不用极限怎样讲微积分.doc

不用极限怎样讲微积分张景中（广州大学计算机教育软件研究所）讲微积分必须讲极限，否则就讲不清楚，这几乎是两百年来数学界的共识，但逆反心理总是有的，越说不用极限不能讲微积分，就越有人想打破框框，想不用极限讲讲微积分，这不，有本书就叫做不用极限的微积分(原文：Calculus With-out Limit) 1。在网上看到这书名如获至宝，带着激动的心情下载解包急欲一读为快一看封面，心先凉了一半，原来在书名后面有一条小尾巴：一almost. (图1)这就是说不是不用极限，是“几乎”不用极限，再看内容，就知道了所谓“几乎”不用极限，就是用直观描述代替严谨的极限定义，这和许多微积分的通俗读物本质上没有区别，是模模糊糊的说不清楚的微积分，听有些在大学里讲微积分的老师说，学生根本没有学过微积分还好教，如果学过一些说不清楚的微积分，成了夹生饭，就更不容易教他学懂微积分了，是否真的如此，没有调查研究不敢妄言但不用极限讲微积分这个题目，就显得更诱人 五十年前学微积分，三十年前又教微积分，常常想一个问题：怎样把微积分变得容易些，曾经想过不用来寇义极限2，但不用极限讲微积分的问题更有意思，在数学教育中更有实际意义，近来在林群先生一系列工作3，4，5，6的启发下，偶有所得，自以为是真正实现了不用极限讲微积分，而且是严谨地讲，不用almost.其中有些思路好像以前没有人说过，于是抛砖引玉，希望对高中里的微积分的教学，以及大学里高等数学的教学改革有些用处1 差商和差商有界的函数 讲这个问题总得有点预备知识，无非是函数，差分，差商 高中数学课里函数总是要讲的，习惯上只讲一元函数其实大可以不必这么小气，同时提一下多元函数概念只有好处小学里的加减乘除都是2元函数，求梯形面积公式就是3元函数，求圆面积公式才是一元函数，这样一讲，学生会感到函数不是新来的怪物，是老朋友，更直观更具体，然后先从一元函数来研究，多元函数概念立此存照有此伏笔，将来把定积分看成区间两端点的2元函数就顺理成章了 接着要讲函数的递增递减判断函数的增减性最好给学生一个工具，这工具就是差分或差商湘教版高中教材讲了差分：当h0时，差分正则函数增，差分负则函数减，人教版高中教材讲了差商：差商正则函数增，差商负则函数减知道了差分和差商，讲微积分就方便了，不管用不用极限，差分和差商总是要用的 差商是函数在一个区间上的平均变化率常见的函数，在有限区间上的差商多是有界的，这类函数很重要，干脆给个定义： 定义1.1 若函数在区间I上有定义，且有正数M使得对I上任意两点uv，总有不等式成立，则称，在区间I上差商有界，也说，在区间I上满足李普西兹条件（Lipschitz条件）定理1.1 在区间a,b上差商有界的函数在区间a,b上必有界这是因为 之故。例1.1 求证函数在区间a,b上差商有界 证明 对a,b上任意两点u0，它在上差商有界 证明 先用反证法证明其在区间0，1上非差商有界若不然，有正数M，使得对0，1上任意两点u0时在上，由于,可见它是差商有界的。几何上看，差商有界的函数，其曲线上任意两点所确定的直线的斜率的绝对值有界，也就是不能太陡， 多项式函数，三角函数，指数函数和对数函数，在有定义的闭区间上，总是差商有界的两个差商有界函数的和，积以及复合函数也是差商有界的， 显然有 定理1.2 如果函数F(x)在区间a，c上和区间c，b上都是差商有界的，则它在区间ab上也是差商有界的反过来，若函数F(x)在区间 a，b上差商有界，则它在a，b的任意子区间上也是差商有界的差商有界的函数，都是规规矩矩的“好函数”练习计算函数的差分差商，估计差商的绝对值的上界，难度不大，对进一步学微积分却很有帮助2 换一个眼光看3个经典例子 不用极限，如何看待微积分的几个经典案例呢？ 例2.1 用S=S(t)表示直线上运动物体在时刻t所走过的路程，V = V(t)表示它在时刻t的瞬时速度，则它在时间区间u，v上的平均速度的大小，应当在u,v上的某两个时刻的瞬时速度之间 也就是说，有u，v上的p和q，使得下面的不等式成立：上式可用语言表达为“函数S(t)的差商是v(t)的中间值” 要注意的是，尽管学生容易理解“平均速度的大小应当在某两个时刻的瞬时速度之间”，但要提炼出不等式(2.1)并不容易从直观的表述得到数学的符号语言，对学生是很好的锻炼， 例2.2 记函数y= F(x)的曲线上在点x处的切线的斜率为k(x)则过两点A=(u,F(u)和B=(v，F(v)的割线的斜率，应当在 u，v上的某两个变量值对应的点处切线的斜率之间（图3）也就是说，有u，v上的p和q，使得下面的不等式成立： 上式可用语言表达为“函数F(x)的差商是k(x)的中间值” 上面两个例子，在数学上是一回事但从平均速度和瞬时速度的问题中，更容易看出一个函数的差商是另一个函数的中值 例2.3 考虑a，b上的函数f(x)的曲线和x轴之间的面积若记a,b上曲边梯形面积为F(x)（如图4），则u,v上这块面积为F(v) -F(u)如果把这块面积去高补低折合成长为v-u的矩形，则矩形的高应当在u,v上的某两个变量值对应的f(x)的值之间（图5）也就是说，有u，v上的p和q，使得下面的不等式成立： 上式可用语言表达为“函数F(x)的差商是f(x)的中间值”， 注意，我们现在不知道曲边梯形面积的数学定义但从几何直观上看，这面积应当存在，并且折合成长为v-u的矩形后，矩形的高应当在u,v上这段曲线的某两点高度之间（图5）图5 矩形的高在u，v上这段曲线的某两点高度之间 上面3个例子中，都涉及两个函数，其中一个函数的差商是另一个函数的中间值， 从这些例子中，提炼出一个问题，这是微积分的基本问题： 若f(x)的差商是g(x)的中间值，知道了一个函数，如何求另一个？ 这个问题解决了，求作曲线切线的问题，求瞬时速度问题，求曲边梯形面积问题就都解决了 牛顿和莱布尼兹是天才，他们一下子就想到用无穷小或用极限来解决这些问题：无穷小也好，极限也好，都属于天才的思想，所以长时期内使普通人困惑，普通人的平常的推理，只能想到平常的不等式(2.1)，(2.2)和(2.3)对这些不等式，小学生都不会困惑。 问题在于，从这些不等式出发，不借助无穷小或极限概念，能得到问题的答案吗？3 用平常的推理寻求答案 我们已经从3个经典问题中提炼出来一个数学模型：若函数f（x）的差商是g（x）的中间值，知道了一个函数，如何求另一个？ 为了方便，引入 定义3. 1 若在I的任意闭子区间u，v上，函数f(x)的差商都是g(x)的中间值，则把f(x)叫做g(x)在I上的甲函数，把g(x)叫做f(x)在I上的乙函数， 显然有 定理3.1 若g(x)是f(x)在a，b上的乙函数，又是f(x)在b，c上的乙函数，则g(x)是f(x)在a，c上的乙函数， 这是因为，对于任意的uvw，差商总在和之间的缘故 学过一些微积分的读者心知肚明，f(x)的乙函数似乎就应当是f(x)的导数但是，用甲乙函数之间的差商中值关系能求导数吗？ 例3.1 函数是的乙函数 事实上，对任意uv，的差商为 不等式g(u)=2uu+v2v=g(v)表明，g(x) = 2x是的乙函数 例3.2 函数是的乙函数 这里有 当uv0时，显然在和之间；这表明，在（一，O和O，+co）上，都是f(x)的乙函数因此在（一，+ oo）上函数是的乙函数， 例3.3 对任意正整数n，函数是的乙函数 推导类似于上例，从略例3.4在(o，+)上，函数是的乙函数 同样道理，对Ouv有不等式表明，g(x)是f(x)的乙函数 例3.5 在(0，+)和（一，O）上，函数是的乙函数.此时：不等式表明，g(x)是f(x)的乙函数 例3.6 在（一，+ oo）上，函数g(x)= cosx是f(x)= sinx的乙函数只要对任意的整数n，证明在上函数g(x)=cosx是 f(x)=sinx的乙函数即可 注意当时，有sinhhtanh，从而；于是对警，上的任意两点uv，有： 另一方面，有 这表明，在上cosx是sInx的乙函数从而要证的结论成立 例3.7 在0，+)上，函数是的乙函数 这个例子计算起来稍繁，但方法大体相同，对ouv，先计算出再根据0uA(或f(u) A(或f(x)O，使 于是得 这推出2O使 |F(x +h) - F(x) -f(x)h|Mh2 于是得|cF(x +h) - cF(x) -cf(x)h|cM|=M1h2，这证明了所要结论 (ii)由F(x)和G(x)都在a，b上强可导，f(x)和g(x)分别是F(x)和G(x)的导数，有M O使 立得(5.12) 这证明了所要结论（这个法则如果用乙函数的办法推导可要辛苦多了，不信你试试） ( iii)由F(x)在a，b上强可导，f(x)是F(x)的导数，有MO使在a，b上有 |F(x +h) - F(x) -f(x)h|Mh2 记 则当x和x+h在（或）上时，对应的v和u在a,b上此时有 这证明了R(x)=F(u)=F(cx+d)强可导，导数为r(x) =cf(cx+d) 至此，多项式求导问题已经完全解决了 利用强可导的定义不等式，有时可以做方便的近似计算例如求平方根的近似值 例5.5 用例5.3中得到的不等式(5.4)估计， 解 在不等式(5.4)中，取x=a=4，h=0. 04；去分母得到 亦即|-2.01 |0.000025. 可见2.01，误差不超过0.000025.6 导数的性质及其和乙函数的关系 从定理4.3和定理5.1的证明看到，不等式 (4.8)和(4.9)是很方便的工具定理4.2指出，从差商有界的乙函数可以推出这两个不等式反过来呢？下面就来探讨这个问题 定理6.1（强酉导函数的导函数差商有界）设F(x)在I上强可导，则存在MO，使得对任意，有 证明 记h= u-v，由强可导定义可知有M0，使对任意，有 于是有 两端约去|h|，即得所要的结论 定理6.2（导数不变号则函数单调） 若F(x)在a，b上强可导，其导数f(x)在a，b上恒非负，则F(x)在a，b上单调不减；若f(x)在 a,b上恒非正，则F(x)在a,b上单调不增 证明 设f(x)在a,b上恒非负用反证法设对于a,b上任意的u，u+ h（h0），有 F(u +h)-F(u)=dO (6.3) 取整数，将区间u,u+h等分为n段，其中必有一段使得 - (6.4) 因为f (v)0，由强可导定义得： l 于是，由推出21，矛盾这证明了F在a，b上单调不减 若f(x)在a,b上恒非正，则-f(x)在a，b上恒非负，于是- F(x)在a,b上单调不减，从而F(x)在a,b上单调不增证毕， 定理6.3（估值定理） 若F(x)在I上强可导，其导数为f(x)则对I上任意两点uv，总有 u，u上的两点p和q，使有 (6.6) 证明 在u，v上构造一个函数 (6.7) 则有，并且G(x)强可导， (6.8) 若在u，v上不变号，由定理6.2知G(x)单调，由推出G(x)在u，u上为常数，从而恒有，从(6.8)推出 (6.6)；若在u，v上变号，即有u,v上的两点p和q，使G(p) 0，从(6.8)也推出(6.6)证毕+ 综合定理6. 3、定理6.1和推论4.1，得到我们所期待的预料中的结论： 定理6.4 函数F(x)在a,b上强可导且的充要条件，是F (x)在a，b上有差商有界的乙函数f(x) 至此，在强可导的意义下，导数和乙函数的关系水落石出这样，一方面把常常使人困惑的导数概念化为清清楚楚的乙函数概念，另一方面把找寻乙函数的计算化为比较简便的有章可循的导数计算，所有这一切，都绕过了极限和无穷小， 下面的推论都是显然的 推论6.1（导数的正负和函数增减性的关系） 若函数F在a,b上强可导，则 (1)若，f(x)在a,b上恒非负（正），且不在 a，b的任何子区间上恒等于0，则F(x)在a，b上严格递增（减）； (2)若f(x)在a，b上恒为0，则F(x)在a，b上为常数 推论6.2 （导数相等的函数仅相差一常数） 若F(x)和G(x)都在a，b上强可导， F(x)和G(x)的导数都是f(x)，则(F(x)一G(x)在a，b上为常数， 推论6.3 若F(x)在a，b上强可导且F(a)=F(b)，若F (x)在a，b上不是常数，则必有，使得7 定积分和微积分基本定理 直观地说，函数f(x)在区间u，v上的定积分，就是f(x)在u，v上的这段函数曲线和x轴图6 曲边梯形的代数面积之间的这片曲边梯形的代数面积所谓代数面积，就是说，曲线在z轴上方的部分面积为正，下方部分面积为负，正负相加得到的结果（图6） 给了区间I上的函数f(x)，对于I中任意两点uv，对应于f(x)在u，v上的曲边梯形的代数面积，可以看成二元函数S（u,v）的值.S(u，v)应当满足两个条件一个条件是面积的可加性：u，v上的面积加上v，w上的面积，等于 u，w上的面积；第2个条件是，u,v上的面积和区间u，v的长度之比，应当是f(x)在u，v上的平均值，根据面积的这些直观酌性质，抽象出下面的定义 定义7.1（积分系统和定积分） 设f(x)在区间I上有定义；如果有一个二元函数，满足 (i)可加性：对I上任意的u,v,w，叫有 (ii)中值性：对I上任意的uv，在u，v上必有两点p和q使得 则称S（u,v）是f(x)在I上的一个积分系统 如果f(x)在I上有唯一的积分系统S（u,v），则称f(x)在（I的子区间）u,v上可积，并称数值S（u,v）是f(x)在u，v上的定积分，记作.表达式中的f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，u和v分别叫做积分的下限和上限用不同于u，v的其他字母（如t）来代替x时，S(u,x)数值不变 根据定义直接验证，可得下面的定理 定理7.1 设S(u,v)是f(x)在I上的一个积分系统，c是I上的一个点，令F(x)=S(c，x)，则在I上f(x)是F(x)的乙函数；反过来，若在I上f(x)是F(x)的乙函数，令S(u，v)=F(v)一F(u)，则S（u，v）是f(x)在I上的一个积分系统 现在可以轻松地得到一个重要的结论了， 定理7.2（微积分基本定理） 设F (x)在I上强可导，令S(u,v)=F(v)- F(u)，则S(u,v)是f(x)在I上的唯一积分系统，从而有 (7.1) 等式(7.1)就是著名的牛顿一莱布尼兹公式 证明 由定理6.4，是F(x)的乙函数由定理7.1推出S(u,v)=F(v)-F(u)是f(x)在I上的积分系统. 下面证明S(u,v)是f(x)在I上的唯一积分系统 设R(u,v)也是f(x)在I上的积分系统取I上任一定点c，令G(x)=R(c,x)，则由定理7.1，在I上f(x)是G(x)的乙函数；又由定理6.4可知f(x)在I上差商有界，于是仍由定理6.4(或推论4.1)推出G(x)在I上强可导，且 由推论6.2，在I上F(u)- G(u)=F(v) -G(v)为常数，故有 R(u,v)= G(v)- G(u )=F(v)-F(u)= S(u,v) 这证明了S(u,v)是f(x)在I上的唯一积分系统，由定义知道定积分记号合理，从而由S(u,v)=F(v)-F(u)得等式(7.1)证毕 实际上，微积分基本定理从一开始就蕴含在“F(x)的差商是f(x)的中值”这个基本思路之中也就是说，甲函数和乙函数的概念，实质上就已经给出了牛顿一莱布尼兹公式本节的定义和推导，不过是数学形式的严谨化而已8 结束语 至此，我们完全不用极限而建立了微积分的框架所有的定义和推理过程都是初等而严谨的在高中数学课程中，要求学生会用微积分方法解决一些实际问题这些应用的理论依据主要是两条，一条是导数正则函数增，一条是微积分基本定理这两条在现在的高中教材中都是不能证明的，甚至在大学里非数学专业的高等数学教材中也是不要求完整证明的对如此重要的定理学生只能知其然而不知其所以然，这是高等数学教学中长期未能解决的难题 但愿本文的方法能够化解这个难题这不仅是数学问题，更是教学实践才能作出最终回答的问题 采用强可导的概念，还有不少事情要做例如对数函数和指数函数