机械振动PPT电子课件教案-第三章 单自由度系统阻尼自由振动.ppt

单自由度系统阻尼自由振动,阻尼的定义与阻尼元件 阻尼振动微分方程与求解 阻尼参数的表达：阻尼比 阻尼对自由振动频率与振幅的影响,引言,惯性体由于任何外力原因离开平衡位置之后，只受到和位移成比例的恢复力作用，惯性体将在平衡位置附近按照其固有频率进行简谐振动。由于没有能量耗散，系统的机械能保持守恒。振动无限期的进行下去。,引言,对于实际的振动系统，由于不可避免的存在各种阻尼，振动系统的机械能不断转化为其他形式的能，造成振幅衰减，以致最后振动完全停止； 阻尼系统的能量不再守恒； 阻尼大小对振动产生系列影响； 阻尼应用具有双重性,阻尼定义,阻尼是用来衡量系统自身消耗振动能量能力的物理量 。,线性阻尼,又称粘性阻尼，由粘性阻尼引起的粘性阻尼力的大小与相对速度成正比，方向与速度方向相反。阻尼系数为常数。 为了研究方便，通常将阻尼进行线性化，线性化的方法是等效原则。即在运动过程中，线性阻尼和原非线性阻尼吸收的能量一样多。,车辆中广泛存在的阻尼,在车辆当中，广泛存在的阻尼有，悬挂/悬架系统的减振器，轮胎的橡胶和其他各种橡胶支撑，液体（浸没在液体中振动物体），摩擦表面（离合器），金属橡胶等。,液压减振器工作原理,轮胎的阻尼,单自由度粘性阻尼的自由振动,以物体的平衡位置为原点，水平方向为x轴正向，建立如图所示的坐标系。,微分方程的建立,根据受力分析，和初始条件，可以得到下面的微分方程。,方程求解,由于方程为齐次的，因此，方程的解具有如下形式： 将解的形式代入微分方程：,特征方程及其解,由于 ，因此，要想方程成立； 必须： 称为微分方程 的特征方程 可以解出它的两个根：,微分方程的通解,微分方程的通解为： 为任意常数，由运动的初始条件决定。而解的形式，决定于 。随着阻尼系数的不同，特征方程可以有两个不等的负实根，相等的负实根和一对共轭复根。,临界阻尼系数,使特征方程有两个相等负实根的阻尼系数值，称为临界阻尼系数（critical damping coefficient）记为，,阻尼比,令 ，称为阻尼比或者相 对阻尼系数。是一个无量纲的数， 是一个重要 振动参数。 表征一个振动系统阻尼的大小： 表示大阻尼， 表示临界阻尼， 表示小阻尼。,微分方程和解的表达方式,由 ，和 原来的微分方程可以改写成： 特征根：,大阻尼情况的讨论,当 ，方程的特征根 ，均为实数，方程的通解为： 与初始条件 有关，,大阻尼系统的运动特点,可以证明， 越过平衡位置的次数至多有一次。,临界阻尼情况的讨论,当 ，特征方程的根 由微分方程的理论，方程的解为： 代入初始条件可得：,临界阻尼系统的运动特点,可见，临界阻尼下的系统的运动也不是振动，但在相同的条件下，临界阻尼的系统的自由运动最先停止，因此，仪表都将系统的阻尼设置为临界阻尼。,作业,有粘性阻尼的弹簧质量系统，无阻尼振动的固有频率为 ，从平衡位置拉开 后释放，初速度为零，求 和 时的系统运动情况。,小阻尼系统的运动特点,当 ，特征方程的根 令：,解的三角形式,方程可以写成： 由初始条件，,，,，,小阻尼的运动曲线,如图所示的为衰减振动。在 的时候，物体的运动曲线和曲线： 相切，在切点的x值的绝对值 称为振幅。,阻尼振动的特点,由于有衰减项的存在，因此阻尼振动既不是简谐的，也不是周期的。而是随着时间t趋于无穷时，振幅逐渐衰减为零，系统趋于静止。这是阻尼自由振动和无阻尼自由振动的主要区别之一。,阻尼振动的数字特征,习惯上，将函数 的周期称为衰减振动的周期，故衰减振动的周期和频率分别为：,阻尼对频率和周期的影响,可见，阻尼的存在，使系统的振动频率降低，振动周期延长。但在有的时候，阻尼的存在对于周期和频率的影响，可以略去不计。,忽略阻尼影响的条件,根据上述展开，大家可以口算当 和 时，系统的周期和频率变化幅度。 所以，当时 ，通常忽略阻尼对固有频率和周期的影响,阻尼对振幅的影响,阻尼对与振幅的影响非常大。设 和 分别是相邻两次的振幅，对应的时间分别为：和 ，则： 可得： 在一个周期后，幅值缩减到原来的,衰减数据,在 的情况下，在一个周期振幅减小27%，经过10个周期，振幅减小到原来的4.3%。可见，只要有微弱的阻尼，就可以使振动迅速衰减。 从上式可以看出，如果两个振动系统的固有频率相同，则阻尼比较大的系统自由振动衰减的较快，这也说明阻尼比表示了系统消耗振动能量的能力。如果两个振动系统的阻尼比相同，则固有频率比较大的系统自由振动衰减的较快，这也就是常说的；“高频成分衰减快”在单自由度系统时的情况。,对数缩减率,前后相邻的任意两次振动的振幅之比的自然对数，称为对数缩减率，记为： 由于： 可得： 当在 的时候，有,作业2,证明：第t次与第t+n次振动的振幅对数缩减率为 ，第t次与第t+1次振动的振幅对数缩减率为 ，则：,对数缩减率的作用,由 ，可以求出 当在 的时候， ， 为了便于测量， 通常由 获得,例题,试证明：在衰减振动中，在相邻两个位移最大值消耗的机械能 ，与开始时的机械能 之比为常量，在阻尼很小的时候， 有：,证明,设第一个位移最大值 ，相邻的位移最大值 ，则相应的机械能为：,证明,由 ，从而 对 进行Taylor展开 当阻尼很小的时候， ，,阻尼自由振动小结,微分方程