全国通用版2019版高考数学总复习专题二函数与导数2.4导数及其应用(压轴题)课件理.ppt

2.4导数及其应用(压轴题),高考命题规律1.每年必考考题,一般在21题位置作为压轴题呈现.2.解答题,12分,高档难度.3.全国高考有4种命题角度,分布如下表.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,利用导数研究函数的单调性1.(2016北京18)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.解(1)因为f(x)=xea-x+bx,所以f(x)=(1-x)ea-x+b.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知,f(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值,从而g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+).,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,2.(2016四川21)设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中aR.(1)讨论f(x)的单调性;(2)确定a的所有可能取值,使得在区间(1,+)内恒成立(e=2.718为自然对数的底数).,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,1.(2018北京海淀模拟)已知函数f(x)=x3+x2+ax+1.(1)若曲线y=f(x)在点(0,1)处切线的斜率为-3,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间-2,a上单调递增,求a的取值范围.解(1)因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)经过点(0,1),又f(x)=x2+2x+a,曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率为-3,所以f(0)=a=-3,所以f(x)=x2+2x-3.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,所以函数f(x)的单调递增区间为(-,-3),(1,+),单调递减区间为(-3,1).,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(2)因为函数f(x)在区间-2,a上单调递增,所以f(x)0.即对x-2,a,只要f(x)min0.因为函数f(x)=x2+2x+a的对称轴为x=-1,当-2a-1时,f(x)在-2,a上的最小值为f(a),由f(a)=a2+3a0,得a0或a-3,所以此种情况不成立;当a-1时,f(x)在-2,a上的最小值为f(-1),由f(-1)=1-2+a0得a1,综上,实数a的取值范围是1,+).,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,2.(2018江西师大附中模拟)已知函数f(x)=(2-m)lnx+2mx.(1)当f(1)=0时,求实数m的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)若f(x)在(0,+)上单调递减,求a的取值范围;(2)当a(-3,-e)时,判断关于x的方程f(x)=2的解的个数.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,a=2x-(3-x)ex(x0),令h(x)=2x-(3-x)ex,则h(x)=2+(x-2)ex,令(x)=h(x)=2+(x-2)ex(x0),则(x)=(x-1)ex,h(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,h(x)min=h(1)=2-e0,存在x0(0,2),使得x0(0,x0)时h(x)0,h(x)单调递增,又h(0)=-3,h(x0)0,a(-3,-e)时,方程a=2x-(3-x)ex有一个解,即当a(-3,-e)时,方程f(x)=2只有一个解.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,函数的单调性与极值、最值的综合应用,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(2)证明由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x11.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,2.(2017北京19)已知函数f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,解(1)因为f(x)=excosx-x,所以f(x)=ex(cosx-sinx)-1,f(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cosx-sinx)-1,则h(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,3.(2017全国21)已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-20,g(x)单调递增.所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)g(1)=0.综上,a=1.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(2)证明由(1)知f(x)=x2-x-xlnx,f(x)=2x-2-lnx.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,因为x=x0是f(x)在(0,1)内的最大值点,由e-1(0,1),f(e-1)0得f(x0)f(e-1)=e-2.所以e-20;当x0,当x0时,h(x)0,h(x)单调递增,所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;当a0时,h(x)=2(ex-elna)(x-sinx),由h(x)=0得x1=lna,x2=0.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,()当00,h(x)单调递增;当x(lna,0)时,ex-elna0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当x=lna时h(x)取到极大值.极大值为h(lna)=-aln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2,当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;()当a=1时,lna=0,所以当x(-,+)时,h(x)0,函数h(x)在(-,+)上单调递增,无极值;,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,()当a1时,lna0,所以当x(-,0)时,ex-elna0,h(x)单调递增;当x(0,lna)时,ex-elna0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1;当x=lna时h(x)取到极小值,极小值是h(lna)=-aln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2.综上所述:当a0时,h(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=-2a-1;,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,当01时,函数h(x)在(-,0)和(lna,+)上单调递增,在(0,lna)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(0)=-2a-1,极小值是h(lna)=-aln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)解f(x)的定义域为(-,-2)(-2,+).,当且仅当x=0时,f(x)=0,所以f(x)在(-,-2),(-2,+)单调递增.因此当x(0,+)时,f(x)f(0)=-1.所以(x-2)ex-(x+2),(x-2)ex+x+20.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,由(1)知,f(x)+a单调递增.对任意a0,1),f(0)+a=a-1xa时,f(x)+a0,g(x)0,g(x)单调递增.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,解(1)定义域为(0,+),f(x)=,令f(x)=0得x=e.x(0,e),f(x)0,f(x)单调递增;x(e,+),f(x)0时g(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增,当x-1,所以1+a0,即f(x)0,所以函数f(x)在R上单调递增.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(2)证明由(1)知f(x)在1,+)上单调递增,因为a0,h(x)在(0,+)上单调递增,h(x)h(0)=0,即exx+1,g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,g(x)g(1)=e-2,ae-2.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,当x=0时,不等式(*)恒成立,aR;当x1,则有h(0)=1-ah(0)=0,舍去.a1.综上可得,a的取值范围是(-,e-2.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,4.(2018山东青岛一模)已知函数f(x)=ae2x-aex-xex(a0,e=2.718,e为自然对数的底数),若f(x)0对于xR恒成立.(1)求实数a的值;,(1)解由f(x)=ex(aex-a-x)0可得,g(x)=aex-a-x0.因为g(0)=0,所以g(x)g(0),从而x=0是g(x)的一个极小值点,由于g(x)=aex-1,所以g(0)=a-1=0a=1.当a=1时,g(x)=ex-1-x,g(x)=ex-1,x(-,0),g(x)0,g(x)在(0,+)上单调递增;g(x)g(0)=0,故a=1.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(2)证明当a=1时,f(x)=e2x-ex-xex,f(x)=ex(2ex-x-2).令h(x)=2ex-x-2,则h(x)=2ex-1.x(-,-ln2),h(x)0,h(x)在(-ln2,+)上为增函数.由于h(-1)0,所以在(-2,-1)上存在x=x0满足h(x0)=0,h(x)在(-,-ln2)上为减函数,x(-,x0)时,h(x)0,即f(x)0,f(x)在(-,x0)上为增函数;x(x0,-ln2)时,h(x)0,即f(x)0,f(x)在(0,+)上为增函数,因此f(x)在(-ln2,+)上只有一个极小值点0,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,综上可知:f(x)存在唯一的极大值点x0,且x0(-2,-1).,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,利用导数研究函数的零点或方程的根1.(2018全国21)已知函数f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,证明:当x0时,f(x)1;(2)若f(x)在(0,+)只有一个零点,求a.(1)证明当a=1时,f(x)1等价于(x2+1)e-x-10.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.当x1时,g(x)0,h(x)没有零点;(ii)当a0时,h(x)=ax(x-2)e-x.当x(0,2)时,h(x)0.所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+)单调递增.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,2.(2017全国21)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).()若a0,则f(x)0,则由f(x)=0得x=-lna.当x(-,-lna)时,f(x)0,所以f(x)在(-,-lna)单调递减,在(-lna,+)单调递增.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,3.(2015全国21)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-lnx.(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数.解(1)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0,f(x0)=0,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)解函数F(x)的定义域为(-,a)(a,+).,只要讨论h(x)的零点即可.h(x)=ex(x-a+1),h(a-1)=0,当x(-,a-1)时,h(x)0,h(x)是增函数.所以h(x)在区间(-,a)的最小值为h(a-1)=1-ea-1.显然,当a=1时,h(a-1)=0,所以x=a-1是F(x)的唯一的零点;当a0,所以F(x)没有零点;当a1时,h(a-1)=1-ea-10),令t(x)=xex-1-1(x0),则t(x)=(x+1)ex-1(x0).当x0时,t(x)0,即t(x)单调递增.又t(1)=0,当x(0,1)时,t(x)0,f(x)0,f(x)单调递增.f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+).,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,证法二当a=0时,f(x)=ex-10显然成立.当00显然成立.()当x1时,易证:0ex-1-e(x-1)0.(此处可构造函数,也可利用exex进行放缩.)综上,f(x)0恒成立,f(x)没有零点.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,f(x0)a-alna,令h(x)=x-xlnx(00,h(x)单调递增,当x(1,e)时,h(x)0,又h(e)=0,当x(0,e时,h(x)0恒成立,当且仅当x=e时取等号,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,00,f(x)0恒成立,综上所述,函数f(x)无零点.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,3.(2018山东济南一模)已知函数f(x)=alnx-x2+(2a-1)x(aR)有两个不同的零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x22a.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)解法一函数f(x)的定义域为(0,+).,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,()当a1时,f(x)max=ag(a)0,h(x)在(1,+)上单调递减,则h(3a-1)h(2)=ln2-20,f(3a-1)=ah(3a-1)0,f(x)在区间(a,3a-1)上有一个零点,那么f(x)恰有两个零点.综上所述,当f(x)有两个不同零点时,a的取值范围是(1,+).,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,h(x)h(1)=-10,f(4a)1,且当x(0,a)时,f(x)是增函数;当x(a,+)时,f(x)是减函数;不妨设x1x2,则0x12a.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,证法二由(1)可知,f(x)有两个不同的零点,a1,且当x(0,a)时,f(x)是增函数.当x(a,+)时,f(x)是减函数.不妨设x1x2,则0x10,f(a+x)f(a-x),a-x1(0,a),f(x1)=f(x2)=f(a-(a-x1)2a-x1,x1+x22a.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,导数与不等式1.(2018全国21)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-10时,f(x)0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.,当-10时,g(x)0.故当x-1时,g(x)g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f(x)0,且仅当x=0时,f(x)=0.所以f(x)在(-1,+)单调递增.又f(0)=0,故当-10时,f(x)0.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(2)解若a0,由(1)知,当x0时,f(x)(2+x)ln(1+x)-2x0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,2.(2016全国21)设函数f(x)=cos2x+(-1)(cosx+1),其中0,记|f(x)|的最大值为A.(1)求f(x);(2)求A;(3)证明:|f(x)|2A.(1)解f(x)=-2sin2x-(-1)sinx.(2)解(分类讨论)当1时,|f(x)|=|cos2x+(-1)(cosx+1)|+2(-1)=3-2=f(0).因此A=3-2.当01时,将f(x)变形为f(x)=2cos2x+(-1)cosx-1.(构造函数)令g(t)=2t2+(-1)t-1,则A是|g(t)|在-1,1上的最大值,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(3)证明由(1)得|f(x)|=|-2sin2x-(-1)sinx|2+|-1|.,所以|f(x)|1+2A.当1时,|f(x)|3-16-4=2A.所以|f(x)|2A.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)证明:f(x)在(0,1)上单调递减;(2)若01.,所以00,h(x)单调递增.又h(1)=0,所以h(x)xlna+1.所以g(x)=ax+xaxa+xlna+1=x(xa-1+lna)+1x(1+lna)+11.综上,g(x)1.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,2.(2018河南郑州第二次质量检测)已知函数f(x)=ex-x2.(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;,(1)解f(x)=ex-2x,由题设得f(1)=e-2,f(1)=e-1,f(x)在x=1处的切线方程为y=(e-2)x+1.(2)证明f(x)=ex-2x,f(x)=ex-2,f(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+)上单调递增,所以f(x)f(ln2)=2-2ln20,所以f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)max=f(1)=e-1,x0,1.f(x)过点(1,e-1),且y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(e-2)x+1,故可猜测:当x0,x1时,f(x)的图象恒在切线y=(e-2)x+1的上方.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,下面证明:当x0时,f(x)(e-2)x+1,设g(x)=f(x)-(e-2)x-1,x0,则g(x)=ex-2x-(e-2),g(x)=ex-2,g(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+)上单调递增,又g(0)=3-e0,g(1)=0,00;当x(x0,1)时,g(x)b时,都有e1-a-e1-b1-.(1)解函数f(x)的定义域为(0,+).f(x)=mlnx-e-x,函数f(x)是单调函数,f(x)0在(0,+)上恒成立或f(x)0在(0,+)上恒成立,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,4.(2018河北石家庄一模)已知函数f(x)=(x+b)(ex-a)(b0)在(-1,f(-1)处的切线方程为(e-1)x+ey+e-1=0.(1)求a,b;(2)若方程f(x)=m有两个实数根x1,x2,且x10,故函数T(x)在(-2,+)上单调递增,又T(0)=0,所以当x(-,0)时,T(x)0,所以函数T(x)在区间(-,0)上单调递减,在区间(0,+)上单调递增,T(x)T(0)=0,f(x2)t(x2).设t(x)=m的根为x2,则x2=m,又函数t(x)单调递增,故t(x2)=f(x2)t(x2),故x2x2,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,恒成立与存在性问题(2017全国21)已知函数f(x)=x-1-alnx.(1)若f(x)0,求a的值;,高考真题体验