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沪科版七年级（上）期末复习讲义沪科版七年级（上）期末复习讲义 第一章第一章 有理数有理数 1.1 正数与负数正数与负数 大于 0 的数叫正数。 在正数前面加上“-”号的数，叫做负数。 0 既不是正数也不是负数。0 是正数和负数的分界，是唯一的中性数。 搞清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减 少等。 正整数、0、负整数统称整数（结合数轴和一元一次方程出题），正分数 和负分数统称分数。整数和分数统称有理数。【记住有理数的两种分类方式】 不是有理数。 非负数就是正数和零；非负整数就是正整数和 0。 1.2 数轴数轴 通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴。 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。 数轴上的点和有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示出 来，但数轴上的点，不都是表示有理数。 只有符号不同的两个数叫做互为相反数（和为零）。（例：2 的相反数是 -2，如：2（2）=0；0 的相反数是 0） 数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值,记作|a|。 正数的绝对 值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。从几何意义上讲， 数的绝对值是两点间的距离（无方向性，有两个点）。 数轴上两点间的距离=|MN|W w.X k b1. c O m 两个负数，绝对值大的反而小。 |a|0（即非负性）；绝对值等于一个正数的值有两个（两个互为相反数） 如：|a|=5，a=5 或 a=5 1.3 有理数的大小有理数的大小 数轴上不同的两个点表示的数，右边点表示的数总比左边点表示的数大。 负数小于零，零小于正数，负数小于正数。 两个负数的比较大小，绝对值大的反而小。 1.4 有理数的加减法有理数的加减法 有理数加法法则： 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较 大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得 0。 3）一个数同 0 相加，仍得这个数。 4）加法的交换律：a+b=b+a；加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。 第二章第二章 整式的加减整式的加减 (化简化简原则原则：有括号去括号，能合并的合并：有括号去括号，能合并的合并) 2.1 用字母表示数用字母表示数 偶数：能被 2 整除的整数叫偶数（如：-4、-2、0、2、4、）三个连续偶 数：2n2，2n，2n2（相差 2）。 奇数：不能被 2 整除的整数叫做奇数（如：-5、-3、-1、1、3、5）三个连 续奇数：2n1，2n1，2n3（相差 2）。 2.2 代数式代数式 用加、减、乘（乘方）、除等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式 子，叫做代数式。（注：单独一个数字或字母也是代数式） 代数式的写法：数学与字母相乘时，“”号省略，数字写在字母前；字母 与字母相乘时，相同字母写成幂的形式；数字与数字相乘时，“”号不能省略； 式中出现除法时， 一般写成分数形式。 式中出现带分数时， 一般写成假分数形式。 分段问题书写代数式时要分段考虑， 有单位时要考虑单位是否相对应； 如： 电费、水费、出租车、商店优惠等 单项式：由数字和字母乘积组成的式子。单独一个数或一个字母也是单项 式。因此，判断代数式是否是单项式，关键要看代数式中数与字母是否是乘积关 系，若分母中不含有字母，式子中含有加、减运算关系，也不是单项式单 项式的系数：是指单项式中的数字因数，-m2的系数是-1；（不要漏负号和分母） 单项数的次数：是指单项式中所有字母的指数的和（注意指数 1，-m 的次数 是 1） 多项式：几个单项式的和。判断代数式是否是多项式，关键要看代数式中 的每一项是否是单项式每个单项式称项，（其中不含字母的项叫常数项）多项 式的次数是指多项式里次数最高项的次数； 多项式的项是指在多项式中每一个单 项式特别注意多项式的项包括它前面的性质符号 它们都是用字母表示数或列式表示数量关系。 注意单项式和多项式的每一项都包 括它前面的符号。 代数式分为整式和分式（分母里含有字母）；整式分为单项式和多项式。 2.3 整式的加减整式的加减 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。（简称“二个 相同，二个无关”） 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。可以运用交换律，结合律 和分配律。（同类项用括号括起来，中间用连接） 合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数 的和，所含字母部分不变，相同字母的指数不变（“两不变”） 不含某字母项时，就是某字母项的系数为 0 字母的升幂、降幂排列：按某个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序 排列。 如果括号外的符号是号，去括号和符号后原括号内各项的符号不变；如 果括号外的符号是“”号，去括号和符号后原括号内各项的符号改变；括号前 有数字时，要连着符号相乘。 第三章第三章 一次方程与方程组一次方程与方程组 3.1 一元一次方程及其解法一元一次方程及其解法 方程是含有未知数的等式。 方程都只含有一个未知数（元）x，未知数 x 的指数都是 1（次），这样 的整式方程叫做一元一次方程。 注意判断一个方程是否是一元一次方程要抓住三点： 1）未知数所在的式子是整式（方程是整式方程）； 2）化简后方程中只含有一个未知数； （系数中含字母时不能为零） 3）经整理后方程中未知数的次数是 1. 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值， 这个值就是方 程的解。方程的解代入满足，方程成立。 等式的性质： 1）等式两边同时加上或减去同一个数或同一个式子（整式或分式），等 式不变（结果仍相等）。a=b 得：ac=bc。 2）等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式不变。a=b 得： ac=bc 或注意：运用性质时，一定要注意等号两边都要同时、 、；运用性质 2 时，一定要注意 0 这个数。 解一元一次方程一般步骤：去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数） 去括号移项合并同类项系数化 1；以上是解一元一次方程五个基本步 骤，在实际解方程的过程中，五个步骤不一定完全用上，或有些步骤还需要重复 使用。因此，解方程时，要根据方程的特点，灵活选择方法。在解方程时还要注 意以下几点： 1）去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母 的项；分子是一个整体，去分母后应加上括号；注意注意：去分母（等式的基本性质） 与分母化整（分数的基本性质）是两个概念，不能混淆； 2）去括号：遵从先去小括号，再去中括号，最后去大括号 不要漏乘括号 的项；不要弄错符号（连着符号相乘）； 3）移项： 把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一 边（以=为界限）， 移项要变号； 4）合并同类项：不要丢项，解方程是同解变形，每一步都是一个方程， 不能像计算或化简题那样写能连等的形式. 5）系数化 1：（两边同除以未知数的系数）把方程化成 axb（a0） 的形式，字母及其指数不变系数化成 1 在方程两边都除以未知数的系数 a，得到 方程的解不要分子、分母搞颠倒（刘老师提醒：不要着急，一步一步来。在计算 上丢分是最可惜的！） 3.2 一次方程的应用：一次方程的应用： （一） 、概念梳理 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是：审题，特别注意关键的字和 词的意义，弄清相关数量关系，注意单位统一，注意设未知数； 解：设出未知数（注意单位） ， 根据相等关系列出方程， 解这个方程， 答（包括单位名称，最好检验） 。 ）（0c c b c a 一些固定模型中的等量关系： 数字问题：abc表示一个三位数，则有abc=100a+10b+c（数位上的数字 位数） 行程问题：基本公式：路程=时间速度 甲乙同时相向行走相遇时：甲走的路程+乙走的路程=总路程 甲乙同时同向行走追及时：甲走的路程乙走的路程=甲乙之间距离 工程问题（整体 1） ：基本公式：工作量=工作时间工作效率 各部分工作量之和 = 总工作量； 储蓄问题：本息和=本金+利息；利息=本金利率时间 商品销售问题：商品利润=售价进价（成本价） 商品利润率=（售价进价）/进价 等积变形问题：面积或体积不变 和、差、倍、分问题：多、少、几倍、几分之几 按比例分配问题：一般设每份为 x 如：2:3:4 为 2x、3x、4x 资源调配问题：资源、人员的调配（有时要间接设未知数） （二） 、思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结） 模型思想：通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立 一元一次方程的思想. 方程思想：用方程解决实际问题的思想（如：按比例分配、线段的长、角 的大小等）就是方程思想. 转化（归纳）思想：解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去 括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1 等各种同解变形，不断地用新的 更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为 x=a 的形式.体现了化 “未知”为“已知”的化归思想. 数形结合思想：如：数轴问题、在列方程解决行程问题时，借助于线段示 意图和图表等来分析数量关系，使问题中的数量关系很直观地展示出来，体现了 数形结合的优越性. 分类（整体）思想：如：绝对值、偶次方、点在线段上（延长线上、线段 外） 、角在角内（外）在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往 需要分类讨论， 在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在 过程中的运用. 3.3 二元一次方程组及其解法二元一次方程组及其解法 由两个一次方程组成的， 并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组 消元法解方程组: 1、二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的 值，叫做二元一次方程组的解（注意格式） 2、代入消元法：从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一 个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 3、加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减（左边左边右边右边） 消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法（一定要使某个未知数的 系数相等或相反） 3.4 二元一次方程组的应用二元一次方程组的应用 两个未知数，两个相等关系【刘老师一再强调，重点就是找到题目中的等量 关系】 第四章第四章 直线与角直线与角 4.1 几何图形几何图形 形状：方的、圆的等 （1）几何图形大小：长度、面积、体积等 位置：相交、垂直、平行等 几何体也简称体。包围着体的是面。 常见的立体图形：圆柱和圆台（一曲面二平面）、圆椎（一曲面一平面） 、 球（一曲面）、长方体（六面八点十二棱）、四面体（三棱锥）、三棱柱（各部 分不都在一个平面内， 在一个平面内就是平面图形。 ） 新 课标第一 网 点线面体：是组成几何图形的基本元素（是几何图形）；点动成线，线 动成面，面动成体。 （2）展开与折叠：圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形；正方 体展开六个面可用“1 字型”、“Z 字型”模型认识。 （3）三视图：主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看） 。 4.2 直线、射线、线段直线、射线、线段 1.特点与表示方法： 直线没有端点，向两方无限延伸（不能用延长描述），可用两个大写字 母或小字字母表示； 射线只有一个端点，向一方无限延伸，用端点和延伸方向中的任意一点 表示；端点相同，延伸方向相同的两条射线是同一条射线。 线段有两个端点，可用两个大写字母或小字字母表示（不能延长）。 2.连接两点间的线段的长度，叫做这两点之间的距离。线段是图形，距离有 大小。 3.经过两点有一条直线，并且只有一条直线。（两点确定一条直线）。 4.经过两点的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短） 4.3 线段的长短比较线段的长短比较 线段的比较：叠合法（线段上、线段的延长线上）或度量法。 中点：将一条线段分成两条相等的线段的点称这条线段的中点。 （直线没 有中线） 线段的和、差、倍、分（整体求部分，部分求整体）可以设未知数 点在线段上、点在线段的延长线上、点在线段外。 4.4 角角 1、定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫角。角的端点为顶点，两条 射线为角的两边（一条射线绕端点旋转后形成的图形）。 2、 1=601=601 周角=360 度1 平角=180 度 ；直角=90 度；钟表上 秒针每分钟 360，分针每分钟走 6，时针每分钟走 0.5. 3、度化为度、分、秒（整数不动，小数下放）；度、分、秒化为度（逐级 上调）。 4、度、分、秒的加、减、乘、除（余数下放）运算：对口（秒与秒、分与 分、度与度）运算，满 60 进 1，借 1 算 60（刘老师提醒：注意和十进制等其他 进制区分） 4.5 角的比较与补（余）角角的比较与补（余）角 角的比较：叠合法（在角的内部、在角的外部）或度量法。 角的平分线： 角平分线把一个角分成两个相等的角， 角平分线是一条射线。 如果两个角的和等于 90 度（直角），（90）就说这两个叫 互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角。（不要遗漏）。 如果两个角的和等于 180 度（平角），（180）就说这两个 叫互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角（不要遗漏）。 等角（同角）的补角相等。等角（同角）的余角相等。 角的和、差、倍、分（角在角的内部、在角的外部）可以设未知数 方位角：北偏东 30（就是从北望东旋转 30），西南方向：就是南偏西 45 4.6 用尺规作线段与角用尺规作线段与角 1、尺规作图：几何中，通常用没有刻度的直尺和圆规来画图，这种画图的 方法叫做尺规作图 2、作一条线段等于已知线段：（1）作一条射线 AM（2）在射线 AM 上， 以点 A 为圆心，以线段 a 的长度为半径画弧，交射线 AM 于点 B 则线段 AB 为 所求作的线段（补充：补充：做一条线段等于已知几条线段的和或差） 3、作一个角等于已知角： （1）在AOB 上以 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 P、Q （2）作射线 EG，并以点 E 为圆心，OP 长为半径画弧交 EG 于点 D； （3）以点 D 为圆心，PQ 长为半径画弧交第（2）步中所画弧于点 F； （4）作射线 EF，DEF 即为所求作的角（补充：做一个角等于几个已知角 的和或者差）wW w .x Kb 1.co M 第五章第五章 数据的收集与整理数据的收集与整理 5.1 数据的收集数据的收集 1、全面调查（普查）：对全体对象进行的调查叫做全面调查 2、抽样调查：从被考察的全体对象中抽出一部分对象进行考察的调查方式 3、总体：所要考察对象的全体叫做总体 4、个体：其中的每一个考察对象叫做个体 5、样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本 6、样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量 5.2 数据的整理数据的整理 1、常用的统计图：条形统计图、折线统计图、扇形统计图2、扇形统 计图：用圆和扇形来表示总体和部分的比例关系，即用圆（36