一元二次方程实数根的分布.doc

第一课时：一元二次方程实数根的分布教学目标：使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理，加强求解一元二次不等式及不等式组，初步训练学生的数形结合能力。教学重点：利用二次函数的图象，把一元二次方程根的分布图形问题代数表达式（不等式组）参数取值范围。教学难点：图形问题转化成代数表达式(不等式组)并求解。一、问题的提出若方程的两根均为正数，求实数m的取值范围.变式1：两根一正一负时情况怎样？变式2：两实根均大于5时情况又怎样？变式3：一根大于2，另一根小于-1时情况又怎样？问题：能否从二次函数图形角度去观察理解？若能试比较两种方法的优劣.方程的实根，如若从二次函数图形角度去观察理解，其实质就是对应的二次函数 的抛物线与轴交点的横坐标. 一元二次方程实根分布，实质上就是方程的根与某些确定的常数大小关系比较. 二、一元二次方程实根分布仿上完成下表一元二次方程实根分布图解根的分部图象等价的代数不等式三、练习1.m为何实数时，方程的两根都在-1与1之间.2、若方程的两根中，一根小于0，另一根大于2，求a的取值范围.四、小结基本类型与相应方法：设 ，则方程的实根分布的基本类型及相应方法如下表：1两实根都小于 x 2两实根都大于 x k x3两实根都在内4两实根都在外 x 5两根中有且只有一根在内 x x五作业：1关于的一元二次方程的一根大于1，另一根小于1.则的值是（）（A）或（B）（C）（D）2方程为常数）有两实根，且，那么的取值范围是（）（A）（B）（C）或（D）无解3设是整数，且方程的两根都大于而小于，则 .4.若关于的方程的所有根都是比1小的正实数，则实数的取值范围是 5. 方程的一根不大于1，另一根不小于1.试求：（1）参数的取值范围；（2）方程两根的平方和的最大值和最小值.第二课时一元二次方程实数根分布的应用一复习填空：根的分部图象等价的代数不等式二、例子例1 已知实数、满足，求的取值范围.解 由已知得且.所以是一元二次方程的两根. 由问题可转化为方程的二根都大于.令，有 即 ，求得，因此.例2已知点、.若抛物线与线段(不包括端点及)有两个不同的交点，则的取值范围是 . (1997年上海市高中数学竞赛) 解： 显然直线的方程为即，代入抛物线方程并整理得.设，问题转化函数的图象和轴在0到4之间有两个不同的交点，即方程在上有两个不相等的实根. 所以 解得的取值范围是.例3关于的实系数二次方程的两个实数根为，证明：如果，那么且；如果 且，那么.(1993年全国高考题) 证明 设，由已知，函数的图象与轴在到2之间有两个不同的交点. 所以 由(3)、(4)得，所以. 由(2)，得，结合(1)得，所以. 将(3)+(4)得，因此，即. 由于且，可得，所以，. 即函数的图象的对称轴位于两条直线，之间. 因为， .所以. 因此函数的图象与轴的交点位于-2和2之间，即.作业1已知抛物线为实数.为何值时，抛物线与轴的两个交点都位于点的右侧？2已知都是正整数，且抛物线与轴有两个不同的交点A、B.若A、B到原点的距离都小于1，求的最小值.第三课时 应用提高例1若方程在上有实根，求实数的取值范围. -1 1 x解法一：方程在上有实根，即方程在上有实根，设，则根据函数的图象与轴的交点的横坐标等价于方程的根.（1）两个实根都在上，如图： 可得，解得； -1 1 x（2）只有一个实根在上，如图：可得，解得，综合（1）与（2）可得实数的取值范围为解法二：方程在上有实根，即存在，使得等式成立，要求的取值范围，也即要求函数的值域.设，则，可得.解法三：令则，则方程在上有实根，等价于方程组在上有实数解，也即等价于抛物线与直线在上有公共点，如图所示 y -1 o 1 x直观可得：.Y -1 O 1 x 解法四：根据解法三的转化思想，也可将原方程化成，然后令，从而将原问题等价转化为抛物线与直线在上有公共点时，“数形结合法”下去求参数的取值范围.根据图形直观可得：当直线过点，截距最大；当直线与抛物线相切时，截距最小.且.故参数的取值范围为.2已知实数、满足，其中为正数.对于.(1)若，求证：；(2) 若，证明方程在内有实根.证明 (1)由，求得，所以 又由，因此，故. (2)要证明方程在内有实根，只须证明 或 但两者都不易证明. 由，结合第(1)题，