高考数学二轮复习专题五立体几何5.3立体几何中的向量方法课件理.ppt

5.3 立体几何中的向量方法,命题热点一,命题热点二,命题热点三,用空间向量证明空间的平行与垂直 【思考】 如何用空间向量证明空间的平行与垂直? 例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACBC,D为AB的中点,AC=BC=BB1. (1)求证:BC1AB1; (2)求证:BC1平面CA1D.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,证明： 如图,以C1为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由AC=BC=BB1,设AC=2, 则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思用向量方法证明空间线面位置关系的方法:设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面,的法向量分别为e1,e2,A,B,C分别为平面内的相异且不共线的三点(其中l1与l2不重合,与不重合),则 (1)l1l2ab存在实数,使b=a(a0);l1l2abab=0. (2)l1ae1存在实数,使e1=a(a0);l1ae1=0存在非零实数1,2,使a=1 (3)e1e2存在实数,使e2=e1(e10);e1e2e1e2=0.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练1在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点. 求证:(1)B1D平面ABD; (2)平面EGF平面ABD.,证明：(1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图. 则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4), 设BA=a,则A(a,0,0),命题热点一,命题热点二,命题热点三,即B1DEG,B1DEF, 又EGEF=E,因此B1D平面EGF. 结合(1)可知平面EGF平面ABD.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,利用向量求空间角 【思考】 如何用空间向量求空间角? 例2(2017全国,理19) 如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,BAD=ABC=90,E是PD的中点. (1)证明:直线CE平面PAB; (2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角M-AB-D的余弦值.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思用向量求空间角的方法: 设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面,的法向量分别为n,m.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练2(2017全国,理19)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD. (1)证明:平面ACD平面ABC; (2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(1)证明: 由题设可得,ABDCBD,从而AD=DC. 又ACD是直角三角形,所以ADC=90. 取AC的中点O,连接DO,BO,则DOAC,DO=AO. 又由于ABC是正三角形,故BOAC. 所以DOB为二面角D-AC-B的平面角. 在RtAOB中,BO2+AO2=AB2, 又AB=BD, 所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2, 故DOB=90.所以平面ACD平面ABC.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练3(2017江苏,22) 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面ABCD,且AB=AD=2,AA1= ,BAD=120. (1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值; (2)求二面角B -A1D -A的正弦值.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点一,命题热点二,命题热点三,用空间向量求空间中的距离 【思考】 如何用空间向量求空间中的距离? 例3如图,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是正方形,侧面PDC是边长为a的正三角形,且侧面PDC底面ABCD,E为PC的中点. (1)求异面直线PA与DE所成角的余弦值; (2)求点D到平面PAB的距离.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,解：如图,取DC的中点O,连接PO, PDC为正三角形,PODC. 又侧面PDC底面ABCD, PO底面ABCD.如图建立空间直角坐标系O-xyz.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思求空间中距离的方法: (1)直线到平面的距离,两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离. (2)点P到平面的距离d= (其中n为的法向量,M为内任一点). (3)设直线n的方向向量为n,直线n与异面直线a,b都垂直,A是直线a上任一点,B是直线b上任一点,则异面直线a,b的距离d=,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练4如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,AB+AD=4,CD= ,CDA=45. (1)求证:平面PAB平面PAD. (2)设AB=AP.若直线PB与平面PCD所成的角为30,求线段AB的长; 在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?说明理由.,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(1)证明：因为PA平面ABCD,AB平面ABCD,所以PAAB. 因为ABAD,PAAD=A,所以AB平面PAD. 又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD. (2)解：以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz,如图. 在平面ABCD内作CEAB交AD于点E,则CEAD. 在RtCDE中,DE=CDcos 45=1,CE=CDsin 45=1. 设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t).由AB+AD=4,得AD=4-t, 所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点一,命题热点二,命题热点三,假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.,由消去t,化简得m2-3m+4=0. 因为方程没有实数根,所以在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,C,D的距离都相等. 从而,在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.,规律总结,拓展演练,1.用空间向量解决立体几何问题时,要根据情况选择,常建立空间直角坐标系,利用空间向量知识解决立体几何问题.用空间向量解决的主要立体几何问题有平行、垂直、求角、求距离等. 2.用向量证明空间中的平行关系: (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1l2(或l1与l2重合)v1v2. (2)设直线l的方向向量为v,与平面共面的两个不共线向量v1和v2,则l或l存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2. (3)设直线l的方向向量为v,平面的法向量为u,则l或lvu. (4)设平面和的法向量分别为u1,u2,则u1u2.,规律总结,拓展演练,3.用向量证明空间中的垂直关系: (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1l2v1v2v1v2=0. (2)设直线l的方向向量为v,平面的法向量为u,则lvu. (3)设平面和的法向量分别为u1和u2,则u1u2u1u2=0. 4.两异面直线所成的角不一定是它们的方向向量的夹角;两平面的法向量的夹角与两平面的二面角相等或互补;直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面角的余角相等或互补. (1)两条异面直线所成的角:设异面直线a,b所成的角为,a,b的方向向量为a,b,其夹角为,则有cos =|cos |= .,规律总结,拓展演练,(2)直线和平面所成的角:如图,sin =|cos |= . (3)平面与平面所成的二面角为,两平面的法向量分别为m,n,则|cos |= .,规律总结,拓展演练,5.点到平面的距离的向量求法: 如图,设AB为平面的一条斜线段,n为平面的法向量,则点B到平面的距离d= .,规律总结,拓展演练,1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( ),答案,解析,规律总结,拓展演练,2.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成二面角的大小为 .,答案,解析,规律总结,拓展演练,3.(2017天津,理17) 如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,BAC=90,点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2. (1)求证:MN平面BDE; (2)求二面角C-EM-N的正弦值;