工科数学分析及答案

2008-2009学年 工科数学分析 试题卷（A）考试形式（闭卷）：闭 答题时间：150 （分钟） 本卷面成绩占课程成绩 70 % 题号一二三四五六七八卷 面总 分平 时成 绩课 程总 成 绩分数 一、填空题（每题2分，共20分）（不填题首答案按零分处理）答案：1 2 3 4567 89101 2的间断点是 ，且是 类间断点。3已知，则 ， 4已知：，则 5曲面在点处的切平面方程为 6函数沿的方向导数 ，其中分别为与。 7 8设有二阶连续偏导数，则 9 10设，则 二、选择题：（每题2分，共20分）（不填题首答案按零分处理）答案：123456789101设 ，则（ ）成立。（A）有间断点； （B）有间断点；（C）有间断点； （D）无间断点2关于函数在两点处的连续性与可导性为（ ）（A）在处连续但不可导；（B）在处可导 ； （C）在可导，在处不可导 ； （D）在不可导，在处可导。3设，则（ ）（A）是的极值点，但不是曲线的拐点；（B）不是的极值点，但是曲线的拐点；（C）是的极值点，也是曲线的拐点；（D）不是的极值点，也不是曲线的拐点。 第3 页（共 12 页） 4设连续，且，则存在使得（ ）（A） 在内单增； （B） 在内单减；（C） 对有 ； （D） 对有 5设在处的全增量为，若在处可微，则在处（ ）（A）； （B）；（C）； （D）6曲面对应于处与轴正向成锐角的法向量为（ ）（A）；（B）（C）（D）7曲线在点处的切线必平行于（ ）（A）平面；（B）平面；（C）平面；（D）平面8 （ ）（A）不存在 （B）1 （C） （D）9当时，是的（ ）（A）同阶无穷小；（B）等价无穷小；（C）高阶无穷小；（D）低阶无穷小10由确定了可微函数，则（ ）（A） ； （B） ； （C） ； （D）得分三、试解答下列各题：（每小题4分，共20分）1求极限： 2求不定积分：3设在上可导，且存在，已知：，求 第 7 页（共 12 页） 4计算定积分：5设，且试证：四、设，其中由确定，其中存在一阶连续偏导数，求。（5分）五、设在上连续单调递增，证明： （5分）2008/2009学年 工科数学分析 试题卷（A）（答案）考试形式（闭卷）：闭 答题时间：150 （分钟） 本卷面成绩占课程成绩 70 % 题号一二三四五六七八卷 面总 分平 时成 绩课 程总 成 绩分数 一、填空题（每题2分，共20分）（不填题首答案按零分处理）答案：1 2 3 4 5 6789 101 2的间断点是 ，且是 类间断点。3已知，则 ， 4已知：，则 5曲面在点处的切平面方程为 6函数沿的方向导数 ，其中分别为与。 7 8设有二阶连续偏导数，则 9 10设，则 二、选择题：（每题2分，共20分）（不填题首答案按零分处理）答案：（1）（A）（2）（B）（3）（A）（4）（C）（5）（D）（6）（D）（7）（C）（8）（B）（9）（C）（10）（A）1设 ，则（ ）成立。（A）有间断点； （B）有间断点；（C）有间断点； （D）无间断点2关于函数在两点处的连续性与可导性为（ ）（A）在处连续但不可导；（B）在处可导 ； （C）在可导，在处不可导 ； （D）在不可导，在处可导。3设，则（ ）（A）是的极值点，但不是曲线的拐点；（B）不是的极值点，但是曲线的拐点；（C）是的极值点，也是曲线的拐点；（D）不是的极值点，也不是曲线的拐点。4设连续，且，则存在使得（ ）（A） 在内单增； （B） 在内单减；（C） 对有 ； （D） 对有 5设在处的全增量为，若在处可微，则在处（ ）（A）； （B）；（C）； （D）6曲面对应于处与轴正向成锐角的法向量为（ ）（A）；（B）（C）（D）7曲线在点处的切线必平行于（ ）（A）平面；（B）平面；（C）平面；（D）平面8（ ）（A）不存在 （B）1 （C） （D）9当时，是的（ ）（A）同阶无穷小；（B）等价无穷小；（C）高阶无穷小；（D）低阶无穷小10由确定了可微函数，则（ ）（A） ； （B） ； （C） ； （D）得分三、试解答下列各题：（每小题4分，共20分）1求极限： 解：原式= 2求不定积分：解： 由此得 3设在上可导，且存在，已知：，求解： 由得，4计算定积分：解： 5设，且试证：证：设显然，且在内可导，故由罗尔定理知即 ，因，故有 四、设，其中由确定，其中存在一阶连续偏导数，求。（5分）解：又 由两边对求导得解得 把（2）代入（1）得 五、设在上连续单调递增，证明： （5分）证：设，则因 故在上单调递增。从而有，即 2009-2010工科数学分析考试试卷（A）一、 单项选择（每小题4分，共20分）1. 设, 则 【 C 】在处连续 . 在-1，1上可积在-1，1上有连续原函数 D. 在处导数连续2 下列命题中不正确的是 【 D 】 A. 若在内的某个原函数是常数，则在该区间内恒为零。B. 若的某个原函数为零，则的所有原函数必为常数。C. 若是的一个原函数，则必为连续函数。D. 若在内不是连续函数，则在内一定没有原函数。3. 设曲线C由参数方程 给出，则该曲线的弧长为 【 B 】A B. C. D. 4 设级数 收敛，则级数 【 D 】A. 也收敛 B. 也收敛C. 也收敛 D. 也收敛5 设为任意常数，则级数 【 C 】A. 发散 B. 条件收敛C. 绝对收敛 D. 收敛性与有关 二、 填空题（每小题4分，共20分）1 = ;2 反常积分 = ,或，或者；3 如果，则 =；4 = ；5 函数在处的带Peano余项的n阶泰勒公式为 。三、 计算题（每小题5分，共20分）1.解 .3分.4分.5分2.解 .1分.4分 ,5分3.解 .2分.4分 ；5分4. 设是由曲线 与三条直线 所围成的曲边梯形，求绕轴旋转一周所生成的旋转体的体积。解 .3分 5分四、判断下列级数的敛散性（每小题5分，共20分）1、 解 设，显然由于（，3分即有； 于是收敛；5分2、 解 设，显然，所以是正项级数；，3分又收敛，所以收敛；.5分或者由，.3分又收敛，所以收敛；.5分3、 解设，因为，.2分又收敛，所以收敛，.4分故原级数绝对收敛。.5分4、 解设，由于，.2分单调递减趋于0，.3分由狄利克雷判别法，级数收敛 。.5分五、 证明题（本题10分）设在上可导，在上可积，。 证明：（1） （2）证明 （1）由N-L公式，得 ，.2分在上可积,亦在上可积,且有.4分；. 5分（2），.8分两边积分，得，故得成立 。.10分六、 证明题（本题10分）设在上二阶可导，且，求证级数 绝对收敛。证明由，知，2分由条件存在，记，.4分，6分又收敛,于是收敛，.8分即级数 绝对收敛。.10分或考虑由，知，由条件存在，;又收敛., 于是收敛，即级数 绝对收敛.七、 加选题（本题10分）1. 设n为正整数，证明：2. 利用上题的结果证明： 若在上连续，且 则 证明 1 .2分 .5分或者；2 由题设条件，得，7分设， 于是.10分或者，所以，故；或者用反证法,假若，由，这是矛盾的，所以要证的结论成立。 一、 单项选择题1、设，则（ ）。 A.；B.；C.；D.2、设是面上以为顶点的三角形区域，是中在第一象限的部分，则积分（ ） A.； B.； C.； D.03、设为曲面上的部分，则（ ）。 A.0； B.； C.； D.4、设二阶线性非齐次方程有三个特解，则其通解为（ ）。 A.； B.； C.； D.二、填空题1、函数在点处取得极值，则常数_。2、二重积分的值为_。3、设空间立体所占闭区域为，上任一点的体密度是，则此空间立体的质量为_。4、微分方程的通解为_。三、计算题（每题分，总计分）。1、已知及点、，求函数在点处沿由到方向的方向导数，并求此函数在点处方向导数的最大值。2、将函数展开成的幂级数，并指出收敛域。3、设满足方程，且其图形在点与曲线相切，求函数。4、计算，其中是螺旋线对应的弧段。四、计算题1、设，计算极限的值。2、计算，其中由不等式及所确定。3、计算，其中为下半球面的下侧，为大于零的常数。4、将函数展开成以2为周期的傅立叶级数。5、设函数具有连续导数并且满足，计算曲线积分的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线是由到的任一条逐段光滑曲线。五、对，讨论级数的敛散性。一、单项选择题（每题分，总计分）。1、；2、；3、；4、；5、二、填空题（每题分，总计分）。1、-5；2、；3、；4、；5、三、计算题（每题分，总计分）。1、已知及点、，求函数在点处沿由到方向的方向导数，并求此函数在点处方向导数的最大值。解：由条件得 从而 =点A的梯度方向是所以方向导数的最大值是2、设具有连续的二阶偏导数，求。解： 3、将函数展开成的幂级数，并指出收敛域。解：收敛域为。4、设满足方程，且其图形在点与曲线相切，求函数。解：由条件知满足由特征方程,对应齐次方程的通解设特解为，其中A为待定常数，代入方程，得从而得通解,代入初始条件得最后得5、计算，其中是螺旋线对应的弧段。解： 四、计算题（每题分，总计分）。1、设，计算极限的值。解：设，则原问题转化为求和函数在处的值而故所求值为2、计算，其中由不等式及所确定。解：3、计算，其中为下半球面的下侧，为大于零的常数。解：取为面上的圆盘，方向取上侧，则4、将函数展开成以2为周期的傅立叶级数。解：所给函数在上满足收敛定理条件，并且，将之拓广成以2为周期的函数时，它在整个实轴上均连续，因此其付立叶级数在内收敛于函数本身。，5、设函数具有连续导数并且满足，计算曲线积分的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线是由到的任一条逐段光滑曲线。解：由条件有设，则得代入条件得，从而原积分变为五、本题分。设，与在上具有一阶连续偏导数，且在的边界曲线（正向）上有，证明 证明： 姓名: 班级： 学号： 工科数学分析考试试卷 （答案） 试题卷（A） 考试形式（开、闭卷）：闭答题时间：150（分钟） 本卷面成绩占课程成绩70% 题号一二三四五六七八卷 面总 分平 时成 绩课 程总 成 绩分数 得分一选择题（每题2分，共10分）1下列叙述中不正确者为（D ） （A）如果数列收敛，那么数列一定有界。 （B）如果，则一定有。 （C）在点处可导的充要条件是在点处可微。 （D）如果函数 在点处导数为，则必在该点处取得极值。2设在0，1上则下列不等式正确者为（ B ） （A） （B） （C） （D）3若在上可积，则下列叙述中错误者为（D） （A）连续 （B）在上可积 （C）在上由界 （D）在上连续4若，则（D）（A） （B） （C） （D）5（D） （A） （B）（C） （D）二填空题（每题2分，共10分）1的间断点为：，其类型为：第一类间断点。2的全部渐近线方程为：。3摆线处的切线方程为：。4=： 1 。5设在上可导，则=：得分三计算下列各题：（每小题4分，本题满分20分） 1若 ，求 解：2， 则2，解：，3. 解： =4 解： 5. 已知，求 解： =， 所以。故四解答下列各题：（每小题5分，本题满分10分） 得分 1. 已知数列，求证：收敛，并且证明：1)证有界因为,所以。假设，则。故有界。2）证单调因为，故为单调上升数列。由1）和2） 知道收敛。设，由，所以有解得。而且为单调递增数列，所以。故。2设，曲线 与三条直线所围平面部分绕x轴旋转成的旋转体的体积为取何值时，最大？解： ， 由得，。当时，故当时，达到极大值，且为最大值。五：证明下列各题：（1，2题各4分，3，4题各6分，本题满分20分） 1.证明方程至少有一个不超过的正根。证明：设，显然它在上连续。（i） 若，则即为满足条件的根。（i