当划分了x后，实际在（S，t）平面上的区域0S,0tT中，对应的网格Sm=emx使得，当S1时，网格极大，对于取值会较为不准确。另外，美式看跌期权中每一个格点的地方都需要计算V与K-S的值，较为繁琐，本论文中的方法可以将这些并入一个微分方程中去，在观察变化的时候更为直观、便捷。第二章美式期权定价的二叉树方法记Sn=S0un-d，Vn=VSn,t0 (0nN，0n).=1+rT.对于美式期权的定价（看跌），它的反向归纳过程为:(1)当n=N时，VN=K-SN+，0N.(2)当n=N-1时，VN=max1qVN+1-qV+1N, (K-SN-1)+，0N-1.一般来说，若VN-h0N-h被给定，则VN-h-1=max1qVN-h+1-qV+1N-h, (K-SN-h-1)+，0N-h-1.这里q=-du-d.也就是在每一步计算1qVN-h+1-qV+1N-h以后，必须与当时的收益函数(K-SN-h-1)+相比较，取其中最大者作为VN-h-1，以此类推，直到V00.为了演化一个宏观认识，我们换一种观点来表述，设 ud=1，即d=u-1.在此假设下，原生产价格Sn=S0un-d (0n).可表述为Sj=S0uj (j=n,n-2,-n+2,-n).不妨设S0=1，在(S,t)平面上形成一个网格.0.SjSj+1.,0=t0.tn.tN=T. 其中Sj=uj，j=0,1,tn=nt，t=TN.n=0,1,N.记Vjn=VSj,t，从而Vjn=max1qVj+1n+1+1-qVj-1n+1, j，其中j=(K-Sj)+.第三章惩罚方法的显式差分形式3.1变分不等式相应的惩罚问题美式期权的价格适合的是变分不等式方程式，对它不可以直接微商，为此我们引入惩罚函数，建立与变分不等方程对应的惩罚问题，这样通过应用抛物型方程解的极值原理去证明这一论断。定义：函数被称为是给定在（-，）上的惩罚函数，如果xC-，2x0x-C，C0（x）0（x）0lim0x= 0 ，x0-，x0定义：利用惩罚函数，将定解问题min-0v，v-K-S+=0,0S,0tTVs，T=K-S+，0S（1）转换为：Vt-22s22Vs2-r-qsVs+rV+V-K-S=0Vs，T=K-S+，0S（2）称做定解问题相应的惩罚问题。其中y=y， y单调递增的任意连续函数，|y|0，y-yCR,1(y)0，(y)0，lim0(y)=y+，定理：设是V(x，t)惩罚问题（2）的解，则当0时，在DT的任意有界闭子域上，V(x，t)一致收敛到（1）的解V（x，t）。3.2显式差分方法差分方法是通过用差商代替微商对方程以及定解问题问题离散化。如果y=f（x）充分光滑，那么用差商来代替f（x）有以下三种典型的形式：（1） 前差商 fx+x-f(x)x=(fx)f（2） 后差商 fx-f(x-x)x=(fx)b（3） 中心差商fx+x-f(x-x)2x=(fx)c对给定在：0S,0tT上的变分不等方程：min-0v，v-K-S+=0,0S,0tTVs，T=K-S+，0S其中0v=Vt+22s22Vs2+r-qsVs-rV。在考虑到美式期权的实际情况，当s=0时，有V=K。当s充分大时，有V=0。因此后面的数值计算可以在带状区域0S3K,0tT上进行。这里划分网格Q=nt，ms|0nN,0mM，其中t=TN,S=3KM.在每个网格点上，定义函数vmn=vms,ntm=ms=K-ms+， 取 vtn+1，m=vmn+1-vmnt， vsn+1，m=vm+1n+1-vm-1n+12s， 2vs2n+1，m=vm+1n+1-2vmn-1+vm-1n+1s2由显式差分格式的形式：utf-a22us2c=0u0n=gtnum0=sm代入上述定解问题，得到方程的离散形式：vmn+1-vmnt-22ms2vm+1n+1-2vmn+1+vm-1n+1s2-r-qmsvm+1n+1-vm-1n+12s+rvmn=0从而解得：vmn=t1-rt1-m22ttVmn+1-m2m2+r-qVm+1n+1+m2m2+r-qVm-1n+1又由美式期权性质知：vmnK-ms+。因此得到了计算每个格点处vmn的方法：第一步：在带状区域0S3K,0tT上，上左右三个边界的取值已经给出，最上面一层的格点的取值是已知的，即vmN=K-ms+，可以将第一层每个格点对应的V值算出。第二步：由上述的递推式知，当知道Vmn+1，Vm+1n+1，Vm-1n+1三个值时，可以求出vmn的值。第三步：验证所求出的vmn的值是否满足vmnK-ms+，若满足则得到第二层vmN-1的值，否则取vmn=K-ms+，直到第二层vmN-1的每个格点的取值得到。第四步：重复上述二三步骤的方法依次算出vmN-2，vmN-3. vm0的全部取值。3.3隐式差分方法为了用隐式差分格式求解美式看跌期权的定价问题，同样在0S3k，0tT上，由上文知V(0,t)=k，V(3k,t)=0.从而在0S3k，0tT上，V(S,t)适合变分不等方程:-Vt-2s222VS2+r-qSVS-rV0V(K-S)+-Vt-2s222VS2+r-qSVS-rVV-K-S+=0在平面区域0S3k，0tT上形成网格: mS,nt，(0mM，0nN)其中t=TN，S=3kM.定义网格函数Vmn=VmS,nt.由隐式差分格式:(Vt)b-a2(2Vs2)c=0V0n=gtnVm0=Sm从而有-aVm+1n+bVmn-cVm-1nVmn+1VmnVmN-aVm+1n+bVmn-cVm-1n-Vmn+1Vmn-VmNV0n=V0NV3kn=0=0 (*)其中 a=w2+w22(r-22)Sc=w-ab=1+w+rtw=2tS2 VmN=K-mS+将(*)写成矩阵形式:AVnnVn(AVn-n)m(Vn-)m=0其中A=b-c-c-ab-c00-ab-c-a-abVn=V3k-1nV1n n=3k-1n1n= K-(3k-1)S+K-S+考虑到原边界条件，这里3k-1n=V3k-1n+1+aV3kn=V3k-1n+1 1n=V1n+1+cV0n=V1n+1+ck mn=Vmn+13.4惩罚问题的显式差分方法对于给定在：0S,0tT上美式看跌期权的变分不等方程：min-0v，v-K-S+=0,0S,0tTVs，T=K-S+，0S其中0v=Vt+22s22Vs2+r-qsVs-rV。在考虑到美式期权的实际情况，当s=0时，有V=K。当s充分大时，有V=0。因此后面的数值计算可以在带状区域0S3K,0tT上进行。这里划分网格Q=nt，ms|0nN,0mM，其中t=TN,S=3KM.在每个网格点上，定义函数vmn=vms,ntm=ms=K-ms+， 取 vtn+1，m=vmn+1-vmnt， vsn+1，m=vm+1n+1-vm-1n+12s， 2vs2n+1，m=vm+1n+1-2vmn-1+vm-1n+1s2那么，该变分不等方程定解的惩罚问题可以离散化为：vmn+1-vmnt-22ms2vm+1n+1-2vmn+1+vm-1n+1s2-r-qmsvm+1n+1-vm-1n+12s+rvmn+vmn+1-K-ms=0为了计算数据，这里需要对惩罚函数具体化，令y=y， y232y-3，|y| 0, y- ， x=-1-x，从而解得：vmn=t1-rt1-m22ttVmn+1-m2m2+r-qVm+1n+1+m2m2+r-qVm-1n+1-1K-ms-vmn+1边界条件：vmN=K-ms+v0n=Kv=0,s=3K因此得到了计算每个格点处vmn的方法：第一步：在带状区域0S0);FDMvalue1,=K#EXP(-r#dt#(N-Timeindex);FDMvalueM+1,=0;a=0.5#dt#(sigma#2#Sindex-r)#Sindex;b=1-dt#(sigma#2#Sindex#2+r);c=0.5#dt#(sigma#2#Sindex+r)#Sindex;do j=N to 1 by -1;do i=2 to M;FDMvaluei,j=ai#FDMvaluei-1,j+1+bi#FDMvaluei,j+1+ci#FDMvaluei+1,j+1;end;end;CREATE FDMGRAPH VARFDMvalue;APPEND ;CLOSE FDMGRAPH;priceindex=S0/dS;priceindex=round(priceindex);PRICE=FDMvaluepriceindex+1,1;return(PRICE);finish;%macro Draw(Smax,T,M,N);data test;do i=0 TO &Smax BY %sysf(&Smax/&M);doJ=0 TO &T BY %sysf(&T/&N);S=i;TIME=j;output;end;end;drop i j;run;data FDM;merge test fdmgraph;run;goptions reset=global gunit=pct border cback=whitecolors=(black blue green red)ftext=swiss ftitle=swissb htitle=6 htext=4;title Explicit FDM;proc g3d data=FDM;plot S*TIME=FDMvalue /yticknum=9 xytype=1;run;%mend;%draw (100,5/12,50,100);利用Mathlab编译隐式差分格式function oPrice = finDiffImplicit(X,S0,r,sig,Svec,tvec,oType)% Function to calculate the price of a vanilla European% Put or Call option using the implicit finite difference method% oPrice = finDiffImplicit(X,r,sig,Svec,tvec,oType)% Inputs: X - strike% : S0 - stock price% : r - risk free interest rate% : sig - volatility% : Svec - Vector of stock prices (i.e. grid points)% : tvec - Vector of times (i.e. grid points)% : oType - must be PUT or CALL.% Output: oPrice - the option price% Notes: This code focuses on details of the implementation of the% implicit finite difference scheme.% It does not contain any programatic essentials such as error% checking.% It does not allow for optional/default input arguments.% It is not optimized for memory efficiency, speed or% use of sparse matrces.% Date: 123% Get the number of grid pointsM = length(Svec)-1;N = length(tvec)-1;% Get the grid sizes (assuming equi-spaced points)dt = tvec(2)-tvec(1);% Calculate the coefficients% To do this we need a vector of j pointsj = 0:M;sig2 = sig*sig;aj = (dt*j/2).*(r - sig2*j);bj = 1 + dt*(sig2*(j.2) + r);cj = -(dt*j/2).*(r + sig2*j);% Pre-allocate the outputprice(1:M+1,1:N+1) = nan;% Specify the boundary conditionsswitch oType case CALL % Specify the expiry time boundary condition price(:,end) = max(Svec-X,0); % Put in the minimum and maximum price boundary conditions % assuming that the largest value in the Svec is % chosen so that the following is true for all time price(1,:) = 0; price(end,:) = (Svec(end)-X)*exp(-r*tvec(end:-1:1); case PUT % Specify the expiry time boundary condition price(:,end) = max(X-Svec,0); % Put in the minimum and maximum price boundary conditions % assuming that the largest value in the Svec is % chosen so that the following is true for all time price(1,:) = (X-Svec(end)*exp(-r*tvec(end:-1:1); price(end,:) = 0;end% Form the tridiagonal matrixB = diag(aj(3:M),-1) + diag(bj(2:M) + diag(cj(2:M-1),1);L,U = lu(B);% Solve at each nodeoffset = zeros(size(B,2),1);for idx = N:-1:1 offset(1) = aj(2)*price(1,idx); % offset(end) = c(end)*price(end,idx); % This will always be zero price(2:M,idx) = U(L(price